9-2-1-图的存储结构-邻接矩阵表示法

第9章图

1

图的基本概念2

图的存储结构3图的遍历

4拓扑排序

5关键路径

6最小代价生成树7单源最短路径

PART TWO 图的存储结构

图的存储结构

?邻接矩阵表示法?邻接表表示法

邻接矩阵（Adjacency Matrix）是表示顶点之间相邻关系的矩阵。

设G=(V,E)是一个有n个顶点{0,1,2,……,n-1}的图，则G的邻接矩阵是具有如下性质的n阶方阵：

1若(u,v)或∈E

A[u][v]=

0否则

如果G是网，则邻接矩阵可以定义为：

w若(u,v)或∈E

A[u][v] = 0 若u = v

∞否则

其中w表示边上的权值，∞表示计算机允许的、大于所有边上权值的数。

(e) 有向图G 2的邻接矩阵

0 1 2 30 0 0 0 01 1 0 1 02 0 0 0 13 1 1 0 0

(b) 有向图G 2

1

3

2

1 1 5

(c) 网G 3

01

32

4

30

1

3

2(a) 无向图G 1

0 1 2 30 0 ∞∞∞1 4 0 5 ∞2 ∞∞0 33 1 1 ∞0

(f) 网G 3的邻接矩阵

(d) 无向图G 1的邻接矩阵

0 1 2 3

0 0 1 0 11 1 0 1 12 0 1 0 13 1 1 1 0

图的邻接矩阵表示定义如下：

typedef int ElemType;

typedef struct mgraph

{

ElemType**a;//动态二维数组，用于存储邻接矩阵int n;//图中的顶点数

int e;//图中的边数

ElemType noEdge;//两顶点间无边时的值

}mGraph;

1、初始化带权有向图

void Init (mGraph *mg, int nSize, ElemType noEdgeValue){

int i, j;

mg->n = nSize; //初始化顶点数mg->e = 0; //初始化边数

mg->noEdge =noEdgeValue; //初始化没有边时的取值mg->a =(ElemType**)malloc(nSize * sizeof(ElemType*)); for(i=0; in; i++) {

mg->a[i]= (ElemType*)malloc(nSize*sizeof(ElemType));for (j=0;jn;j++) mg->a[i][j]=mg->noEdge ;mg->a[i][i]=0;}}

算法步骤：

（1）初始化顶点数和边数；

（2）初始化两顶点间无边时的取值；（3）初始化动态二维数组。

2、撤销带权有向图

void Destroy (mGraph *mg){

int i;

for(i=0;in;i++)

free(mg->a[i]);//依次释放n 个一维数组的存储空间free(mg->a );//释放一维指针数组的存储空间}

算法步骤：

（1）依次释放n 个一维数组的存储空间；（2）释放一维指针数组的存储空间。

Status Exist (mGraph *mg,int u,int v){

if (u<0||v<0||u>mg->n-1||v>mg->n-1||u==v)return False;

else if (mg->a[u][v]!=mg->noEdge)return True;else

return False;}

3、边的搜索

算法步骤：

（1）判断输入参数是否有效。如果无效，

返回False ；

（2）否则，继续判断边是否已经存在。

如果存在，返回True; 否则，返回False 。

Status Insert (mGraph *mg,int u,int v,ElemType w){

if(u<0||v<0||u>mg->n-1||v>mg->n-1||u==v)return Error;

else if(mg->a[u][v]!=mg->noEdge)return Duplicate;//插入边已存在else

mg->a[u][v]=w;//插入新边mg->e ++;return OK;}

4．边的插入

算法步骤：

（1）判断输入参数是否有效。如果无效，

返回Error ；

（2）否则，继续判断边是否已经存在。

如果存在，返回Duplicate; 否则，插入新边；

（3）当前边数+1，返回OK 。

5. 边的删除

Status Remove (mGraph *mg, int u, int v){

if(u<0||v<0||u>mg->n-1||v>mg->n-1||u==v)return Error;

else if(mg->a[u][v] = = mg->noEdge) return NotPresent;else

mg->a[u][v]=mg->noEdge; //删除边mg->e --;return OK;}

算法步骤：

（1）判断输入参数是否有效。如果无效，

返回Error ；

（2）否则，继续判断边是否已经存在。

如果不存在，返回NotPresent ; 否则，删除边；

（3）当前边数-1，返回OK 。

邻接矩阵表示法的优缺点

优点：

（1）便于判断两个顶点之间是否有边，即根据A[u][v]=0或1来判断；

（2）便于计算各个顶点的度：

对于无向图，邻接矩阵第i行元素之和就是顶点i的度;

对于有向图，第i行元素之和就是顶点i的出度；第i列元素之和就是顶点i的入度。缺点：

（1）不便于统计边的数目。需要扫描邻接矩阵所有元素才能统计，时间复杂度为O(n2);（2）空间复杂度高。无论是有向图还是无向图，其空间复杂度均为O(n2)。

END