对高中数学新教材第二章《函数》的认识
对高中数学新教材第二章《函数》的认识
广州市教育局教研室赵荻帆
一、映射与函数
函数是中学数学最重要的基本概念之一，它不仅是学习中学数学后继内容的基础，而且也是进一步学习高等数学的基础，同时，函数这部分学习内容所蕴涵的数学思想方法也广泛地渗透到中学数学的全过程和其它学科之中。因此，对本章内容力求学习得更好一些。
函数这一章的内容可分为三个单元。
第一单元：映射与函数，主要介绍映射、函数、函数的单调性、函数的奇偶性、反函数及互为反函数的函数图象间的关系。这部分是学习本章内容的基础。
第二单元：指数与指数函数
第三单元：对数与对数函数
本章最后一节安排了函数应用举例，为全章知识的综合运用，是近年高考的热点。
2.1 映射
1.映射是高等数学中最基本、最重要的概念之一，它的定义为：设A与B是两个集合，如果按照某种对应法则f，使得对于集合A 中的任一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，则称这
一对应(三个要素：集合A、B以及A到B的对应法则f )为集合A 到集合B的映射，记作f：A→B.
2.如果有映射f：A→B，使得a∈A和b∈B对应，则称b为a(在f下)的象，a称为b的原象.
3.对于映射这一概念，应使学生明确以下几点：
(1)映射中的两个集合A，B可以是数集、点集或由图形组成的集合等。集合与对应是两个基本数学概念，只按字面来了解，不作数学定义。
(2)映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射。
(3)映射要求对于集合A中的每一个元素，在集合B中都有它的象，并且这个象是唯一确定的。这种集合A中元素的任意性和在集合B中对应元素的唯一性是映射的重要性质，缺一不可。
(4)映射允许集合B中的某些元素在集合A中没有原象。也就是由象组成的集合(象集)C B.
(5)映射允许集合A中不同元素在集合B中有相同的象，即映射可以是“多对一”或“一对一”，但不能是“一对多”。
例1 己知映射f：A→B，集合A =｛－3，－2，－1，1，2，3，4｝，集合B中的元素都是A 中的元素在映射f下的象，且对任意a∈A，在B中和它对应的元素是∣a∣，则集合B中的元素
的个数是( ).
(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D)7
解：对应法则 a →∣a ∣，而a ∈｛－3，－2，－1，1，2，3，4｝，∴ ∣a ∣∈｛1，2，3，4｝，即B=｛1，2，3，4｝.象集是集合B.故选(A).
例2 己知(x ，y )在映射f 作用下的象是(xy ，x +y ) （1）(－2，3)的象； （2）求(2，－3)的原象.
解：（1）用xy =－6，x +y =1， ∴ (－2，3) 的象为(－6，1).
(2)设(2，－3)的原象为(a ，b ).依题意
，??
?-=+=3
2
b a ab 解之，得 ??
?-=-=，
12
11b a ??
?-=-=.
21
22b a ∴(2，－3)的原象是(－2，－1)和(－1，－2).
2.2 函数
1. 关于函数的定义
① 传统定义 设在某个变化过程中有两个变量 x 和y ，如果对于x 在某一范围内的每个确定的值，y 都有唯一确定的值与之对应，那么就称y 是x 的函数，x 叫做自变量.
② 近代定义 设A ，B 是两个非空数集，f ：x →y 是从集合A 到B 的一个映射，则称该映射f ：A →B 为函数.记作y=f (x ).其中.原象的集合A 叫做定义域，象的集合C (C ?B )叫做函数y=f (x )的值域.
两个定义本质上是一致的①从运动观点出发，②从集合、映射观点出发，在两个非空数集上建立特殊映射。函数的三大要素是：定义.域、值域、对应法则。
判断两个函数是否为同一函数，必须三个要素完全一致。 函数的表示方法： ①
解析法：两个变量用一个等式表示，这个等式叫做解析式；
② 列表法； ③
图象法。
分段函数是一个函数，只不过在不同子区间对应法则不同而矣。甚至函数图象处处不连续，也可看作分段函数。
例 D (x )=)
(0)(1为无理数，
为有理数x x ??
?
如何确定常见函数的定义域？
( 1 )当f (x )是整式时，定义域是实数集R ；
( 2 )当f (x )是分式时，定义域是使分母不为0的x 取值的集合
(R 的子集)；
( 3 ) 当f (x )是二次根式(偶次根式)时，定义域是使被开方式取非负值的x 取值的集合(R 的子集)；
( 4 ) 当f (x )是由几个数学式子组成时，定义域是使各个式子都有意义的x 取值的集合(R 的子集)；
( 5 ) 当f (x )表示实际问题中的函数关系时，应考虑在这实际问题中x 取值的意义。
例1. 已知f (x +1)=，262++x x 求f (0)，f (x ).
解： 当x =－1时， x +1=0， f (0)= f (－
1+1)= (－1)2 +6(－1)+2=－3.
法一：变量代换 令 x +1=t ，则 x =t －1， f (t )=( t －1)2+6(t －1)+2 =t 2+4 t －3
f (x ) = x 2+4 x －3. f (0) =－3.
法二：配凑法
f (x+1) =( x 2+2x+1)+(4 x +4)+2－5 =(x +1)2+4(x +1)－3 ∴ f (x ) = x 2+4 x －3.
例2 己知函数f (x )的定义域为〔0，1〕，求函数f (2x )和f (x +1)的定义域.
解：0≤2x ≤1?0≤x ≤21，∴ f (2x )的定义域为〔0，2
1〕.
0≤x +1≤1?－1≤x ≤0， ∴ f (x +1)的定义域.为〔－1，0〕. 例3 求函数x x y 21--=的值域.
解：换元 设t =t 21-，则 t 2 =1－2x . 2x =－t 2 +1.
2
1
212+-=t x (t ≥0).
∴ 1)1(2
1
212122++-=+--=t t t y (t ≥0)
故值域为〔－∞，2
1
〕.
求值域的方法：观察、配方、换元、⊿法等。 2.3 函数的单调性和奇偶性
什么叫做函数的单调性？
设给定区间B 上的函数f (x )，对任x 1，x 2∈B (x 1＜x 2)， 如果都有f (x 1)＜ f (x 2)，那么称函数f (x )在间B 上是增函数， 如果都有f (x 1) ＞ f (x 2)，那么称函数f (x )在间B 上是减函数. 可以表述为：(x 1－x 2)〔f (x 1)－ f (x 2)〕＞0为增函数，
(x 1－x 2)〔f (x 1)－ f (x 2)〕＜0为减函数，
如果函数f (x )在某区间B 上是增函数或减函数，那么称f (x )
在区间B 上具有(严格的)单调性，并把区间B 叫做f (x )的单调区间.
函数的单调性是函数的整体性之一 ① 函数的单调性(不说函数的增减性)
②在某某区间上是增(减)函数(不说“在某某区间内是增(减)
函数”).实际上，函数的单调性不涉及区间端点问题，“上”
包含了“内”，“内”却不包含“上”用“上”能较好地反映函数的整体性质.
③在定义域内是增(减)函数(不说“在定义域上是增(减)函数)
这仅仅是为了符合语言使用习惯.
④在定义域内或某某区间上是增(减)函数(不说“在定义域内
或某某区间上单调递增(减)”)，实际上“单调递增(减)”
可以是不严格的增(减)，而且也不仅仅对于区间来定义，它是更广泛的概念，中学不予介绍.类似地教科书中只引入“单调区间”，而不使用“单调递增(减)区间”这些词语.
在教学中更不能省略成“单增”、“单减”.
⑤增函数、减函数(不使用单调函数)，实际上“单调函数”
通常是指整个定义域内只具有一种单调性的函数，不能在有的区间上增，有的区间上减.
研究函数的单调性，必须在定义域内的给定区间上，例如1的定义域是(－∞，0)∪(0，+∞)，它在(－∞，0)上f(x)=
x
是减函数，在(0，+∞)上也是减函数，但不能说在定义域内是减函数.
怎样利用己知函数的单调性来判定较复杂函数的单调性？
若函数f (x )、 g (x )在区间上B 具有单调性，那么在区间B 上： (1) f (x )与 f (x )+c (c 为常数) 具有相同的单调性； (2)
f (x )与c f (x )当c ＞0时，具有相同的单调性；
当c ＜0时，具有相反的单调性；
(3) 当 f (x )恒不为零时，f (x )与
)
(1
x f 具有相反的单调性； (4)
当f (x )恒为非负时，f (x )与)(x f 具有相同的单调性；
(5) 当f (x )、 g (x )都是增(减)函数时，则f (x )+ g (x )也是增(减)
函数； (6)
当f (x )、 g (x )都是增(减)函数时，则f (x )× g (x )当f (x )、 g (x )两者都恒大于0时，也是增(减)函数，当两者都恒小于0时是减(增)函数.
至于按定义来证明函数的单调性，通常须五步： 取值——求差——变形——定号——判断
(分解因式、配方等)
函数的奇偶性
一般地，设函数f (x )，对于其定义域内的任意一个x 值， 如果都有f (－x )= － f (x )，那么称f (x )为奇函数； 如果都有f (－x )= f (x )，那么称f (x )为偶函数；
如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么称函数f(x)具有奇偶性，
函数的奇偶性是函数的整体性质之一.
(1)函数的奇偶性是针对函数的定义域讲的，由于任意的x与－x都要在定义域内，所以奇(偶)函数的定义域关于原点对称.我们判定函数是否具有奇偶性时，应首先确定其定义域关于原点是否对称，不对称，就没有奇偶性，只有定义域对称，才能使函数图象关于原点或y轴对称.
(2)既是奇函数又是偶函数的函数，一定有解析式y= f(x)=0，但它的定义域可以各色各样(必须关于原点对称)，所以不是唯一的.解析式不为f(x)=0的函数，不可能既是奇函数，又是偶函数.
(3)奇(偶)函数还具有以下性质：
①两个奇(偶)函数的和(差)也是奇(偶)函数；
②两个函数的积(商、分母恒不为0)，当其奇偶性相同时为
偶函数，当其奇偶性相反时为奇函数.
奇(偶)函数在其定义域内关于原点对称的区间上，单调性相同(反).偶函数一般不存在反函数；如果一个奇函数有反函
数，那么其反函数也是奇函数.
构造奇(偶)函数的简单方法：
设f(x)是定义域关于原点对称的函数，则
1〔f(x)+ f(－x)〕是偶函数，
F1(x)=
2
1〔f(x) －f(－x)〕是奇函数.
F2(x)=
2
所以f(x)总可以表示成一个偶函数与一个奇函数之和.事实上
f(x)= F1(x)+ F2(x)
怎样把握具体函数的整体性质和局部性质？
函数的单调性、奇偶性都是函数的整体性质，此外还有有界性、连续性、可微(积)性等.
函数的局部性质主要是指函数在某点处的值. 如在x=x0处的值y0，定义域内的最大(小)值.
例1己知奇函数f(x)在闭区间〔3，7〕上是增函数，且最小值是5，那f(x) 在闭区间〔－7，－3〕上是( ).
(A)增函数且最小值是－5
(B)增函数且最大值是－5
(C)减函数且最小值是－5
(D)减函数且最大值是－5
例2已知y=f(x)在R上是偶函数，而且在(0，+∞)上是增函数，
(1)证明y=f(x)在(－∞，0)上是减函数：
(2)比较f( )和f(－3)的大小；
(3)解不等式f(x)＞f(5).
解：(1)任取x1
、x2∈(－∞，0)，且x1＜x2，
∵f(x)为偶函数，
∴f(－x1)= f(x1)，f(－x2)= f(x2)，
∵x1＜x2＜0，－x1＞－x2＞0，
又f(x) 在(0，+∞)上是增函数，
∴f(－x1) ＞f(－x2)，即f(x1) ＞f(x2).
∴y=f(x)在(－∞，0)上是减函数.
(2)∵f(x)为偶函数，∴f(－3)= f(3).
∵π＞3＞0，f(x) 在(0，+∞)上是增函数，
∴f(π)＞f(3). 即f(π)＞f(－3)
(3).若x＞0，则x、5∈(0，+∞).
又f(x) 在(0，+∞)上是增函数，而f(x)＞f(5)
∴x＞5.
若x＜0，则由f(x)＞f(5)亦可得f(－x)＞f(5).
此时－x、5∈(0，+∞). f(x) 在(0，+∞)上是增函数，
∴－x＞5. 即x＜－5.
故f(x)＞f(5)的解为x＞5或x＜－5.
2.4 反函数
一般地，如果确定函数y=f(x)的映射f是函数的定义域到值域“上”的“一一映射”，那么由f的“逆”映射f－1所确定的函数x=f－1(y)就叫做函数y=f(x)的反函数.
反函数x=f－1(y)的定义域、值域分别为函数y=f(x)的值域、定义域.
这样定义的反函数有一定的局限性，事实上函数y=f(x)和x=f －1(y)表示的是同一种关系，两者的图象是一致的，这样，在同一个坐标系中，如果不记住是从x到y还是从y到x，就分不清函数的图象和它的反函数的图象了.为此，我们按照用x表示自变量，用y表示函数的习惯，把函数式x=f－1(y)中的字母x，y 对调一下，从而把函数y=f(x)的反函数x=f－1(y)改写成y=f－1(x).这样函数的解析式和图象都变了，叫做矫形反函数.在教科书中，函数的反函数都是指它的矫形反函数.
一般地讲，偶函数一定不存在反函数，奇函数不一定存在反函数，如果有反函数，那么原函数y=f(x)与它的反函数是互为反函数.
求反函数时，应先确定原函数的值域，这样，反函数的定义域便确定了.
求反函数的步骡是“一解、二换”.
一解：即首先由给出的原函数解析式y=f(x)，反解出用y表示x的式子x=f－1(y)；
二换：即是将x=f－1(y)中的x，y互换，得到y=f－1(x).
应该注意：
(1)在y=f(x)与x=f－1(y)中，字母x，y但所表示的量相同，
但地位不同，在y=f(x)中，x是自变量，y是x的函数；
在x=f－1(y)中，y是自变量，x是y的函数.
(2)在y=f(x)与y=f－1(x)中，字母x都是自变量，y是x
的函数.即x，y地位相同，但这时x与y表示的量的
意义却互换了.
(3)在同一直角坐标系中，y=f(x)与x=f－1(y)是同一图象，
而y=f(x)与y=f－1(x)的图象关于直线y=x对称.
注意利用函数图象来研究函数的性质
函数图象可直观地，生动地反映函数的某些性质，因此研究函数性质应密切结合函数图象的特征，对应研究函数的
性质.所以要注意观察函数图象的变化趋势，总结函数的相关
性质，同时在研究函数性质时，头脑中要有相应函数图象来
印证.因此，记住某些函数图象的草图，养成分析问题的习惯，形成数形结合研究问题的意识.
例1. 若函数y=f(x)的反函数是y=g(x)，f(a)=b，ab≠0，则
g(b)=( ).
(A) a(B) a－1 (C) b(D) b－1
解：由f(a)=b，得g(b)=g〔f(a)〕，
∵f(x)与g(x)互为反函数，
∴ g 〔f (a )〕= a . ∴ g (b )=a . 故选(A).
例2 己知 f (2x )=
x x 2+，求f －1 (2x
) .
解：由f (2x )=x x 2+，得f (x )=x
x x x 1
222+=
+. 即 y =
).1(1≠+y x x 解得 x =11-y ， 故 f －1 (x )=)1(1
1≠-x x . 即 f －1 (2
x ) =
)2(2
2
12
1≠-=
-x x x
. 例3 求函数???-≥-=)
0(12)0(12πx x x x y ，
的反函数.
解：由)0(12≥-=x x y ) 解得 x 2=y +1， ∵ x ≥0，∴ x =，)1(1-≥+y y
又由 y =2x －1(x ＜0解得 x =)1)(1(2
1
-+πy y .
∴???-≥-=)0(12)0(12πx x x x y ， 的反函数为f －1 (x )=，???
??-+-≥+)1)(1(2
1)1(1πx x x x
例4己知(1，2)既在b ax y +=的图象上，又在其反函数的图象上，求a ，b 的值.
解：∵ 点(1，2)既在b ax y +=的图象上， ∴ ，2=+b a 即 a+b=4， ①
又∵ 点(1，2) 在b ax y +=的反函数的图象上， ∴ 点(2，1) 在b ax y +=的图象上. ∴ 12=+b a ，即 2a+b=1. ②
由①、②联立，解得 ?
??=-=.73b a ，
故 a ，b 的值分别为－3、7.
二、指数与指数函数
2.5 指 数
随着指数范围扩充，幂的运算性质可以合并和简化正整数指数幂的运算性质：
(1) a m ·a n =a m+ n (m 、n ∈N * )； (2) (a m )n =a mn (m 、n ∈N * )； (3) (ab )n =a n b n (n ∈N * )；
(4)
a m ÷a n =a m -- n (a ≠0 m 、n ∈N *， m ＞0)；
(5) (b
a )n =n n
b a (b ≠0 ，且n ∈N *)；
当指数的范围扩大到整数集Z 之后，幂的运算性质可以合并： (1)′ a m ·a n =a m+ n (m 、n ∈Z )； (2)′ (a m )n =a mn (m 、n ∈Z )； (3)′ (ab )n =a n b n (n ∈Z ).
注意：零指数、负整指数幂底数不能等于0.
当指数的范围扩大到有理数集Q 以至实数集R ，仉然符合上述三条运算性质：
(1)′ a r ·a s =a r+ s (a ＞0，r 、s ∈Q )；
(2)′ (a r )s =a rs (a ＞0，r 、s ∈Q )； (3)′ (ab )r =a r b r (a ＞0，b ＞0，r ∈Q ). 怎样证明？ 设r=
n
m ，s=q
p ，(其中m 、n 互质，p 、q 互质，且n ＞1，q
＞1)
(1)′
a r ·a s =a n
m
·q p
a =，q p n m a a
∴ nq q p nq n m nq q p n m nq s r a a a a a a )()()()(?=?=? =a mq ·a nq =a mq+nq . ∴ a r ·a s =nq np mq a + ① 又 a rs = a n
m +q
p =a .nq
np mq nq
np mq a a
++=
②
由①、②得 a r ·a s =a r+ s . (2)′
(a r )s =q p n m q p
q
m n
m a a a q
p
)()()(==
=
a a a
a
nq mp
nq
mp
q n
mp
===
rs .
(3)′
(ab )r =(ab )=?===n m n m n m m n m n
m b a b a ab )( a r b r .
例1 计算：03
1
11)3()27
102()512()101(972++-+---.
解： 原式=43)12131(51011431251003
5+-+=++-
+ =101+5.1034
3
41=+?
例2 化简：)21)(21)(21)(21(2
14
18
116
1-
-
-
-
++++.
解：
16
11612
121-
-
--)21)(21)(21)(2
1(2
14
18
116
1-
-
-
-
++++
)21)(21(2
118
18
116
1---+--=
)21)(21(2
14
1-
-++ )21)(21)(21(211
2
14
14
116
1----
++--=
)21)(21(2
112
12
116
1---+--=
.2
21)21(2
1116
15116
1-=
--=
--
例3 化简：
.1
1
11
13
13
13
13
132---
+++
++-x x
x x x x x x
解： 原式=)1()1()1(3
13
13
13
23
1+-+-+-x x x x x
=.3
1x -
例4 计算 6354952+?- 解：原式=635522452+?+?- =
3
52*-
.
例5 计算 ).0()(233
1525
9≠÷?--ab b a b a 解：原式=.1)(005
25
35
25
3==??--b a b a b a
例6 己知 .2
3
32
22
32
32
121的值，求
-+-+=+--
-x x x x x
x 解：由，3212
1
=+-x x 得，9)(2
12
1=+-x x .71=+-x x ∴ ，49)(1=+-x x x 2+x -2=47.
，18)17(3)1)((12
12
1
2
32
3=-=+-+=+--
-x x x x x
x
∴ 原式=
.3
1
4515247318==-- 2.6 指数函数
在指数函数的解析式y=a x 中，为什么规定a ＞0且a ≠1？ (1)如果a =0，那么当x ＞0时，a x ≡0. 当x ≤0时，a x 无意义.
(2)如果a ＜0，那么对于x 的某些数值，可使. a x 无意义.
例如当a =－4，.且x=2
1
时，.4)4(21
-=-=x a 无意义.
(3)如果a =1，那么对于任何x ∈R ，a x ≡1.对它没有研究的必要.
在规定了a ＞0且a ≠1以后，那么对于任何x ∈R ，a x 都有意义且a x ＞0，因此，指数函数的定义域是R ，值域是(0，+∞).要注意指数函数的解析式y=a x 中a x 的系数是1.有些函数貌似指数函数，实际上却不是.
例如 y =a x+k (a ＞0且a ≠1，k ∈Z ). 有些函数看起来不像指数函数，实际上却是. 例如 y =a -x (a ＞0且a ≠1).
它可化为 y =.)1()(1x x a
a =-(a -1＞0且a -1≠1)
当x ∈R ，函数y =2x ， y =2x +1，y =2x+1，y =－2x ，y =2-x 图象之间有什么关系？
(1) 将函数y =2x 的图象沿y 轴向上平移1个单位长度，就
得到 y =2x +1的图象；
(2) 将函数y =2x 的图象沿x 轴向左平移1个单位长度，就得到 y =2x+1的图象；
(3) 将函数y =2x 的图象关于x 轴作“对称变换”(即画出它关于x 轴对称的图形)就得到 y =－2x 的图象；
(4) 将函数y =2x 的图象关于y 轴作“对称变换”(即画出它关于y 轴对称的图形)就得到 y =2-x 的图象；
等价化归在求解函数定义域、值域和判断函数的奇偶性、单调性中的作用：
等价化归很讲究技巧，要通过经常认真的训练才能获得.
例1 己知函数)10(1
1
)(≠+-=a a a a x f x x 且φ.
(1) 判断函数f (x )的奇偶性； (2) 求函数的值域.
解：1
1
11)()(+-++-=-+--x x x x a a a a x f x f
=)1()1(11+-++---x x x x x x a a a a a a =
01
1
11=++-++-x x x x a a a a 故 f (x )= －f (－x )，即f (x )为奇函数.
f (x )=.1
2
112111+-=+-+=+-x x
x x x a a a a a
∴ a x ＞0，012
22120ππππ
+--+x x a a ， －1＜1－11
2
π+x a . f (x )∈(－1，1).
添加辅助元素(线、角、辅助函数)
例2 己知x ，y ∈R ，且2x +3y ＞2-x +3-y ，求证：x +y ＞0. 这个不等式两边都含有x ，y 两个变量，而学生目前只学习一元函数，为此先把它化归成等价形式
2x －3-x ＞2-y －3y ，
使它两边都只含一个变量，于是可构造一个辅助函数： f (x )= 2x －3-x
由于指数函数2x 是增函数，3-x =(x )3
1是减函数，－3-x 是增函数，因此，f (x )= 2x －3-x 是增函数
因 2x －3-x ＞2-y －3y =2-y －3-(-y )， 可知 f (x ) ＞ f (－y ) ， 即 x ＞－y . ∴ x +y ＞0 .
把条件不等式化归成与它等价的不等式，也是“化归”思想的运用.而构造辅助函数在完成证明的过程起了重要的作用.
例3 设)()1
22
1()(x f x F x
?-+=(x ≠0)是偶函数.且f (x )不恒等于零，则f (x )是( ).
(A)奇函数 (B)偶函数
(C)可能是奇函数，也可能是偶函数
人教版高中数学教材最新目录 (1)
人教版普通高中课程标准实验教科书数学 必修一 第一章集合与函数概念 1．1集合 1．2函数及其表示 1．3函数的基本性质 第二章基本初等函数（Ⅰ） 2．1指数函数 2．2对数函数 2．3幂函数 第三章函数的应用 3．1函数与方程 3．2函数模型及其应用 必修二 第一章空间几何体 1．1空间几何体的结构 1．2空间几何体的三视图和直观图 1．3空间几何体的表面积与体积 第二章点、直线、平面之间的位置关系2．1空间点、直线、平面之间的位置关系 2．2直线、平面平行的判定及其性质 2．3直线、平面垂直的判定及其性质 第三章直线与方程 3．1直线的倾斜角与斜率 3．2直线的方程 3．3直线的交点坐标与距离公式 必修三： 第一章算法初步 1．1算法与程序框图 1．2基本算法语句 1．3算法案例 第二章统计 2．1随机抽样 阅读与思考一个著名的案例 阅读与思考广告中数据的可靠性 阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应 2．2用样本估计总体 阅读与思考生产过程中的质量控制图 2．3变量间的相关关系 阅读与思考相关关系的强与弱 第三章概率 3．1随机事件的概率 阅读与思考天气变化的认识过程3．2古典概型 3．3几何概型 阅读与思考概率与密码 必修四： 第一章三角函数 1．1任意角和弧度制 1．2任意角的三角函数 1．3三角函数的诱导公式 1．4三角函数的图象与性质 1．5函数y=Asin（ωx+ψ） 1．6三角函数模型的简单应用 第二章平面向量 2．1平面向量的实际背景及基本概念 2．2平面向量的线性运算 2．3平面向量的基本定理及坐标表示 2．4平面向量的数量积 2．5平面向量应用举例 第三章三角恒等变换
高中数学必修1课后习题答案完整版
高中数学必修1课后习题答案 第一章 集合与函数概念 1．1集合 1．1．1集合的含义与表示 练习（第5页） 1．用符号“∈”或“?”填空： （1）设A 为所有亚洲国家组成的集合，则：中国_______A ，美国_______A ， 印度_______A ，英国_______A ； （2）若2 {|}A x x x ==，则1-_______A ； （3）若2{|60}B x x x =+-=，则3_______B ； （4）若{|110}C x N x =∈≤≤，则8_______C ，9.1_______C ． 1．（1）中国∈A ，美国?A ，印度∈A ，英国?A ； 中国和印度是属于亚洲的国家，美国在北美洲，英国在欧洲． （2）1-?A 2 {|}{0,1}A x x x ===． （3）3?B 2{|60}{3,2}B x x x =+-==-． （4）8∈C ，9.1?C 9.1N ?． 2．试选择适当的方法表示下列集合： （1）由方程2 90x -=的所有实数根组成的集合； （2）由小于8的所有素数组成的集合； （3）一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合； （4）不等式453x -<的解集． 2．解：（1）因为方程2 90x -=的实数根为123,3x x =-=， 所以由方程2 90x -=的所有实数根组成的集合为{3,3}-； （2）因为小于8的素数为2,3,5,7， 所以由小于8的所有素数组成的集合为{2,3,5,7}； （3）由326y x y x =+??=-+?，得14x y =??=? ， 即一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点为(1,4)，
高中数学必修1第二章课后习题解答
新课程标准数学必修1第二章课后习题解答 第二章 基本初等函数（I ） 2．1指数函数 练习（P54） 1. a 2 1=a ,a 4 3=43a ,a 5 3-= 5 3 1 a ,a 3 2- = 3 2 1 a . 2. (1)32x =x 3 2, (2)43)(b a +=(a +b )4 3, (3)32 n)-(m =(m -n )3 2, (4)4n)-(m =(m -n )2,(5)5 6q p =p 3q 2 5,(6) m m 3=m 2 13- =m 2 5. 3. (1)(4936)23 =［(76)2］23 =(76)3=343 216; (2)23×35.1×612=2×32 1×(2 3)31×(3×22)61=231311--×361 3121++=2×3=6; (3)a 21a 4 1a 8 1- =a 8 14121-+=a 8 5 ; (4)2x 3 1- (21x 31-2x 32-)=x 3131+--4x 32 21--=1-4x -1=1x 4 -. 练习（P58） 1.如图 图2-1-2-14 2.(1)要使函数有意义,需x -2≥0,即x ≥2,所以函数y =3 2 -x 的定义域为｛x |x ≥2｝; (2)要使函数有意义,需x ≠0,即函数y =(2 1 )x 1 的定义域是｛x ∣x ≠0｝. 3.y =2x (x ∈N *) 习题2.1 A 组（P59） 1.(1)100;(2)-0.1;(3)4-π;(4)x -y .
2解：(1) 6 2 3 b a a b =212 162 122 12 3)(?? ?b a a b =2 3 232121--?b a =a 0b 0=1. (2)a a a 2 12 1=21212 1a a a ?=2121a a ?=a 2 1. (3) 4 15643)(m m m m m ???= 4 16 54 13 12 1m m m m m ??= 4 165413121+++m m =m 0=1. 点评：遇到多重根号的式子,可以由里向外依次去掉根号,也可根据幂的运算性质来进行. 3.解：对于（1）,可先按底数5,再按 键,再按12,最后按,即可求得它的值.答案：1.710 0; 对于（2）,先按底数8.31,再按 键,再按1 2,最后按即可. 答案：2.881 0; 对于（3）这种无理指数幂,先按底数3,再按 键,再按 键,再按2,最后按 即可. 答案：4.728 8; 对于（4）这种无理指数幂,可先按底数2,其次按 键,再按π键,最后按 即可. 答案：8.825 0. 4.解：(1)a 3 1a 4 3a 12 7=a 1274331++=a 35; (2)a 32a 4 3÷a 6 5=a 6 54332-+=a 12 7; (3)(x 3 1y 43-)12=124 3123 1?-?y x =x 4y -9; (4)4a 32b 3 1- ÷(32-a 31-b 31 -)=(3 2-×4)31 313 1 32+-+b a =-6ab 0=-6a ; (5))2516(4 6 2r t s -2 3-= ) 2 3(4) 2 3(2) 2 3(6)23(2) 2 3 (45 2-?-?-?--?-?r t s =6393652----r t s =3 6964125s r r ; (6)(-2x 4 1y 3 1-)(3x 2 1-y 3 2)(-4x 41y 3 2)=［-2×3×(-4)］x 3 232314 12141++-+-y x =24y ; (7)(2x 21+3y 4 1-)(2x 2 1-3y 4 1-)=(2x 21)2 -(3y 41-)2=4x -9y 2 1 - ; (8)4x 4 1 (-3x 4 1y 3 1-)÷(-6x 2 1 - y 3 2- )=3 2 3121 41416 43+-++-?-y x =2xy 31 . 点评：进行有理数指数幂的运算时,要严格按法则和运算顺序,同时注意运算结果的形式,但结果不能既有分数指数又有根式,也不能既有分母又有负指数.
高中数学教师培训心得体会-心得体会模板
高中数学教师培训心得体会 数学是一们基础学科,也是是高考科目之一.高中数学知识的难度相对初 中数学来说比较大,内容比较多,有一部分同学由于不适应这种变化,数学成绩总是不如人意,甚至影响到学习的积极性,产生厌学心理.出现这样的情况,下面是本人整理的关于高中数学教师培训心得体会，欢迎阅读! 高中数学教师培训心得体会一 我很荣幸地参加了河北省20XX年中小学教师省级培训项目学习。培训的内容丰富多彩，培训的方式多种多样，既有专家的报告，又有特级教师的核心理念，还有视频观摩研讨。为期十天的培训，我感觉每天都是充实的，因为每天都要面对不同风格的讲师，每天都能听到不同类型的讲座，每天都能感受到思想火花的冲击。在培训中，我进一步认识了新课程的发展方向和目标，反思了自己以往在工作中的不足。作为一名中青年教师，我深知自己在教学上是幼稚而不成熟的，在教学过程中还存在太多的问题，但是，经过一段时间的学习，我相信我还是有收获的。一些对教育教学工作很有见解的专家以鲜活的案例和丰富的知识内涵，给了我具体的操作指导，使我的教育观念进一步得到了更新，真是受益匪浅。在千万教师中,能参加这样的培训，我想我是幸运的、是幸福的。 现将学习培训情况总结于后，呈请上级领导审阅，不当之处恳请批评指正。 一、学习收获： 此次培训学习河北师范大学领导非常重视，从授课人员安排来看：安排的大学教师全是教授级别的老师，中学全是全省以及全国知名的特级和优秀教师。从授课时间任务来看：时间紧任务重，但是河北师范大学的领导、老师(特别是班主任闫老师和张老师)特别尽职，安排具体，服务到位，一些细节工作落实得好，如我们的住宿安排，组织班级学员的交流活动等，大家比较满意，评价很高，
高中数学新教材改版内容
变化一：课程结构 修订的课标中课程分为选修课程、选择性必修课程以及必修课程。这三种课程非常明确： 1.选修课程：是为学生确定发展方向提供引导，为学生发展数学兴趣提供选择，为大学自主招生提供参考。如果学生要参加大学的自主招生，则必须根据自主招生学校要求选择其中的内容进行学习。 2.选择性必修课程：是为学生提供选择的课程，也是高考的内容要求。如果学生要参加高考就必须学习必修和选择性必修课程； 3.必修课程：为学生的发展提供共同基础，是高中毕业的数学学生水平考试内容，当然也是高考内容。如果学生只想高中毕业，那么学习必修课程就够了； 变化二：课程内容 1.必修和选修内容的调整：常用逻辑用语、复数由原来的选修内容调整为现在的必修内容；数列、变量的相关性、直线线与方程、圆与方程由原来的必修内容调整为现在的必选修内容； 2.内容的删减与增加：删去了必修三算法初步、选修2-2推理与证明以及框图（文科）这三章内容，删去了简单的线性规划问题、三视图；“解三角形”由原来单独的一章内容合并到“平面向量”这一章里了。必修和必选修均增加了数学建模与数学探究活动。 3.具体各章节内容的细微变化 ⑴必修课程
主题一：预备知识 预备知识包括了四个单元的内容：集合，常用逻辑用语，相等关系与不等关系，从函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式。 这四单元内容常用逻辑用语与相等关系和不等关系有变化外，其他内容与实验版课标内容基本一样。 变化的地方： ①删减了命题及其关系——原命题、逆命题、否命题、逆否命题； ②删减了简单的逻辑连结词“或”、“且”、“非”； 增加了必要条件与性质定理的关系，充分条件与判定定理的关系以及充要条件与定义的关系。 ③删去了简单的线性规划问题 主题二：函数 函数内容包括四个单元：函数的概念与性质，幂函数、指数函数、对数函数，三角函数，函数应用。 这些内容与实验版课标基本一致，仅有一些细微的变化： ①在函数的概念的内容中删去了映射； ②在三角函数里删去了三角函数线（正弦线、余弦线、正切线） 主题三：几何与代数 几何与代数内容包括：平面向量及其应用、复数、立体几何初步。 这三章内容与实验版课标要求大致一样，有变化的是： ①将原来单独的一章内容“解三角形”融入进“平面向量”这一章内；
(新)高中数学必修一第二章测试题(含答案)
高中数学必修一第二 章测试题(2) 一、选择题： 1．已知p >q >1,0 B ．a a q p > C ．q p a a --> D ．a a q p --> 2、已知(10)x f x =，则(5)f = （ ） A 、510 B 、105 C 、lg10 D 、lg 5 3．函数x y a log =当x >2 时恒有y >1， 则a 的取值范围是 （ ） A ．122 1≠≤≤a a 且 B ．0212 1 ≤<≤> B 、213y y y >> C 、1 3 2 y y y >> D 、1 2 3 y y y >> 6． 下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数 的 是 ( ) A ． y ＝ ln(x ＋ 2) B ．y ＝－x ＋1 C ． y ＝ ??? ? 12x D ．y ＝x ＋1 x 7． 若a <1 2 ，则化简4(2a －1)2的结果是 ( ) A.2a －1 B ．－2a －1 C.1－2a D ．－1－2a 8． 函数y ＝lg x ＋lg(5－3x )的定义域是 ( ) A ．[0，53 ) B ．[0，5 3] C ． [1 ， 53 ) D ．[1，5 3] 9． 幂函数的图象过点??? ?2，1 4，则它的单 调递增区间是 ( ) A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(－∞ ，0) D ．(－∞，＋∞) 10． 函数y ＝2＋log 2(x 2＋3)(x ≥1)的值域 为 ( ) A ．(2，＋ ∞) B ．(－∞，2) C ．[4 ， ＋∞) D ．[3，＋∞) 11． 函数y ＝a x －1a (a >0，且a ≠1)的图象
高中数学新教材的优缺点
浅析高中数学人教A版教材的优劣 数学组朱国民 我们市十五中通过对数学新教材的教学，详细地分析高中数学新教材的内容，对其优点和课程上的不足分析如下： 高中数学教材历来在编排上重视学科的科学性和系统性,文字表达严谨、准确,比较重视基础知识的讲授和基本技能的训练,但也存在内容跨度大,结构不合理,应用重视不够等方面的不足。 一、新教材与旧教材相比有如下优点: 1、教学新思想 新教材提高了数学知识的趣味性,启发性,能够很好地体现学生为主体的教学新思想 与旧教材相比较：旧教材对学生学习规律研究得不够,缺少启发性和趣味性,有些学生把教材当成查找公式的工具书。而新教材则加入了一些插图和与实际生活密切相关的实例,文字叙述通俗易懂,知识的剖析由浅入深,循序渐进,习题的设计层次分明,灵活多样,同时删减了部分复杂公式的推导和记忆,如同角三角函数关系式只给出了最基本的三个公式,柱体、台体、锥体的体积公式只给出了结果,而对蕴含了“微积分,极限”等数学思想的球面积及体积公式给出了详细推导过程, 这大大地提高了学生主动学习的积极性。 2、教学新意识 新教材强调理论联系实际,注重培养学生用数学的意识。 新教材的正文一般都注意概念从实际引入,问题从实际提出。例题,习题多增加联系实际的背景。如数列中联系经济生活中的储蓄,函数中联系增长率的变化,直线和圆的方程中增加线性规划初步知识,圆锥曲线联系行星卫星运行轨道等。
二、新教材相比有如下不足： 1、内容跨度加大 新教材中，数学的应用比以前重视了许多，但跨度似乎大了一些，与学生的实际情况有距离，比如高一（下）按知识体系就要上必修4、5、2共3本书，而且还要调整在上必修5线性规划前先讲必修2的直线的方程；高一（上）讲必修1集合的运算前要进行初高中衔接，补充讲解一次、二次不等式，这部分内容又在必修5。另外，应用题或者数学建模题很大部分需要用到计算机或者计算器才能完成．在实施过程中不好操作。 2、教学进度难以把握 在新课程的实验中，很多教师都感觉到新教材知识点多、内容广，教学进度不好把握，新增的一些知识对教师提出了更大的挑战。通过我们的教学实践体会到新教材教学进度太快，学生对所学知识学不牢，新教材的知识体系不强，不如原来的老教材的知识体系。 总之，我们认为如果将新教材的理念溶入到老教材知识体系中编写出来的导学案就能结合二者的优点，扬长避短，更有利教学，我们现在就是按照这种思路编写十五中导学案进行教学的。
高中数学必修四第一章知识点梳理1
高中数学必修四第一章知识点梳理 一、角的概念的推广 ●任意角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置转到另一个位置所成的图形。 ●正角、负角、零角 按逆时针方向旋转成的角叫做正角， 按顺时针方向旋转所成的角叫做负角， 一条射线没有作任何旋转所成的叫做零角。 可见，正确理解正角、负角和零角的概、关键是看射线旋转的方向是逆时针、顺时针还是没有转动。 ●象限角、轴线角 当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合时，那么角的终边在第几象限（终边的端点除外），就说这个角是第几象限角。 当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合时，终边落在坐标轴上的角叫做轴线角。 ●终边相同角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成集合S={β|β=α+k ?360°,k ∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。 二、弧度制 ●角度定义制 规定周角的 360 1 为一度的角，记做1°， 这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，角度制为60进制。 ●弧度制定义 1、长度等于半径的弧度所对的圆心角叫做1弧度的角。用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制。1弧度记做1rad 。 2、根据圆心角定理，对于任意一个圆心角α，它所对的弧长与半径的比与半径的大小无关，而是一个仅与角α有关的常数，故可以取为度量标准。 ●弧度数 一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.如果半径为r 的圆的圆心角α所对的弧的长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值是r l =||α。 α的正负由角α的终边的旋转方向决定，逆时针方向为正，顺时针方向为负。 三、任意角的三角函数 ●任意角的三角函数的定义 设α是一个任意大小的角，α的终边上任意点P 的坐标是（x,y ），它与原点的距离r （0r = >） ，那么 1、比值 y r 叫做α的正弦，记做sin α，即sin y r α=。
高一数学必修一第二章知识总结
高一数学必修一第二章知识总结 一、指数函数 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *． ◆ 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。 当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，? ? ?<≥-==)0()0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： )1,,,0(* >∈>= n N n m a a a n m n m ， )1,,,0(1 1 * >∈>= =- n N n m a a a a n m n m n m ◆ 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1）r a 〃s r r a a += ),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3）s r r a a a b =)( ),,0(R s r a ∈>． （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出： （1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [；
（2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈； （3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =； 二、对数函数 （一）对数 1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作：N x a log =（a — 底数，N — 真 数，N a log — 对数式） 说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ； ○ 2 x N N a a x =?=log ； ○ 3 注意对数的书写格式． 两个重要对数： ○ 1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○ 2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 指数式与对数式的互化 幂值 真数 指数 对数 （二）对数的运算性质 如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ○ 1 M a (log 〃=)N M a log ＋N a log ； ○ 2 =N M a log M a log －N a log ； ○ 3 n a M log n =M a log )(R n ∈． 注意：换底公式 a b b c c a log log log = （0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）． 利用换底公式推导下面的结论 （1）b m n b a n a m log log = ； （2）a b b a log 1log = ． （二）对数函数 1、对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函 数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：x y 2log 2=，5 log 5 x y = 都不是对数函数，而只能称 其为对数型函数． ○ 2 对数函数对底数的限制：0(>a ，且)1≠a ．
高中数学骨干教师培训总结
( 校园活动总结) 姓名：____________________ 单位：____________________ 日期：____________________ 编号：YB-BH-072309 高中数学骨干教师培训总结A summary of the training of high school mathematics backbone
高中数学骨干教师培训总结 XX年6月24日——7月4日，我有幸参加了广东省教育局厅主办，xx师范大学承办的高中数学骨干教师培训。来自全省各地市的高中数学骨干教师进行了为期10天的培训，主要采用专题报告、讲座等形式进行理论学习。让我们得以与众多教授、名师面对面地座谈、交流，倾听他们对数学教学的理解，感悟他们的教育教学思想方法。这次培训内容丰富，安排合理，使我们受益匪浅。 （一）一流专家讲座，提升思想理念！ 我们这次培训班听了xx与二师的知名教授及部分学校的名校长、名师的讲座，从师德、当前教育教学改革动向、教科研、课堂教学专题、教材解读、现代教育技术应用等多方面进行，各位知名专家、学者、特级教师从自己切身的经验体会出发，畅谈了他们对师德以及教学等教育教学各个领域的独特见解。让我们更清晰地意识到作为一个线的中学教师该如何看待自己所处的位置，该如何去提升自己的专业水平。在知识方面，我们深感知识学问浩如烟海，也深深地体会到教学相长的深刻内涵。教师要有精深的学科专业知识，广博的科学文化知识，丰富的教育和心理科学知识。知识结构要合理，当今的自然科学，社会科学和人文科学互相渗透，相互融合，只懂自己专业的知识是远远不够的，这一点我们在学习中体会很深。精深的专业知识是教师担任教学工作的基础。这就要求教师要扎
(完整)高中数学教材新课标人教B版目录完整版
高中数学（B版）必修一 第一章集合 1．1 集合与集合的表示方法1．2 集合之间的关系与运算第二章函数 2．1 函数2．2 一次函数和二次函数 2．3 函数的应用（Ⅰ）2．4 函数与方程 第三章基本初等函数（Ⅰ） 3．1 指数与指数函数3．2 对数与对数函数 3．3 幂函数 3．4 函数的应用（Ⅱ） 高中数学（B版）必修二 第一章立体几何初步 1．1 空间几何体1．2 点、线、面之间的位置关系 第二章平面解析几何初步 2．1 平面真角坐标系中的基本公式2．2 直线方程 2．3 圆的方程 2．4 空间直角坐标系 高中数学（B版）必修三 第一章算法初步 1．1 算法与程序框图1．2 基本算法语句 1．3 中国古代数学中的算法案例 第二章统计 2．1 随机抽样2．2 用样本估计总体2．3 变量的相关性 第三章概率 3．1 随机现象3．2 古典概型 3．3 随机数的含义与应用3．4 概率的应用 高中数学（B版）必修四 第一章基本初等函(Ⅱ) 1．1 任意角的概念与弧度制1．2 任意角的三角函数 1．3 三角函数的图象与性质 第二章平面向量 2．1 向量的线性运算 2．2 向量的分解与向量的坐标运算2．3 平面向量的数量积2．4 向量的应用
第三章三角恒等变换 3．1 和角公式3．2 倍角公式和半角公式 3．3 三角函数的积化和差与和差化积 高中数学（B版）必修五 第一章解直角三角形 1．1 正弦定理和余弦定理1．2 应用举例 第二章数列 2．1 数列2．2 等差数列2．3 等比数列 第三章不等式 3．1 不等关系与不等式 3．2 均值不等式 3．3 一元二次不等式及其解法3．4 不等式的实际应用3．5 二元一次不等式（组）与简单线性规划问题 高中数学（B版）选修1－1 第一章常用逻辑用语 1．1 命题与量词1．2 基本逻辑联结词 1．3 充分条件、必要条件与命题的四种形式 第二章圆锥曲线与方程 2．1 椭圆2．2 双曲线 第三章导数及其应用 3．1 导数3．2 导数的运算3．3 导数的应用 高中数学（B版）选修1－2 第一章统计案例第二章推理与证明 第三章数系的扩充与复数的引入第四章框图 高中数学（B版）选修2-1 第一章常用逻辑用语 1.1 命题与量词 1.2 基本逻辑联结词 1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式 第二章圆锥曲线与方程 2.1 曲线与方程 2.2 椭圆 2.3 双曲线 2.4 抛物线 2.5 直线与圆锥曲线 第三章空间向量与立体几何
人教版高一数学必修一-第一章练习题与答案
集合与函数基础测试 一、选择题(共12小题，每题5分，四个选项中只有一个符合要求) 1．函数y ＝＝x 2－6x ＋10在区间（2，4）上是（ ） A ．递减函数 B ．递增函数 C ．先递减再递增 D ．选递增再递减． 2．方程组20{=+=-y x y x 的解构成的集合是 （ ） A ．)}1,1{( B ．}1,1{ C ．（1，1） D ．}1{ 3．已知集合A ={a ，b ，c },下列可以作为集合A 的子集的是 （ ） A. a B. {a ，c } C. {a ，e } D.{a ，b ，c ，d } 4．下列图形中，表示N M ?的是 （ ） 5．下列表述正确的是 （ ） A.}0{=? B. }0{?? C. }0{?? D. }0{∈? 6、设集合A ＝{x|x 参加自由泳的运动员}，B ＝{x|x 参加蛙泳的运动员}，对于“既参 加自由泳又参加蛙泳的运动员”用集合运算表示为 ( ) A.A∩B B.A ?B C.A ∪B D.A ?B 7.集合A={x Z k k x ∈=,2} ,B={Z k k x x ∈+=,12} ,C={Z k k x x ∈+=,14}又,,B b A a ∈∈则有（ ） A.（a+b ）∈ A B. (a+b) ∈B C.(a+b) ∈ C D. (a+b) ∈ A 、B 、C 任一个 8．函数f （x ）＝－x 2＋2（a －1）x ＋2在（－∞，4）上是增函数，则a 的范围是（ ） A ．a ≥5 B ．a ≥3 C ．a ≤3 D ．a ≤－5 9.满足条件{1,2,3}?≠M ?≠{1,2,3,4,5,6}的集合M 的个数是 （ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 10.全集U = {1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 }， A= {3 ，4 ，5 }， B= {1 ，3 ，6 }，那么集合 { 2 ，7 ，8}是 （ ） A. A B B. B A C. B C A C U U D. B C A C U U 11.下列函数中为偶函数的是（ ） A ．x y = B ．x y = C ．2x y = D ．13+=x y 12. 如果集合A={x |ax 2＋2x ＋1=0}中只有一个元素，则a 的值是 （ ） A ．0 B ．0 或1 C ．1 D ．不能确定 二、填空题(共4小题，每题4分，把答案填在题中横线上) 13．函数f （x ）＝2×2－3｜x ｜的单调减区间是___________． 14．函数y ＝1 1＋x 的单调区间为___________． 15.含有三个实数的集合既可表示成}1,,{a b a ，又可表示成}0,,{2b a a +，则=+20042003b a . 16.已知集合}33|{≤≤-=x x U ，}11|{<<-=x x M ，}20|{<<=x x N C U 那么集合 M N A M N B N M C M N D
高中数学必修1第二章知识点总结
第二章 基本初等函数 一、指数函数 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *． 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。 当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，? ??<≥-==)0() 0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定：m n a =)1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a +=；（2）rs s r a a =)(；（3） s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>． （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数. 2 （1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [； （2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈； （3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =； 二、对数函数 （一）对数 1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作：
N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式） 说明：① 注意底数的限制0>a ，且1≠a ；②x N N a a x =?=log ；③注意对数的书写格式． 两个重要对数：①常用对数：以10为底的对数N lg ； ②自然对数：以 71828.2=e 为底的对数N ln ． 指数式与对数式的互化（如右图） （二）对数的运算性质 如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ①M a (log ·=)N M a log ＋N a log ； ② =N M a log M a log －N a log ；③n a M log n =M a log )(R n ∈． 注意：换底公式a b b c c a log log log =（0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）． 利用换底公式推导下面的结论（1）b m n b a n a m log log =；（2）a b b a log 1log =． （二）对数函数 1、对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数. 注意：① 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：x y 2log 2=，5 log 5x y = 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．②对数函数对底数的限制：0(>a ，且)1≠a ． 2a>1 0
最新高中数学教师培训总结
高中数学教师培训总结 高中数学教师培训总结7月21-22日，XX县全体高中物理教师在XX县教师教育中心进行了暑期培训。培 训工作在候校长、李主任和刘主任的正确领导和精心指导下，在高中物理教学指导委员会全体成员的不懈努力下取得了 圆满成功。 本次教师培训的目的是构建适合XX研训一体的教师专 业成长的校本模式，让老师们重视教研、学会教研、应用教研。提高教师开展校本教研的主动性、创新性和执行力，有效提升XX教育发展水平和教师专业成长水平。 培训工作由教研员主持，首先进行的是教研员领导老师们认真学习了《高中物理课程标准》，物理学是一门基础自 然科学，它所研究的是物质的基本结构、最普遍的相互作用、最一般的运动规律以及所使用的实验手段和思维方法。与九年义务教育物理或科学课程相衔接，旨在进一步提高学生的科学素养。高中物理在课程目标上注重提高全体学生的科学素养。在课程结构上重视基础，体现课程的选择性;在课程 内容上体现时代性、基础性、选择性;在课程实施上注重自 主学习，提倡教学方式多样化;在课程评价上强调更新观念，促进学生发展。课程标准还详细提出了教学建议和评价建议，并着重指出教学评价的内容要多元化，要为学生有个性、有特色的发展提供空间;评价形式倡导评价方式的多样化;提 倡建立学生学习记录档案;提倡多主体评价;提倡评价方式 的多元化。 培训内容接下来进行的是由孙西革老师做了题为《高中基础年级课堂教学中存在的问题》的精彩报告，指出目前我县高中物理教学缺乏和探究;教师的教学设计直白，不能有 效的创设情境;解题示范性不强，有的教师没有读题、审题 等环节，不能及时拓展升华。教师要从重结果向重过程转变，要用教材教而不是教教材，要尝试现代化教学模式。教师角色要由知识的传授者向学生学习的合作者转换。 然后由陈辉老师进行了题为《XX届高三一轮复习备考意
高一数学必修1第一章笔记
高一数学必修1重点笔记 一、集合（集）的含义和表示 知识点1：集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性。 巩固： 1.判断题 （1）北京大学2017年入学的全体学生组成一个集合。（） （2）某校爱好足球的同学组成一个集合。（） （3）数1，0，5，1/2，3/2，6/4组成的集合有6个元素。（） （4）由元素1，1，2，3，4，5组成的集合用列举法表示为｛1，1，2，3，4，5｝。（）2.判断下列每组对象能否构成一个集合： （1）着名的数学家 （2）某校2017年在校的所有高个子同学 （3）不超过20的非负数 （4）方程x2-9=0在实数范围内的解 （5）直角坐标平面内第一象限的一些点 知识点2：元素与集合的关系：?或?！有且只有一种情况成立 巩固： 1.用符号“??”或“?填空?
（1）设A为所有亚洲国家组成的集合，则：中国_______A，美国_______A，? 印度_______A，英国_______A；? （2）若A=｛x|x2=x｝，则- 1_______A；???? （3）若B=｛x|x2+x-6=0｝，则3_______B；? （4）若C=｛x?N|1≦x≦10｝,则8_______C，. 2.已知集合A是由元素a+2，（a+1）2，a2+2a+2构成的集合，且1?A，求a的值。 知识点3：元素的表示符号是a、b、c、d 集合的表示符号是A、B、C、D… 常用数集：N 自然数集（非负整数集）关联记忆：Nature自然 ！注意0，是考最多的 N*或N? 正整数集 Z 整数集关联记忆：整（zheng）数 Q 有理数集关联记忆：O孤零零的有人理 R 实数关联记忆：R图像实实在在的人巩固： 1.给出下列命题：（） （1）N中最小的元素是1； （2）若a?N，则-a?N； （3）若a?N，b?N，则a+b的最小值是2； 其中正确的命题个数是： 2.关于集合，下列关系正确的是（） ?N B.π?Q ?N* D.??Z
高中数学必修一第二章测试题正式
秀全中学2012——2013学年第一学期高一数学 第二章单元检测（满分120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题只有一项是符合要求的） 1．函数32+=-x a y （a >0且a ≠1）的图象必经过点 （A ）（0,1） （B ） (1,1) （C ） (2,3) （D ）(2,4) 2．函数lg y x = A.是偶函数，在区间(,0)-∞ 上单调递增 B.是偶函数，在区间(,0)-∞上单调递减 C.是奇函数，在区间(0,)+∞ 上单调递增 D ．是奇函数，在区间(0,)+∞上单调递减 3．三个数6 0.70.70.76log 6， ，的大小关系为 A . 60.70.70.7log 66<< B . 60.7 0.7log 60.76<< C ．0.7 60.7log 660.7<< D . 60.70.70.76log 6<< 4．函数12 log (32)y x = - A ．[1,)+∞ B ．2(,)3+∞ C ．2(,1]3 D ．2[,1]3 5、已知镭经过100年，剩留原来质量的95．76%，设质量为1的镭经过x 年的剩留量为y ，则y 与x 的函数关系是 （A ）y =(0．9576) 100 x （B ）y =(0．9576)100x （C ）y =( )x （D ）y =1－（0．0424） 100 x 6、函数y =x a log 在[1,3]上的最大值与最小值的和为1，则a = （A ） （B ） 2 （C ） 3 （D ） 7、下列函数中，在区间（0，2）上不是增函数的是 （A ） 0.5log (3)y x =- （B ） 12+=x y （C ） 2x y -= （D ）x y 22= 8、函数 与 （ ）在同一坐标系中的图像只可能是 1009576.02131x a y =x y a log -=1,0≠>a a 且
高中数学培训心得体会
2010年高中新课程培训心得体会 地调中学程浩宇 我已经作为学校高三老师接手高三教学工作。由于今年是高中新课程高考第一年，所以有关新课程的高考理念可以说是一无所知，带着这么一份期待，自始至终我都很认真的学习新课程培训的内容。只有从这一次学习当中我才真正感受到了一些新课程的教学理念和新课程大纲下高考内容应该怎么样来考察知识点。新课程教学理念中，新课程标准是一条教学准绳。 洛阳二中教师程文给我们分析了07~10年高考趋势与数学复习对策，首先给我们展示了对以前的高考的回顾，并提出了2011年高考的新特点。更是给我们在一线的高三老师提供了很多宝贵的复习策略。作为每年的数学评卷组长给我们分析了高考解题当中应该注意的问题，并提出了2011年高考数学命题的趋势更是分析的非常精辟。其中给我们提到的选考内容更是进一步明确了有关选考内容究竟该怎么样来选考，为今后的高考提供了一个方向标的作用。选考内容文理有异，第一次明确提出了文科是二选一，理科是三选二的选修内容进行考察。并对所有数学老师提出了要求：提高推理运算求解能力和数据处理能力。希望老师在教学过程中围绕着新课程标准，抓住主干，推陈出新，集中精力，突出重点，研究新理念，抓住新内容。提到新内容的教学，程文说了“新内容肯定考察，但是难度不会太大，并以近三年高考题对新内容的考察比例进行说明，新内容的考察分值和难度有一个逐年提升的迹象。最后程教师对高考题的探索性问题（压轴题）的提出了自己独到的看法。要求高三老师指导考生克服紧张的情绪，以平和的心态参加考试，并合理支配考试时间，以实事求是的科学态度解决试题。 短短的几天紧张而又充实的新课程培训，让我结识了不少异地的有经验的数学老师，与他们相互学习和交流让我觉得自己学到了很多以前还做得不够的地方。新课程理念下的数学教学将由“关注学生学习结果”，转向“关注学生活动”，重塑知识的形成过程课程设计将由“给出知识”转向“引导活动”数学新教材倡导学生主动探索，自主学习，合作讨论，体现数学再发现的过程，数学教学不再是教师向学生传授知识的过程，而是鼓励学生“观察”“操作”“发现”，并通过合作交流，让学生发展自主学习的能力，个性品质的发展，从而激发学生的学习兴趣，提高学生学习数学的能力，那么新课程理念下要做好数学教育教学工作，我认为应该侧重以下几方面： 一、学习兴趣的培养 兴趣是最好的老师。浓厚的学习兴趣可以使人的大脑处于最活跃的状态，能够最佳地接受教学信息。浓厚的学习兴趣，能有效地诱发学习动机，促使学生自觉地集中注意力，全身心的投入学习活动中。在教学中可以通过介绍我国数学领域的卓越成绩，介绍数学在生活、生产和其他科学中的广泛应用，激发出学生学习数学的动机。通过设计情景，提出问题引导学生去探索，去发现，让学生从中体验成功的喜悦和快乐。运用适当的教学方法和手段引导他们的求知和好奇心，从而培养他们浓厚的学习兴趣。 二、注重数学思想方法教学 数学思想方法是数学思想和教学方法的总称。数学思想是对数学知识与方法形成的规律性的理论知识，是解决数学问题的根本策略。数学方法是解决数学问题的手段和工具，数学思想方法是数学的精髓，只有掌握了数学思想方法，才能 真正掌握数学，因而数学思想方法也是学生必须具备的基本素质之一，现行的教材当中蕴涵了多种数学思想方法，在教学中应当挖掘由数学基础知识所反映出来的教学思想和方法，设计教学思想方法的目标，结合教学内容适时渗透，反复强化，及时总结，用数学思想方法武装学生，使学生真正成为数学的主人。 三、思维能力的培养
高中数学必修1第二章试题及答案
一、选择题 1．下列函数与x y =有相同图象的一个函数是（ ） 3．三个数60.7 0.70.76log 6，，的大小关系为（ ） A . 60.70.70.7log 66<< B . 60.70.70.76log 6<< C ．0.760.7log 660.7<< D . 60.7 0.7log 60.76<< 4．若f x x (ln )=+34，则f x ()的表达式为（ ） A ．3ln x B ．3ln 4x + C ．3x e D ．34x e + 5．函数lg y x =( ) A ． 是偶函数，在区间(,0)-∞ 上单调递增 B ． 是偶函数，在区间(,0)-∞上单调递减 C ． 是奇函数，在区间(0,)+∞ 上单调递增 D ．是奇函数，在区间(0,)+∞上单调递减 6．已知log (2)a y ax =-在[0,1]上是x 的减函数，则 a 的取值范围是( ) A. （0，1）B. （1，2）C. （0，2） D. ∞[2，+） 7．函数]1,0[)1(log )(在++=x a x f a x 上的最大值和 最小值之和为a ，则a 的值为（ ） A ．41 B ．21 C ．2 D ．4 8．已知函数=-=+-=)(.)(.11lg )(a f b a f x x x f 则若（ ） A ．b B ．b - C ．b 1 D ．1b - 9．对于10<+ ③a a a a 1 11++< ④a a a a 1 11+ +> 其中成立的是（ ） A ．①与③ B ．①与④ C ．②与③ D ．②与④ 二、填空题 1．若a x f x x lg 22)(-+=是奇函数，则实数a =__。 2．（1）函数()212 ()log 25f x x x =-+的值域是____. （2 ）函数21()log x f x -=的定义域____。 3．已知1414log 7,log 5,a b ==则用,a b 表示35log 28= 。 4 .(1）若函数()12log 22++=x ax y 的定义域为R ，则 a 的范围为__________。 （2）若函数()12log 2 2++=x ax y 的值域为R ， 则a 的范围为__________。 三、解答题 1．求函数11()()142 x x y =-+在[]3,2x ∈-上的值域。 2．已知()()1 1021 2x f x x x ? ? =+ ≠ ?-?? ， ⑴判断()f x 的奇偶性； ⑵证明()0f x >．