证券投资组合的优化问题

毕业论文

题目证券投资组合的优化问题

英文题目Securities portfolio's optimization pro-

blems

院系理学院

专业信息与计算科学

二零一二年五月

摘要

金融是现代经济的核心。金融业是一个特殊的风险行业，本文主要研究了规避风险的重要手段——投资组合。在充满风险和机会的证券市场中，无论是个人还是机构投资者在进行证券投资时，总是以投入资金的安全性，流动性为前提，并且合理运用投资资金，达到较小的风险，较高的收益这一目的。本文详细的介绍了当代证券投资组合理论的发展状况，并就一些基本概念做了一定的概括性说明。通过对证券市场的分析建立了证券投资组合的极小极大模型、相关关系投资组合优化模型以及随机证券投资组合优化模型。文章最后就我国证券市场的一些现状提出自己的几点建议，希望广大的投资者能够科学的运用现代证券投资组合理论，科学理财。

关键词：证券投资组合风险利润模型

ABSTRACT

The finance is the core of modern economy. The finance is a special risk industry, this paper mainly studied the important means that how to avoid the risk of portfolio. In the securities market is full of risk and opportunities, both individuals and institutional investors always invested the money safety and liquidity as the prerequisite when they investment their money in the securities market. In order to avoid the risk of portfolio and raise the revenue investors should use capital reasonable. This paper introduced the modern portfolio theory’s development detailed and summarized some basic concepts. Established securities investment combination of the minimax model, related portfolio optimization model and random securities portfolio optimization model just based on analysis of the securities market. Finally,there are some suggestions gave based on the current situation of china and hoped all investors using the portfolio theory scientific and scientific financial management.

Key words:Securities investment；combination；risk profits；model

目录

1 绪论 (1)

1.1写作背景 (1)

1.2写作目的 (2)

2 证券投资组合的基本理论综述 (4)

2.1与证券投资组合有关的概念 (4)

2.2 现代证券投资组合理论的产生、发展以及局限性 (7)

2.2.1 现代证券投资组合理论的产生 (7)

2.2.2 现代证券投资组合理论的发展 (9)

2.2.3 现代证券投资组合理论的局限 (10)

2.3 现代证券投资组合理论的基本内容 (11)

2.3.1 Markowitz的均值—方差模型 (11)

2.3.2资本资产定价模型（CAPM） (13)

2.3.3 套利定价模型（APT） (15)

3 证券投资组合的极小极大值模型 (18)

3.1极大极小模型的建立 (18)

3.2极小极大模型的算法研究及分析 (19)

4 多种相关关系投资组合优化模型 (24)

4.1 Markowitz投资组合模型 (24)

4.2 不相关投资组合优化模型及算法 (25)

4.3 小结分析 (29)

5 不确定环境下的证券投资组合优化模型 (30)

5.1 不确定数学的发展概述 (30)

5.2不确定性数学方法在经济和管理中应用的现实意义 (31)

5.3 随机证券投资组合优化模型 (31)

5.3.1 证券投资组合的期望模型 (31)

5.3.2 证券投资组合的机会约束模型 (33)

5.4 小结 (34)

5.5 总结与展望 (34)

参考文献 (36)

致谢 (37)

1 绪论

1.1写作背景

证券投资组合理论的是随着证券市场的发展成熟而提出来的。可以说没有证券市场的发展就没有投资组合理论的产生。随着中世纪后期意大利的威尼斯、热那亚等城市发行军事公债，证券这个新型事物就开始出现在了金融领域。证券市场在20世纪初期得到了很大的发展。为此，投资者们开始探索对有风险证券进行定价和预测未来价格的方法。西方发达国家在20世纪80年代初之前流行着两种传统的分析量化的投资分析方法，即“技术分析法”和“基础分析法”。技术分析法认为某一证券过去的历史价格数据中包含着该证券未来价格变化的信息，技术专家们只要得出股价的历史数据所画出来的曲线图就可以进行预测。基础分析法则强调股份公司基本财务因素比率的重要性。二次世界大战后投资组合理论在美国得到飞速发展，可以说这事金融理论在20世纪80年代初得到的突破性的发展。

任何投资者都希望获得最大的投资收益，但是较大的收益往往伴随着较大的风险。为了分散风险和减少风险，传统的证券投资组合管理靠非数量化投资分析方法来选择证券，构建和调整证券组合，但由于其分析方法和分析工具较为落后，主观性强，经验成分多，因此在应用中的效果往往不合人意。虽然证券起源于意大利，但最初倡导投资组合理论的却是美国学者托宾（Tobin）和马克维茨（Markowitz）。托宾（Tobin）因创立这一理论的基础做出的贡献而获得1981年的诺贝尔经济学奖，而马克维茨（Markowitz）和夏普（Sharpe）及Mille三人则因使该理论的发展成系统严格且实用的科学体系方面做出贡献而获得1990年诺贝尔经济学奖。20世纪50年代，马克维茨（Markowitz）和托宾（Tobin）利用预期值和方差两种统计概念发展出在不确定经济情况下完整的资产资本选择模型标准的现代投资组合理论的问世。这是第一次运用数理统计方法定量分析证券投资组合，带来了分析方法和分析工具的重大变革。之后人们把证券投资组合的研究集中在马克维茨（Markowitz）模型上。1952年马克维茨（Markowitz）发表了一篇题为“投资组合的选择”的论文，在这篇论文中他展示了如何利用投资组合，在一定的预期收益水平下使得投资风险达到最小的程度，但是在计算方法上

却十分复杂。1963年夏普（Sharpe）提出了简化形式的计算方法，即单指数模型。他通过分析“股票收益与股票指数收益之间存在的函数关系”提出了牺牲精确性的同时简化有效组合的求解技术，从而在一定程度上提高了资产组合理论的实用价值。之后又经过一批专家学者的不断的实证分析和改善，他们提出了基于不同约束条件的类似简化方法，根据他们的研究成果这些方法比使用单指数的近似方法得到的结果更加的精确。因此，在技术上大大的提升了现代资产组合理论的实用价值。经过几十年的完善和发展，现代证券投资组合理论已经成为金融领域的理论的重要组成部分。该理论自70年达末已经成为西方发达国家进行投资的重要理论依据。

国外理论界对于证券组合的研究起步比较早，理论的发展也比较成熟和完善，研究的内容也比较全面。但是，唯一不足的是最近几年国外学术界在证券组合理论的研究上一直没有重大的突破，还是局限于对马克维茨证券组合理论、单因素模型、资本资产定价模型和套利定价理论的研究。大多数学者的研究只是对这些模型的补充和修正。

在国内，虽然研究组合选择问题的文献比较丰富，但由于国内理论界对于证券组合的研究起步比较晚，基本上都是在国外成熟的证券组合理论基础上进行研究的。总的来说，国内目前的研究大致可分为三类：1.对国外的证券组合理论进行实证研究。2.对证券组合理论进行更加细分深入的研究。3.对国外的证券组合理论提出修正模型和新的算法。本质上国内理论界对证券组合的研究属于站在巨人的肩膀上进行研究。

1.2写作目的

在证券市场上，无论是机构投资者还是个人投资者，都面临着如何提高证券投资收益和降低证券投资风险的问题。根据现代投资组合理论，投资者进行证券投资时，可以在两个层面上进行投资组合，第一个层面是对证券市场上已有的证券投资品种之间进行投资组合，第二个层面是对同一投资品种内部的产品进行投资组合。

投资者通过两个层面上的投资组合可以在保证收益的基础上，大大降低证券投资的风险。对机构投资者而言，由于其资金实力比较雄厚，能够保证其在两个层面上都可以进行广泛地投资组合，从而达到提高收益和降低风险的目标。

由于目前能够在证券市场中进行交易的投资品种并不是很多，而且每一个进行交易的投资品种有其特殊的发行主体和交易主体，其市场功能和定位也完全不同，其在证券市场的存在是为了满足不同投资者不同的投资需求，其所表现出来的风险与收益的关系也比较匹配，故在第一个层面中通常不存在投资组合规模问题。机构投资者通常会在第二个层面上面临投资组合的规模问题，虽然通过进行广泛的投资组合可以使投资风险降到很低的水平，但由于组合规模过大投资的对象过度分散也会降低投资组合的收益。这主要是因为维持数目众多的证券组合需要较高的交易费用、管理费用和信息搜寻费用，而且数目众多的证券组合中可能包含一些无法及时得到相关信息且收益较低的证券，从而无法及时有效地进行投资组合调整。对个人投资者而言，由于其资金和精力有限，在两个层面上都无法进行广泛地投资组合，只能选择较小的投资组合，通常把资金集中投资于某一投资品种，由于投资组合的过度集中又使其面临巨大的投资风险。个人投资者也需要在有限的条件下进行适当的投资组合以规避投资风险。因此，证券投资组合的规模既不能过度分散也不能过度集中。投资组合规模、风险和收益之间存在最优化配置问题，即一个合理的组合规模可以降低投资风险，保证稳定的投资收益。根据中国证券市场的不同交易品种的实际交易情况，证券投资组合的规模问题一般只表现在股票投资上，证券投资组合的规模问题基本上可以用股票投资组合的规模问题来反映。本文旨在通过，建立证券投资组合优化问题的相关模型，帮助人们树立正确科学的投资理念。

2 证券投资组合的基本理论综述

2.1与证券投资组合有关的概念

（1）投资

投资一般可理解为把钱用在什么地方，以期望获得什么。如基本建设投资，把钱用在建厂、筑路等建设上，以便生产产品和提供交通运输服务；智力投资，把钱用在办学、科研上，提供智力的提高和获取科研成果，等等。然而，从经济学的范畴来说，其含义就不会这么简单。在经济学上，投资和储蓄相对应，就宏观经济而论，一定时期的投资总额等于储蓄总额，因为投资的来源是储蓄（积累）。由于储蓄是延期的消费，就是说为了将来更多的消费而牺牲目前一定的消费。因此，投资从广义讲就是为了（可能不确定的）将来的消费（价值）而牺牲现在一定的消费（价值）。

（2）证券

证券时一种金融资产，它是确立、代表或证明对财产拥有一项或多项权利的法律凭证。在经济学领域，证券是有价证券的简称。证券资本不是投入生产进行不断活动的机能资本，它以股票、债券等有价证券的形式存在，并能给持有者带来一定的收益。所以证券不是现实资本而是虚拟资本。

（3）证券投资

证券投资一般可以定义为个人投资者或者机构投资者购买证券市场上的金融资产，这些资产在未来某个投资期上会产生一个与风险成比例的收益。

（4）组合投资

组合投资就是指分散投资。将一定的资金按照不同的比重对所选的一定数量的投资品种进行分散投资，从而行成一个“证券组合”以达到降低风险，获得最大投资收益。

（5）证券投资组合

证券投资组合是指投资依据证券的风险程度和年获利能力，按一定的原则选择恰当的组合，一种低风险的投资策略。证券投资的目的是取得收益，但是证券投资又是一项高收益伴随着高风险的经济活动。收益和风险是证券投资的两个核心问题。指望毫无风险的从证券投资中获取收益是不现实的，收益和风险是相伴

而行的。只有正确分析和把握证券投资风险，投资者才能在心里上做好应付证券投资带来的风险的准备，从而更好的对风险进行防范。证券投资的基本原则即投资者的意愿，总是追求投资收益的最大化和风险的最小化，从而在收益和风险这一对相互作用，相互矛盾的统一体中寻找某种均衡。证券投资的核心和关键是有效的进行分散投资，通过分散投资，来分散风险，减少总风险。

（6）风险的概念

风险的理论含义：风险是指在人类社会中各种难以预测因素的影响，使得行为主体的期望目标与实际状况之间发生的差异，从而给行为主体造成利益损失的可能性。1901年美国学者H.A.威利特第一次对风险进行了实质性的分析，他认为风险是关于不愿发生的不确定性质的客观体现。1921年美国经济学家F.H.奈特在《风险，不确定性和利润》一书中，将风险与不确定性进行了重要区分。他认为风险是“可测定的不确定性”，而不可测定性才是真正意义上的不确定性。这表明风险是可以通过一定的途径、方法、手段进行计量和测定的。20世纪中期，美国明尼苏达大学教授C.A.威廉和R.M.汉斯进一步将风险和人们的主观意思联系起来。他们认为，当人们对未来事件的发生和变化有一致的看法时，其风险就以客观存在的状况体现出来，人们对之不确定性判断统一化，如果人们的判断有差异时，人们面临的风险就产生了同样的差异。1983年，日本学者武井勋在《风险理论》一书中，归纳出风险定义应该有的三个基本因素：①风险与不确定性有所差异；②风险是客观存在的；③风险可以被测算。

风险的实用含义：在实际生活中，由于风险和不确定性难以严格分开，我们不必拘泥风险的严密的理论含义，因此常常把风险理解为不确定性,我们可以给风险下一个在理论上虽然不够严密但却具有实用意义的定义：“风险是指由于某种活动因素的不确定性引起活动结果的不确定性，表现在活动的实际结果有可能偏离预期目标，从而给活动带来了损失”。

（7）证券投资风险

证券投资风险是指实际收益和预期收益之间的差额。证券投资的风险来源是多种多样的，不同的风险有不同的特点，从而对投资者产生不同的影响。

证券投资风险可以分为两大类：系统风险和非系统风险，如下表：

总风险

系统风险非系统风险

主要来源

市场（利率）风险、购买力

风险、政治风险、外汇风险等等

经营风险、违约风险等等

特点

a)有共同的因素所致

b)影响所有证券的收

益

c)用β系数测算其程

度

d)不能通过多样化投

资分散

a)由单个因素造成

b)只影响某些证券的

收益

c)通过多样化投资能

分散

系统风险又称为不可分散风险，是指由于某种因素而引起市场上所有证券出现价格变动，给一切证券投资者都会带来损失的可能性。这种风险是在企业外部发生的，也是企业自身不能控制的，带来的影响面较大。因为政治、经济或社会的震荡对证券市场的影响，不是个别股价的下跌而是普遍走低。如国家某项经济政策的变化，有关法规的出台政府高层官员的更换，都会影响证券市场的走势。

非系统风险又称为可分散风险，是指某些个别因素对单个证券造成损失的可能性。如工人罢工、经营失误、消费者偏好变化、资源短缺等因素影响个别企业所产生的个别证券的风险。

证券投资收益遭受损失总的可能性称为总风险。所有的证券投资在不同程度上都会受到系统风险和非系统风险的影响，因此，总风险则是由系统风险和非系统风险合并而成。

（8）证券投资收益

收益是投资者在投资活动中，以牺牲现在的价值而赚取未来更高价值的补偿。收益是投资者苦心经营的唯一目的。在证券投资中，投资者敢于冒风险真正动力就是为了获取最大的收益。证券投资收益一般以收益率来表示，通常我们计算年收益率。所谓的收益率是指收益和资本增值的总额占期初投资额的百分比，其计算公式为：

1100D p p p μ+-= （2.1）

其中：0p 为证券的期初价格，1p 为证券的期末价格，1D 错误！未找到引用源。为一年内的收入。

（9）证券投资风险与收益的关系

收益与风险是证券投资的中心问题，其他问题都是围绕这两个中心问题而展开的。如果投资者既想要本金绝对安全，又要收益丰厚且确定，那只是不切实际的幻想。投资者承担一份风险往往就会有一定收益来做为补偿，风险越大，补偿越高。所以收益必须以风险为代价，两者成比例相互交换，用公式表示为：收益率=无风险利率+风险补偿。

收益率的高低，根据各投资者对收益与风险的不同态度而有所差异，有效人要求高一些，有些人愿意接受低一点的收益而不愿承担过大的风险。这样收益和风险就成正比关系。即收益越大风险也就随之越大。如图

2.2 现代证券投资组合理论的产生、发展以及局限性

2.2.1 现代证券投资组合理论的产生

尽管西方资本主义国家进行金融投资活动历史悠久 ，但在本世纪50年代以前的金融投资活动理论或传统的投资组合理论尚不能成为科学的理论。这主要是因为：（1）它具有显著的经验性，理论主要是以格言和言语的形式表达出来。如“不要把所有的鸡蛋放在同一个篮子里”。（2）它具有过分定性化的倾向，只是

一些抽象性的原则，致使投资者无法实际操作。二战后，西方资本主义国家的经济处于复兴和发展阶段，导致金融投资活动迅猛的发展和大量投资基金的出现。迫切需要回答这样一个问题:投资基金的管理者应该怎样确定资产投资组合中各种资产的比例，才能在既定的收益水平下使风险分散到最小，或在风险既定的情况下怎么使收益最大，以满足投资者的需求？传统的投资理论无法回答这个问题，现实呼唤着理论的创新和发展。

投资组合的目的并不在于提高收益，而是分散风险。现代投资组合理论建立在西方经济学基础之上，以投资人是理性的、市场完善、投资人最大化效用、投资者具有理性预期等为假设前提。该理论以马克维茨首创，然后经夏普、林特、托宾、莫辛罗斯等的拓展研究使其成为70年代投资理论的主流。

1952年3月，美国经济学家哈里.马克维茨（Harry.M.Markowitz）在金融杂志上发表了一篇题为《证券组合选择》的论文，对充满风险的证券市场的最佳投资问题进行了开创性的研究，并因此获得了1990年的诺贝尔经济学奖。这篇著名的论文被公认为：“标志着现代证券组合理论的开端”。马克维茨提出和建立的现代这个证券投资组合理论，其核心思想史要解决长期困扰证券投资活动两个根本性问题。第一个问题是虽然证券市场上存在着大量的证券投资组合，但为何要进行组合投资，组合投资究竟有何种机制和效应。在传统的投资组合理论里，谁也无法得出令人信服的回答。现代证券投资组合理论给出了逻辑严密并能经得起时间检验的答案，即证券组的合投资是为了实现风险一定的情况下受益最大化或受益一定的情况下使风险最小化，有降低证券投资活动风险的机制。第二个问题是证券市场的投资者除了通过证券组合来降低风险外，将如何根据有关的信息进一步实现证券市场的资产选择。对于第二个问题，马克维茨的现代证券组合理论运用数理统计的方法全面细致的分析了何谓最优资产结构。他利用了一个约束条件下的极值模型求得了最优投资决策问题的机会集—有效边界，并且严格论证了以投资者的最终财富的期望效用最大化为决策准则的理性投资者必然在有效边界做出投资决策。这些结果是现代投资组合理论的核心，它是投资决策从现代资产组合理论提出以前“言语式”的朴素决策阶段飞跃到有严密理论作指导的科学决策阶段。一个明显的例证是，传统的基本分析和例证分析，已经被挤出了西方投资学的教科书。

2.2.2 现代证券投资组合理论的发展

由于理论和实践的需要，现代投资组合理论朝气蓬勃的朝着三个方向发展，使理论体系得到不断的丰富和完善。

（1）向实用化方向发展。Markowitz虽然在理论上科学的阐明了组合投资能够分散风险的重要机制，但是，在实际运用中，证券组合的选择和确定面临繁重和复杂的计算，因为证券市场价格变动十分频繁，证券价格每变动一次，为了保持投资组合能够获得一个满意和稳定的收益与风险的关系，整个计算程序需要从新计算一次，在存在上千种证券的情况下，其计算哪怕是借助于高速计算机也无法实现。这不仅使缺少数学基础和计算技术的投资者深感困难，即便对于有良好数学基础的计算技术的投资者而言，也不盛其烦，基与这一情况，1963年夏普发表了《对于证券组合分析的简化模型》一文，提出了简化证券组合模型的单指数模型和多指数模型，使现代证券组合理论的运用成本大大降低，实用性则大为加强。

（2）向资本定价模型方向发展。资本定价模型由美国三位经济学家夏普、林特和莫辛在各自对资本市场研究的基础上共同提出，并发展成为资本定价模型，它与Markowitz的现代证券投资组合理论有着极其密切的联系。Markowitz 的证券组合理论表明资本市场的投资者应该从自身的偏好出发，结合衡量收益和风险的期望收益率和标准差所组成的有效集，对证券组合的组成结构进行了选择。资本定价模型正是在Markowitz的证券组合的基础上进一步提出了一个极有现实意义的问题，即如果资本市场上的证券投资者人人都根据Markowitz的证券组合理论进行组合决策，那么资本这种资产的价格将由什么决定以及如何决定。资本资产定价模型最终用资本市场线和证券市场线对上诉问题进行了分析和解释。

（3）现代证券投资理论沿着套利定价方向发展。套利定价理论是由美国经济学家史蒂芬.罗斯于1976年首先提出，他从一个更广泛的角度来研究和说明风险资产的均衡定价问题。与资本资产定价模型一样，套利定价理论是以完全竞争和有效资本市场为前提，分析和探讨风险资产的收益发生过程。但与资本资产定价的不同之处在于，套利定价理论假定收益是一个因素模型所产生，因而，用不着向资本之处定价模型那样对投资者的偏好做出较强的假设，如将投资者假定为

风险回避者，也不用像资本资产定价模型那样依据预期收益率和标准差来寻找资产组合，它仅要求投资者是一个偏好拥有财富多多益善者即可，对风险资产组合的选择也仅依据收益率，即使该收益率与风险有关系，风险也只不过是影响资产组合收益率众多因素中的一个因素。比较而言，套利定价模型较之资本资产定价模型在内涵和实用上更具有广泛意义，但在理论的严密上却相对不足。

总之，现代证券投资组合理论通过以马克维茨、夏普等为首的众多经济学家的努力，在基本概念的创新、理论体系的完善、重要结论的实证和理论应用的拓展上都取得了重大的进展，沿着这些研究路线，相应的会有更多更新的成果源源不断的涌现出来。

2.2.3 现代证券投资组合理论的局限

科学的发展是永无止境的。在欣喜的看到现代证券组合投资理论突飞猛进的发展的同时，正确的认识该理论存在的局限将对这一理论的进一步发展有所帮助。综诉其局限观点具体的表现在以下几个方面：

（1）风险观的局限。很少人对现代的证券投资组合理论的风险进行认真深入的思考，因而使得现代证券投资组合理论风险观成为一个无须争辩的客观真理。实际上现代证券投资组合理论的风险观认为，风险是证券未来预期收益率变动的方差或标准差。这一定义虽然使得风险的含义非常明确并可以进行度量，但却带来了一个跟本性的问题，即风险用预期收益率变动的方差或标准差来表示，毫无疑问是将预期收益有益于投资者的变动划入风险范畴。这实际上使得风险这一概念的提出更多的是为满足数学严格表述的需要，因此具有形而上学的明显特征。

（2）风险分散方式的局限。在现在证券特征组合理论的风险观指导下，现代证券特征组合理论提出可以通过各种非相关证券的组合来对风险进行分散，以实现回避风险的目的。实际上，这种风险分散方式隐含着一个前提，即风险无法改变也不能消灭，只能通过分散的方式来解决。如果说这一前提能成立，也即是对极少数类型的风险而言，在人类现有的文明水平下，很多风险可以通过主观努力得到一定的改进，因而这种风险分散方式具有静态和被动的特征。而且，现代证券特征组合理论的分散方式也能得到一个最优的结果，但这种最优结果仅仅是由投资数量结果调整所产生，并非是由改进风险的收益和成本所决定，因而风险

什么方式的最优结果缺乏经济学的内涵和必不可少的经济动力。

（3）理论假定的局限。撇开风险观和风险分散那些局限不说，仅就现代证券投资组合理论本身所依赖的假定而言，也存在着很大的局限。现代证券投资组合理论的假定非常多，很多假定难以进行科学和客观的实证，因而其可靠性值得怀疑。例如，马克维茨假定大多数有理性的投资者都是风险厌恶者，但现实中的投资者对风险的态度都远比马克维茨的假定复杂的多，尚待人们进行更深入的研究。另外，马克维茨认为预期收益和风险的估计是对一组证券实际收益和风险的正确度量，相关系数也是对未来关系的正确反映，这在现实中实际上无法做到，因为历史的数字不大可能重复出现，一种证券的各种变量也会随着时间的推移而不停变化这些因素都可能从不同的方面造成理论假定与现实的脱节。

（4）理论运用的局限。现代证券投资组合理论的运用条件要求非常高，不仅需要精通理论的专业人员和现代化的计算设备，而且更重要的是必须对瞬息万变的证券市场的各种变化做出及时而准确的反映，这在现有条件下是无法办到的，即使能够勉强做到，其效果也会大打折扣。因而，从本质上讲，现代证券投资组合理论运用的局限，是由该理论运用过程中的成本所决定的。发达国家在证券市场上的投资实践活动已对此做出了许多颇具说服力的证明，也正因为如此，很多证券分析家和管理者更愿意讲投资作为一门艺术而不是科学。

2.3 现代证券投资组合理论的基本内容

2.3.1 Markowitz的均值—方差模型

1952年Markowitz最早以收益率和方差进行了资产组合研究，揭示了在不确定条件下投资者如何通过对风险资产进行组合建立有效边界，如何从自身的偏好出发在有效边界上选择最佳投资决策，以及如何通过分散投资来降低风险的内在机理，从而开创了现代投资组合理论的先河。

均值方差模型为了分散投资风险并取得适当的投资收益，投资者往往采用证券组合投资方式，即把一笔资金同时投资于若干种不同的证券。投资者最关心的问题有两个：一是预期收益率的高低，二是预期风险的大小。在Markowitz建立的这一模型中，预期收益率是证券组合收益率的期望值，预期风险是指证券组合收益率的方差。Markowitz假定投资者厌恶风险，理性的投资者总是希望在抑制风险的条件下获得最大的期望收益；而在抑制期望收益的条件下是投资风险达到最小。具有这种性质的证券组合称为有效证券组合。

标准的均值—方差分析假设条件包括：

1) 证券市场是有效的，证券的价格反映了证券的内在经济价值。每个投资者都掌握了充分的信息，了解每种证券的期望收益率以及标准差，不存在交易费用和税收，投资者是价格接受者，证券是无限可分的，必要的话可以购买部分股权。

2） 投资者在投资决策中只关注投资收益概率分布的期望收益率和方差，期望收益率反映了投资者对未来收益水平的衡量，而收益率的方差则反映了投资者对风险的估计。

3）投资者的投资目标是：希望在一定的风险条件下，获得尽可能大的收益，或者收益一定的条件下，尽可能的降低风险，也就是说投资者是回避风险的。

4）投资者拥有完全流动性的资产，即资产具有供给的无限弹性，资产组合的购买和销售部影响市场的价格和期望收益率，并且每种资产的收益率都服从正态分布。

5）各种证券收益率之间有一定的相关性，它们之间的相关程度可以用相关系数或者收益率之间的协方差来表示。

6）投资者追求每期财富效应的极大化，投资者具有单周期视野，所有i x 是非负的，即不允许买空和卖空。

根据上述假设，Markowitz 的均值方差模型可以表示为如下数学模型：

min T X CX

11

.1,1,2,3...n

i i i n i i x r c s t x i n ==?≥????==??∑∑ （2.2） 这个问题是一个二次规划问题，通过调节下界参数c 来进行求解，能够得到最优或最有效的投资组合，即有效边界。

或者

11

max .1,1,2,3...n

i i

i T n i i x r X CX b s t x i n ==?≤??==??∑∑ （2.3）

其中矩阵C 式用来表示随机向量r 的协方差矩阵，通常表示投资的风险矩阵；12(,)T n X x x x = 是投资者的投资权重矩阵，i x 表示投资者在第i 种的证券比例；12(,)T n r r r r = 是投资者的期望收益矩阵；c 表示组合投资的预期收益总值，表示投资者愿意承担的最大风险值。

均值—方差模型的运用

Markowitz 模型是一个最易于理解的模型，在资产配置的实际领域里，该模型得到了广泛的应用，而且成功率很高。这事因为，分析中包括的资产类的数目是有限的。当确定了一种资产配置时，许多机构仅考虑3种资产类型：普通型股，长期债券和货币市场工具。对于此类情形，只需估计9个变量，这是较容易做到的。一些机构为了投资更加分散化扩展投资的资产类型，将国际产权以及房地产列为其投资选择的项目。但是一般在分析中考虑到的资产类型也不超过8种。对于8种资产类型的资产配置用该模型也是可行的。另外，普通股股票、长期债券和短期市场工具等资产类型，存在关于回报率、方差和协方差的相对较好的历史数据。这些数据已经提供了这些资产类型的风险—回报率行为的较全面的信息。资产配置的目标是混合资产类型以便为投资者在其能够接受的风险水平上提供最高的回报。

另外，Markowitz 模型还为扩充资产类型和国际投资提供某些分析原理和理论依据。利用Markowitz 的投资组合理论可以看出，要在一定的收益水平上，达到投资组合的最优化，必须使证券的方差和协方差尽可能的小，而降低协方差的有效办法就是选择相关性较小的证券组合，不同资产类型证券间的收益相关性较小，另外，本国证券与外国证券间的收益率相关性较小，所以，扩充资产类型或进行国际投资可以降低风险。

2.3.2资本资产定价模型（CAPM ）

Markowitz 的投资组合理论解决了例行投资者的最优投资决策问题—如何确定投资比例。进一步要问：在资本市场达到均衡（供给=需求）时，或者所有投资者的投资行为均与现代资产组合理论描述的一致时，资产的收益如何决定，资产的风险如何测定，以及任意一种资产的期望收益率与风险间的函数关系是什么？

在Markowitz 的研究基础上，60年代中叶，威廉.夏普（William Sharpe ，1964）、

林特纳（Jone Lintner ，1965）和莫辛（Jone Mossin ，1966）几乎同时提出了著名的“资本资产定价模型”（CAPM ），回答了资本市场均衡的证券价格如何形成的问题。现实的资本市场是复杂的，用模型来研究时，需要对它作某些简化才能抓住主要矛盾，得到反映资本市场的实质模型。为了讨论方便资本市场做了如下假设：

1）投资者都是风险厌恶者并且投资者的投资期限相同；

2) 投资者是无风险利率下无限借入或贷出，在资本市场上无风险证券确实存在，证券的交易单位可以无限制的分割；

3) 所有投资者对各证券的未来期望的收益率与标准差的预测将会一致，因此市场上有效边界只有一条；

4）市场上不存在交易成本和税金；

5）资本市场处于均衡状态；

6）资本市场是一个竞争的市场。有关证券的信息对所有投资者都是均衡传播。

标准的资本资产定价模型首先用资本市场线（Cspital Market Lin ，CML ）来说明有效证券组合期望收益率与风险之间的关系。

如图所示，在前述假设条件下，当市场处于均衡状态时，M 点代表市场证券组合，每个投资者将言射线FM 选择一点，较保守投资者将贷出以部分资金，而将其余资金投资于市场组合上，但所有的点都将停在射线FM 上。FM 即成为资本市场线。从形式上看资本市场线表示为下列点斜式方程：

()2()M

F E r r P F P E r r σ-=+ （2.4）

从而有效组合的期望收益率()P E r 分为两部分，一部分是无风险收益率F r ，

它是由时间创造的，是对放弃即期消费的奖励，我们称它为时间的市场价格；另一部分()2M

F E r r P σ-则是对所承担风险P σ的奖励，我们称()2M

F E r r -为风险的市场价格，称()2M

F E r r P σ-为风险溢价。

这样资本市场线实际上指出了存在风险资产时风险与收益之间的关系，提供了衡量有效投资组合风险的方法。有效投资组合即是分布于资本市场线上的点，代表了有效前沿。

资本资产定价模型理论的应用

1）利用资本资产定价模型可以测量系统风险。

2）资本资产定价模型为证券的估价提供了一种标准。用其评估非均衡的证券定价，检验一种组合或一个证券的回报率是否与其风险成比例。

3）基于资本资产定价模型提出的单指数模型，它是一种对证券市场直线合理的替代物。它常用做研究证券估价，其形式简单克服了马克维茨的均值—方差模型在计算方面的困难。

2.3.3 套利定价模型（APT ）

资本资产定价模型（CAPM ）刻画了在资本市场达到均衡时，资产收益的决定机制，但它基于众多的假定，其中的假定常常与现实不符；在检验CAPM 时，难以得到真正的市场组合，更重要的是一些经验结果与CAPM 相悖。1976年美国经济学家史蒂芬.罗斯（Stephen A Ross ）提出了一种新的资本资产衡量模型——套利定价模型（APT ）。该种模型认为风险可有多个因素产生，不仅仅是一个市场因素尤其是它对风险态度的假设比CAPM 更宽松，因此也更加接近现实，APT 的假设如下：

1）投资组合包含了大量的资产，但不一定是市场组合；

2）允许卖空，而且投资者可以取得卖空收益；

3）投资者不一定是风险厌恶者；

4）证券或组合的收益是多种因素共同影响的结果。

一、单因素模型

影响证券收益率的因素可能是国民生产总值、市场利率或其他经济指标。假设证券价格的变化唯一是由市场的作用引起的，可得到：

i i i m i r r e αβ=++ （2.5）