常微分方程的应用

常微分方程的应用及数学建模的重要性

在大二的上学期，我们学习了常微分方程这门课，通过这门课我们简单的学习了常微分方程的概念、解法、和其它一些简单的理论，对常微分方程有了初步的认识和了解，也学会了一些类型的常微分方程的解法。

在数学的应用中微分方程是一个活跃的分支，许多自然科学的定律可以通过微分方程得到精确的表达(例如牛顿的第二运动定律)。实际上，微分方程的应用已深入到许多学科之中。通过一些资料我们了解到了常微分方程的发展历史：20世纪以来，随着大量的边缘科学诸如电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、地下水动力学等等的产生和发展，也出现不少新型的微分方程（特别是方程组）。70年代随着数学向化学和生物学的渗透，出现了大量的反应扩散方程。

而常微分方程在数学建模中的应用我们有如下想一

在数学建模中，数学模型的建立尤为重要，只有建

立了模型，才能进行其他的工作。常微分作为数学科学的中心学科，已经有300多年的历史，其解法和理论一日臻完善，可以为分析和求得方程的解提供足够的方法，使得微分方程模型具有很大的普遍性，有效性和非常丰富的数学内涵，微分方程建模对于许多实际问题的解决时一种极

有效的数学手段。对于实际世界的变化，人们关注的往往是其变化速度`加速度以及所处位置随时间变化的发展规律，其规律一般可以用微分方程或方程组来表示。二

我们在建模时首先要根据建模目的和对问题的具体分析作出简化假设，然后对照对象内在的或可以类比的其他对象的规律列出微分方程，求出方程的解并将结果翻译回实际对象，就可以进行描述`分析，及预测和控制了。下面将举例子来说明。

例 1 现有每公升含有0.3千克食盐的水溶液，以

每分钟2公升的速度将其连续注入盛有10公升纯水的容器里，溶液到容器里经过稀释后又以同样的速度自容器里流出，问，经过5分钟后容器里将剩有多少食盐？

解：

把时间t取作自变量，二把实验开始后经过t分钟时容器里食盐的数量取作未知数y （t）。我们来求出在时刻t到t+△t这段时间内食盐的变化量是多少。

注入过程：在这2△t公升中含有0.3*2△t=0.6△t千克的食盐。

流出过程：如果在△t时间内容器中所含的食盐数量不变，流出2△t公升的溶液中

将含有y（t）/（2△t）=0.2

△ty（t）千克的食盐。但是在这段时间里当△t→0时，它

变成一个无穷小量，那么在流出的溶液中将含有0.2△t （（t）+a）千克的食盐，

其中当△t→0时a→0，于是在这段时间内食盐的增量为

y（t+△t）-y（t）=0.6△t-0.2△t*（y（t）+a）除以△t，并且当△t→0时取极限。

我们有微分方程y’（t）=0.6-0.2y（t）

解这个方程，得

y（t）=3-Ce^(-0.2t).

当t=0时容器里没有食盐，所以y（0）=0.所以C=3，即 y（t）=3-3e^(-0.2t)

当t=5时，容器中将有

y（5）=3-3e^(-0.2*5)=3-3e^(-1)≈1.9千克的食盐.

通过上面简单的例子,可以看出,常微分在解题中的重要性,,下面在举个较为复杂典型

的建模题.

例2 试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型解假设在某一时刻t,商品的

价格为p(t),它与该商品的均衡价格间有差别,此时,存在供需差,此供需差促使价格变动.

对新的价格,又有新的供需差,如此不断调节,就构成市场价格形成的动态过程,假设价格

p(t)的变化率dp

dt与需求和供给之差成正比,

并记f(p,r)为需求函数,g(p)为供给函数（r为参数）,于是

，，

其中p为商品在时刻的价格为正常数. 0

若设则上式变为

①

其中a,b,c,d均为正常数,其解为

，，

下面对所得结果进行讨论:

（1）设p为静态均衡价格 ,则其应满足

, 即

于是得

从而价格函数p(t)可写为

令取极限得

这说明,市场价格逐步趋于均衡价格.又若初始价格p0,则动态价格就维持在均衡

价格p上,整个动态过程就化为静态过程；

（2）由于

所以,当p0

时单调下降向p靠拢；当时单调增加向p靠拢.这说明：初始价格高于均衡价格时,动态价格就要逐步降低,且逐步靠近均衡价格;否则,动态价格就要逐步升高.因此,式①在一定程度上反映了价格影响需求与供给,而需求与供给

反过来又影响价格的动态过程,并指出了动态价格逐步向均衡价格靠拢的变化趋势.

以上两个例子说明我们从剖析模型到具体解题,都在利用常微分的知识.

随着人类的进步，科技的发展和社会的日趋数字化，应用领域越来越广泛，人们身边的数学内容越来越丰富。强调数学应用及培养应用数学意识对生活及学习以及日和工作意义十分巨大。数学建模在数学教育中的地位被提高到了新的高度，通过数学建模解数学应用题，将提高学生的综合素质。利用数学建模解数学应用题对于多角度，多层次，多侧面思考问题，培养我们发散思维能力是很有益的，是提高我们综合素质的一条有效途径。同时数学建模的应用也是科学实践，有利于实践能力的培养，是当今社会实施素质教育所必须的。

数学科学学院29101020