数值分析第四章数值积分与数值微分知识题目解析
第四章 数值积分与数值微分
1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度：
101210121
12120
(1)()()(0)();
(2)()()(0)();
(3)()[(1)2()3()]/3;
(4)()[(0)()]/2[(0)()];
h
h
h
h h
f x dx A f h A f A f h f x dx A f h A f A f h f x dx f f x f x f x dx h f f h ah f f h -----≈-++≈-++≈-++''≈++-??
??
解：
求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m 的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。 （1）若101(1)
()()(0)()h
h
f x dx A f h A f A f h --≈-++?
令()1f x =，则
1012h A A A -=++
令()f x x =，则
110A h A h -=-+
令2
()f x x =，则
3
221123
h h A h A -=+ 从而解得
011431313A h A h A h -?=??
?
=??
?=??
令3
()f x x =，则
3()0h
h
h
h
f x dx x dx --==?
?
101()(0)()0A f h A f A f h --++=
故
101()()(0)()h
h
f x dx A f h A f A f h --=-++?
成立。
令4
()f x x =，则
45
5
1012
()5
2
()(0)()3
h
h h
h f x dx x dx h A f h A f A f h h ---==-++=?
?
故此时，
101()()(0)()h
h
f x dx A f h A f A f h --≠-++?
故
101()()(0)()h h
f x dx A f h A f A f h --≈-++?
具有3次代数精度。 （2）若
21012()()(0)()h
h
f x dx A f h A f A f h --≈-++?
令()1f x =，则
1014h A A A -=++
令()f x x =，则
110A h A h -=-+
令2
()f x x =，则
3
2211163
h h A h A -=+ 从而解得
1
13
8383A h A h A h -=-??
?=??
?=??
令3
()f x x =，则
22322()0h
h
h
h
f x dx x dx --==?
?
101()(0)()0A f h A f A f h --++=
故
21012()()(0)()h
h
f x dx A f h A f A f h --=-++?
成立。
令4
()f x x =，则
2245
2264()5
h
h
h h f x dx x dx h --==
??
510116
()(0)()3
A f h A f A f h h --++=
故此时，
21012()()(0)()h
h
f x dx A f h A f A f h --≠-++?
因此，
21012()()(0)()h
h
f x dx A f h A f A f h --≈-++?
具有3次代数精度。 （3）若
1
121
()[(1)2()3()]/3f x dx f f x f x -≈-++?
令()1f x =，则
1
121
()2[(1)2()3()]/3f x dx f f x f x -==-++?
令()f x x =，则
120123x x =-++
令2
()f x x =，则
22
122123x x =++
120.28990.5266x x =-??
=?或120.6899
0.1266
x x =??=? 令3
()f x x =，则
1
1
31
1
()0f x dx x dx --==?
?
12[(1)2()3()]/30f f x f x -++≠
故
1
121
()[(1)2()3()]/3f x dx f f x f x -=-++?
不成立。
因此，原求积公式具有2次代数精度。 （4）若
20
()[(0)()]/2[(0)()]h
f x dx h f f h ah f f h ''≈++-?
令()1f x =，则
(),h
f x dx h =?
2[(0)()]/2[(0)()]h f f h ah f f h h ''++-=
令()f x x =，则
2
022
1()2
1
[(0)()]/2[(0)()]2
h
h
f x dx xdx h h f f h ah f f h h ==''++-=?
?
令2
()f x x =，则
23
0232
1
()3
1
[(0)()]/2[(0)()]22
h
h
f x dx x dx h h f f h ah f f h h ah ==''++-=-?
?
故有
33
211232
112
h h ah a =-=
令3
()f x x =，则
3
400
2444
1()41111[(0)()]/2[(0)()]12244h
h f x dx x dx h h f f h h f f h h h h
==''++-=-=?? 令4
()f x x =，则
4
500
2555
1()5
1111[(0)()]/2[(0)()]12236h
h f x dx x dx h h f f h h f f h h h h
==''++-=-=??
故此时，
2
1()[(0)()]/2[(0)()],12
h
f x dx h f f h h f f h ''≠++
-?
因此，
20
1
()[(0)()]/2[(0)()]12
h
f x dx h f f h h f f h ''≈++-?
具有3次代数精度。
2.分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分：
1
2
01
2
101
(1),8;4(1)
(2),10;
(3),4;
(4),6;
x x
dx n x e dx n x
n n ?-=+-===?
??
解：
2
1(1)8,0,1,,()84x
n a b h f x x
=====+ 复化梯形公式为
7
81
[()2()()]0.111402k k h
T f a f x f b ==++=∑
复化辛普森公式为
77
81012
[()4()2()()]0.111576k k k k h
S f a f x f x f b +===+++=∑∑
1
2
1(1)
(2)10,0,1,,()10x e n a b h f x x
--====
= 复化梯形公式为
9
101
[()2()()] 1.391482k k h
T f a f x f b ==++=∑
复化辛普森公式为
99101012
[()4()2()()] 1.454716k k k k h
S f a f x f x f b +===+++=∑∑
(3)4,1,9,2,()n a b h f x =====
复化梯形公式为
3
41
[()2()()]17.227742k k h
T f a f x f b ==++=∑
复化辛普森公式为
3341012
[()4()2()()]17.32222
6(4)6,0,,,()6
36
k k k k h
S f a f x f x f b n a b h f x π
π
+===+++====
=
=∑∑
复化梯形公式为
5
61
[()2()()] 1.035622k k h
T f a f x f b ==++=∑
复化辛普森公式为
5561012
[()4()2()()] 1.035776k k k k h
S f a f x f x f b +===+++=∑∑
3。直接验证柯特斯教材公式（2。4）具有5交代数精度。 证明：
柯特斯公式为
01234()[7()32()12()32()7()]90
b
a
b a
f x dx f x f x f x f x f x -=
++++?
令()1f x =，则
01234()90
[7()32()12()32()7()]90
b
a
b a f x dx b a
f x f x f x f x f x b a -=
-++++=-?
令()f x x =，则
2
222012341()()2
1
[7()32()12()32()7()]()902
b
b
a a
f x dx xdx b a b a f x f x f x f x f x b a ==--++++=-??
令2
()f x x =，则
23333012341()()3
1
[7()32()12()32()7()]()903b
b a a
f x dx x dx b a b a f x f x f x f x f x b a ==--++++=-??
令3
()f x x =，则
34444012341()()4
1
[7()32()12()32()7()]()904b
b a a
f x dx x dx b a b a f x f x f x f x f x b a ==--++++=-??
令4
()f x x =，则
45555012341()()5
1
[7()32()12()32()7()]()905b
b a a
f x dx x dx b a b a f x f x f x f x f x b a ==--++++=-??
令5
()f x x =，则
566
66012341()()6
1
[7()32()12()32()7()]()906b
b a a
f x dx x dx b a b a f x f x f x f x f x b a ==--++++=-??
令6
()f x x =，则
012340
()[7()32()12()32()7()]90
h
b a
f x dx f x f x f x f x f x -≠
++++?
因此，该柯特斯公式具有5次代数精度。 4。用辛普森公式求积分1
x e dx -?
并估计误差。
解： 辛普森公式为
[()4()()]62
b a a b
S f a f f b -+=
++ 此时，
0,1,(),x a b f x e -===
从而有
1
121
(14)0.632336
S e e --=++=
误差为
4(4)
04()()()1802
11
0.00035,(0,1)1802
b a b a R f f e ηη--=-≤
??=∈
5。推导下列三种矩形求积公式：
223()
()()()();2()
()()()();2()
()()()();
224b
a b
a b
a
f f x dx b a f a b a f f x dx b a f b b a a b f f x dx b a f b a ηηη'=-+
-'=---''+=-+-???
证明：
(1)()()()(),(,)f x f a f x a a b ηη'=+-∈
两边同时在[,]a b 上积分，得
()()()()()b
b
a
a
f x dx b a f a f x a dx η'=-+-?
?
即
2
()
()()()()2
(2)
()()()(),(,)
b
a
f f x dx b a f a b a f x f b f b x a b ηηη'=-+
-'=--∈?
两边同时在[,]a b 上积分，得
()()()()()b
b
a
a
f x dx b a f a f b x dx η'=---?
?
即
2
2
()()()()()
2()(3)()()()()(),(,)
22222
b
a f f x dx
b a f b b a a b a b a b f a b f x f f x x a b ηηη'=---''++++'=+-+-∈?
两连边同时在[,]a b 上积分，得
2
()()()()()()()22222
b
b b a
a a a
b a b a b f a b f x dx b a f f x dx x dx η''++++'=-+-+-???
即
3()
()()(
)();224
b
a
a b f f x dx b a f b a η''+=-+-?
6。若用复化梯形公式计算积分1
x I e dx =?，问区间[0,1]应人多少等分才能使截断误差不超
过
51
102
-?？若改用复化辛普森公式，要达到同样精度区间[0,1]应分多少等分？ 解：
采用复化梯形公式时，余项为
2
()(),(,)12
n b a R f h f a b ηη-''=-
∈
又
1
x I e dx =?
故(),(),0, 1.x x
f x e f x e a b ''====
221()()1212n e R f h f h η''∴=
≤ 若5
1()102n R f -≤?，则
256
10h e
-≤?
当对区间[0,1]进行等分时，
1,h n
=
故有
212.85n ≥
= 因此，将区间213等分时可以满足误差要求 采用复化辛普森公式时，余项为
4(4)
()()(),(,)1802
n b a h R f f a b ηη-=-
∈ 又
(),x f x e =
(4)4(4)4
(),
1()|()|28802880x n f x e e R f h f h
η∴=∴=-≤ 若51
()102
n R f -≤
?，则 451440
10h e
-≤
? 当对区间[0,1]进行等分时
1n h
=
故有
1
54
1440(10) 3.71n e
≥?=
因此，将区间8等分时可以满足误差要求。
7。如果()0f x ''>，证明用梯形公式计算积分()b
a I f x dx =?所得结果比准确值I 大，并说
明其几何意义。
解：采用梯形公式计算积分时，余项为
3()
(),[,]12
T f R b a a b ηη''=-
-∈ 又
()0f x ''>且b a >
0T R ∴<
又
1T R T =-
I T ∴<
即计算值比准确值大。
其几何意义为，()0f x ''>为下凸函数，梯形面积大于曲边梯形面积。 8。用龙贝格求积方法计算下列积分，使误差不超过5
10-
.
1
20
3
(2)sin (3).
x
e dx
x xdx π
-??
解：
1
(1)x
I e dx -=
因此0.713727I =
20
(2)sin I x xdx π
=?
因此0I ≈
3
(3)I =?
因此10.2075922I ≈
9。用2,3n =的高斯-勒让德公式计算积分
3
1
sin .x e xdx ?
解：
3
1
sin .x I e xdx =?
[1,3],x ∈令2t x =-，则[1,1]t ∈-
用2n =的高斯—勒让德公式计算积分
0.5555556[(0.7745967)(0.7745967)]0.8888889(0)
10.9484
I f f f ≈?-++?≈
用3n =的高斯—勒让德公式计算积分
0.3478548[(0.8611363)(0.8611363)]0.6521452[(0.3399810)(0.3399810)]10.95014
I f f f f ≈?-++?-+≈ 10 地球卫星轨道是一个椭圆，椭圆周长的计算公式是
,S a θ=
这是a 是椭圆的半径轴，c 是地球中心与轨道中心（椭圆中心）的距离，记h 为近地点距离，H 为远地点距离，R=6371（km ）为地球半径，则
(2)/2,()/2.a R H h c H h =++=-
我国第一颗地球卫星近地点距离h=439(km)，远地点距离H=2384(km ）。试求卫星轨道的周长。 解：
6371,439,2384R h H ===
从而有。
(2)/27782.5
()/2972.54a R H h c H h S a θ
=++==-==
1.564646
48708()
I S km ≈≈
即人造卫星轨道的周长为48708km 11。证明等式 3
5
2
4
sin
3!5!n n
n n π
πππ=-
+
-
试依据sin()(3,6,12)n n n
π
=的值，用外推算法求
π的近似值。
解
若()sin
,f n n n
π
=
又35
11sin 3!5!x x x x =-+-
∴此函数的泰勒展式为
353
5
2
4
()sin
11[()()]3!5!3!5!f n n n
n n n n
n n π
πππ
πππ==-+-
=-
+
-
()k n T π≈
当3n =时, sin 2.598076n n
π
= 当6n =时, sin
3n n
π
=
当12n =时, sin 3.105829n n
π
=
由外推法可得
故 3.14158π≈
12。用下列方法计算积分
3
1
dy
y
?
，并比较结果。 (1)龙贝格方法； (2)三点及五点高斯公式；
(3)将积分区间分为四等分，用复化两点高斯公式。 解
3
1
dy I y
=?
(1)采用龙贝格方法可得
故有 1.098613I ≈ (2)采用高斯公式时
3
1
dy I y
=?
此时[1,3],y ∈
令,x y z =-则[1,1],x ∈-
1
11,2
1
(),
2
I dx x f x x -=+=+?
利用三点高斯公式，则
0.5555556[(0.7745967)(0.7745967)]0.8888889(0)
1.098039
I f f f =?-++?≈
利用五点高斯公式，则
0.2369239[(0.9061798)(0.9061798)]
0.4786287[(0.5384693)(0.5384693)]0.5688889(0)1.098609
I f f f f f ≈?-++?-++?≈ (3)采用复化两点高斯公式 将区间[1,3]四等分，得
12341.52 2.531
1.52
2.5I I I I I dy dy dy dy y y y y
=+++=+++
?
??? 作变换5
4
x y +=
，则
1
1111,5
1
(),
5
(0.5773503)(0.5773503)0.4054054I dx x f x x I f f -=+=+≈-+≈?
作变换7
4
x y +=
，则 1
2121,71
(),
7
(0.5773503)(0.5773503)0.2876712I dx x f x x I f f -=+=+≈-+≈?
作变换9
4
x y +=
，则 1
3131,9
1
(),
9
(0.5773503)(0.5773503)0.2231405I dx x f x x I f f -=+=+≈-+≈?
作变换11
4
x y +=
，则 1
4141
,11
1
(),
11
(0.5773503)(0.5773503)0.1823204I dx x f x x I f f -=+=+≈-+≈?
因此，有
1.098538I ≈
13.用三点公式和积分公式求2
1
()(1)
f x x =+在 1.0,1.1x =，和1.2处的导数值，并估计误差。()f x 的值由下表给出：
解：
2
1
()(1)f x x =
+
由带余项的三点求导公式可知
2
00122
1022
20121()[3()4()()]()
231()[()()]()
261()[()4()3()]()
23
h f x f x f x f x f h h f x f x f x f h h f x f x f x f x f h ξξξ''''=-+-+''''=-+-''''=-++ 又
012()0.2500,()0.2268,()0.2066,f x f x f x ===
001210220121
()[3()4()()]0.24721
()[()()]0.21721
()[()4()3()]0.187
2f x f x f x f x h
f x f x f x h f x f x f x f x h
'∴≈-+-='≈
-+=-'=-+=- 又
2
1
()(1)f x x =
+
5
24
()(1)
f x x -'''∴=
+ 又
[1.0,1.2]x ∈
()0.75f ξ'''∴≤
故误差分别为
2
3
02
312
3
2()() 2.5103()() 1.25106()() 2.5103
h R x f h R x f h R x f ξξξ---'''=≤?'''=≤?'''=≤?
利用数值积分求导，
设()()x f x ?'=
1
1()()()k k
x k k x f x f x x dx ?++=+?
由梯形求积公式得
1
1()[()()]2
k k
x k k x h x dx x x ???++=+?
从而有
11()()[()()]2
k k k k h
f x f x x x ??++=++
故
011012212()()[()()]
2
()()[()()]
x x f x f x h
x x f x f x h
????+=-+=-
又1
1
11()()()k k x k k x f x f x x dx ?+-+-=+?
且
1
1
11()[()()]k k x k k x x dx h x x ???+--+=+?
从而有
1111()()[()()]k k k k f x f x h x x ??+--+=++
故02201
()()[()()]x x f x f x h
??+=- 即
01120
2()()0.464()()0.404()()0.434
x x x x x x ??????+=-??
+=-??+=-? 解方程组可得
012
()0.247
()0.217()0.187x x x ???=-??
=-??=-?
数值分析常微分方程的数值解法
《计算机数学基础》数值部分第五单元辅导 14 常微分方程的数值解法 一.重点内容 1. 欧拉公式： ）心知1）a 儿+1 =儿 + hfg ，儿） m 1、 伙=0丄2,…川一 1） I 无=x Q +kh 局部截断误差是0（*）。 2. 改进欧拉公式： 预报一校正公式： 预报值 _v*+1 =儿+ hf （x k ,儿） - h - 校正值 y M = y k +-［f （x kt y k ） + /（x A+1, y M ）］ 即 儿+1 =儿+ ￡ "（忑'儿）+心+「儿+ hfg ,儿））］ 或表成平均的形式： 儿=儿+ hfg ,儿） '儿=儿+"（无+】，儿） +K ） 改进欧拉法的局部截断误差是0（2） 3. 龙格一库塔法 二阶龙格一库塔法的局部截断误差是0（爪） 三阶龙格一库塔法的局部截断误差是0（护） 四阶龙格F 塔法公式：儿计=儿+ 2（匕+ 2心+ 2? + ?） 四阶龙格一库塔法的局部截断误差是0（爪）。 二实例 y' = — y — xv f2（0 < x < 0.6） 例1用欧拉法解初值问题｛ ' ? -取步长/匸02计算过程保留 b （o ）= 1 4位小数。 解/i=0.2. f （x ）= —y —xy 2<,首先建立欧拉迭代格式 y*+i =儿+ hf g,y k ） = y k -hy k -hx k y ； =0.2 儿（4 - x k y k ）（k = 0,1,2） K 2=f(x n +^h, yk+-hK\)t gg+舟人，>'n +y/?A3）；
当k=0, xi=0.2 时，已知x（）=0,y（）=l,有 y(0?2)今i=0?2X l(4-0X 1)=0.8000 当k=\. M=0?4时，已知“=0?2」尸0?8,有 y(0?4)今2=0.2 X 0.8X(4-0.2X0.8)=0.614 4 当k=2, xs=0.6 时，已知x2=0.4,y2=0.6144,有 y(0?6)今3=0.2 X0.6144X (4-0.4 X 0.4613)=0.8000 「J, ,2 ?_ ZX 例2用欧拉预报一校正公式求解初值问题\y + v +V sinx=,取步长/?=0.2,计算 .y ⑴=1 y(0.2),y(0.4)的近似值，计算过程保留5位小数。 解步长力=0.2,此时/(x,y)=—y—fsiiu 欧拉预报一校正公式为： 预报值兀I = y k + hfg y k) - I J_ 校正值)3=儿+尹(忑，儿)+ fg,儿+1)] 有迭代格式] 预报值儿+] = y k 4-h(-y k -y； sin x k) =y k (0?8-0?2儿sin x k) < h 、—— 2 校止值y如]=儿 +尸[(一片一力sinxJ + LN+i-yl sin.v I+1)] ——?> =儿(°?9一0?1儿sin心)一0?1(儿+| +y；j sin心利) 、"M=0.別=1」)=1 时，Xj=1.2> 有 儿=yo(°?8-O?2yo sinx0) = 1 x (0.8-02x lsin 1) = 0.63171 y(1.2) ?= lx(0.9-0.1xlxsinl)-0.1(0.63171+0.631712sinl.2) = 0.71549 当 T xi=1.2, yi=0.71549 时,x2=1.4,有 y2 =儿(0.8-0?2儿sinXj) = 0.71549x(0.8-02x0.71549sinl.2) =0.47697 y(14) z y2 = 0.71549x(0.9-0.1x0.71549xsin 1.2)-0.1(0.47697+ 0.476972 sin 1.4) =0.52608 V = 8 — 3y 例3写出用四阶龙格一库塔法求解初值问题^ ‘的计算公式，取步长/匸0.2计 b(0) = 2 算y(0.4)的近似值。讣算过程保留4位小数。 解此处.心,刃=8 —3”四阶龙格一库塔法公式为 艰=儿 + % + 2? + 2勺 + ?) 1 h, y n+ y/?A3)： 本例计算公式为: 0 2 呱严儿+三(32?+2?+心
数值分析最佳习题(含答案)
第一章 绪论 姓名 学号 班级 习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。 1 若误差限为5 105.0-?,那么近似数有几位有效数字？（有效数字的计算） 解：2*103400.0-?=x ，325* 102 1 1021---?=?≤-x x 故具有3位有效数字。 2 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算） 解：10314159.0?= π，欲使其近似值* π具有4位有效数字，必需 41*1021 -?≤-ππ，3*3102 11021--?+≤≤?-πππ，即14209.314109.3*≤≤π 3 已知2031.1=a ，978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值，问b a +，b a ?有几位有效数字？（有效数字的计算） 解：3* 1021-?≤ -a a ，2*102 1 -?≤-b b ，而1811.2=+b a ，1766.1=?b a 2123****102 1 10211021)()(---?≤?+?≤-+-≤+-+b b a a b a b a 故b a +至少具有2位有效数字。 2 123*****102 1 0065.01022031.1102978.0)()(---?≤=?+?≤-+-≤-b b a a a b b a ab 故b a ?至少具有2位有效数字。 4 设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差和相对误差？（误差的计算） 解：已知 δ=-* *x x x ，则误差为 δ=-= -* **ln ln x x x x x 则相对误差为 * * ** * * ln ln 1ln ln ln x x x x x x x x δ = -= - 5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=，底面半径r 的值为cm r 5* =，已知 cm h h 2.0||*≤-，cm r r 1.0||*≤-，求圆柱体体积h r v 2π=的绝对误差限与相对误差 限。（误差限的计算） 解： * 2******2),(),(h h r r r h r r h v r h v -+-≤-ππ 绝对误差限为 π ππ252.051.02052)5,20(),(2=??+????≤-v r h v
数值分析第四章数值积分与数值微分习题答案
第四章 数值积分与数值微分 1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度： 101210121 12120 (1)()()(0)(); (2)()()(0)(); (3)()[(1)2()3()]/3; (4)()[(0)()]/2[(0)()]; h h h h h f x dx A f h A f A f h f x dx A f h A f A f h f x dx f f x f x f x dx h f f h ah f f h -----≈-++≈-++≈-++''≈++-?? ?? 解： 求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m 的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。 （1）若101(1) ()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≈-++? 令()1f x =，则 1012h A A A -=++ 令()f x x =，则 110A h Ah -=-+ 令2 ()f x x =，则 3 221123 h h A h A -=+ 从而解得 011431313A h A h A h -?=?? ? =?? ?=?? 令3 ()f x x =，则 3()0h h h h f x dx x dx --==? ? 101()(0)()0A f h A f A f h --++=
令4()f x x =，则 455 1012()5 2 ()(0)()3 h h h h f x dx x dx h A f h A f A f h h ---== -++=? ? 故此时， 101()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≠-++? 故 101()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≈-++? 具有3次代数精度。 （2）若 21012()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≈-++? 令()1f x =，则 1014h A A A -=++ 令()f x x =，则 110A h Ah -=-+ 令2 ()f x x =，则 3 2211163 h h A h A -=+ 从而解得 1143 8383A h A h A h -?=-?? ? =?? ?=?? 令3 ()f x x =，则 22322()0h h h h f x dx x dx --==? ? 101()(0)()0A f h A f A f h --++=
数值分析思考题1
% 数值分析思考题1 1、讨论绝对误差（限）、相对误差（限）与有效数字之间的关系。 答：（1）绝对误差（限）与有效数字：将x 的近似值x * 表示成 x *=±10m ×(a 1×10﹣1+a 2×10﹣2+ …a n ×10﹣n +…+a k ×10﹣k +…)，其中m 是整数，a 1≠0，a 1，a 2，…，a k 是0到9中的一个数字。若绝对误差，那么x *至少有n 个有效数字，即a 1，a 2，…，a n 为有效数字，而a n+1，…，a k ，…不一定是有效数字。因此，从有效数字可以算出近似数的绝对误差限；有效数字位数越多，其绝对误差限也越小。 （2）相对误差（限）与有效数字：将x 的近似值x * 表示成 x *=±10m ×(a 1×10﹣1+a 2×10﹣2+ …a n ×10﹣n +…+a k ×10﹣k +…)，其中m 是整数，a 1≠0，a 1，a 2，…，a k 是0到9中的一个数字。若a k 是有效数字，那么相对误差不超过 ;反之，如果已知相对误差r ，且有 ，那么a k 必为有效数字。 2、相对误差在什么情况下可以用下式代替 ' 答：在实际计算时，由于真值常常是未知的，当较小时， r e x x e x x *****-==
通常用代替。 3、查阅何谓问题的“病态性”，并区分与“数值稳定性”的不同点。 答：（1）病态问题：对于数学问题本身，如果输入数据有微小变化，就会引起输出数据（即问题真解）的很大变化，这就是病态问题。 （2）不同点：数值稳定性是相对于算法而言的，算法的不同直接影响结果的不同；而病态性是数学问题本身性质所决定的，与算法无关，也就是说对病态问题，用任何算法（或方法）直接计算都将产生不稳定性。 4、 取 ，计算 ，下列方法中哪种最好为什么 （1）(3322-，（2）(2752-，（3）()31 322+，（4）()61 21，（5） 99702-答：（1）( 332-==； （2）(2752-==； , （3） ()31322+=； （4）()6121=； （5）99702-=； 由上面的计算可以看出，方法（3）最好，因为计算的误差最小。 2141.≈)6 21
常微分方程数值解法
i.常微分方程初值问题数值解法 常微分方程初值问题的真解可以看成是从给定初始点出发的一条连续曲线。差分法是常微分方程初值问题的主要数值解法，其目的是得到若干个离散点来逼近这条解曲线。有两个基本途径。一个是用离散点上的差商近似替代微商。另一个是先对微分方程积分得到积分方程，再利用离散点作数值积分。 i.1 常微分方程差分法 考虑常微分方程初值问题：求函数()u t 满足 (,), 0du f t u t T dt =<≤ （i.1a ） 0(0)u u = (i.1b) 其中(,)f t u 是定义在区域G : 0t T ≤≤, u <∞上的连续函数，0u 和T 是给定的常数。我们假设(,)f t u 对u 满足Lipschitz 条件，即存在常数L 使得 121212(,)(,), [0,]; ,(,)f t u f t u L u u t T u u -≤-?∈∈-∞∞ （i.2） 这一条件保证了（i.1）的解是适定的，即存在，唯一，而且连续依赖于初值0u 。 通常情况下，（i.1）的精确解不可能用简单的解析表达式给出，只能求近似解。本章讨论常微分方程最常用的近似数值解法-差分方法。先来讨论最简单的Euler 法。为此，首先将求解区域[0,]T 离散化为若干个离散点： 0110N N t t t t T -=<< <<= （i.3） 其中n t hn =，0h >称为步长。 在微积分课程中我们熟知，微商（即导数）是差商的极限。反过来，差商就是微商的近似。在0t t =处，在（i.1a ）中用向前差商 10()()u t u t h -代替微商du dt ，便得 10000()()(,())u t u t hf t u t ε=++ 如果忽略误差项0ε，再换个记号，用i u 代替()i u t 便得到 1000(,)u u hf t u -= 一般地，我们有 1Euler (,), 0,1, ,1n n n n u u hf t u n N +=+=-方法： （i.4） 从(i.1b) 给出的初始值0u 出发，由上式可以依次算出1,,N t t 上的差分解1,,N u u 。
数值分析第1章习题
(A)1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（）和（）为有效数字(有效数字) A. 4和3 B. 3和2 C. 3和4 D. 4和4 解..14159.3==*πx ,1103142.0?=a 时,1=m ,3102 1...00041.0)(-*?≤ =-=a x a E m-n= -3,所以n=4,即有4位有效数字。当1103141.0?=a 时,1=m , 2102 1005.0...00059.0)(-*?=≤=-=a x a E ，m-n= -2,所以n=3,即有3位有效数字。 (A)2. 为了减少误差，在计算表达式19992001-时，应该改为 199920012+计算，是属于（）来避免误差。（避免误差危害原则） A.避免两相近数相减； B.化简步骤，减少运算次数； C.避免绝对值很小的数做除数； D.防止大数吃小数 解：由于2001和1999相近，两数相减会使误差大，因此化加法为减法，用的方法是避免误差危害原则。 (B)3.下列算式中哪一个没有违背避免误差危害原则（避免误差危害原则） A.计算123460.60.612345++- B.计算 25612520000450?- C.计算10.99994- D.计算11x x +- 解:A 会有大数吃掉小数的情况C 中两个相近的数相减，D 中两个相近的数相减也会增大误差 (D)4.若误差限为5105.0-?,那么近似数0.003400有()位有效数字。(有效数字) A. 5 B. 4 C. 7 D. 3 解：51021)(-?= a E 即m-n= -5,2103400.0-?=a ，m= -2，所以n=3，即有3位有效数字 (A)5.设*x 的近似数为40.32710a =?，如果a 具有3位有效数字，则a 的相对误差限为 ()（有效数字与相对误差的关系） A ． 35103-g B. 33105-g C. 53105-g D. 5103 g -2 解：因为40.32710a =?所以31=a ,因为a 有3位有效数字，所以n=3,由相对误差和有效数字的关系可得a 的相对误差限为 31103510.5--?== n r a δ
数值分析第1章习题
一 选择题(55分=25分) (A)1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（）和（）为有效数字(有效数字) A. 4和3 B. 3和2 C. 3和4 D. 4和4 解,时,, m-n= -3,所以n=4,即有4位有效数字。当时,, ，m-n= -2,所以n=3,即有3位有效数字。 (A)2. 为了减少误差，在计算表达式时，应该改为计算，是属于（）来避免误差。（避免误差危害原则） A.避免两相近数相减； B.化简步骤，减少运算次数； C.避免绝对值很小的数做除数； D.防止大数吃小数 解：由于和相近，两数相减会使误差大，因此化加法为减法，用的方法是避免误差危害原则。 (B)3.下列算式中哪一个没有违背避免误差危害原则（避免误差危害原则） A.计算 B.计算 C.计算 D.计算 解:A会有大数吃掉小数的情况C中两个相近的数相减，D中两个相近的数相减也会增大误差 (D)4.若误差限为,那么近似数0.003400有()位有效数字。(有效数字) A. 5 B. 4 C. 7 D. 3 解：即m-n= -5,，m= -2，所以n=3，即有3位有效数字 (A)5.设的近似数为，如果具有3位有效数字，则的相对误差限为()（有效数字与相对误差的关系） A． B. C. D. 解：因为所以,因为有3位有效数字，所以n=3,由相对误差和有效数字的关系可得a的相对误差限为 二 填空题：(75分=35分)
1.设则有2位有效数字，若则a有3位有效数字。(有效数字) 解:,时,，，m-n= -4,所以n=2,即有2位有效数字。当时, ，m-n= -5,所以n=3,即有3位有效数字。 2.设 =2.3149541...，取5位有效数字，则所得的近似值x=2.3150(有效数字)解：一般四舍五入后得到的近似数，从第一位非零数开始直到最末位，有几位就称该近似数有几位有效数字，所以要取5位有效数字有效数字的话，第6位是5，所以要进位，得到近似数为2.3150. 3.设数据的绝对误差分别为0.0005和0.0002，那么的绝对误差约为 0.0007 。（误差的四则运算） 解：因为，， 4.算法的计算代价是由 时间复杂度 和 空间复杂度 来衡量的。(算法的复杂度) 5.设的相对误差为2%，则的相对误差为 2n% 。（函数的相对误差） 解：， 6.设>0，的相对误差为δ，则的绝对误差为 δ 。（函数的绝对误差） 解：，， 7.设，则=2时的条件数为 3/2 。(条件数) 解:， 三 计算题(220分=40分) 1.要使的近似值的相对误差限小于0.1%，要取几位有效数字？（有效数字和相对误差的关系） 解：设取n位有效数字,由定理由于知=4所以要使相对误差限小于0.1%,则，只要取n-1=3即n=4。所以的近似值取4位有效数字,其相对误差限小于0.1%。 2.已测得某场地长的值为，宽d的值为，已知试求面积的绝对误差限和
常微分方程的数值解
实验4 常微分方程的数值解 【实验目的】 1．掌握用MATLAB软件求微分方程初值问题数值解的方法； 2．通过实例用微分方程模型解决简化的实际问题； 3．了解欧拉方法和龙格-库塔方法的基本思想和计算公式，及稳定性等概念。 【实验内容】 题3 小型火箭初始重量为1400kg，其中包括1080kg燃料。火箭竖直向上发射时燃料燃烧率为18kg/s，由此产生32000N的推力，火箭引擎在燃料用尽时关闭。设火箭上升时空气阻力正比于速度的平方，比例系数为0.4kg/m，求引擎关闭瞬间火箭的高度、速度、加速度，及火箭到达最高点的时的高度和加速度，并画出高度、速度、加速度随时间变化的图形。 模型及其求解 火箭在上升的过程可分为两个阶段，在全过程中假设重力加速度始终保持不变，g=9.8m/s2。 在第一个过程中，火箭通过燃烧燃料产生向上的推力，同时它还受到自身重力（包括自重和该时刻剩余燃料的重量）以及与速度平方成正比的空气阻力的作用，根据牛顿第二定律，三个力的合力产生加速度，方向竖直向上。因此有如下二式： a=dv/dt=(F-mg-0.4v2)/m=(32000-0.4v2)/(1400-18t)-9.8 dh/dt=v 又知初始时刻t=0，v=0，h=0。记x(1)=h，x(2)=v，根据MATLAB 可以求出0到60秒内火箭的速度、高度、加速度随时间的变化情况。程序如下： function [ dx ] = rocket( t,x ) a=[(32000-0.4*x(2)^2)/(1400-18*t)]-9.8; dx=[x(2);a]; end ts=0:1:60;
x0=[0,0]; [t,x]=ode45(@rocket,ts,x0); h=x(:,1); v=x(:,2); a=[(32000-0.4*(v.^2))./(1400-18*t)]-9.8; [t,h,v,a]; 数据如下： t h v a 0 0 0 13.06 1.00 6.57 13.19 13.30 2.00 26.44 26.58 1 3.45 3.00 59.76 40.06 13.50 4.00 106.57 53.54 13.43 5.00 16 6.79 66.89 13.26 6.00 240.27 80.02 12.99 7.00 326.72 92.83 12.61 8.00 425.79 105.22 12.15 9.00 536.99 117.11 11.62 10.00 659.80 128.43 11.02 11.00 793.63 139.14 10.38 12.00 937.85 149.18 9.71 13.00 1091.79 158.55 9.02 14.00 1254.71 167.23 8.33 15.00 1425.93 175.22 7.65 16.00 1604.83 182.55 6.99 17.00 1790.78 189.22 6.36 18.00 1983.13 195.27 5.76 19.00 2181.24 200.75 5.21 20.00 2384.47 205.70 4.69 21.00 2592.36 210.18 4.22 22.00 2804.52 214.19 3.79 23.00 3020.56 217.79 3.41 24.00 3240.08 221.01 3.07 25.00 3462.65 223.92 2.77 26.00 3687.88 226.56 2.50 27.00 3915.58 228.97 2.27
数值分析题库
一． 单项选择题（每小题2分，共10分） 1． 在下列四个数中，有一个数具有4位有效数字，且其绝对误差限为 5102 1 -?，则该数是（ ） A 0.001523 B 0.15230 C 0.01523 D 1.52300 2． 设方阵A 可逆，且其n 个特征值满足：n λλλ>≥> (21) ，则1-A 的主特征值是（ ） A 11λ B n λ1 C 1λ或n λ D 11λ或n λ1 3． 设有迭代公式 → →+→+=f x B x k k ) () 1(。若||B|| > 1，则该迭代公式（ ） A 必收敛 B 必发散 C 可能收敛也可能发散 4． 常微分方程的数值方法，求出的结果是（ ） A 解函数 B 近似解函数 C 解函数值 D 近似解函数值 5． 反幂法中构造向量序列时，要用到解线性方程组的（ ） A 追赶法 B LU 分解法 C 雅可比迭代法 D 高斯—塞德尔迭代法 二． 填空题（每小题4分，共20分） 1． 设有方程组 ??? ??=+-=+-=+0 21324321 32132x x x x x x x x ，则可构造高斯—塞德尔迭代公式为 ?? ??? 2． 设?? ?? ??????----=111112101A ，则=∞A 3． 设1)0(,2'2 =+=y y x y ，则相应的显尤拉公式为=+1n y 4． 设 1)(+=ax x f ,2)(x x g =。若要使)(x f 与)(x g 在[0，1]上正交，则a = 5． 设 T x )1,2,2(--=→ ，若有平面旋转阵P ，使P → x 的第3个分量为0，则P = ???? ? ????? 三． 计算题（每小题10分，共50分） 1． 求 27的近似值。若要求相对误差小于0.1%，问近似值应取几位有效数字？
数值分析课后习题答案
习 题 一 解 答 1．取3.14，3.15， 227，355113 作为π的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。 分析：求绝对误差的方法是按定义直接计算。求相对误差的一般方法是先求出绝对误差再按定义式计算。注意，不应先求相对误差再求绝对误差。有效数字位数可以根据定义来求，即先由绝对误差确定近似数的绝对误差不超过那一位的半个单位，再确定有效数的末位是哪一位，进一步确定有效数字和有效数位。有了定理2后，可以根据定理2更规范地解答。根据定理2，首先要将数值转化为科学记数形式，然后解答。 解：（1）绝对误差: e(x)=π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…≈0.0016。 相对误差： 3()0.0016 ()0.51103.14r e x e x x -==≈? 有效数字： 因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.14＝0.314×10，m=1。 而π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159… 所以│π－3.14│＝0.00159…≤0.005=0.5×10－2＝21311 101022 --?=? 所以，3.14作为π的近似值有3个有效数字。 （2）绝对误差: e(x)=π－3.15＝3.14159265…－3.14＝－0.008407…≈－0.0085。 相对误差： 2()0.0085 ()0.27103.15r e x e x x --==≈-? 有效数字： 因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.15＝0.315×10，m=1。 而π－3.15＝3.14159265…－3.15＝－0.008407… 所以│π－3.15│＝0.008407……≤0.05=0.5×10－1 ＝11211101022 --?=? 所以，3.15作为π的近似值有2个有效数字。 （3）绝对误差: 22 () 3.14159265 3.1428571430.0012644930.00137e x π=-=-=-≈- 相对误差：
常微分方程常用数值解法.
第一章绪论 1.1 引言 常微分方程是现代数学的一个重要分支，是人们解决各种实际问题的有效工具。微分方程的理论和方法从17世纪末开始发展起来，很快成了研究自然现象的强有力工具，在17到18世纪，在力学、天文、科学技术、物理中，就已借助微分方程取得了巨大的成就。1864年Leverrer根据这个方程预见了海王星的存在，并确定出海王星在天空中的位置。现在，常微分方程在许多方面获得了日新月异的应用。这些应用也为常微分方程的进一步发展提供了新的问题，促使人们对微分方程进行更深入的研究，以便适应科学技术飞速发展的需要。 研究常微分方程常用数值解是数学工作者的一项基本的且重要的工作。在国内外众多数学家的不懈努力，使此学科基本上形成了一套完美的体系。微分方程的首要问题是如何求一个给定方程的通解或特解。到目前为止，人们已经对许多微分方程得出了求解的一般方法。由于在生产实际和科学研究中所遇到的微分方程问题比较复杂，使这些问题的解即使能求出解析表达式，也往往因计算量太大而难于求出，而对于一些典型的微分方程则可以运用基本方法求出其解析解，并可以根据初值问题的条件把其中的任意常数确定下来。 由于求通解存在许多困难，人们就开始研究带某种定解条件的特解。首先是Cauchy对微分方程初始解的存在惟一性进行了研究。目前解的存在惟一性、延拓性、大范围的存在性以及解对初始解和参数的延续性和可微性等理论问题都已发展成熟。与此同时，人们开始采取各种近似方法来求微分方程的特解，例如求微分方程数值解的Euler折线法、Runge-Kutta法等，可以求得若干个点上微分方程的近似解。最后，由于当代高科技的发展为数学的广泛应用和深入研究提供了更好的手段。用计算机结合Matlab软件求方程的精确解、近似解，对解的性态进行图示和定性、稳定性研究都十分方便有效。 本章先介绍常微分的一般概念、导出微分方程的一些典型例子及求解微分方程的思路分析。从而得到常微分方程的常用数值解法。
《数值分析》第一章答案
习题1 1． 以下各表示的近似数，问具有几位有效数字？并将它舍入成有效数。 （1）*1x ＝451.023， 1x ＝451.01； （2）* 2x ＝－0.045 113， 2x ＝－0.045 18； （3）* 3x ＝23.421 3， 3x ＝23.460 4； （4）* 4x ＝3 1 ， 4x ＝0.333 3； （5）* 5x ＝23.496， 5x ＝23.494； （6）* 6x ＝96×510， 6x ＝96.1×510； （7）*7x ＝0.000 96， 7x ＝0.96×310-； （8）*8x ＝－8 700， 8x ＝－8 700.3。 解：(1) =* 1x 451.023 =1x 451.01 =-1*1x x 0.0131 10 2 1-?≤ ，1x 具有4位有效数字。→1x 451.0 (2) -=*2x 0.045 113 -=2x 0.045 18 =-
=-4* 4x x 4 10 2 1000033.0-?< ,4x 具有4位有效数字，=4x 0.3333 (5) =* 5x 23.496，= 5 x 23.494 =-5 *5 x x =-494.23496.232 10 21002.0-?< 5x 具有4位有效数字， → 5x 23.50 (不能写为23.49) (6) = * 6x 5 1096?7 10 96.0?= =6x 5 10 1.96?7 10 961.0?= =-6*6 x x 7 10 001.0-?7 2 10 102 1--??≤ 6x 具有2位有效数字，57610961096.0?=?=x (7) =*7x 0.00096 3 71096.0-?=x 3 *710 96.0-?=x =-7* 7x x 0 7x 精确 (8) 8700* 8-=x 8x 3.8700-= 8*8 x x -0 10 2 13.0?≤ = 8x 具有4位有效数字，8x 8700-=精确 2.以下各数均为有效数字： (1) 0.1062 + 0.947; (3)2.747?6.83; (2)23.46―12.753; (4)1.473 / 0.064 。 问经过上述运算后，准确结果所在的最小区间分别是什么？ 解：(1) 1x =0.1062，2x =0.947，1x +2x =1.0532 )(1x e 4 10 2 1-?≤ ，)(2x e 3 10 2 1-?≤ )()()(2121x e x e x x e +≈+≤ +≤)()(21x e x e 3 4 10 2 110 21--?+ ? =0.00055
数值分析习题
第一章 绪论 习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。 1 若误差限为5 105.0-?,那么近似数0.003400有几位有效数字？（有效数字的计算） 2 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算） 3 已知2031.1=a ，978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值，问b a +，b a ?有几位有效数字？（有效数字的计算） 4 设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差和相对误差？（误差的计算） 5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=，底面半径r 的值为cm r 5* =，已知 cm h h 2.0||*≤-，cm r r 1.0||*≤-，求圆柱体体积h r v 2π=的绝对误差限与相对误差 限。（误差限的计算） 6 设x 的相对误差为%a ,求n x y =的相对误差。（函数误差的计算） 7计算球的体积，为了使体积的相对误差限为%1，问度量半径r 时允许的相对误差限为多大？（函数误差的计算） 8 设?-=1 1 dx e x e I x n n ，求证： （1）)2,1,0(11 =-=-n nI I n n （2）利用（1）中的公式正向递推计算时误差逐步增大；反向递推计算时误差逐步减小。（计算方法的比较选择）
第二章 插值法 习题主要考察点：拉格朗日插值法的构造，均差的计算，牛顿插值和埃尔米特插值构造，插值余项的计算和应用。 1 已知1)2(,1)1(,2)1(===-f f f ，求)(x f 的拉氏插值多项式。（拉格朗日插值） 2 已知9,4,10=== x x x y ，用线性插值求7的近似值。（拉格朗日线性插值） 3 若),...1,0(n j x j =为互异节点，且有 ) ())(())(()())(())(()(11101110n j j j j j j j n j j j x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x l ----------= +-+- 试证明 ),...1,0()(0 n k x x l x n j k j k j =≡∑=。 （拉格朗日插值基函数的性质） 4 已知352274.036.0sin ,333487.034.0sin ,314567.032.0sin ===，用抛物线插值计算3367.0sin 的值并估计截断误差。（拉格朗日二次插值） 5 用余弦函数x cos 在00=x ，4 1π =x ，2 2π = x 三个节点处的值，写出二次拉格朗日插值 多项式, 并近似计算6 cos π 及其绝对误差与相对误差，且与误差余项估计值比较。（拉格朗 日二次插值） 6 已知函数值212)6(,82)4(,46)3(,10)1(,6)0(=====f f f f f ，求函数的四阶均差 ]6,4,3,1,0[f 和二阶均差]3,1,4[f 。（均差的计算） 7 设)())(()(10n x x x x x x x f ---= 求][1,0p x x x f 之值，其中1+≤n p ，而节点 )1,1,0(+=n i x i 互异。（均差的计算） 8 如下函数值表 建立不超过三次的牛顿插值多项式。（牛顿插值多项式的构造） 9求一个次数小于等于三次多项式)(x p ，满足如下插值条件：2)1(=p ，4)2(=p ， 3)2(='p ，12)3(=p 。（插值多项式的构造）
数值分析常微分数值解的求法C语言
本科生课程设计报告实习课程数值分析 学院名称管理科学学院 专业名称信息与计算科学 学生姓名 学生学号 指导教师 实验地点 实验成绩 二〇一六年六月二〇一六年六 摘要 常微分方程数值解法是计算数学的一个分支.是解常微分方程各类定解问题的数值方法.现有的解析方法只能用于求解一些特殊类型的定解问题，实用上许多很有价值的常微分方程的解不能用初等函数来表示，常常需要求其数值解.所谓数值解，是指在求解区间内一系列离散点处给出真解的近似值.这就促成了数值方法的产生与发展.
关键词：数值解法；常微分
1. 实验内容和要求 常微分方程初值问题 有精确解2()cos(2)x y x x e x -=+。 要求：分别取步长h = ，，，采用改进的Euler 方法、4阶经典龙格-库塔R －K 方法和4阶Adams 预测-校正方法计算初值问题。以表格形式列出10个等距节点上的计算值和精确值，并比较他们的计算精确度。其中多步法需要的初值由经典R-K 法提供。运算时，取足以表示计算精度的有效位。 2. 算法说明 函数及变量说明 表1 函数及变量定义 1、欧拉方法： 1()()(,())i i i i y x y x hf x y x +=+ （i=0，1，2，3，......n-1） (0)y a = (其中a 为初值)
2、改进欧拉方法： ~ 1~111()()(,()) ()()[(,())(,())] 2 (0)i i i i i i i i i i y x y x hf x y x h y x y x f x y x f x y x y a ++++=+=++=（i=0，1，2......n-1） (其中a 为初值) 3、经典K-R 方法： 1 1213 243()6 (,)(,)22(,)22 (,) i i i i i i i i i i h y y K f x y h h K f x y K h h K f x y K K f x h y hK +? =+?? =???=++?? ? =++??=++?? 4、4阶adams 预测-校正方法 预测： 校正： Adsms 内插外插公式联合使用称为Adams 预测-校正系统，利用外插公式计算预测，用内插公式进行校正。计算时需要注意以下两点： 1、外插公式为显式，内插公式为隐式。故用内插外插公式时需要进行迭代。 2、这种预测-校正法是四步法，计算Yn+1时，不但用到前一步信息，而且要用到更前三步信息1-n f ，2-n f 3-n f ，因此它不是自动开始的，实际计算时必须借助某种单步法，用Runge-Kutta 格式为它提供初始值 3 21,,y y y ，依据局部截断误差公式得：
数值分析复习题答案
数值分析复习题 一、填空 Chapter1 绪论 近似数x*=0.4231关于真值x=0.4229有 3 位有效数字. 用1000.1近似真值1000时，其有效数字有 4 位， 已知准确值x*与其有t 位有效数字的近似值12 10.10(0)s n x a a a a =?≠的绝对误差为 1 x*-x 102s t -≤ ?。 设 2.40315x * =是真值 2.40194x =的近似值，则x * 有 3 位有效数字。 设一近似数x*=2.5231具有5位有效数字，则其相对误差限是44 11 1010224--?=?? ，其绝对误差限是4 1 102-?。 当x 很大时，为防止损失有效数字，应该使 = 。 Chapter2 插值方法 设642 ()3651f x x x x =+-+，则[3,2,1,0,1,2,3]f ---= 3 。 若 42 f(x)=2x +x -3, 则f[1,2,3,4,5,6]= 0 。 对 32f(x)=x +3x -x+5,差商f[0,1,2,3,4]= 0 。 设 643()35f x x x x =-+-，则差商[0,1,2,3,4,5,6]f = 1 。 已知y=f(x)的均差 021[,,]5f x x x =, 402[,,]9f x x x =, f[x4, x3, x2]=14， f[x0, x3, x2]=8 ,.那么 均差f[x4, x2, x0]= 9 。（交换不变性） 设有数据112 032 x y -则其 2 次 Larange 插值多项式为 32 (1)(2)(1)(1)23x x x x -+-++-，2次拟合多项式为 （最佳平方逼近可求）。？？？ 以n + 1个 整 数 点k ( k =0,1,2,…,n) 为 节 点 的 Lagrange 插 值 基 函 数 为 ()k l x ( k =0,1,2,…,n)，则 n k k=0 kl (x)= ∑ x 。？？（注： k y k =，则有拉格朗日插值公式：
数值分析思考题1
数值分析思考题1 1、讨论绝对误差（限）、相对误差（限）与有效数字之间的关系。 答：（1）绝对误差（限）与有效数字：将x 的近似值x *表示成 x *=±10m ×(a 1×10﹣1+a 2×10﹣2+ …a n ×10﹣n +…+a k ×10﹣k +…)，其中m 是整数，a 1≠0，a 1，a 2，…，a k 是0到9中的一个数字。若绝对误差e ，那么x *至少有n 个有效数字，即a 1，a 2，…，a n 为有效数字，而a n+1，…，a k ，…不一定是有效数字。因此，从有效数字可以算出近似数的绝对误差限；有效数字位数越多，其绝对误差限也越小。 （2）相对误差（限）与有效数字：将x 的近似值x *表示成 x *=±10m ×(a 1×10﹣1+a 2×10﹣2+ …a n ×10﹣n +…+a k ×10﹣ k +…)，其中m 是整数，a 1≠0，a 1，a 2，…，a k 是0到9中的一个数字。若a k 是有效数字，那么相对误差不超过 ;反之，如果已知相对误差r ，且有，那么a k 必为有效数字。 2、相对误差在什么情况下可以用下式代替 答：在实际计算时，由于真值常常是未知的，当较小时，通常用代替。 3、查阅何谓问题的“病态性”，并区分与“数值稳定性”的不同点。 r e x x e x x *****-==
- 答：（1）病态问题：对于数学问题本身，如果输入数据有微小变化，就会引起输出数据（即问题真解）的很大变化，这就是病态问题。 （2）不同点：数值稳定性是相对于算法而言的，算法的不同直接影响结果的不同；而病态性是数学问题本身性质所决定的，与算法无关，也就是说对病态问题，用任何算法（或方法）直接计算都将产生不稳定性。 4、 取 ，计算 ，下列方法中哪种最好为什么 （1）(33-，（2）(27-，（3）()31 3+，（4）()61 1，（5） 99-答：（1）(33-==； （2）(27-==； （3） ()3 13+=； （4）()611+=； （5）99-=； 由上面的计算可以看出，方法（3）最好，因为计算的 误差最小。 ， 141.≈)61
数值分析实验——数值积分
桂林电子科技大学 数学与计算科学学院实验报告 实验室： 06406 实验日期： 2014 年 11 月 21 日 院（系） 数学与应用数学 年级、专业、班 姓名 成绩 课程 名称 数值分析实验 实验项目 名 称 实验积分 指导 教师 李光云 一 、实验目的 通过实验掌握利用Matlab 进行数值积分的操作，掌握Matlab 中的几种内置求积分函数，进一步理 解复化梯形，复化辛普生公式，并编程实现求数值积分 二、实验原理 Matlab 中，有内置函数计算积分： >> z = trapz(x,y) 其中，输入x ，y 分别为已知数据的自变量和因变量构成的向量，输出为积分值。 >> z = quad(fun,a,b) 这个命令是使用自适应求积的方法计算积分的命令。其中，fun 为被积函数，a ，b 为积分区间。 我们还可以利用复化梯形公式 ()()()()?? ? ??++-=∑-=11022n i i n x f x f x f n a b I 三、使用仪器，材料 电脑 MATLAB 四、实验内容与步骤 1. 编写复化辛普生公式的Matlab 的程序。 2. 利用复化梯形法程序计算1 2041I dx x =+?，记录下计算结果随着n 增加的变化情况，画图与复化梯形公式的情况比较收敛速度。 3. 积分 ?dx x x sin 的原函数无法用初等函数表达，结合Matlab 复化梯形程序，用描点法绘制其原函数?x dt t t 1sin 在区间[]50,1的图形。 五、实验过程原始记录（数据，图表，计算等）
一、 复化Simpson公式程序： function s=Simpson(a,b,n) %输出s为积分的数值解，输入(a,b)为积分区间，n为等分区间的个数. h=(b-a)/(n*2); s1=0; s2=0; s=h*(f(a)+f(b))/3;%先计算特殊两点相加. for k=1:n x1=a+h*(2*k-1); %利用循环计算其他点的相加. s1=s1+f(x1); end for k=1:(n-1) x2=a+h*2*k; %利用循环计算其他点的相加. s2=s2+f(x2); end s=s+h*(4*s1+2*s2)/3; 画图程序 format long; % k为等分区间个数，t存储积分值. k=2:1:40; for i=1:length(k) t(i)=Simpson(0,1,k(i)); disp([k(i),t(i)]); end plot(k,t,'.','MarkerSize',20) 二、 Simpson(0,1,26) ans = 3.14159265358779 >> Untitled6 2.00000000000000 3.14156862745098 3.00000000000000 3.14159178093604 4.00000000000000 3.14159250245871 5.00000000000000 3.14159261393922 6.00000000000000 3.14159264030538 7.00000000000000 3.14159264832065 8.00000000000000 3.14159265122482