9.4.1 三阶行列式(含答案)

【课堂例题】

例1.用对角线法则计算下列行列式，并化简：

(1)3

022

323

-- (2)123

56789

例2.求证：a

d g

a g b

e h e b h c

i f

例3.利用行列式解方程组：632752215x y z x y z x y z ++=??

-+=??++=?

(选用)课堂练习

1.用对角线法则展开下列行列式，并化简：

(1)1

011111

11a

-+-；(2)000

a b c d e f

2.求关于,,x y z 的方程组1

3x y mz x my z m x y z ++=??

++=??-+=?

有唯一解的条件，在此条件下写出方程组的解.

【知识再现】

1.行列式1

223

a b c a b c a b c = . (按对角线法则展开)

2.关于,,x y z 的三元线性方程组111122223

333a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d

++=??

++=??++=?的系数行列式D =

若记

x D =

，

y D =

，

z D =

，

当D 时，方程有唯一解：x = ，y = ，z = . 【基础训练】

1.把下列行列式按对角线法则展开并求值:

(1)1

423

01-= = ； (2)1230

123

-= = . 2.

计算：2

=- . 3.按对角线法则展开下列行列式，并化简：

(1)0

00a b b

a a

b = = ； (2)000x

p q

= = . 4.已知齐次线性方程组1112223

330

00a x b y c z a x b y c z a x b y c z ++=??

++=??++=?，若系数行列式111

2233

0a b c a b c a b c ≠，则方程组的解是 .

5.用行列式解线性方程组：273514223x y z x y z x y z -+=??

-+=??--=?

6.利用三阶行列式，证明下列行列式的性质I ：

(只需证明“列”的情况，并且(1)(2)(3)只需证明一种情形，其余情况不必证明) (1)行列式A 的某一列(行)的元素全为0，则0A =； (2)行列式A 的两列(行)相同,则0A =；

(3)互换行列式A 的两列(行)，则行列式的值变为原来的相反数.

7.用行列式解关于,,x y z 的方程组x y z a x y z b x y z c -+=??

+-=??-++=?

【巩固提高】

8.已知1

223

0a b c a b c a b c =但它的所有元素均不为零且没有两行或两列的元素相同，试写出这样的一个行列式．(课堂例题中出现过的行列式不得使用)

9.当a 为何值时，关于,,x y z 的三元一次方程组2112x y z x y az x ay a z ?++=?

++=??++=?

有唯一解？

在此条件下写出该方程组的解.

(选做)10.阅读题：余子式与代数余子式

以三阶行列式11

1213

222331

a a a a a a a a a 为例，划去第i 行第j 列的的全部元素后，剩余元素所构成的二阶行列式称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，例：21a 的余子式12132132

a a M a a =，

把(1)

i j

ij M +-称为元素ij a 的代数余子式，记为ij A ，例：21a 的代数余子式212121(1)A M +=-.

(1)写出23a 的余子式与代数余子式； (2)求证： 11

1213

11112121313121

222331

a a a a A a A a A a a a a a a ?+?+?=； 1112212231320a A a A a A ?+?+?=； (3)模仿(2)再写出两个相仿的等式.

【温故知新】

11.线性方程组273514223x y z x y z x y z -+=??

-+=??--=?

用矩阵乘法可以表示为 .

【课堂例题答案】例1.(1)-40 (2)0

例2.证：左=aei dhc bfg ceg afh bdi ++---，

右=()dbi ahf ecg fbg dch aei -++---aei dhc bfg ceg afh bdi =++---=左证毕例3.1,2,3x y z === 【课堂练习答案】 1.(1)2

a a + (2)adf

2.1m ≠±时有唯一解：34

4,,11

m x y z m m -===-++ 【知识再现答案】

1.123231312321132213a b c a b c a b c a b c a b c a b c ++---

2.1

111111111112

22222

222

223

333

,,,x y z a b c d b c a d c a b d D a b c D d b c D a d c D a b d a b c d b c a d c a b d ==== 0,

,,y x z

D D D D D D

≠ 【习题答案】

1.(1)141322(1)03343102(1)21??+??+-??-??-??--??，-18 (2)1113(2)20333131230(2)1??+?-?+??-??-??-?-?，-26

2.0

3.(1)000000a b b a a b a a a b b b ??+??+??-??-??-??，3

a b -- (2)00000x z r p y q p z x q a y r ??+??+??-??-??-??，xzr

4.000x y z =??

=??=? 5.213x y z =??

=-??=?

6.证：(1)1

222331122132133

00000000b c b c b c b c b c b c b c b c b c =?+?+?-?-?-?= (2) 1

221232313123211322133330a a c a a c a a c a a c a a c a a c a a c a a c a a c =++---= (3) 1

221232313123211322132223

a c

b a b

c a c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a b c a c b a b c =++---=- 证毕 7.,,222

a b b c a c x y z +++=

关于行列式的计算方法8页word文档

行列式的计算方法综述目录 1.定义法（线性代数释疑解难参考） 2.化三角形法（线性代数释疑解难参考） 3.逐行（列）相减法（线性代数释疑解难参考） 4.升降法（加边法）（线性代数释疑解难参考） 5.利用范德蒙德行列式（线性代数释疑解难参考） 6.递推法（线性代数释疑解难参考） 7.数学归纳法（线性代数释疑解难参考） 8.拆项法（课外辅导书上参考） 9.换元方法（课外辅导书上参考） 10.拆因法（课外辅导书上参考）线性代数主要内容就是求解多元线性方程组，行列式的计算其中起重要作用。下面由我介绍几种常见的计算行列式的方法： 1.定义法由定义看出，n级行列式有!n个项。n较大时，!n是一个很大的数字。直接用定义来计算行列式是几乎不可能的事。但在n级行列式中的等于零的项的个数较多时，它展开式中的不等于零的项就会少一些，这时利用行列式的定义来计算行列式较方便。例1.算上三角行列式解：展开式的一般项为同样，可以计算下三角行列式的值。 2.化三角形法画三角形法是先利用行列式的性质将原行列式作某种保值变形，化为上

第１页（下）三角形行列式，再利用上（下）三角形行列式的特点（主对角线上元素的乘积）求出值。例2.计算解：各行加到第一行中把第二列到第n 列都分别加上第一列的()1-倍，有 3.逐行（列）相减法有这样一类行列式，每相邻两行（列）之间有许多元素相同，且这些相同元素都集中在某个角上。因此可以逐行（列）相减的方法化出许多零元素来。例3.计算n 级行列式解：从第二行起，每一行的()1-倍都加上上一行，有上式还不是特殊三角形，但每相邻两行之间有许多相同元素()10或，且最后一行有()1n -元素都是x 。因此可再用两列逐列相减的方法：第()1n -列起，每一列的()1-倍加到后一列上 4.升降法（加边法）升降法是在原行列式中再添加一列一行，是原来的n 阶成为()1n +阶，且往往让()1n +阶行列式的值与原n 阶行列式的值相等。一般说，阶数高的比阶数低的计算更复杂些。但是如果合理的选择所添加的行，列元素，是新的行列式更便于“消零”的话，则升降后有利于计算行列式的值。例4.计算n 级行列式

n阶行列式的计算方法

n 阶行列式的计算方法徐亮（西北师大学数信学院数学系， 730070 ）摘要：本文归纳总结了n 阶行列式的几种常用的行之有效的计算方法，并举列说明了它们的应运．关键词：行列式，三角行列式，递推法，升降阶法，得蒙行列式 The Calculating Method of the N-order Determinant Xu Liang (College o f M athematics and Information Scien ce ，North west Normal Uni versit y ， Lanzhou 730070，Gansu ，Chin a ) Abstract:This paper introduces some common and effective calculating methods of the n-order determinant by means of examples. Key words: determinant; triangulaire determinant; up and down order; vandermonde determinant 行列式是讨论线形方程组理论的一个有力工具，在数学的许多分支中都有这极为广泛的应用，是一种不可缺少的运算工具，它是研究线性方程组，矩阵，特征多项式等问题的基础，熟练掌握行列式的计算是非常必要的．行列式的计算问题多种多样，灵活多变，需要有较强的技巧．现介绍总结的计算n 阶行列式的几种常用方法． 1．定义法应用n 阶行列式的定义计算其值的方法，称为定义法．根据定义，我们知道n 阶行列式 12121211 12121222() 1212(1)n n n n n j j j j j nj j j j n n nn a a a a a a a a a a a a π= -∑ L L L L L M M L M L ．

#行列式的计算方法 (1)

计算n 阶行列式的若干方法举例 1．利用行列式的性质计算例：一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-= 则称D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2, ,ii a i n == 故行列式D n 可表示为1213112 23213 233123000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -=-----，由行列式的性质A A '=，1213112 23213 23312300 00 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -----=-12131122321323312300( 1)0 n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -=------(1)n n D =- 当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0. 2．化为三角形行列式例2 计算n 阶行列式123123 1 23 1 2 3 1111n n n n a a a a a a a a D a a a a a a a a ++=++．解这个行列式每一列的元素，除了主对角线上的外，都是相同的，且各列的结构相似，因此n 列之和全同．将第2，3，…，n 列都加到第一列上，就可以提出公因子且使第一列的元素全是1． [][]()()()()()()122323122 3231223231122 3 2 3 211 12, ,2,,11 111 1 1111 1111 11 1n n n n n n n n n i n i n n n n i i i i i n i n a a a a a a a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ==+-==+++ +++++++??+++++=++ ??? +++ +++?? + ??? ∑∑3110100 111 . 00100 1 n n n i i i i a a a ==?? =+=+ ??? ∑∑

(完整版)行列式的计算方法(课堂讲解版)

计算n 阶行列式的若干方法举例 n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法，并举例说明。 1．利用行列式定义直接计算例计算行列式 0 0100200 1000000n D n n =-L L M M M M L L 解 D n 中不为零的项用一般形式表示为 112211!n n n nn a a a a n ---=L . 该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2) 2 n n --，故(1)(2) 2 (1) !.n n n D n --=- 2．利用行列式的性质计算例：一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-=L 则称D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2,,ii a i n ==L 故行列式D n 可表示为1213112 23213 2331230000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -=-----L L L L L L L L L ，由行列式的性质A A '=，1213112 23213 2331230000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -----=-L L L L L L L L L 12131122321323312300(1)00 n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -=------L L L L L L L L L (1)n n D =- 当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0.

行列式的计算技巧与方法总结

行列式的几种常见计算技巧和方法 2.1 定义法适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时，计算量大，有一定的局限性．例1 计算行列式 00400300200 1000. 解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有244=！项，但由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少．具体的说，展开式中的项的一般形式是43214321j j j j a a a a ．显然，如果41≠j ，那么011=j a ，从而这个项就等于零．因此只须考虑41=j 的项，同理只须考虑 1,2,3432===j j j 的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有 41322314a a a a ，而()64321 =τ，所以此项取正号．故 0 04003002001000 =()()241413223144321=-a a a a τ. 2.2 利用行列式的性质即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.该方法适用于低阶行列式． 2.2.1 化三角形法上、下三角形行列式的形式及其值分别如下：

nn n n n a a a a a a a a a a a a a 2211nn 333223221131211000000=，nn nn n n n a a a a a a a a a a a a a 221132 1 33323122211100 00 00=. 例2 计算行列式n n n n b a a a a a b a a a a ++= + 21 211211n 1 11 D . 解析：观察行列式的特点，主对角线下方的元素与第一行元素对应相同，故用第一行的()1-倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零．即：化为上三角形．解：将该行列式第一行的()1-倍分别加到第2,3…（1n +）行上去，可得 1 21n 11210000D 0 n n n a a a b b b b b += = . 2.2.2 连加法这类行列式的特征是行列式某行（或列）加上其余各行（或列）后，使该行（或列）元素均相等或出现较多零，从而简化行列式的计算．这类计算行列式的方法称为连加法．

【对应线代】行列式计算7种技巧7种手段

行列式计算7种技巧7种手段【说明】行列式是线性代数的一个重要研究对象,是线性代数中的一个最基本,最常用的工具,记为det(A).本质上,行列式描述的是在n 维空间中,一个线性变换所形成的平行多面体的体积,它被广泛应用于解线性方程组,矩阵运算,计算微积分等.鉴于行列式在数学各领域的重要性,其计算的重要性也不言而喻,因此,本人结合自己的学习心得,将几种常见的行列式计算技巧和手段归纳于此,供已具有行列式学习基础的读者阅读一7种技巧: 【技巧】所谓行列式计算的技巧,即在计算行列式时,对已给出的原始行列式进行化简,使之转化成能够直接计算的行列式,由此可知,运用技巧只能化简行列式,而不能直接计算出行列式技巧1:行列式与它的转置行列式的值相等,即D=D T 111211121121222122221 2 12n n n n n n nn n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a = 技巧2:互换行列式的任意两行(列),行列式的值将改变正负号 111212122221222111211 2 1 2 n n n n n n nn n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a =- 技巧3:行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面 1111121111121221 222 22212221 1 2 1 2 n n n n n n i n n n n n nn n n nn b a b a b a a a a b a b a b a a a a b b a b a b a a a a ==∏ 技巧4:行列式具有分行(列)相加性 11121111211112111 22 1 2121 2 1 2 1 2 n n n t t t t tn tn t t tn t t tn n n nn n n nn n n nn a a a a a a a a a b c b c b c b b b c c c a a a a a a a a a +++=+ 技巧5:将行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数k 后加到另一行(列)对应的元素上,行列式的值不变

行列式的计算方法课堂讲解版

计算n 阶行列式的若干方法举例 n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法，并举例说明。 1．利用行列式定义直接计算例计算行列式 00100 200 1 0000 00n D n n = - 解 D n 中不为零的项用一般形式表示为 112211!n n n nn a a a a n ---=. 该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2) 2 n n --，故(1)(2) 2 (1) !.n n n D n --=- 2．利用行列式的性质计算例：一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2, ,,ij ji a a i j n =-= 则称D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2, ,ii a i n == 故行列式D n 可表示为1213112 23213 233123000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -=-----，由行列式的性质A A '=，1213112 23213 233123000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -----=-12131122321323312300(1)0 n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -=------(1)n n D =- 当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0. 3．化为三角形行列式

【原创】行列式计算7种技巧7种手段

行列式计算7种技巧7种手段编者:Castelu 【编写说明】行列式是线性代数的一个重要研究对象,是线性代数中的一个最基本,最常用的工具,记为det(A).本质上,行列式描述的是在n 维空间中,一个线性变换所形成的平行多面体的体积,它被广泛应用于解线性方程组,矩阵运算,计算微积分等.鉴于行列式在数学各领域的重要性,其计算的重要性也不言而喻,因此,本人结合自己的学习心得,将几种常见的行列式计算技巧和手段归纳于此,供已具有行列式学习基础的读者阅读一.7种技巧: 【技巧】所谓行列式计算的技巧,即在计算行列式时,对已给出的原始行列式进行化简,使之转化成能够直接计算的行列式,由此可知,运用技巧只能化简行列式,而不能直接计算出行列式技巧1:行列式与它的转置行列式的值相等,即D=D T 111211121121222122221 212n n n n n n nn n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a = 技巧2:互换行列式的任意两行(列),行列式的值将改变正负号 111212122221222111211 21 2n n n n n n nn n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a =- 技巧3:行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面 111112111112122122222212221 121 2n n n n n n i n n n n n nn n n nn b a b a b a a a a b a b a b a a a a b b a b a b a a a a == ∏ 技巧4:行列式具有分行(列)相加性 11121111211112111221 21 21 2 1 21 2n n n t t t t tn tn t t tn t t tn n n nn n n nn n n nn a a a a a a a a a b c b c b c b b b c c c a a a a a a a a a +++=+ 技巧5:将行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数k 后加到另一行(列)对应的元素上,行列式的值不变

(完整版)行列式的计算方法总结

行列式的计算方法总结: 1. 利用行列式性质把行列式化为上、下三角形行列式. 2. 行列式按一行(一列)展开,或按多行(多列)展开(Laplace 定理). 几个特别的行列式: B A B C A B C A == 0021 , B A B A D D B A mn )1(0 021 -== ,其中B A ,分别是n m ,阶的方阵. 例子: n n a b a b a b b a b a b a D 22O N N O = , 利用Laplace 定理,按第1,+n n 行展开,除2级子式 a b b a 外其余由第1,+n n 行所得的2级子式均为零. 故222222112)()1(--+++++-=-= n n n n n n n D b a D a b b a D ,此为递推公式,应用可得 n n n n b a D b a D b a D )()()(224222222222-==-=-=--Λ. 3. 箭头形行列式或者可以化为箭头形的行列式. 例:n n n n n n n a x x a a x x a a x x a a a a x x a a a a x a a a a x a a a a x ------=Λ ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ ΛΛΛΛΛΛΛΛ00 000 01 133112 2113213 21321 321321 -----(倍加到其余各行第一行的1-) 100 101010 011)(3 332 221 111 Λ ΛΛΛΛΛΛΛΛ-------? -=∏=n n n n i i i a x a a x a a x a a x x a x --------(每一列提出相应的公因子i i a x -) 1 001000 010)(3 332 222111 1 Λ ΛΛΛΛΛΛΛΛn n n n i i i i n i i i a x a a x a a x a a x a a x x a x ----+-? -=∑∏== --------(将第n ,,3,2Λ列加到第一列)

特殊行列式与行列式计算方法总结

特殊行列式及行列式计算方法总结一、几类特殊行列式 1. 上（下）三角行列式、对角行列式（教材P7例5、例6） 2. 以副对角线为标准的行列式 11112112,1 221222,11,21,1 1,11 2 ,1 (1)2 12,11 000000 0000 0000 (1) n n n n n n n n n n n nn n n n n n nn n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---------===-L L L L L L M M M M M M M M M N L L L L 3. 分块行列式（教材P14例10）一般化结果： 00n n m n n m n m m n m m n m A C A A B B C B ????= =? 0(1)0n m n n m n mn n m m m n m m n A C A A B B C B ????= =-? 4. 范德蒙行列式（教材P18例12）注：4种特殊行列式的结果需牢记！以下几种行列式的特殊解法必须熟练掌握！！！二、低阶行列式计算二阶、三阶行列式——对角线法则（教材P2、P3）三、高阶行列式的计算【五种解题方法】 1) 利用行列式定义直接计算特殊行列式； 2) 利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式； 3) 利用行列式的行（列）扩展定理以及行列式的性质，将行列式降阶进行计算 ——适用于行列式的某一行或某一列中有很多零元素，并且非零元素的代数余子式很容易计算； 4) 递推法或数学归纳法； 5) 升阶法（又称加边法）

行列式计算的若干种方法讲解

中南民族大学毕业论文(设计) 学院: 数学与统计学学院专业: 统计学年级:2008 题目: 行列式计算的若干方法学生姓名: 曹金金学号:08067005

指导教师姓名: 汪宝彬职称:讲师 2012年4月30日

中南民族大学本科毕业论文（设计）原创性声明本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果.除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品.本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担. 作者签名：年月日

目录摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Key words (1) 1 引言 (2) 2.1排列 (2) 2.2行列式的定义 (2) 2.2.1 二阶、三阶行列式 (2) 2.2.2 n阶行列式的定义 (3) 2.2.3 几种特殊的行列式的定义 (3) 2.3 行列式的基本性质 (5) 3几种常见的行列式的计算方法 (6) 3.1利用行列式定义直接计算 (6) 3.2 利用行列式的性质计算 (6) 3.3 三角化法 (7) 3.4 降阶法 (8) 3.5利用范德蒙德行列式求解 (10) 3.6 数学归纳法 (11) 3.7 拆项法 (12) 3.8析因子法 (13) 3.9 加边法(升阶法) (13) 3.10递推公式法 (14) 3.11超范德蒙行列式法 (15) 3.12利用分块计算行列式 (16) 4 结论 (16) 致谢 (17) 参考文献 (17)

行列式计算的若干方法摘要：在线性代数中,行列式的求解是非常重要的. 本文首先介绍行列式的定义与性质；然后通过实例给出了计算行列式的几种方法.从文中可以看出，选择合适的计算方法可有效的计算行列式. 关键词：行列式；性质；计算方法 Some Methods of Determinant Calculation Abstract: Determinant plays an important role in the linear algebra. In this paper we first introduce the definition and properties of determinant. Then several methods of the calculation are given by some examples. It can be seen from the paper that choose the appropriate calculation method can efficiently compute the determinant. Key words: determinant; property; the calculation methods

关于行列式的一般定义与计算方法

关于行列式的一般定义和计算方法 n 阶行列式的定义 n 阶行列式 nn n n n n a a a a a a a a a 2 122221112 11= n n n j j j nj j j j j j a a a 21212121) ()1( 2 N 阶行列式是 N ! 项的代数和; 3、N 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列N 个元素的乘积; 特点:(1)(项数)它是3!项的代数和; (2)(项的构成)展开式中的每一项都是取自行列式不同行不同列的三个元素之积. 其一般项为: (3)(符号规律)三个正项的列标构成的排列为123,231,312. 它们都是偶排列; 三个负项的列标构成的排列为321,213,132, 它们都是奇排列. § 行列式的性质性质1：行列式和它的转置行列式的值相同。 32 2311332112312213a a a a a a a a a 32 21133123123322113332 31 232221 13 1211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a D （1

即 nn n n n n a a a a a a a a a 2 122221112 11= nn n n n n a a a a a a a a a 212221212111；行列式对行满足的性质对列也同样满足。性质2 互换行列式的两行（列），行列式的值变号. 如: D=d c b a =ad-bc , b a d c =bc-ad= -D 以r i 表第i 行，C j 表第j 列。交换 i ,j 两行记为r j i r ,交换i,j 两列记作C i C j 。性质3：如果一个行列式的两行（或两列）完全相同，那么这个行列式的值等于零。性质4：把一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素同乘以某一个常数k 的结果等于用这个常数k 乘这个行列式。（第i 行乘以k ，记作r i k ）推论1：一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素的公因式可以提到行列式符号的前面。推论2：如果一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素都为零，那么行列式值等于零。推论3：如果一个行列式的某二行（或某二列）的对应元素成比例，那么行列式值等于零。性质5：如果行列式D 的某一行（或某一列）的所有元素都可以表成两项的和，那么行列式 D 等于两个行列式 D 1 和 D 2 的和。

行列式的计算方法

行列式的计算方法摘要：线性代数主要内容就是求解多元线性方程组，行列式产生于解线性方程组,行列式的计算是一个重要的问题。本文依据行列式的繁杂程度，以及行列式中字母和数字的特征，给出了计算行列式的几种常用方法：利用行列式的定义直接计算、化为三角形法、降阶法、镶边法、递推法，并总结了几种较为简便的特殊方法：矩阵法、分离线性因子法、借用“第三者”法、利用范德蒙德行列式法、利用拉普拉斯定理法，而且对这些方法进行了详细的分析，并辅以例题。关键词：行列式矩阵降阶 The Methods of Determinant Calculation Abstract：Solving multiple linear equations is the main content of the linear algebra, determinants produced in solving linear equations, determinant calculation is an important issue.This article is based on the complexity degree of the determinant, and the characteristics of letters and numbers of the determinant ,and then gives several commonly used methods to calculate the determinant: direct calculation using the definition of determinant, into the triangle, reduction method, edging method , recursion, and summarizes several relatively simple and specific methods: matrix, linear separation factor method, to borrow "the third party" method, using Vandermonde determinant method, using Laplace theorem,also analyze these methods in detail,and supported by examples. Keywords:determinant matrix reduction. 1．引言线性代数主要内容就是求解多元线性方程组，行列式产生于解线性方程组,

三阶行列式展开

9.4 （2）三阶行列式按一行（或一列）展开一、教学内容分析三阶行列式按一行（或一列）展开是三阶行列式计算的另外一种法则，学习这种法则有助于学生更好地理解二阶行列式、三阶行列式的内在联系，同时这个法则也是较复杂的行列式计算的常用方法，这个法则更是蕴涵了数学问题研究过程中将复杂问题转化为简单问题的研究方法.本节课的教学内容主要围绕代数余子式的符号的确定研究三阶行列式按一行（或一列）展开法则. 二、教学目标设计 ⑴ 掌握余子式、代数余子式的概念； ⑵ 经历实验、分析的数学探究，逐步归纳和掌握代数余子式的符号的确定方法和三阶行列式按一行（或一列）展开方法，体验研究数学的一般方法； ⑶体会用简单（二阶行列式）刻画复杂（三阶行列式）、将复杂问题简单化的数学思想. 三、教学重点及难点三阶行列式按一行（或一列）展开、代数余子式的符号的确定. 四、教学过程设计一、情景引入【实验探究1】（1）将下列行列式按对角线展开：（2）对比、分析以上几个行列式的展开式，你能将三阶行列式［说明］ b 2 C 2 b 3 C 3 & 93 C 2 C 3 b i b 2 q C 2 92 b 2 33 b 3 b i C i b 3 C 3 a i b i a 2 b 2 93 b 3 C i C 2 C 3 a i a 2 a 3 b i c i b 2 C 2表示成含有几个二阶行列式运算的式子吗? b 3 C 3

a 3 b s C 3 (i)请学生展开几个行列式的主要目的是：巩固复习前面学习的知识；同时，有意识地设计这几个行列式的展开，有助于学生发现三 a i b i C, a ? b ? C ? a 3 b 3 C 3 请同学生选择其中的一个为例谈谈他们是如何发现这些等式的？ a i bl C i 开式 a 2 b 2 C 2 a i b 2C 3 a zd c, a s b? a s b ?? a z b? a i b s C ?变形为: 与相应的二阶行列式间的关系. 阶行列式 (2)将二阶行列式 a i a ? a 3 b i b ? b 3 C i C ? C 3 a i b i C i 表示成几个含有二阶行列式运算的式子，结果可能不唯一，可以有a 2 b 2 C 2 a i a 3 b 3 C 3 b ? C ? b 3 C 3 b i a 2 a 3 C 2 C 3 C i a ? b ? a 3 b 3 等等. 二、学习新课 1.知识解析在刚才的实验中，将三阶行列式阶行列式运算的式子，主要有: a i a 2 a 3 b i C i b ? C ?表示成了含有三个二 b 3 C 3 a i a ? a 3 a i a 2 a 3 a i a ? a 3 b i C i b ? C ? b 3 C 3 b i C i b ? C ? b 3 C 3 b i C i b ? C ? b 3 C 3 b ? C ? b i a ? C ? a ? b ? a i b 3 C 3 a 3 C 3 C i a 3 b 3 b ? C ? bl C i b i C i a i b 3 C 3 a ? a 3 C 3 a 3 b ? C ? a ? C ? a i C i a i C i b ? b 3 a 3 C 3 a 3 C 3 a ? C ? 等等. 事实上，以 ai a 2 a 3 bl b 2 b 3 C i C ? C 3 a i b ? b 3 C 2 C 3 bl a 2 a 3 C 2 C 3 C i a ? b ? a 3 b 3 为例，先将展 b

行列式的几种求法

行列式的求法有多种，以下简单进行总结。一、逆序定义法行列式的逆序法定义如下： 1212121112121222(,,......,)12,,......,1 2(1)......n n n n n j j j j j nj j j j n n nn a a a a a a a a a a a a τ= -∑ 这里，12,,......,n j j j 为1,2,...,n 的任一排列，12(,,......,)n j j j τ为该排列的逆序数，求和是对所有的排列求的，因此，该和式一共有!n 项，每项都是n 个数相乘，并得计算逆序数，计算量巨大。因此，一般而言，逆序法定义具有理论上研究的意义，而比较少用于求行列式。但是，如果行列式的项中有大量的0，那么用逆序法计算可能会很简单。以下举例如下：例1：求 11 22 nn a a a 。解答： 12121211 22 (,,......,)12,,......,(1)......n n n j j j j j nj j j j nn a a a a a a τ= -∑ 只当11j =，22j =，……，n j n =，其项才可能非零。因此， 11 22 (1,2,......,)01,12,2,1,12,2,1,12,2,(1)......(1)............n n n n n n n nn a a a a a a a a a a a a τ=-=-= 例2、求 1 2 n d d d 。解答： 1212121 2 (,,......,)12,,......,(1)......n n n j j j j j nj j j j n d d a a a d τ= -∑ 只当1j n =，21j n =-，……，1n j =，其项才可能非零。因此，

行列式计算方法归纳总结

数学与统计学学院中期报告学院: 专业: 年级: 题目: 学生姓名: 学号: 指导教师姓名职称: 年月日

目录 1 引言 (1) 2行列式性质 (2) 3行列式计算方法 (6) 3.1定义法 (6) 3.2递推法 (9) 3.3化三角法 (9) 3.4拆元法 (11) 3 .4加边法 (12) 3.6数学归结法 (13) 3.7降价法 (15) 3.8利用普拉斯定理 (16) 3.9利用范德蒙行列式参考文献....................................................................................................... 错误！未定义书签。8

行列式的概念及应用摘要：本文先列举行列式计算相关性质，然后归纳总结出行列式的方法，包括：定义法，化三角法，递推法，拆元法，加边法，数学归结法，降价法，利用拉普拉斯定理，利用范德蒙行列式。关键词：行列式；线性方程组；范德蒙行列式 The concept and application of determinant Summary: This article lists calculated properties of determinants, and then sum up the determinant method, including: Definition, triangulation, recursive method, remove method, bordered by, mathematical resolution method, cut method, using Laplace theorem, using the vandermonde determinant. Keywords: determinant;Linear equations;;Vandermonde determinant 1 引言行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的。行列式的提出可以追溯到十七世纪，最初的雏形由日本数学家关孝和与德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨各自独立得出，时间大致相同。日本数学家关孝和提出来的，他在1683年写了一部名为解伏题之法的著作，意思是“解行列式问题的方法”，书中对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。欧洲第一个提出行列式概念的是德国数学家，微积分学奠基人之一莱布尼茨。十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，出现了线性自同态和向量组的行列式的定义。

三阶行列式

9.4（1）三阶行列式一、教学内容分析三阶行列式是二阶行列式的后继学习，也是后续教材学习中一个有力的工具．本节课的教学内容主要围绕三阶行列式展开的对角线法则进行，如何理解三阶行列式展开的对角线法则和该法则的应用是本节课的重点内容．二、教学目标设计经历观察、比较、分析、归纳的数学类比研究，从二阶行列式的符号特征逐步形成三阶行列式的符号特征，从二阶行列式展开的对角线法则逐步内化形成三阶行列式展开的对角线法则，感悟类比思想方法在数学研究中的应用．三、教学重点及难点三阶行列式展开的对角线法则、三阶行列式展开的对角线法则形成的过程．四、教学用具准备可以计算三阶行列式值的计算器五、教学流程设计六、教学过程设计

一、情景引入 1．观察 (1)观察二阶行列式的符号特征： 13 25 02 31 - 612 711 - a b c d (2)观察二阶行列式的展开式特征： 13 112321=?-? 02 013(2)31-=?-?- 612 6(11)712711 =?--?- a b a d c b c d =?-? 2．思考 (1)二阶行列式算式的符号有哪些特征？ (2)你能总结一下二阶行列式的展开式有哪些特征吗？ [说明] (1)请学生观察二阶行列式的符号特征，主要是观察二阶行列式有几个元素，这几个元素怎么分布？从而可以类比得到三阶行列式的符号特征． (2)请学生观察和总结二阶行列式的展开式特征，可以提示学生主要着力于以下几个方面： ① 观察二阶行列式的展开式有几项？ ② 二阶行列式的展开式中每一项有几个元素相乘；这几个元素在行列式中的位置有什么要求吗？ ③ 二阶行列式的元素在其展开式中出现了几次？每个元素出现的次数一样吗？二、学习新课 1．新课解析【问题探讨】结合情景引入的两个思考问题，教师可以设计一些更加细化的问题引导学生发现二阶行列式的符号特征以及二阶行列式的展开式特征，从而类比得到三阶行列式相应特征．比如教师可以设计如下几个问题：问题一，通过学习和观察，我们发现二阶行列式就是表示四个数(或式)的特定算式，这四个数分布成两行两列的方阵，那么三阶行列式符号应该有怎么样的特征呢？

几种特殊类型行列式及其计算

1行列式的定义及性质 1.1定义[3] n级行列式 a 11 a12 (1) a 21 I-a22… a a 2n a a n1 a n2…a nn n元素的乘积的屜…a% （1）的代数和,这里jj…j n是1,2/ ,n的一个排列,每一项（1）都按下列规则带有符号：当jj…j n是偶排列时,⑴带正号，当j l j2…j n 是奇排列时,（1）带有负号.这一定义可写成 an a12 a1n a 21 a22 (2) I-a=无（-1F 山压）?…a nj j1 j2…j n a n1 a n2 a nn 这里V 表示对所有n级排列求和. j1 j2 ■ j n 1.2性质[4] 性质1.2.1行列互换，行列式的值不变. 性质1.2.2某行（列）的公因子可以提到行列式的符号外. 性质1.2.3如果某行（列）的所有元素都可以写成两项的和,则该行列式可以写成两行列式的和；这两个行列式的这一行（列）的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行（列）与原行列式相同. 性质1.2.4两行（列）对应元素相同,行列式的值为零. 性质1.2.5两行（列）对应元素成比例，行列式的值为零. 性质1.2.6某行（列）的倍数加到另一行（列）对应的元素上,行列式的值不变. 性质1.2.7交换两行（列）的位置,行列式的值变号. 等于所有取自不同行不同列的个

2行列式的分类及其计算方法 2.1箭形（爪形）行列式这类行列式的特征是除了第1行（列）或第n 行（列）及主（次）对角线上元素外的其他元素均为零，对这类行列式可以直接利用行列式性质将其化为上（下）三角形行列式来计算?即利用对角元素或次对角元素将一条边消为零. 例1计算n 阶行列式 a 1 1 ■ ■ .L 1 1 a 2 0 0 D n = 1 0 a 3… 0 （&2&3…a n 式0） 1 0 … a n 2.2两三角型行列式这类行列式的特征是对角线上方的元素都是 c,对角线下方的元素都是b 的行列式，初看, 这一类型似乎并不具普遍性，但很多行列式均是由这类行列式变换而来，对这类行列式，当 b 二 c 时可以化为上面列举的爪形来计算，当 b = c 时则用拆行例）法［9］来计算. 例2计算行列式将第一列减去第二列的丄倍，第三列的丄倍…第n 列的 a 2 a 3 倍，得 1 a i - a 2 1 1 a 2 0 a 3 0 0 a n n =''a i i =2 n *1 ' ■- i=2 丄 a i 丿