《3.1.3导数的几何意义》教学案1
《3.1.3导数的几何意义》教学案
教学目标：
1知识与技能：通过实验探求和理解导数的几何意义，理解导数在研究函数性质中的作用，培养学生分析、抽象、概括等思维能力.
2过程与方法：在寻找切线新定义的过程中，使学生通过有限认识无限，发现数学的美；通过“以直代曲”思想的具体运用，使学生达到思维方式的迁移，了解科学的思维方法.
3情感、态度与价值观：在导数几何意义的推导过程中，渗透逼近和以直代曲的思想，使学生了解近似与精确间的辨证关系，激发学生勇于探索、勤于思考的精神.
教学重点：
运用导数的几何意义研究函数
教学难点：
导数几何意义的推导思路
教学过程：
一复习回顾
1.平均变化率
2.瞬时变化率
3.导数的定义
4.点斜式直线方程
二新课讲授
1、导数的几何意义:
我们发现，当点Q沿着曲线无限接近点P，即Δx→0时，割线PQ如果有一个极限位置PT.
则我们把直线PT 称为曲线在点P 处的切线.
那么当Δx →0时，割线PQ 的斜率趋向于过点P 的切线PT 的斜率
2、例题讲解
例1 求抛物线y =x 2
在点P (1，1)处的切线的斜率.
解：在点(1，1)切线的斜率是
即:
'
00000()()()lim lim
x x f x x f x y
k f x x x
?→?→+?-?===??切线
()()()()'000,.
y f x x f x f x =由导数意义可知，曲线过点的切线的斜率等于
'0202
0(1)(1)(1)lim
(1)1lim 2()lim 2.x x x f x f f k x x x
x x x
?→?→?→+?-=?+?-=??+?==? 因此，抛物线y =x 2
在点(1，1)切线的斜率为2.
例2.求双曲线1y x =过点1
(2,)2
的切线方程. 解：因为
00(2)(2)lim
11
22
lim 11
lim ,2(2)4
x x x f x f x
x x
x ?→?→?→+?-?-
+?=?==-+? 所以，这条双曲线在点1
(2,)2的切线的斜率为1.4
- 由直线方程的点斜式，得切线方程为
11
1
(2), 1.24
4
y x y x -
=--=-+即
例3 求抛物线y =x 2
过点5
(,6)2
的切线方程.
解：设此切线经过抛物线上的点2
00(,).x x 由例1及导数的意义知此切线的斜率为2x 0.又因为此切线过点5(,6)2
和点2
00(,).x x 其斜率应满足
20006
2,
5
2
x x x -=-
由此x 0应满足20
0560.x
x -+=
解得x 0=2，3.即切线过抛物线上的点(2，4)，(3，9).所以切线方程分别为 y -4=4(x -2) ， y -9=6(x -3) . 化简得
y =4x -4， y =6x -9. 此即所求的切线方程.
小结:
求过某点P曲线的切线方程的一般步骤：
(1)判断点P是否在曲线上.
(2)若点P在曲线上，
3)若点P不在曲线上，设出切点坐标，利用切线的斜率，求出切点的坐标.代入点斜式，求出切线的方程.