高中物理二轮专题——弹簧模型(解析版)

高中物理第二轮专题——弹簧模型

高考分析：

轻弹簧是一种理想化的物理模型，以轻质弹簧为载体，设置复杂的物理情景，考查力的概念，物体的平衡，牛顿定律的应用及能的转化与守恒，是高考命题的重点，此类命题几乎每年高考卷面均有所见.由于弹簧弹力是变力，学生往往对弹力大小和方向的变化过程缺乏清晰的认识，不能建立与之相关的物理模型并进行分类，导致解题思路不清、效率低下、错误率较高.在具体实际问题中，由于弹簧特性使得与其相连物体所组成系统的运动状态具有很强的综合性和隐蔽性，加之弹簧在伸缩过程中涉及力和加速度、功和能等多个物理概念和规律，所以弹簧类问题也就成为高考中的重、难、热点.我们应引起足够重视. 弹簧类命题突破要点：

1.弹簧的弹力是一种由形变而决定大小和方向的力.当题目中出现弹簧时，要注意弹力的大小与方向时刻要与当时的形变相对应.在题目中一般应从弹簧的形变分析入手，先确定弹簧原长位置，现长位置，找出形变量x 与物体空间位置变化的几何关系，分析形变所对应的弹力大小、方向，以此来分析计算物体运动状态的可能变化.

2.因弹簧（尤其是软质弹簧）其形变发生改变过程需要一段时间，在瞬间内形变量可以认为不变.因此，在分析瞬时变化时，可以认为弹力大小不变，即弹簧的弹力不突变.

3.在求弹簧的弹力做功时，因该变力为线性变化，可以先求平均力，再用功的定义进行计算，也可据动能定理和功能关系：能量转化和守恒定律求解.同时要注意弹力做功的特点：W k =-（

21kx 22-2

1kx 12），弹力的功等于弹性势能增量的负值或弹力的功等于弹性势能的减少.弹性势能的公式E p =21kx 2，高考不作定量要求，该公式通常不能直接用来求弹簧的弹性势能，只可作定性讨论.因此，在求弹力的功或弹性势能的改变时，一般以能量的转化与守恒的角度来求解.

一、“轻弹簧”类问题

在中学阶段，凡涉及的弹簧都不考虑其质量，称之为“轻弹簧”，是一种常见的理想化物理模型.由于“轻弹簧”质量不计，选取任意小段弹簧，其两端所受张力一定平衡，否则，这小段弹簧的加速度会无限大.故簧轻弹簧中各部分间的张力处处相等，均等于弹簧两端的受力.弹一端受力为F ，另一端受力一定也为F 。若是弹簧秤，则弹簧秤示数等于弹簧自由端拉力的大小.

【例1】如图所示，一个弹簧秤放在光滑的水平面上，外壳质量m 不能

忽略，弹簧及挂钩质量不计，施加水平方向的力1F 、2F ，且12F F >，

则弹簧秤沿水平方向的加速度为 ，弹簧秤的读数为 .

【解析】 以整个弹簧秤为研究对象，利用牛顿运动定律得： 12F F ma -=，即12F F a m

-= 仅以轻质弹簧为研究对象，则弹簧两端的受力都1F ，所以弹簧秤的读数为1F .

说明:2F 作用在弹簧秤外壳上，并没有作用在弹簧左端，弹簧左端的受力是由外壳内侧提供的. 【答案】12F F a m

-= 1F 二、质量不可忽略的弹簧

【例2】如图所示，一质量为M 、长为L 的均质弹簧平放在光滑的

水平面,在弹簧右端施加一水平力F 使弹簧向右做加速运动.试分析

弹簧上各部分的受力情况.

【解析】 弹簧在水平力作用下向右加速运动，据牛顿第二定律得其加速度F a M

=

,取弹簧左部任意长度x 为研究对象，设其质量为m 得弹簧上的弹力为：

x x F x T ma M F L M L === 【答案】x x T F L

=

三、弹簧长度的变化问题（胡克定律的理解与应用）

【例3】如图所示，劲度系数为1k 的轻质弹簧两端分别与质量为1m 、2m 的物块1、2拴

接，劲度系数为2k 的轻质弹簧上端与物块2拴接，下端压在桌面上(不拴接)，整个系统

处于平衡状态.现将物块1缓慢地竖直上提，直到下面那个弹簧的下端刚脱离桌面.在此过程中，物块2的重力势能增加了 ,物块1的重力势能增加了 .

【解析】由题意可知，弹簧2k 长度的增加量就是物块2的高度增加量，弹簧2k 长度的

增加量与弹簧1k 长度的增加量之和就是物块1的高度增加量.

由物体的受力平衡可知，弹簧2k 的弹力将由原来的压力12()m m g +变为0,弹簧1k 的弹力将由原来的压力1m g 变为拉力2m g ,弹力的改变量也为12()m m g + .所以1k 、2k 弹簧的伸长

量分别为:1211()m m g k +和122

1()m m g k + 故物块2的重力势能增加了

221221()m m m g k +，物块1的重力势能增加了21121211()()m m m g k k ++ 【答案】221221()m m m g k + 211212

11()()m m m g k k ++ 四、与物体平衡相关的弹簧问题

【例4】如图所示，用完全相同的轻弹簧A 、B 、C 将两个相同的小球连接

并悬挂，小球处于静止状态，弹簧A 与竖直方向的夹角为30o ，弹簧C 水

平，则弹簧A 、C 的伸长量之比为

A ．4:3 B.3:4 C. 1:2 D. 2:1

【解析】将两小球看做一个整体，对整体受力分析，可知整体受到重力、A 、C 的拉力共3个力的作用，由于弹簧处于平衡状态，将轻弹簧A 的拉力沿竖直方向和水平方向分解可知水平方向上满足sin 30Ax A C F F F =?=，故:2:1A C F F =，又三个弹簧的劲度系数相同，据胡克定律F kx =可知弹簧A 、C 的伸长量之比为2:1。

【答案】D

练习：如图所示，在水平板左端有一固定挡板，挡板上连接一轻质弹簧。紧贴弹簧放一质量为m 的滑块，此时弹簧处于自然长度。已知滑块与挡板的动摩擦因数及最大静摩擦因数均为3/3。现将板的右端缓慢抬起使板与水平面间的夹角为θ，最后直到板竖直，此过程中弹簧弹力的大小F 随夹角

θ的变化关系可能是图中的（ ）

【解析】选取滑块为研究对象，其肯定受到竖直向下的重力mg 、垂直斜面向上的支持力N （大小为mgcosθ）和沿斜面向上的摩擦力f 的作用，可能还会受到沿斜面向上的弹簧弹力F 的作用，当θ较小，即mgsinθ＜μmgcosθ时，弹簧弹力F=0，代入数据可得此时θ＜π/6，据此可排除选项AB ；当mgsinθ＞μmgcosθ，即θ＞π/6时，F≠0，根据平衡条件可得F=mgsinθ-μmgcosθ，当θ=π/3时，F=33

mg ＞21mg ，所以选项C 正确，D 错误。本题答案为C 。

五、弹簧弹力的双向性

弹簧可以伸长也可以被压缩，因此弹簧的弹力具有双向性，亦即弹力既可能是推力又可能是拉力，这类问题往往是一题多解

. 【例

5】如图所示，质量为m 的质点与三根相同的轻弹簧相连，静止时相邻两弹簧间的夹角均

为0120，已知弹簧a b 、对质点的作用力均为F ，则弹簧c 对质点作用力的

大小可能为 ( )

A 、0

B 、F mg +

C 、F mg -

D 、mg F - 【解析】 由于两弹簧间的夹角均为0120，弹簧a b 、对质点作用力的合力仍为F ，弹簧a b 、对质点有可能是拉力，也有可能是推力,因F 与mg 的大小关系不确定，故上述四个选项均有可能.正确答案:ABCD

六、弹簧串、并联组合

弹簧串联或并联后劲度系数会发生变化，弹簧组合的劲度系数可以用公式计算，高中物理不要求用公式定量分析，但弹簧串并联的特点要掌握:弹簧串联时，每根弹簧的弹力相等;原长相同的弹簧并联时，每根弹簧的形变量相等.

【例6】 如图所示，两个劲度系数分别为12k k 、的轻弹簧竖直悬挂，下端用光滑

细绳连接，并有一光滑的轻滑轮放在细线上;滑轮下端挂一重为G 的物体后滑轮下

降，求滑轮静止后重物下降的距离.

【解析】 两弹簧从形式上看似乎是并联，但因每根弹簧的弹力相等，故两弹簧实

为串联;两弹簧的弹力均2G ，可得两弹簧的伸长量分别为112G x k =，222G x k =，两弹簧伸长量之和12x x x =+，故重物下降的高度为:1212()24G k k x h k k +=

= 七、与动力学相关的弹簧问题

【例7】如图所示，一轻质弹簧竖直放在水平地面上，小球A 由弹簧正上方某高度

自由落下，与弹簧接触后，开始压缩弹簧，设此过程中弹簧始终服从胡克定律，那

么在小球压缩弹簧的过程中，以下说法中正确的是( )

A.小球加速度方向始终向上

B.小球加速度方向始终向下

C.小球加速度方向先向下后向上

D.小球加速度方向先向上后向下

参考答案:C (试分析小球在最低点的加速度与重力加速度的大小关系)

练习1：如图所示，一轻质弹簧一端系在墙上的O 点，自由伸长到B 点．今用一小物体m 把弹簧压缩到A 点，然后释放，小物体能运动到C 点静止，物体与水平地面间的动摩擦因数恒定，试判断下列说法正确的是 ( )

A.物体从A 到B 速度越来越大，从B 到C 速度越来越小

B.物体从A 到B 速度越来越小，从B 到C 加速度不变

C.物体从A 到B 先加速后减速，从B 一直减速运动

D.物体在B 点受到的合外力为零

参考答案:C

练习2：如图所示，一轻质弹簧一端与墙相连，另一端与一物体接触，当弹簧在O 点位置时弹簧没有形变，现用力将物体压缩至A 点，然后放手。物体向右运动至C 点而静止，AC 距离为L 。第二次将物体与弹簧相连，仍将它压缩至A 点，则第二次物体在停止运动前经过的总路程s 可能为：

A.s=L

B.s>L

C.s

D.条件不足，无法判断

参考答案:AC(建议从能量的角度、物块运动的情况考虑)

练习3： 如图，一倾角为θ的斜面固定在水平地面上，一质量为m 有小球与弹簧测力计相连在一木板的端点处，且将整个装置置于斜面上，设木板与斜面的动摩擦因数为μ，现将木板以一定的初速度0v 释放，小球与木板之间的摩擦不计，则（ ）

A ．如果0μ=，则测力计示数也为零

B ．如果θtan >u ，则测力计示数大于sin mg θ

C ．如果tan μθ=，则测力计示数等于sin mg θ

D ．无论μ取何值，测力计示数都不能确定

【解析】本例是将弹簧模型迁移到斜面上，而且设置了木板与斜面之间的动摩擦因数不同来判断测力计的示数的变化。依题意可知，当0μ=时，测力计示数为零；当θtan >u 时，球与木板的加速度为sin cos g g θμθ-，隔离分析小球就可知道B 答案正确；同理可分析C 答案正确，从而选择A 、B 、C 答案。

【点评】本例是动力学在弹簧模型中的应用，求解的关键是分析整体的加速度，然后分析小球的受力来确定测力计示数的大小。

练习4：如图所示，劲度数为k 的轻弹簧的一端固定在墙上，另一端与置于水平面上质量为m 的物体接触（未连接），弹簧水平且无形变。用水平力F 缓慢推动物体，在弹性限度内弹簧长度被压缩了0

x ，此时物体静止。撤去F 后，物体开始向左运动，运动的最大距离为40x 。物

体与水平面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g 。则

A ．撤去F 后，物体先做匀加速运动，再做匀减速运动

B ．撤去F 后，物体刚运动时的加速度大小为0kx g

m μ-

C ．物体做匀减速运动的时间为

D ．物体开始抽左运动到速度最大的过程中克服摩擦力做的功为0()mg mg x k μμ-

答案【BD 】

思维发散：若F 为恒力，从弹簧原长处压缩弹簧，分析以后的运动情况。并和例5相对比。

八、弹簧弹力瞬时问题（弹簧的弹力不能突变）

弹簧(尤其是软质弹簧)弹力与弹簧的形变量有关，由于弹簧两端一般与物体连接，因弹簧形变过程需要一段时间，其长度变化不能在瞬间完成，因此弹簧的弹力不能在瞬间发生突变. 即可以认为弹力大小和方向不变，与弹簧相比较，轻绳和轻杆的弹力可以突变.

【例8】如图所示，木块A 与B 用轻弹簧相连，竖直放在木块C 上，三者静置于地面，A B C 、、的质量之比是1:2:3.设所有接触面都光滑，当沿水平方向迅速抽出木块C 的瞬时，木块

A 和

B 的加速度分别是A a = 与B a =

【解析】由题意可设A B C 、、的质量分别为23m m m 、、，以木块A 为研究对象，抽出木块C 前，木块A 受到重力和弹力一对平衡力，抽出木块C 的瞬时，木块A 受到重力和弹力的大小和方向均不变，故木块A 的瞬时加速度为0.以木块A B 、为研究对象，由平衡条件可知，木块C 对木块B 的作用力3CB F mg =.

以木块B 为研究对象，木块B 受到重力、弹力和CB F 三力平衡，抽出木块C 的瞬时，

木块B 受到重力和弹力的大小和方向均不变，CB F 瞬时变为0，故木块C 的瞬时合外力为3mg ,竖直向下，瞬时加速度为1.5g .

【答案】0 ，1.5g 说明：区别于不可伸长的轻质绳中张力瞬间可以突变.

九、与弹簧相关的图像问题

【例9】一根大弹簧内套一根小弹簧，大弹簧比小弹簧长0.2m ，它们

的一端固定，另一端自由，弹力与形变量的关系如图所示，求这两根

弹簧的劲度系数k 1(大弹簧)和k 2(小弹簧)分别为多少?

(参考答案: F=kx ΔF=kΔx k 1=100N/m k 2=200N/m)

练习1：一个实验小组在“探究弹力和弹簧伸长量的关系”的实验中，使用两条

不同的轻质弹簧a 和b ，得到弹力与弹簧长度的关系图象如图8所示．下列表

述正确的是 ( )

A ．a 的原长比b 的长

B ．a 的劲度系数比b 的大

C ．a 的劲度系数比b 的小

D ．测得的弹力与弹簧的长度成正比

答案：B

练习2：某同学在做“探究弹力和弹簧伸长的关系”的实验时，他先把弹簧平放在桌面上，使其自然伸长，用直尺测出弹簧的原长L 0，再把弹簧竖直悬挂起来，挂上钩码后测出弹簧伸长后的长度L ，把L －L 0作为弹簧的伸长量x ，这样操作，由于弹簧自身重力的影响，最后得出的图线，可能是图中的(

)

答案：C 十、弹簧形变量可以代表物体的位移

弹簧弹力满足胡克定律F kx =-，其中x 为弹簧的形变量，两端与

物体相连时x 亦即物体的位移，因此弹簧可以与运动学知识结合起来

编成习题.

【例10】如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上有两个用轻质弹簧相连

接的物块A B 、，其质量分别为A B m m 、，弹簧的劲度系数为k ,C 为一

固定挡板，系统处于静止状态,现开始用一恒力F 沿斜面方向拉A 使之向上运动，求B 刚要离开C 时A 的加速度a 和从开始到此时A 的位移

d (重力加速度为g ).

【解析】 系统静止时,设弹簧压缩量为1x ，弹簧弹力为1F ，分析A 受力可知:11sin A F kx m g θ==

解得:1sin A m g x k

θ= 在恒力F 作用下物体A 向上加速运动时，弹簧由压缩逐渐变为伸长状态.设物体B 刚要离开

挡板C 时弹簧的伸长量为2x ，分析物体B 的受力有:2sin B kx m g θ=,解得2sin B m g x k

θ= 设此时物体A 的加速度为a ，由牛顿第二定律有:2sin A A F m g kx m a θ--=

解得:()sin A B A

F m m g a m θ-+= 因物体A 与弹簧连在一起，弹簧长度的改变量代表物体A 的位移，故有12d x x =+，即

()sin A

B m m g d k

θ+= 十一．与弹簧相关的临界问题

通过弹簧相联系的物体，在运动过程中经常涉及临界极值问题：如物体速度达到最大；弹簧形变量达到最大；使物体恰好要离开地面；相互接触的物体恰好要脱离等.此类问题的解题关键是利用好临界条件，得到解题有用的物理量和结论.

提示：两物体分离之前加速度与速度均相同，刚分离时二者之间弹力为零。

【例11】如图所示，A B 、两木块叠放在竖直轻弹簧上，已知木块A B 、的质量分别为0.42kg 和0.40kg ，弹簧的劲度系数100/k N m =，若在A 上作用一个竖直向上的力F ,使A 由静止开始以20.5/m s 的加速度竖直向上做匀加速运动（210/g m s =）求：

(1) 使木块A 竖直做匀加速运动的过程中，力F 的最大值;

(2)若木块由静止开始做匀加速运动，直到A B 、分离的过程中，弹簧的弹性势能减少了0.248J ，求这一过程中F 对木块做的功.

【解析】 此题难点在于能否确定两物体分离的临界点.当0F =(即不加竖直向上F 力)时，设

木块A B 、叠放在弹簧上处于平衡时弹簧的压缩量为x ,有: ()A B kx m m g =+,即()A B m m g x k

+= ①

对木块A 施加力F ，A 、B 受力如图3-7-10所示,对木块A 有: A A F N m g m a +-= ② 对木块B 有: 'B B kx N m g m a --= ③

可知，当0N ≠时，木块A B 、加速度相同，由②式知欲使木块A 匀加速运动，随N 减小F 增大,当0N =时, F 取得了最大值m F ,即: () 4.41m A F m a g N =+=

又当0N =时，A B 、开始分离，由③式知，弹簧压缩量'()B kx m a

g =+，则()'B

m a g x k +=④ 木块A 、B 的共同速度：22(')v a x x =- ⑤

由题知，此过程弹性势能减少了0.248P P W E J ==

设F 力所做的功为F W ，对这一过程应用功能原理，得：

21()()(')2

F A B A B P W m m v m m g x x E =

+++-- 联立①④⑤⑥式，且0.248P E J =,得：29.6410F W J -=? 练习1：如图所示，轻弹簧上端固定，下端连接一质量为m 的重物，先由托盘托住m ，使弹簧比自然长度缩短L ，然后由静止开始以加速度a 匀加速向下运动。已知a g ，弹簧劲度系数为k ，求经过多少时间托盘M 将与m 分开？

【解析】当托盘与重物分离的瞬间，托盘与重物虽接触但无相互作用力，此时重物只受到重力和弹簧的作用力，在这两个力的作用下，当重物的加速度也为a 时，重物与托盘恰好分离。由于g a <，故此时弹簧必为伸长状态，然后由牛顿第二定律和运动学

公式求解：

根据牛顿第二定律得：mg kx ma -=

① 由①得：()x m g a k -=

由运动学公式有：2

12L x at += ② 联立①②式有：()212kL m g a at k +-= ③

解得[]ka

a g m kL t )(2-+= 【点评】本题属于牛顿运动定律中的临界状态问题。求解本类题型的关键是找出临界条件，同时还要能从宏观上把握其运动过程，分析出分离瞬间弹簧的状态。我们还可这样探索：若将此题条件改为g a >，情况又如何呢？

练习2： 一弹簧秤的秤盘质量m 1=1.5kg ，盘内放一质量为m 2=10.5kg 的物体P ，弹簧质量不计，其劲度系数为k =800N/m ，系统处于静止状态，如图2所示。现给P 施加一个竖直向上的力F ，使P 从静止开始向上做匀加速直线运动，已知在最初0.2s 内F 是变化的，在0.2s 后是恒定的，

求F 的最大值和最小值各是多少？（g=10m/s 2）

解析 因为在t =0.2s 内F 是变力，在t =0.2s 以后F 是恒力，所以在t =0.2s 时，P 离开秤盘。此时P 受到盘的支持力为零，由于盘的质量m 1=1.5kg ，所以此时弹簧不能处于原长。设在0~0.2s 这段时间内P 向上运动的距离为x ，对物体P 受力分析，根据牛顿第二定律可得： F +F N -m 2g =m 2a ，

对于盘和物体P 整体应用牛顿第二定律可得： a m m g m m x k g m m k F )()()(212121+=+-??

????-++， 令F N =0，并由上述二式求得k a m g m x 12-=，而22

1at x =， 所以求得

a =6m/s 2，

m M

当P 开始运动时拉力最小，此时对盘和物体P 整体有F min =(m 1+m 2)a =72N ，

当P 与盘分离时拉力F 最大，F max =m 2(a +g )=168N 。

点评 弹簧长度改变，弹力发生变化问题：要从牛顿第二定律入手先分析加速度，从而分析物体运动规律。而物体的运动又导致弹力的变化，变化的规律又会影响新的运动，由此画出弹簧的几个特殊状态（原长、平衡位置、最大长度）尤其重要。

十二、弹力做功与弹性势能的变化问题

弹簧伸长或压缩时会储存一定的弹性势能，因此弹簧的弹性势能可以与机械能守恒规律综合应用,弹簧在相对原长相等形变量时所具有的弹性势能相等一般是考试热点.

弹簧弹力做功等于弹性势能的减少量.弹簧的弹力做功是变力做功，一般可以用以下四种方法求解:

(1)因该变力为线性变化，可以先求平均力，再用功的定义进行计算;

(2)利用F x -图线所包围的面积大小求解;

(3)用微元法计算每一小段位移做功，再累加求和;

(4)根据动能定理、能量转化和守恒定律求解.

由于弹性势能仅与弹性形变量有关，弹性势能的公式高考中不作定量要求，因此，在求弹力做功或弹性势能的改变时，一般从能量的转化与守恒的角度来求解.特别是涉及两个物理过程中的弹簧形变量相等时，往往弹性势能的改变可以抵消或替代求解.

【例12】如图所示，挡板P 固定在足够高的水平桌面上，物块A 和B 大小可忽略，它们分别带有A Q +和B Q +的电荷量，质量分别为A m 和B m .两物块由绝缘的轻弹

簧相连，一个不可伸长的轻绳跨过滑轮，一端与B 连接，另一端连接

轻质小钩.整个装置处于场强为E 、方向水平向左的匀强电场中，A 、

B 开始时静止，已知弹簧的劲度系数为k ,不计一切摩擦及A 、B 间的

库仑力, A 、B 所带电荷量保持不变，B 不会碰到滑轮.

(1)若在小钩上挂质量为M 的物块C 并由静止释放，可使物块A 对挡板P 的压力恰为零，但不会离开P ,求物块C 下降的最大距离h .

(2)若C 的质量为2M ,则当A 刚离开挡板P 时, B 的速度多大?

【解析】 通过物理过程的分析可知，当物块A 刚离开挡板P 时，弹力恰好与A 所受电场力平衡，弹簧伸长量一定，前后两次改变物块C 质量，在第(2)问对应的物理过程中，弹簧长度的变化及弹性势能的改变相同，可以替代求解.

设开始时弹簧压缩量为1x ，由平衡条件1B kx Q E =,可得1B Q E x k

= ① 设当A 刚离开挡板时弹簧的伸长量为2x ,由2A kx Q E =，可得: 2A Q E x k

= ② 故C 下降的最大距离为: 12h x x =+ ③

由①②③三式可得: ()A B E h Q Q k

=

+ ④ (2)由能量守恒定律可知，物块C 下落过程中，C 重力势能的减少量等于物块B 电势能的增量和弹簧弹性势能的增量以及系统动能的增量之和.

当C 的质量为M 时，有：B MgH Q Eh E =+?弹 ⑤ 当C 的质量为2M 时，设A 刚离开挡板时B 的速度为v ，则有：

212(2)2

B B MgH Q Eh E M m v =+?++弹 ⑥ 由④⑤⑥三式可得A 刚离开P 时B 的速度为:

v = ⑦ 练习1：图示为某探究活动小组设计的节能运动系统。斜面轨道倾角为30°，

质量为M 的木箱与轨道的动摩擦因数为6/3。木箱在轨道顶端时，自动装

货装置将质量为m 的货物装入木箱，然后木箱载着货物沿轨道无初速滑下，

当轻弹簧被压缩至最短时，

自动卸货装置立刻将货物卸下，然后木箱恰好被

弹回到轨道顶端，再重复上述过程。下列选项正确的是( )

A.m ＝M

B.m ＝2M

C.木箱不与弹簧接触时，上滑的加速度大于下滑的加速度

D.在木箱与货物从顶端滑到最低点的过程中，减少的重力势能全部转化为弹簧的弹性势能 答案：BC

练习2：如图所示，光滑斜面倾角为θ，c 为斜面上固定挡板，物块a 和b 通过轻质弹簧连接，a 、b 处于静止状态，弹簧压缩量为x ．现对a 施加沿斜面向下的外力使弹簧再压缩3x ，之后突然撤去外力，经时间t ，物块a 沿斜面向上运动的速度为v ，此时物块b 刚要离开挡板．已知两物块的质量均为m ，重力加速度为g ．下列说法正确的是

A. 弹簧的劲度系数为sin mg x θ

B ．物块b 刚要离开挡板时，a 的加速度为sin g θ

C ．物块a 沿斜面向上运动速度最大时，物块b 对挡板c 的压力为0

D ．撤去外力后，经过时间t ，弹簧弹力对物块a 做的功为2

15sin 2mgx m θυ+

【解析】

问题拓展1：求在时间t 内物块A 运动的最大速度。

问题拓展2：求物块A 运动到弹簧原长时的速度。

练习3：如图所示，质量为1m 的物体A 经一轻质弹簧与下方地面上的质量为2m 的物体B 相连，弹簧的劲度系数为k ,物体A B 、都处于静止状态.一不可伸长的轻绳一端绕过轻滑轮连接物体A ，另一端连接一轻挂钩.开始时各段绳都处于伸直状态，物体A 上方的一段绳沿竖直方向.现给挂钩挂一质量为2m 的物体C 并从静止释放，已知它恰好能使物体B 离开地面但不继续上升.若将物体C 换成另一质量为12()m m +的物体D ，仍从上述初始位置由静止释放，则这次物体B 刚离地时物体D 的速度大小是多少?已知重力加速度为g

【解析】 开始时物体A B 、静止，设弹簧压缩量为1x ，则有：11kx m g =

悬挂物体C 并释放后，物体C 向下、物体A 向上运动，设物体B 刚要离地时弹

簧伸长量为2x ，有22kx m g =

B 不再上升表明此时物体A 、

C 的速度均为零，物体C 己下降到其最低点,与初

状态相比，由机械能守恒得弹簧弹性势能的增加量为：

212112()()E m g x x m g x x ?=+-+

物体C 换成物体D 后，物体B 离地时弹簧势能的增量与前一次相同，由能量关

系得：

22211211211211()()()()22m m v m v m m g x x m g x x E ++=++-+-?联立上式解得题中所求速

度为：v =