高等数学(黄立宏)(第三版)习题九课后答案
习题九
1. 求下曲线在给定点的切线和法平面方程: (1)x =a sin 2t ,y =b sin t cos t ,z =c cos 2t ,点π4
t =; (2)x 2+y 2+z 2=6,x +y +z =0,点M 0(1,-2,1); (3)y 2=2mx ,z 2=m -x ,点M 0(x 0,y 0,z 0).
解:2sin cos ,cos 2,2cos sin x a t t y b t z c t t '''===- 曲线在点π
4
t =
的切向量为 {}πππ,,,0,444T x y z a c ????????'''==-?? ? ? ?????????
当π4t =
时, ,,222
a b c x y z === 切线方程为
2220a b c
x y z a c
-
--==-. 法平面方程为
0()0.222a b c a c x y z ??????++-=--- ? ? ???????
即 22
022
a c ax cz --+=.
(2)联立方程组
2226
0x y z x y z ?++=?
++=?
它确定了函数y =y (x ),z =z (x ),方程组两边对x 求导,得
d d 2220d d d d 10d d y z x y z x x
y z x x
?+?+?=???
?++=??
解得
d d ,,d d y z x z x y x y z x y z
--==-- 在点M 0(1,-2,1)处,
00
d d 0,1d d M M y z x x ==- 所以切向量为{1,0,-1}. 故切线方程为
121
101
x y z -+-==
- 法平面方程为
1(x -1)+0(y +2)-1(z -1)=0
即x -z =0.
(3)将方程y 2=2mx ,z 2=m -x 两边分别对x 求导,得
d d 22,21d d y z
y
m z x x
==- 于是
d d 1
,d d 2y m z x y x z
==- 曲线在点(x 0,y 0,z 0)处的切向量为0
011,,2m
y z ??-????,故切线方程为
00000
,112x x y y z z m y z ---==-
法平面方程为
00000
1()()()02m x x y y z z y z -+
---=. 2. t (0 < t < 2π)为何值时,曲线L :x = t -sin t , y =1-cos t , z = 4sin 2
t 在
相应点的切线垂直于平面0x y +=,并求相应的切线和法平面方程。
解:1cos ,sin ,2cos 2t
x t y t z '''=-==,
在t 处切向量为{}
1cos ,sin ,2cos 2
t
T t t =-u r ,
已知平面的法向量为{1n =r
.
且T u r ∥n r ,
故2cos 1cos sin 11t t t -==
解得π2t =
,相应点的坐标为π1,1,2?- ?.
且{1,1T =u r
故切线方程为
π
1
1211x y -
+-==
法平面方程为
π
1102
x y z -
++--= 即
π042x y ??
+-=+ ???
.
3. 证明:螺旋线x = acost, y = asint, z = bt 的切线与z 轴形成定角。 证明:sin ,cos ,.x a t y a t z b '''=-== 螺旋线的切向量为
{sin ,cos ,}T a t a t b =-u r
.
与z 轴同向的单位向量为
{0,0,1}k =r
两向量的夹角余弦为
cos θ=
=
为一定值。
故螺旋线的切线与z 轴形成定角。
4. 指出曲面z = xy 上何处的法线垂直于平面x -2y +z =6,并求出该点的法线方程与切平面方程。
解:z x =y , z y =x .
曲面法向量为{}1,,1n y x =-u r
.
已知平面法向量为{}21,2,1n =-u u r
. 且1n u r ∥2n u u r ,故有112y x ==--
解得x =2,y =-1,此时,z =-2.
即(2,-1,-2)处曲面的法线垂直于平面,且在该点处的法线方程为
212
121
x y z -++==
--. 切平面方程为
-1(x -2)+2(y +1)-(z +2)=0
即 x -2y +z -2=0. 5. 求下列曲面在给定点的切平面和法线方程: (1)z = x 2+y 2,点M 0(1,2,5); (2)z = arctan y
x
,点M 0(1,1,π4);
解:(1)00
2, 4.22y x
m m m m z z y x ====
故曲面在点M 0(1,2,5)的切平面方程为
z -5=2(x -1)+4(y -2).
即 2x +4y -z =5. 法线方程为
125
241
x y z ---==
- (2)0
22
22
1
1,.2
2
y
x
m m m m y
x z z x y x y -
==-=
=++ 故曲面在点M 0(1,1,
π
4
)的切平面方程为 z -π4=-12 (x -1)+1
2
(y -1). 法线方程为
π
11411122
z x y -
--==--.
6. 证明:曲面xyz = a 3上任一点的切平面与坐标面围成的四面体体积一定。 证明:设 F (x ,y ,z )=xyz -a 3. 因为 F x =yz ,F y =xz ,F z =xy ,
所以曲面在任一点M 0(x 0,y 0,z 0)处的切平面方程为
y 0z 0(x -x 0)+x 0z 0(y -y 0)+x 0y 0(z -z 0)=0.
切平面在x 轴,y 轴,z 轴上的截距分别为3x 0,3y 0,3z 0.因各坐标轴相互垂直,所以切平面与坐标面围成的四面体的体积为
33000000
11191
32727.3336622
V z x y z a a x y ??=?==?=?????
它为一定值。
7.解:平面∏与曲面22z x y =+在(1,2,5)-的切平面的法向量为
}{}{002,2,12,4,1n x y =-=--r
从而平面∏的方程为:2450x y z ---=
又l 的方向向量为110(1)11
i j k s i j a k a ==-++--r r r r r r r
由0n s ?=r r
求得5a =-
在l 上取一点,不妨取01x =求得00(1).53y b z b =-+=+ 由于000(,,)x y z 在平面∏上,代入平面方程中可求得2b =-. 8. 求函数u =xy 2+z 3-xyz 在点(1,1,2)处沿方向角为πππ
,,343
αβγ===的方向导数。 解:
(1,1,2)(1,1,2)
(1,1,2)cos cos cos u u u u
y l x z αβγ????=++????
22(1,1,2)(1,1,2)(1,1,2)πππ
cos cos cos 5.(2)()(3)343
xy xz y yz z xy =++=---
9. 求函数u =xyz 在点(5,1,2)处沿从点A (5,1,2)到B (9,4,14)的方向导数。
解:{4,3,12},13.AB AB == u u u r u u u r
AB u u u r
的方向余弦为
4312cos ,cos ,cos 131313
αβγ=
== (5,1,2)
(5,1,2)
(5,1,2)(5,1,2)
(5,1,2)(5,1,2)
2105
u yz x u xz y u xy
z
?==??==??==? 故
4312982105.13131313
u l ?=?+?+?=? 10. 求函数22221x y z a b ??
=-+ ???
在点处沿曲线22221x y a b +=在这点的内法线
方向的方向导数。
解:设x 轴正向到椭圆内法线方向l 的转角为φ,它是第三象限的角,因为
2222220,x y b x
y y a b a y
''+==-
所以在点处切线斜率为
2.b y a a '
==- 法线斜率为cos a b
?=.
于是tan sin ??==
∵
2222,,z z x y x a y b
??=-=-??
∴
2222z l
a b ??=-
-=
?? 11.研究下列函数的极值: (1) z = x 3+y 3-3(x 2+y 2); (2) z = e 2x (x +y 2+2y ); (3) z = (6x -x 2)(4y -y 2); (4) z = (x 2+y 2)2
2()
e x
y -+;
(5) z = xy (a -x -y ),a ≠0.
解:(1)解方程组2
2
360
360
x y z x x z y y ?=-=??=-=?? 得驻点为(0,0),(0,2),(2,0),(2,2).
z xx =6x -6, z xy =0, z yy =6y -6
在点(0,0)处,A =-6,B =0,C =-6,B 2-AC =-36<0,且A <0,所以函数有极大值z (0,0)=0.
在点(0,2)处,A =-6,B =0,C =6,B 2-AC =36>0,所以(0,2)点不是极值点. 在点(2,0)处,A =6,B =0,C =-6,B 2-AC =36>0,所以(2,0)点不是极值点. 在点(2,2)处,A =6,B =0,C =6,B 2-AC =-36<0,且A >0,所以函数有极小值
z (2,2)=-8.
(2)解方程组22
2e (2241)0
2e (1)0
x x x
y z x y y z y ?=+++=??=+=?? 得驻点为1,12??
- ???
.
22224e (21)4e (1)2e x xx x xy x
yy z x y y z y z =+++=+=
在点1,12??
- ???
处,A =2e,B =0,C =2e,B 2-AC =-4e 2<0,又A >0,所以函数有极小值
e 1,122z ??=-- ???
. (3) 解方程组22
(62)(4)0
(6)(42)0
x y z x y y z x x y ?=--=??=--=?? 得驻点为(3,2),(0,0),(0,4),(6,0),(6,4). Z xx =-2(4y -y 2), Z xy =4(3-x )(2-y )
Z yy =-2(6x -x 2)
在点(3,2)处,A =-8,B =0,C =-18,B 2-AC =-8×18<0,且A <0,所以函数有极大值z (3,2)=36.
在点(0,0)处,A =0,B =24,C =0,B 2-AC >0,所以(0,0)点不是极值点. 在点(0,4)处,A =0,B =-24,C =0,B 2-AC >0,所以(0,4)不是极值点. 在点(6,0)处,A =0,B =-24,C =0,B 2-AC >0,所以(6,0)不是极值点. 在点(6,4)处,A =0,B =24,C =0,B 2-AC >0,所以(6,4)不是极值点.
(4)解方程组2
2
22()22()22
2e
(1)02e
(1)0x y x y x x y y x y -+-+?--=??--=??
得驻点P 0(0,0),及P (x 0,y 0),其中x 02+y 02=1,
在点P 0处有z =0,而当(x ,y )≠(0,0)时,恒有z >0, 故函数z 在点P 0处取得极小值z =0. 再讨论函数z =u e -u
由
d e (1)d u z u u -=-,令d 0d z
u
=得u =1, 当u >1时,d 0d z u <;当u <1时,d 0d z
u
>,
由此可知,在满足x 02+y 02=1的点(x 0,y 0)的邻域内,不论是x 2+y 2>1或x 2+y 2<1,均有
2
222()
1()e e x
y z x y -+-=+≤.
故函数z 在点(x 0,y 0)取得极大值z =e -1
(5)解方程组(2)0
(2)0x y
z y a x y z x a y x =--=??=--=??
得驻点为 12(0,0),,33a a P P ??
???
z xx =-2y , z xy =a -2x -2y , z yy =-2x .
故z 的黑塞矩阵为 222222y
a x y H a x y
x ---??=??---?? 于是 122033(),().023
3a
a a H P H P a a a ??
--
????
==????????-
-???? 易知H (P 1)不定,故P 1不是z 的极值点,
H (P 2)当a <0时正定,故此时P 2是z 的极小值点,且3
,2733a
a a z ??= ???,
H (P 2)当a >0时负定,故此时P 2是z 的极大值点,且3
,27
33a
a a z ??= ???.
12. 设2x 2+2y 2+z 2+8xz -z +8=0,确定函数z =z (x ,y ),研究其极值。 解:由已知方程分别对x ,y 求导,解得
484,281
281
z x z z y x z x y z x ?--?-==?+-?+- 令
0,0,z z x y ??==??解得0,2
x y z ==-, 将它们代入原方程,解得162,7
x x =-=
. 从而得驻点16(2,0),,07??- ???
.
2
222222
2
(281)(48)4828(281)428,(281)4(281)8
.
(281)z z z x x z z x x x z x z y z x x y z x z z x z
y y z x ??????+-++--+ ? ????????=?+-???+ ?????=??++?-+--??=?+-
在点(-2,0)处,441,,0,,1515
Z A B C ==
==B 2
-AC <0,因此函数有极小值z =1. 在点16,07??
???
处,82828,,0,,7105105Z A B C =-=-==-B 2-AC <0,函数有极大值
8
7
z =-.
13. 在平面xOy 上求一点,使它到x =0, y =0及x +2y -16=0三直线距离的平方之和为最小。
解:设所求点为P (x ,y ),P 点到x =0的距离为|x |,到y =0的距离为|y |,到直线
x +2y -16=0的距离为
=
距离的平方和为
2221
(216)5
z x y x y =+++-
由22(216)0542(216)0
5z x x y x z y x y y
??=++-=??????=++-=???
得唯一驻点816,55?? ???,因实际问题存在最小值,故点816,55??
???
即为所求。
14. 求旋转抛物面z = x 2+y 2与平面x +y -z =1之间的最短距离。
解:设P (x ,y ,z )为抛物面上任一点.则点P 到平面的距离的平方为
2
(1)3
x y z d +--=,即求其在条件z = x 2+y 2下的最值。设F (x ,y ,z )
=
2
22(1)()3
x y z z x y λ+--+-- 解方程组22
2(1)203
2(1)203
2(1)03x
y z
x y z F x x y z F y x y z F z x y
λλλ+--?=-=??
+--?=-=?
??-+--=+=??
?=+? 得1
2
x y z ===
1
== 15. 抛物面z = x 2+y 2被平面x +y +z =1截成一椭圆,求原点到这椭圆的最长与最短距离。
解:设椭圆上的点为P (x ,y ,z ),则
|OP |2=x 2+y 2+z 2.
因P 点在抛物面及平面上,所以约束条件为
z =x 2+y 2, x +y +z =1
设F (x ,y ,z )= x 2+y 2+z 2+λ1(z -x 2-y 2)+λ2(x +y +z -1)
解方程组12121222220
220
201
x y
z F x x F y y F z z x y x y z λλλλλλ=-+=??=-+=??
=++=??=+??++=?
得
2x y z ==
= 由题意知,距离|OP |有最大值和最小值,且
(
22222
12922x y z OP ?-=++=+= ??
m .
16. 在第I 卦限内作椭球面
222
2221x y z a b c
++= 的切平面,使切平面与三坐标面所围成的四面体体积最小,求切点坐标。
解:令222
222(,,)1x y z F x y z a b c
=++-
∵222
222,,,x y z x y z
F F F a b c =
== ∴椭球面上任一点0000(,,)P x y z 的切平面方程为
000
000222222()()()0.x y z x x y y z z a b c
-+-+-= 即 000222 1.x x y y z z
a b c
++=
切平面在三个坐标轴上的截距分别为222
000,,a b c x y z ,因此切平面与三个坐标面所围
的四面体的体积为
222222
000000
166a b c a b c V x y z x y z =???=
即求2226a b c V xyz =在约束条件222
2221x y z a b c
++=下的最小值,也即求xyz 的最大值问
题。
设 222222(,,)1x y z x y z xyz a b c λ??
Φ=+++- ???
,
解方程组2
2
2222
22220,20,20,
1.
x
y z x yz a x xz b x xy c x y z a
b c λλλ?
Φ=+=??
?Φ=+=???Φ=+=???++=?
得x y z =
==.
故切点为,此时最小体积为
222.6a b c V a b c ==
*
17. 设空间有n 个点,坐标为(,,)(1,2,,)i i i x y z i n =L ,试在xOy 面上找一点,使此
点与这n 个点的距离的平方和最小。
解:设所求点为P (x ,y ,0),则此点与n 个点的距离的平方和为
222222*********
2
2
1212222222222121212()()()()()()2()2()
()()()
n n n n n n n n S x x y y z x x y y z x x y y z nx x x x x ny y y y y x x x y y y z z z =-+-++-+-+++-+-+=-++++-+++++++++++++++ L L L L L L
解方程组121222()022()0x n y n S nx x x x S ny y y y =-+++=??=-+++=??L L
得驻点121
2n n x x x x n
y y y y n +++?=???+++?=??
L L
又在点1111,n
n i i i i x y n n ==?? ???
∑∑处
S xx =2n =A , S xy =0=B , S yy =2n =C B 2-AC =-4n 2<0, 且A >0取得最小值. 故在点1111,n
n i i i i x y n n ==?? ???∑∑处,S 取得最小值.
即所求点为1111,,0n n i i i i x y n n ==??
???
∑∑.
*
18. 已知过去几年产量和利润的数据如下:
产量x (310件) 40 47 55 70 90 100 利润y (310元)
32
34
43
54
72
85
试求产量和利润的函数关系,并预测当产量达到120千件时工厂的利润。 解:在直角坐标系下描点,从图可以看出,这些点大致接近一条直线,因此可设
f (x )=ax +b ,求[]6
2
1
()i i i u y ax b ==-+∑的最小值,即求解方程组
666
2
111
66
1
1,6.i i i i i i i i i i i a x b x y x a x b y =====?+=????+=??∑∑∑∑∑ 把(x i ,y i )代入方程组,得
2983440224003
4026320
a b a b +=??
+=? 解得 a =, b =
即 y =当x =120时,y =(310元).
微积分课后题答案第九章习题详解
第9章 习题9-1 1. 判定下列级数的收敛性: (1) 11 5n n a ∞ =?∑(a >0); (2) ∑∞ =-+1 )1(n n n ; (3) ∑∞ =+13 1 n n ; (4) ∑∞ =-+12)1(2n n n ; (5) ∑∞ =+11ln n n n ; (6) ∑∞ =-12)1(n n ; (7) ∑∞ =+11 n n n ; (8) 0(1)21n n n n ∞ =-?+∑. 解:(1)该级数为等比级数,公比为 1a ,且0a >,故当1 ||1a <,即1a >时,级数收敛,当1 | |1a ≥即01a <≤时,级数发散. (2) Q n S =+++L 1= lim n n S →∞ =∞ ∴ 1 n ∞ =∑发散. (3)113 n n ∞ =+∑是调和级数11n n ∞=∑去掉前3项得到的级数,而调和级数11 n n ∞ =∑发散,故原 级数 11 3 n n ∞ =+∑发散. (4)Q 1112(1)1(1)22 2n n n n n n n ∞ ∞-==?? +--=+ ???∑∑ 而11 12n n ∞ -=∑,1(1)2m n n ∞ =-∑是公比分别为1 2的收敛的等比级数,所以由数项级数的基本性质
知111(1)2 2n n n n ∞ -=??-+ ???∑收敛,即原级数收敛. (5)Q ln ln ln(1)1 n n n n =-++ 于是(ln1ln 2)(ln 2ln 3)[ln ln(1)]n S n n =-+-+-+L ln1ln(1)ln(1)n n =-+=-+ 故lim n n S →∞ =-∞,所以级数 1 ln 1 n n n ∞ =+∑发散. (6)Q 2210,2n n S S +==- ∴ lim n n S →∞ 不存在,从而级数 1 (1) 2n n ∞ =-∑发散. (7)Q 1 lim lim 10n n n n U n →∞ →∞+==≠ ∴ 级数 1 1 n n n ∞ =+∑发散. (8)Q (1)(1)1 , lim 21212 n n n n n n U n n →∞--==++ ∴ lim 0n x U →∞≠,故级数1 (1)21n n n n ∞ =-+∑发散. 2. 判别下列级数的收敛性,若收敛则求其和: (1) ∑∞ =??? ??+13121n n n ; (2) ※ ∑∞ =++1)2)(1(1n n n n ; (3) ∑∞ =?1 2sin n n n π ; (4) 0πcos 2n n ∞ =∑. 解:Q (1)1111, 23n n n n ∞ ∞==∑∑都收敛,且其和分别为1和12,则1112 3n n n ∞ =?? + ???∑收敛,且其 和为1+ 12=3 2 . (2)Q 11121(1)(2)212n n n n n n ?? =-+ ?++++??
高等数学下试题及参考答案
高等数学下试题及参考 答案 内部编号:(YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128)
华南农业大学期末考试试卷(A 卷 ) 2016~2017学年第2 学期 考试科目:高等数学A Ⅱ 考试类型:(闭卷)考试 考试时间: 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分) 1.二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为 。 2. 设向量(2,1,2)a =,(4,1,10)b =-,c b a λ=-,且a c ⊥,则λ= 。 3.经过(4,0,2)-和(5,1,7)且平行于x 轴的平面方程为 。 4.设yz u x =,则du = 。 5.级数11 (1)n p n n ∞ =-∑,当p 满足 条件时级数条件收敛。 二、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分) 1.微分方程2()'xy x y y +=的通解是 ( ) A .2x y Ce = B .22x y Ce = C .22y y e Cx = D .2y e Cxy =
2 .求极限(,)(0,0)lim x y →= ( ) A .14 B .12- C .14- D .12 3.直线:3 27 x y z L = =-和平面:32780x y z π-+-=的位置关系是 ( ) A .直线L 平行于平面π B .直线L 在平面π上 C .直线L 垂直于平面π D .直线L 与平面π斜交 4.D 是闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤ ,则D σ= ( ) A .33()2 b a π- B .332()3 b a π- C .334()3 b a π - D . 3 33()2 b a π- 5.下列级数收敛的是 ( ) A .11(1)(4)n n n ∞ =++∑ B .2111n n n ∞=++∑ C .1 1 21n n ∞ =-∑ D .n ∞ = 三、计算题(本大题共7小题,每小题7分,共49分) 1. 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =,2y =的特 解。 2. 计算二重积分22 D x y dxdy x y ++?? ,其中22 {(,):1,1}D x y x y x y =+≤+≥。
郑州大学高等数学下课后习题答案解析
习题7.7 3.指出下列方程所表示的曲线. (1)???==++;3, 25222x z y x (2)???==++;1,3694222y z y x (3)???-==+-;3, 254222x z y x (4)???==+-+.4,08422y x z y 【解】 (1)表示平面3=x 上的圆周曲线1622=+z y ; (2)表示平面1=y 上的椭圆19 32322 2=+z x ; (3)表示平面3-=x 上的双曲线14 162 2=-y z ; (4)表示平面4=y 上的抛物线642-=x z . 4.求() () ?????=++=++Γ2, 21, :2 22 2 222Rz z y x R z y x 在三个坐标面上的投影曲线. 【解】 (一)(1)、(2)联立消去z 得 2224 3R y x = + 所以,Γ在xoy 面上的投影曲线为 ?????==+.0, 4 322 2z R y x (二)(1)、(2)联立消去y 得 R z 2 1 = 所以,Γ在zox 面上的投影曲线为 .23.0,21R x y R z ≤ ?? ? ??==
(三)(1)、(2)联立消去x 得 R z 21 = 所以,Γ在yoz 面上的投影曲线为 .23.0, 21R y x R z ≤ ????? == 6.求由球面224y x z --= ①和锥面() 223y x z += ②所围成的立体在xoy 面上的投影区域. 【解】联立①、②消去z 得 122=+y x 故Γ在xoy 面上的投影曲线为 ? ??==+.0, 122z y x 所以,球面和锥面所围成的立体在xoy 面上的投影区域为(){}1|,22≤+=y x y x D . 习题7.8 2.设空间曲线C 的向量函数为(){} t t t t t r 62,34,122--+=,R t ∈.求曲线C 在与 20=t 相应的点处的单位切向量. 【解】因(){}64,4,2-=t t t r ,故C 相应20=t 的点处的切向量为 (){}2,4,42='r . C 相应20=t 的点处的单位切向量为 (){}.31,32,322,4,4612? ?????±=± =' 3.求曲线32,,:t z t y t x ===Γ在点)1,1,1(0M 处的切线方程和法平面方程. 【解】0M 对应参数1=t .Γ在0M 点处的切线方向为
高等数学下册试题及答案解析word版本
高等数学(下册)试卷(一) 一、填空题(每小题3分,共计24分) 1、 z =)0()(log 2 2>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ,1=y 所围图形的面积用二重积分表示 为 ,其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧,则 =++?? ∑ ds y x )122 ( 。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为 。 8、级数 ∑∞ =+1) 1(1 n n n 的和为 。 二、选择题(每小题2分,共计16分) 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是( ) (A )),(y x f 在),(00y x 处连续; (B )),(y x f x ',),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在; (C ) y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时,是无穷小; (D )0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数,则2222y u y x u x ??+??等于( ) (A )y x +; (B )x ; (C)y ; (D)0 。 3、设Ω:,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于( ) (A )4 ? ??20 20 1 3cos sin π π ???θdr r d d ;
高等数学第六版(同济大学)上册课后习题答案解析
高等数学第六版上册课后习题答案及解析 第一章 习题1-1 1. 设A =(-∞, -5)?(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ?B , A ?B , A \B 及A \(A \B )的表达式. 解 A ?B =(-∞, 3)?(5, +∞), A ? B =[-10, -5), A \ B =(-∞, -10)?(5, +∞), A \(A \B )=[-10, -5). 2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ?B )C =A C ?B C . 证明 因为 x ∈(A ?B )C ?x ?A ?B ? x ?A 或x ?B ? x ∈A C 或x ∈B C ? x ∈A C ?B C , 所以 (A ?B )C =A C ?B C . 3. 设映射f : X →Y , A ?X , B ?X . 证明 (1)f (A ?B )=f (A )?f (B ); (2)f (A ?B )?f (A )?f (B ). 证明 因为 y ∈f (A ?B )??x ∈A ?B , 使f (x )=y ?(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B ) ? y ∈f (A )?f (B ), 所以 f (A ?B )=f (A )?f (B ). (2)因为 y ∈f (A ?B )??x ∈A ?B , 使f (x )=y ?(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )? y ∈ f (A )?f (B ), 所以 f (A ?B )?f (A )?f (B ). 4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g =ο, Y I g f =ο, 其中I X 、 I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1. 证明 因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中
高等数学[下册]期末考试试题和答案解析
高等数学A(下册)期末考试试题 一、填空题:(本题共5小题,每小题4分,满分20分,把答案直接填在题中横线上) 1、已知向量a 、b 满足0a b +=,2a =,2b =,则a b ?= .
2、设ln()z x xy =,则32 z x y ?=?? . 3、曲面2 2 9x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 . 4、设()f x 是周期为2π的周期函数,它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =,则()f x 的傅里叶级数 在3x =处收敛于 ,在x π=处收敛于 . 5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段,则 ()L x y ds +=? . ※以下各题在答题纸上作答,答题时必须写出详细的解答过程,并在每张答题纸写上:姓名、学号、班级. 二、解下列各题:(本题共5小题,每小题7分,满分35分) 1、求曲线222 222 239 3x y z z x y ?++=??=+??在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程. 2、求由曲面2222z x y =+及22 6z x y =--所围成的立体体积. 3、判定级数 1 1 (1)ln n n n n ∞ =+-∑是否收敛?如果是收敛的,是绝对收敛还是条件收敛? 4、设(,)sin x z f xy y y =+,其中f 具有二阶连续偏导数,求2, z z x x y ?????. 5、计算曲面积分 ,dS z ∑ ??其中∑是球面2222x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部. 三、(本题满分9分) 抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆,求这椭圆上的点到原点的距离 的最大值与最小值. (本题满分10分) 计算曲线积分 (sin )(cos )x x L e y m dx e y mx dy -+-? , 其中m 为常数,L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周2 2 (0)x y ax a +=>. 四、(本题满分10分) 求幂级数1 3n n n x n ∞ =?∑的收敛域及和函数.
高等数学(A)下期末试卷及答案
《高等数学A 》(下)期末试卷A 答案及评分标准 一、选择题(本大题分5小题,每题3分,共15分) 1、交换二次积分 ? ? x e dy y x f dx ln 0 1 ),(的积分次序为 ( c ) (A ) ? ? x e dx y x f dy ln 0 1 ),( (B ) ?? 1 ),(dx y x f dy e e y (C ) ? ? e e y dx y x f dy ),(10 (D ) ?? e x dx y x f dy 1 ln 0 ),( 2、锥面22y x z +=在柱面x y x 22 2≤+内的那部分面 积为 (D ) (A ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 22 d d (B ) ? ? - θπ π ρ ρθcos 20 222 d d (C ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 2 22 2d d (D ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 22 2d d 3、若级数∑∞ =-1 )2(n n n x a 在2-=x 处收敛,则级数 ∑∞ =--1 1 )2(n n n x na 在5=x (B )
(A ) 条件收敛 (B ) 绝对收敛 (C ) 发散(D ) 收敛性不确定 4、下列级数中收敛的级数为 ( A ) (A ) ∑∞ =-1 )13(n n n n (B ) ∑∞ =+1 21n n n (C ) ∑∞ =+1 11 sin n n (D ) ∑∞ =1 3!n n n 5、若函数 )()2()(2 222x axy y i xy y x z f -+++-=在复平面上处处解析,则实常数a 的值 为 ( c ) (A ) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) -2
中国人民大学出版社第四版高等数学一第6章课后习题详解
高等数学一第6章课后习题详解 课后习题全解 习题6-2 ★ 1.求由曲线 x y =与直线 x y =所围图形的面积。 知识点:平面图形的面积 思路:由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型,解法都较简单,所以选其一做即可 解: 见图6-2-1 ∵所围区域D 表达为X-型:?? ?<<< ∵所围区域D 表达为X-型:?????<<< <1 sin 2 0y x x π, (或D 表达为Y-型:???<<< ∴所围区域D 表达为Y-型:?? ?-<<<<-2 2 422y x y y , ∴23 16 )32 4()4(2 2 32 222= -=--=- - ? y y dy y y S D (由于图形关于X 轴对称,所以也可以解为: 2316 )324(2)4(22 32 22=-=--=? y y dy y y S D ) ★★4.求由曲线 2x y =、24x y =、及直线1=y 所围图形的面积 知识点:平面图形面积 思路:所围图形关于Y 轴对称,而且在第一象限内的图形表达为Y-型时,解法较简单 解:见图6-2-4 ∵第一象限所围区域1D 表达为Y-型:? ??<<< 高等数学课后习题及解答 1. 设u=a-b+2c,v=-a+3b-c.试用a,b,c 表示2u-3v. 解2u-3v=2(a-b+2c)-3(-a+3b-c) =5a-11b+7c. 2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分,试用向量证明它是平 行四边形. 证如图8-1 ,设四边形ABCD中AC 与BD 交于M ,已知AM = MC ,DM 故 MB . AB AM MB MC DM DC . 即AB // DC 且|AB |=| DC | ,因此四边形ABCD是平行四边形. 3. 把△ABC的BC边五等分,设分点依次为D1,D2,D3,D4,再把各 分点与点 A 连接.试以AB=c, BC=a 表向量 证如图8-2 ,根据题意知 1 D 1 A, 1 D 2 A, D 3 A, D A. 4 1 D3 D4 BD1 1 a, 5 a, D1D2 a, 5 5 1 D 2 D 3 a, 5 故D1 A=- (AB BD1)=- a- c 5 D 2 A =- ( AB D A =- ( AB BD 2 BD )=- )=- 2 a- c 5 3 a- c 3 =- ( AB 3 BD 4 )=- 5 4a- c. 5 4. 已知两点 M 1(0,1,2)和 M 2(1,-1,0) .试用坐标表示式表示 向量 M 1M 2 及-2 M 1M 2 . 解 M 1M 2 =(1-0, -1-1, 0-2)=( 1, -2, -2) . -2 M 1M 2 =-2( 1,-2,-2) =(-2, 4,4). 5. 求平行于向量 a =(6, 7, -6)的单位向量 . a 解 向量 a 的单位向量 为 ,故平行向量 a 的单位向量为 a a 1 = ( 6,7, -6)= 6 , 7 , 6 , a 11 11 11 11 其 中 a 6 2 72 ( 6)2 11. 6. 在空间直角坐标系中,指出下列各点在哪个卦限? A (1,-2,3), B ( 2, 3,-4), C (2,-3,-4), D (-2, -3, 1). 解 A 点在第四卦限, B 点在第五卦限, C 点在第八卦限, D 点在第三卦限 . 7. 在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征?指出下列各点的位置: A ( 3, 4, 0), B ( 0, 4,3), C ( 3,0,0), D ( 0, D A 4 《高等数学》试卷1(下) 一.选择题(3分?10) 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M ( ). A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a +=++-=2,2,则有( ). A.a ∥b B.a ⊥b C.3,π=b a D.4 ,π=b a 3.函数11 22222-++--=y x y x y 的定义域是( ). A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.(){}21,22<+ A.x -11 B.x -22 C.x -12 D.x -21 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为( ). A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题(4分?5) 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ,其中点()1,1,2-B ,则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 23+--=xy xy y x z ,则=???y x z 2_____________________________. 4. x +21的麦克劳林级数是___________________________. 三.计算题(5分?6) 1.设v e z u sin =,而y x v xy u +==,,求.,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定,求.,y z x z ???? 3.计算σd y x D ??+22sin ,其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积(R 为半径). 四.应用题(10分?2) 1.要用铁板做一个体积为23 m 的有盖长方体水箱,问长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省? . 试卷1参考答案 一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题 1.0622=+--z y x . 2.()()xdy ydx xy +cos . 3.1962 2--y y x . 4. ()n n n n x ∑∞=+-01 21. 283 高等数学上(修订版)(复旦出版社) 习题六 无穷数级 答案详解 1.写出下列级数的一般项: (1)111135 7 ++++ ; (2)2 2242462468x x x x x ++++?????? ; (3)3579 3579 a a a a -+-+ ; 解:(1)1 21 n U n =-; (2)()2 !! 2n n x U n = ; (3)() 21 1 121 n n n a U n ++=-+; 2.求下列级数的和: (1)()()() 11 11n x n x n x n ∞ =+-+++∑ ; (2) ( )1 221n n n n ∞ =+-++∑; (3)23 111 5 55+ ++ ; 解:(1)()()() ()()()()1 11111211n u x n x n x n x n x n x n x n = +-+++?? -= ?+-++++?? 284 从而()()()()()()() ()()()()()()()1111 1211212231111111211n S x x x x x x x x x n x n x n x n x x x n x n ?-+-= +++++++?? ++ - ?+-++++? ?? -= ?++++?? 因此() 1lim 21n n S x x →∞ =+,故级数的和为 () 121x x + (2)因为()()211n U n n n n =-+-++- 从而()()()() ()()()()3243322154432112112 1 12 21 n S n n n n n n n n =-+-----+-++---+-++-=+-++-=+-+++ 所以lim 12n n S →∞ =-,即级数的和为12-. (3)因为2111 5551115511511145n n n n S =+ ++????-?? ???? ?=-????=-?? ????? 从而1lim 4 n n S →∞ =,即级数的和为14 . 3.判定下列级数的敛散性: (1) ( )1 1n n n ∞ =+-∑; (2) ()() 11111661111165451n n +++++???-+ ; (3) ()23133222213333 n n n --+-++- ; 高等数学 一、填空 、选择题(每题3分,共30分) 1.曲面z xy =上点(1,2,2)处的法线方程为 . 2.已知D 是由直线1,1x y x y +=-=及0x =所围,则D yd σ=?? . 3.若曲线L 是2 2 1x y +=在第一象限的部分,则L xds =? . 4.设(,)ln()2y f x y x x =+ ,则(1,0)xx f = . 5.若级数 1 (2)n n u ∞ =+∑收敛,则lim n n u →∞ = . 6.函数3 2 2 (,)42f x y x x xy y =-+-,下列说法正确的是( ). (A)点(2,2)是(,)f x y 的极小值点; (B) 点(0,0)是(,)f x y 的极大值点; (C) 点(2,2)不是(,)f x y 的驻点; (D)(0,0)f 不是(,)f x y 的极值. 7.函数2 2 (,)f x y x y =+在点(1,1)处沿着那个方向的方向导数最大?( ) (A) (1,1); (B) (2,2); (C) (0,1); (D) (1,0). 8.曲线L 为沿2 24x y +=顺时针一周,则 1 2 L xdy ydx -=??( ). (A)2π- (B) 4π; (C) 4π-; (D)0. 9. 累次积分1 (,)y dy f x y dx ? 改变积分次序后等于( ). (A) 2 1 0(,)x x dx f x y dy ? ? ; (B) 21 (,)x x dx f x y dy ? ?; (C) 1 (,)x dx f x y dy ? ; (D) 21 (,)x dx f x y dy ?. 10. 下列各级数中条件收敛的是( ) (A) 1 1 (1) n n ∞ +=-∑; (B) 1 2 11 (1)n n n ∞ +=-∑; (C) 1 1 (1) 1 n n n n ∞ +=-+∑; (D) 1 1 1 (1)(1) n n n n ∞ +=-+∑; 二解答题(6*4) 1.设函数22 ln()y x z x y e =++,求(1,0) dz . 2.设sin ,,2u z e v u xy v x y ===-,求 ,z z x y ????. 一.选择题(3分?10) 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M ( ). A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a ρρρ ρρ??+=++-=2,2,则有( ). A.a ρ∥b ρ B.a ρ⊥b ρ C.3,π=b a ρρ D.4 ,π=b a ρρ 3.函数1 122 2 22-++ --= y x y x y 的定义域是( ). A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.( ){} 21,22<+ 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为( ). A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题(4分?5) 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ,其中点()1,1,2-B ,则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 2 3 +--=xy xy y x z ,则 =???y x z 2_____________________________. 4. x +21 的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________. 三.计算题(5分?6) 1.设v e z u sin =,而y x v xy u +==,,求 .,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程052422 2 2 =-+-+-z x z y x 确定,求 .,y z x z ???? 3.计算 σd y x D ?? +2 2sin ,其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.如图,求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积(R 为半径). 5.求微分方程x e y y 23=-'在00 ==x y 条件下的特解. 四.应用题(10分?2) 《高等数学》试题30 考试日期:2004年7月14日 星期三 考试时间:120 分钟 一.选择题 1. 当0→x 时,)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 ( ) A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的( ) A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中,)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有( ). A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是( ) A )、2ln 2x x x dx C =+? B )、sin cos tdt t C =-+? C )、 2arctan 1dx dx x x =+? D )、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是( ). A )、 ()()x f dx x f dx d b a =??????? B )、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C )、()()x f dx x f dx d x a =??????? D )、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?( ) A )、0 B )、1 C )、2 D )、4 7. 设bx x f sin )(=,则=''?dx x f x )(( ) A )、 C bx bx b x +-sin cos B ) 、C bx bx b x +-cos cos C )、C bx bx bx +-sin cos D )、C bx b bx bx +-cos sin 第二学期期末考试试卷 一、 填空题(每空 3 分,共 15 分) 1. 已知向量()1,1,4r a =-,()3,4,0r b =,则以r a ,r b 为边的平行四边形的面积等于. 2. 曲面sin cos z x y =在点1,,442ππ?? ??? 处 的切平面方程是. 3. 交换积分次序()22 0,x dx f x y dy = ??. 4. 对于级数11 n n a ∞ =∑(a >0),当a 满足条件 时收敛. 5. 函数1 2y x =-展开成x 的幂级数为 . 二、 单项选择题 (每小题3分,共15分) 1. 平面20x z -=的位置是 ( ) (A )通过y 轴 (B )通过x 轴 (C )垂直于y 轴 (D )平行于xoz 平面 2. 函数(),z f x y =在点()00,x y 处具有偏导数 ()00,x f x y ',()00,y f x y ',是函数在该点可微分的 ( ) (A )充要条件 (B )充分但非必要条件 (C )必要但非充分条件 (D )既非充分又非必要条件 3. 设()cos sin x z e y x y =+,则10 x y dz ===( ) (A )e (B )()e dx dy + (C )1()e dx dy -+ (D )()x e dx dy + 4. 若级数()11n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛, 则此级数在2x =处( ) (A )敛散性不确定 (B )发散 (C )条件收敛 (D )绝对收敛 5. 微分方程y xy x '-=的通解是( ) (A )212 1x y e =- (B )212 1x y e -=- (C )212 x y Ce -= (D )212 1x y Ce =- 三、(本题满分8分) 设平面通过点()3,1,2-,而且通过直线43521 x y z -+==, 求该平面方程. 四、(本题满分8分) 设(),z f xy x y =+,其中(),f u v 具有二阶连续偏导数, 试求z x ??和2z x y ???. 五、(本题满分8分) 计算三重积分y zdxdydz Ω =???, 其中 (){},,01,11,12x y z x y z ≤≤-≤≤≤≤. 六、(本题满分8分) 计算对弧长的曲线积分L ?, 高等数学下册试题 一、选择题(每题4分,共20分) 1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点,向量 AB 的模是:( A ) A )5 B ) 3 C ) 6 D )9 解 ={1-1,2-0,1-2}={0,2,-1}, |AB |= 5)1(20222=-++. 2. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2},求c =3a -2b 是:( B ) A ){-1,1,5}. B ) {-1,-1,5}. C ) {1,-1,5}. D ){-1,-1,6}. 解 (1) c =3a -2b =3{1,-1,3}-2{2,-1,2}={3-4,-3+2,9-4}={-1,-1,5}. 3. 设a ={1,-1,3}, b ={2, 1, -2},求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b ; ( A ) A )-i -2j +5k B )-i -j +3k C )-i -j +5k D )-2i -j +5k 解c ={-1,-2,5}=-i -2j +5k . 4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是:(C ) A )2π B )4π C )3 π D )π 解 由公式(6-21)有 2 1112)1(211)1(1221cos 2222222 121= ++?-++?-+?+?= ??= n n n n α, 因此,所求夹角 32 1 arccos π α= =. 5. 求平行于z 轴,且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程.是:(D ) A )2x+3y=5=0 B )x-y+1=0 C )x+y+1=0 D )01=-+y x . 解 由于平面平行于z 轴,因此可设这平面的方程为 0=++D By Ax 因为平面过1M 、2M 两点,所以有 ?? ?=+-=+020D B A D A 解得D B D A -=-=,,以此代入所设方程并约去)0(≠D D ,便得到所求的 平面方程 01=-+y x 6.微分方程()043 ='-'+''y y y x y xy 的阶数是( D )。 微积分课后题答案习题 详解 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】 第二章 习题2-1 1. 试利用本节定义5后面的注(3)证明:若lim n →∞ x n =a ,则对任何自然数k ,有lim n →∞ x n +k =a . 证:由lim n n x a →∞ =,知0ε?>,1N ?,当1n N >时,有 取1N N k =-,有0ε?>,N ?,设n N >时(此时1n k N +>)有 由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞ =. 2. 试利用不等式A B A B -≤-说明:若lim n →∞ x n =a ,则lim n →∞ ∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ,说明 上述结论反之不成立. 证: 而 n n x a x a -≤- 于是0ε?>,,使当时,有N n N ?> n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-< 由数列极限的定义得 lim n n x a →∞ = 考察数列 (1)n n x =-,知lim n n x →∞不存在,而1n x =,lim 1n n x →∞ =, 所以前面所证结论反之不成立。 3. 利用夹逼定理证明: (1) lim n →∞ 2 22111(1) (2)n n n ??+++ ?+?? =0; (2) lim n →∞2!n n =0. 证:(1)因为 222 222111 112(1)(2)n n n n n n n n n n ++≤+++ ≤≤=+ 而且 21lim 0n n →∞=, 2lim 0n n →∞=, 所以由夹逼定理,得 22211 1lim 0(1)(2)n n n n →∞?? +++ = ?+? ? . (2)因为22222240!123 1n n n n n < =<-,而且4 lim 0n n →∞=, 大学数学A (1)课后复习题 第一章 一、选择题 1.下列各组函数中相等的是. …….. ……..…………………………………………………………………………………….( ) A .2 ln )(,ln 2)(x x g x x f == B .0 )(,1)(x x g x f == C .1)(,11)(2-=-?+= x x g x x x f D .2)(|,|)(x x g x x f == 2.下列函数中为奇函数的是. ……. …….. …………………………………………………………………………………….( ). A .)1ln()(2++=x x x f B .| |)(x e x f = C .x x f cos )(= D .1 sin )1()(2--= x x x x f 3.极限??? ? ?+++∞→22221lim n n n n n 的值为………………………………………………………………………..…….( ) A .0 B .1 C .2 1 D .∞ 4.极限x x x x sin lim +∞→的值为.. …….. ……..……………………………………………………………………………...…….( ) A .0 B .1 C .2 D .∞ 5.当0→x 时,下列各项中与 2 3 x 为等价无穷小的是…………………………………………………….( ) A .)1(3-x e x B .x cos 1- C .x x sin tan - D .)1ln(x + 6.设12)(-=x x f ,则当0→x 时,有…………………………………………………………………………..…….( ). A .)(x f 与x 是等价无穷小 B .)(x f 与x 同阶但非等价无穷小 C .)(x f 是比x 高阶的无穷小 D .)(x f 是比x 低阶的无穷小 7.函数)(x f 在点x 0可导是)(x f 在点x 0连续的____________条件. ………...………………....…..( ) A .充分不必要 B .必要不充分 C .充要 D .既不充分也不必要 8.设函数?? ? ??<≤--<≤≤≤-=01,110, 21,2)(2x x x x x x x f ,则下述结论正确的是……………………………………….( )高等数学课后习题及解答
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