反比例函数经典题型(可编辑修改word版)

反比例函数

一、经典内容解析 1.反比例函数的概念

(1)

(k≠0)可以写成

(k≠0)的形式，注意自变量 x 的指数为-1，在解决

有关自变量指数问题时应特别注意系数 k≠0 这一限制条件；

(2)

(k≠0)也可以写成 xy=k 的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k ，

从而得到反比例函数的解析式；

(3) 反比例函数

的自变量 x≠0，故函数图象与 x 轴、y 轴无交点.

3.

函数解析式

正比例函数 y=kx (k≠0)

反比例函数 (k≠0)

自变量的 取值范围 全体实数 x≠0

图 象

直线，经过原点

双曲线，与坐标轴没有交点

图象位置 (性 质)

当 k ＞0 时，图象经过一、三象限； 当 k ＞0 时，图象的两支分别位于一、三

解析式 y = k

（k 为常数，且 k ≠ 0 ）

x

自变量取值范围

x ≠ 0 的实数

图象

图象的性质

双曲线

k > 0

k < 0

示意图

位置 两个分支分别位于 一、三象限 两个分支分别位于 二、四象限 变化趋势

在每个象限内，y 随 x

的增大而减小

在每个象限内，y 随 x

的增大而增大

对称性

是轴对称图形，直线 y = ± x 是它的两条对称轴 是中心对称图形，对称中心为坐标原点

当 k＜0 时，图象经过二、四象限. 象限；当k＜0 时，图象的两支分别位于

二、四象限.

性质

(1)当k＞0 时，y 随x 的增大而增大；

当k＜0 时，y 随x 的增大而减小.

(2)越大，图象越靠近 y 轴.

(1) 当 k＞0 时，在每个象限内y 随x 的

增大而减小；当k＜0 时，在每个象限内

y 随x 的增大而增大. (2) 越大，图象

的弯曲度越小，曲线越平直.

(1)双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，

不能一概而论.

(2)正比例函数与反比例函数，

当时，两图象没有交点；

当时，两图象必有两个交点，

且这两个交点关于原点成中心对称.

(3)反比例函数与一次函数的联系.

4.反比例函数中比例系数 k 的几何意义

(1)过双曲线(k≠0) 上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得矩形的面积为 . (2)

过双曲线(k≠0) 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为

3 3

二、典型例题分析

1.反比例函数定义

【例 1】如果函数 y = kx 2k 2

+k -2

的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么 k 的

值是多少？

1. 反比例函数 y = - 2

的图像位于（ ）

x A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第二、三象限 D ．第二、四象限

6

2. 若双曲线 y ＝－ 经过点 A （m ，－2m ），则 m 的值为（ ）

x

A. B. 3 C. ± D. ±3 3. 已知某反比例函数的图象经过点（m ，n ），则它一定也经过点（ ） A. （m ，－n ） B. （n ，m ） C. （－m ，n ） D. （︱m ︱，︱n ︱） 4．（2007 陕西）在△ABC 的三个顶点 A (2，- 3)，B (-4，- 5)，C (-3，2) 中，可能在 反比例函数 y = k (k > 0) 的图象上的点是

．

x

5.若点 P （4，m ）关于 y 轴对称的点在反比例函 y= （x≠0）的图象上，则 m 的 值是

2.反比例函数的表示

【例 2】已知 y = y + y ， y 与x 成正比例， y 与x 2 成反比例，且

1

2

1

2

x = 2时和x = 3时，y 的值都是19，求y 与x 间的函数解析式

1. 若 y 与 x 成反比例， x 与 z 成正比例，则 y 是 z 的（ ）

A 、正比例函数

B 、反比例函数

C 、一次函数

D 、不能确定

2. 已知 y 与(x - 2) 成反比例关系，且当 x = 1时， y = 4 ，

则 y 关于 x 的函数解析式为

3. 已知 y 1 与 x 成正比例（比例系数为 k 1），y 2 与 x 成反比例（比例系数为 k 2），若函数 y = y 1 + y 2

的图象经过点（1，2），（2， 1 ），则8k + 5k =

．

2

1 2

3. 反比例函数的增减性问题.

【例 3】在反比例函数 y = - 1

的图像上有三点(x ， y )， (x ， y )， (x ， y )

x 1 1 2 2 3 3

。若 x 1 > x 2 > 0 > x 3 则下列各式正确的是（

）

A.y

3 >y

1

>y

2

B.y

3

>y

2

>y

1

C.y

1

>y

2

>y

3

D.y

1

>y

3

>y

2

1.在反比例函数图象上有两点A( ，)，B( )，当时，有

，则 m 的取值范围是( ).

A．m＜0 B．m＞0 C．m＜0.5 D．m＞0.5

2：已知反比例函数的图象上两点A( ，)，B( ，)，当时，有，则m 的取值范围是.

3：若反比例函数上，有三点A( ，)，B( ，)，C( ，)，且

，则，，的大小关系是.

4.设有反比例函数y =k +1

，(x , y ) 、(x , y ) 为其图象上的两点，若x < 0

时，y1>y2，则k 的取值范围是

4.反比例函数与图象的面积问题.

(1)求函数解析式

1.如图，P 是反比例函数图象在第二象限上的一点，且矩形 PEOF 的面积为 3.求这个反函数的解析式.

2.（2007 ft东枣庄）反比例函数y =k

的图象如图所示，点M 是该函x

数图象上一点，MN 垂直于x 轴，垂足是点N，如果 S△MON＝2，则k

的值为（）

(A)2 (B)-2

(C)4 (D)-4

(2)求图形面积的问题

1.图中正比例函数和反比例函数的图象相交于 A、B 两点，分别以 A、B 两点为圆心，画与y 轴相切的两个圆，若点 A 的坐标为(1，2)，求图中两个阴影面积的和.

(3) 求特殊点组成图形的面积

1. 如图，反比例函数 y=

与一次函数 y=-x+2 的图象相交于 A 、B 两点.

(1)求 A 、B 两点的坐标； (2)求△AOB 的面积.

5. k 的几何意义及应用

1. 点 P 为反比例函数图象上一点，如图，若阴影部分的面积是 12 个

（平方单位）

，则解析式为

5 2. 如图，反比例函数 y =

的图象与直线 y = kx (k > 0) 相交于 A 、B

x

两点，AC ∥ y 轴，BC ∥ x 轴，则△ABC 的面积等于

个面积单位.

3. 如图，已知双曲线 y =

k

(x ＞0)经过矩形 OABC 边 AB 的中点 F ，交 BC 于点 E ，且四边

x

形 OEBF 的面积为 2，则 k ＝ 。

y

A O B

C

x

(第 2 题图)

(第 3 题图)

6.反比例函数和一次函数的综合

例 1．函数 y= 与 y=mx-m(m≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )

y

C

E B F

x

O

A

x

k

1. 已知反比例函数 y ＝（k ≠0），当 x ＜0 时，y 随 x 的增大而增大，那么一次 x 函数 y ＝kx －k 的图象经过（ ）

A. 第一、二、三象限

B. 第一、二、四象限

C. 第一、三、四象限

D. 第二、三、四象限

kb

2. 已知一次函数 y ＝kx ＋b 的图象经过第一、二、四象限，则反比例函数 y ＝

x

的图象在（ ）

A. 第一、二象限

B. 第三、四象限

C. 第一、三象限

D. 第二、四象限

3. 在同一坐标系中，函数 y = k

和

（

4.（2007 浙江宁波如）图是，一次函数 y=kx+b 与反比例函数 y= 2

x

2

的图像，则关于 x 的方程 kx+b= 的解为( )

x

(A)x l =1，x 2=2 (B)x l =-2，x 2=-1 (C)x l =1，x 2=-2 (D)x l =2，x 2=-1

k

5. 已知反比例函数 y ＝ （k ≠0），当 x ＜0 时，y 随 x 的增大而

x

增大，那么一次函数 y ＝kx －k 的图象经过（ ）

A. 第一、二、三象限

B. 第一、二、四象限

C. 第一、三、四象限

D. 第二、三、四象限

6.（2007 湖北潜江）如图，反比例函数 y = 5

的图象与直线 y = kx (k > 0) 相

x 交于 B 两点，AC ∥ y 轴，BC ∥ x 轴，则△ABC 的面积等于

个面积单位.

例 2．如图，已知 A(-4，2)、B(n ，-4)是一次函数 y=kx+b 的图象与反比例函数

）

A B D

C

的图象的两个交点.

(1)求此反比例函数和一次函数的解析式；

(2)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的 x 的取值范围.

解：(1) ∵ 点A(-4，2)和点B(n，-4)都在反比例函数y= 的图象上，

∴解得

又由点 A(-4，2)和点 B(2，-4)都在一次函数 y=kx+b 的图象上，

∴解得

∴反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为y=-x-2.

(2) x 的取值范围是 x＞2 或-4＜x＜0 .

例3．直线y=k1x+b 与双曲线y= 只有—个交点A(1，2)，且与x 轴、y 轴分别交于B，C 两点，AD 垂直平分 OB，垂足为 D，求直线、双曲线的解析式.

解：∵点A(1，2)在上

∴，∴

∴双曲线的解析式为

∵AD 垂直平分 OB，

∴OD=1，OB=2

∴B(2，0)

∵A(1，2)，B(2，0)在直线上

∴

解得

∴直线解析式为.

例4．如图，已知直线与双曲线交于A、B 两点，且点A 的横坐标为4.

(1)求k 的值；

(2)若双曲线上一点C 的纵坐标为8，求△AOC的面积；

解：(1)∵点 A 横坐标为 4，∴当 = 4 时， =2.

∴ 点 A 的坐标为(4，2).

∵点 A 是直线与双曲线的交点，

∴k=4×2=8.

(2)解法一：如图，

∵ 点 C 在双曲线上，当 =8 时， =1

∴ 点 C 的坐标为(1，8).

过点 A、C 分别做轴、轴的垂线，垂足为 M、N，

得矩形 DMON .

y

x

y

x y

x

y

x

S 矩形 ONDM=32，S△ONC=4，S△CDA=9，S△OAM=4.

S△AOC=S 矩形 ONDM-S△ONC-S△CDA-S△OAM=32-4-9-4=15.

解法二：如图，

过点 C、A 分别做轴的垂线，垂足为 E、F，

∵ 点C 在双曲线上，当 = 8 时，=1.

∴ 点 C 的坐标为(1，8).

∵ 点C、A 都在双曲线上，

∴ S△COE = S△AOF=4.

∴ S△COE+S 梯形 CEFA=S△COA+S△AOF.

∴ S△COA=S 梯形 CEFA.

∵ S 梯形CEFA= ×(2+8)×3=15，

∴ S△COA=15.

7.反比例函数图象上、下平移；关于坐标轴对称；关于坐标原点中心对称；绕原点顺（逆）时针旋转90?后的解析式

1.如图，一次函数y =x +b 与反比例函数y = k

的图象相交于A、B 两点，若已知一个交x

点为A（2，1），则另一个交点B 的坐标为（）

A. （2，－1）

B.（－2，－1）

C. （－1，－2）

D. （1，2）

2

2.反比例函数的图象经过点M (-3, ) ，将其图象向上平移

3

2 个单位后，得到的图象所对应的函数解析式为

k

3.若将反比例函数y = 的图象绕原点O 逆时针旋转90?后经过点A（-2，3），则反比例

x

函数的解析式为：

8.反比例函数与一次函数、方程、不等式的综合问题

1.已知k1＜0＜k2，则函数y＝k1x 和y =k2 的图象大致是（）．

x

y

C

B

k 2. 如图，已知直线 y 1 = x + m 与 x 轴、y 轴分别交于点 A 、B ，

与双曲线 y 2 = k

（x <0）分别交于点 C 、D ，且点 C 的坐标为（-1，2）

． x

⑴ 分别求出直线及双曲线的解析式； ⑵ 求出点 D 的坐标；

⑶ 利用图象直接写出当 x 在什么范围内取值时， y 1 > y 2 ．

9.求双曲线与直线交点问题；数形结合等思想方法的应用

1. 反比例函数中 y = - 5 ，当 x <2 时，y 的取值范围是

；

x

当 y ≥-1 时，x 的取值范围是 .

2 2. 一次函数 y =kx+b 与反比例函数 y = 的图象如图，则关于 x 的

x

2 方程 kx+b = 的解为(

)

x

(A) x l =1，x 2=2 (B) x l =-2，x 2=-1

(C) x l =1，x 2=-2

(D) x l =2，x 2=-1

（第 26 题图）

3. 如图，利用函数图象解不等式 x <

1

，

x

则不等式的解集为

2 4. 不解方程，利用函数的图象判断方程

解的个数为

1

- x = 0 的

x

k

5. 如图，已知直线 y = （1） 求 k 的值；

x 与双曲线 y = 2 (k > 0) 交于 A ，B 两点，且点 A 的横坐标为4 ．

x

（2） 若双曲线 y = k

(k > 0) 上一点C 的纵坐标为 8，

x

求△AOC 的面积； （3） 过原点O 的另一条直线l 交双曲线 y = (k > 0) 于 P 、Q

x

两点（ P 点在第一象限），若由点 A 、B 、P 、Q 为顶点组成的四边形面积为24 ，求点 P 的坐标．

29 图

y

A

O

x

B

（第 27 题图）

，

1 10．反比例函数中的综合问题及探究性问题

1. 将 x = 2 代入反比例函数 y = - 1 中，所得函数值记为 y ，将 y 的值代入 x = y + 1 中， 3

x 1 1

得到 x 2 的值；并将 x 2 的值再次代入函数 y = - 1

中，所得函数值记为 y 2，再将 y 2 的值

x

代入 x = y 2

+ 1中得到 x 3 ，并再次将 x 3 代入函数 y = - 1

中，所得函数值记为 y 3，…， x

如此继续下去． ⑴完成下表.

y 1 y 2

y 3

y 4

y 5

- 3 2

⑵观察上表，你发现了什么规律？猜想 y 2007= ．

2. 如图，已知点 A 在反比例函数的图象上， AB ⊥ x 轴于点B 点 C （0，1），且?ABC 的面积是 3，求反比例函数的解析式.

3. 已知点 A (a , b ),且ab > 0 ，AM ⊥y 轴于点 M ，点 N

(c ,0) 在

x 轴上， ?AMN 的面积是 3 个平方单位，探究点 A 在怎样

的函数图象上运动，并求出这个函数的解析式. （通过举例实践、探究、认知）

4. 如图，正方形 ABCD 的边长是 2，E 、F 分别在 BC 、CD 两边上，

且 E 、F 与 BC 、CD 两边的端点不重合， ?AEF 的面积是 1，

设 BE=x ，DF=y ，求 y 关于 x 的函数解析式及自变量 x 的取值范围.

5.

已知点(2, a ) 在反比例函数 y = 6 x

(x > 0) 的图象上．点 B 是

第 4 题图

点 A (2, a ) 关于直线 y = x 的对称点，

（1） 求点 A 、B 的坐标； （2） 光线由点 A 发出，照射到 x 轴上的点 C , 若反射光线恰好

经过点 B ，求点 C 的坐标.

（第 2 题图）

（第 3 题图）

第 5 题图

1

6. 如图，已知正方形 OABC 的面积为 9，点 O 为坐标原点，点 A 、C 分别在 x 轴、y 轴上，

点 B 在函数 y = k (k ＞0，x ＞0)的图象上，点 P (m ，n )是函数 y = k

(k ＞0，x ＞0)的图象上任

x x

意一点，过 P 分别作 x 轴、y 轴的垂线，垂足为 E 、F ，设矩形 OEPF 在正方形 OABC 以外

的部分的面积为 S .

⑴ 求 B 点坐标和 k 的值； y

⑵ 当 S = 9

时，求点 P 的坐标；

2 C

B ⑶ 写出 S 关于 m 的函数关系式.

x

O

A

n 第 6 题图

7.

已知正比例函数 y = kx (k > 0) 和反比例函数 y

=

n 的图象交于点 A (a , b ) ，点 B 在正比

x 例函数 y = kx 的图象上，点 C 在反比例函数 y =

的图象上，且 B 、C 两点的纵坐标都是 k （，本题

x

中所有的 k 都表示同一个量）设 BC 的长记作 S ，

（1） 当 k =2， a =3 时，求反比例函数的解析式； （2） 求 S 关于 a 的函数解析式及 a 的取值范围，并说明 S 与 k

无关.

三、解答

2

1. 已知一次函数 y=kx+b 的图象与双曲线 y=- 交于点（1，m ），且过点（0，1），

x

求此一次函数的解析式．

2. 如图，一次函数 y = kx + b 的图像与反

比例函数 y =

m

的图像相交于 A 、B 两点，

x

（1） 利用图中条件，求反比例函数和一次

函数的解析式

（2） 根据图像写出使一次函数的值大于反

比例函数的值的 x 的取值范围。

第 7 题图

3. .在某一电路中，保持电压不变，电流 I(安培)与电阻 R(欧姆)成反比例，当

电阻 R=5 欧姆时，电流 I=2 安培.则 I 与 R 之间的函数关系式？

4. 已知函数 y = ax 和y =

4 - a 的图象有两个交点，其中一个交点的横坐标为 1，

x

则两个函数图象的交点坐标是多少？

5. 已知 y = 2 y 1 + y 2 ， y 1 与 x - 2 成正比例， y 2 与5x 成反比例，且当 x = 2 时，

y = 9 10 ；当 x = 1时， y = 1

；求 y 与 x 之间的函数解析式。

5

6.如图 13－8－7 已知一次函数y =-x + 8 和反比例函数y =k

图象在第一象限内

x

有两个不同的公共点 A、B．

（1）求实数k 的取值范围；（2）若ΔAOB 的面积 S＝24，求k 的值．

7.如果不等式mx +n < 0 的解集是x > 4 ,点(1, n)在双曲线y =2

上,那么一次函x

数y =(n - 1)x + 2m 的图象不经过第几象限？

8.如右图，P 是反比例函数图象在第二象限上的一点，且矩形PEOF 的面积为 3，

则反比例函数的表达式是？

9.已知直线y =kx +b 经过反比例函数y =-8

的图象上两点A(2, y )与B(x ,2)，x 1 2

则b k是多少？

y

ＰＦ

ＥＯx

10.（2007 四川成都）如图，一次函数y =kx +b 的图象与反比例函数y =m

的图

x 象交于A(-2，1)，B(1，n) 两点．

（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；

（2）求△AOB 的面积．

．