圆锥曲线大题归类
圆锥曲线大题归类
一．定点问题
例1.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
＝1(a >1)的上顶点为A ，右焦点为F ，直线AF 与圆M ：(x －3)2＋(y －1)2＝3相切． (1)求椭圆C 的方程；
(2)若不过点A 的动直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，且AP →·AQ →
＝0，求证：直线l 过定点，并求该定点的坐标．
[解析] (1)圆M 的圆心为(3,1)，半径r ＝ 3. 由题意知A (0,1)，F (c,0)，
直线AF 的方程为x
c ＋y ＝1，即x ＋cy －c ＝0， 由直线AF 与圆M 相切，得
|3＋c －c |
c 2＋1
＝3， 解得c 2＝2，a 2＝c 2＋1＝3， 故椭圆C 的方程为x 23＋y 2
＝1.
(2)方法一：由·＝0知AP ⊥AQ ，从而直线AP 与坐标轴不垂直，故可设直线AP 的方程为y ＝kx ＋1，直线AQ 的方程为y ＝－1
k x ＋1.
联立???
y ＝kx ＋1，x 23＋y 2
＝1，
整理得(1＋3k 2)x 2＋6kx ＝0，
解得x ＝0或x ＝－6k
1＋3k 2
，
故点P 的坐标为(－6k 1＋3k 2，1－3k 2
1＋3k 2
)，
同理，点Q 的坐标为(6k
k 2＋3，k 2－3k 2＋3)
∴直线l 的斜率为k 2－3k 2＋3－
1－3k 2
1＋3k 26k k 2＋3－
－6k 1＋3k 2＝k 2－1
4k ，
∴直线l 的方程为y ＝k 2－14k (x －6k
k 2＋3)＋k 2－3k 2＋3，
即y ＝k 2－14k x －12.
∴直线l 过定点(0，－1
2)．
方法二：由·＝0知AP ⊥AQ ，从而直线PQ 与x 轴不垂直，故可设直线l 的方程为y ＝kx ＋t (t ≠1)，
联立????
?
y ＝kx ＋t ，x 23
＋y 2
＝1，
整理得(1＋3k 2)x 2＋6ktx ＋3(t 2－1)＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)则?????
x 1＋x 2＝－6kt
1＋3k 2，
x 1x 2＝3(t 2－1)
1＋3k 2，(*)
由Δ＝(6kt )2－4(1＋3k 2)×3(t 2－1)>0，得 3k 2>t 2－1.由·＝0，
得·＝(x 1，y 1－1)·(x 2，y 2－1)＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (t －1)(x 1＋x 2)＋(t －1)2＝0， 将(*)代入，得t ＝－1
2， ∴直线l 过定点(0，－1
2)．
例2.已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F (1,0)，O 为坐标原点，A ，B 是抛物线C 上异于O 的两点.
(1)求抛物线C 的方程；
(2)若直线OA ，OB 的斜率之积为－1
2，求证：直线AB 过x 轴上一定点． [解析] (1)因为抛物线y 2
＝2px (p >0)的焦点坐标为(1,0)，所以p
2＝1，所以p
＝2.
所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .
(2)证明：①当直线AB 的斜率不存在时， 设A (t 24，t )，B (t 2
4，－t )．
因为直线OA ，OB 的斜率之积为－1
2， 所以t t 24·－t t 24
＝－1
2，化简得t 2＝32.
所以A (8，t )，B (8，－t )，此时直线AB 的方程为x ＝8.
②当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋b ，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，
联立得???
y 2
＝4x ，y ＝kx ＋b ，
化简得ky 2－4y ＋4b ＝0.
根据根与系数的关系得y A y B ＝4b
k ，
因为直线OA ，OB 的斜率之积为－12，所以y A x A
·y B x B
＝－
1
2，
即x A x B ＋2y A y B ＝0.即y 2A 4·
y 2
B
4＋2y A y B ＝0，
解得y A y B ＝0(舍去)或y A y B ＝－32.所以y A y B ＝4b
k ＝－32，即b ＝－8k ， 所以y ＝kx －8k ，y ＝k (x －8)．综上所述，直线AB 过定点(8,0)．
圆锥曲线中定点问题的两种解法
(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．
(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关． 二．定值问题
例3.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1(－2，0)，F 2(2，
0)，点M (1,0)与椭圆短轴的两个端点的连线互相垂直.导学号 30072628
(1)求椭圆C 的方程；
(2)过点M (1,0)的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，设点N (3,2)，记直线AN ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1＋k 2定值． [解析] (1)依题意，由已知得c ＝2，则a 2－b 2＝2，
由已知易得b ＝|OM |＝1，所以a ＝3，所以椭圆的方程为x 23＋y 2
＝1. (2)①当直线l 的斜率不存在时，不妨设A (1，63)，B (1，－6
3)，则k 1＋k 2＝2－632＋2＋63
2＝2为定值．
②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)， 由????
?
y ＝k (x －1)，x 23
＋y 2
＝1，得(3k 2＋1)x 2－6k 2x ＋3k 2－3＝0，
依题意知，直线l 与椭圆C 必相交于两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝6k 2
3k 2＋1，x 1x 2＝3k 2－33k 2＋1，又y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，
所以k 1＋k 2＝2－y 13－x 1＋2－y 23－x 2＝(2－y 1)(3－x 2)＋(2－y 2)(3－x 1)
(3－x 1)(3－x 2)
＝[2－k (x 1－1)](3－x 2)＋[2－k (x 2－1)](3－x 1)(3－x 1)(3－x 2)
＝12－2(x 1＋x 2)＋k [2x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋6]9－3(x 1＋x 2)＋x 1x 2
＝12－2×6k 23k 2＋1＋k [2×3k 2－33k 2＋1－4×6k 2
3k 2＋1＋6]
9－3×6k 2
3k 2＋1＋
3k 2－33k 2＋1＝12(2k 2＋1)
6(2k 2＋1)＝2，
综上，得k 1＋k 2为定值2. 例4 （2016北京理科） 求定值问题常见的方法
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 三．探索性问题
例5.(2015·新课标全国Ⅱ，12分，理)已知椭圆C ：9x 2＋y 2＝m 2(m >0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .
(1)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；
(2)若l 过点(m
3，m )，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．
[解析] (1)设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．
将y ＝kx ＋b 代入9x 2＋y 2＝m 2得(k 2＋9)x 2＋2kbx ＋b 2－m 2＝0，故 x M ＝x 1＋x 22＝－kb k 2＋9，y M ＝kx M ＋b ＝9b k 2＋9
.
于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M
＝－9
4，即k OM ·k ＝－9.
所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值．
(2)四边形OAPB 能为平行四边形．
因为直线l 过点(m
3，m )，所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是k >0，k ≠3.
由(1)得OM 的方程为y ＝－9
k x . 设点P 的横坐标为x P .
由?????
y ＝－9k x ，9x 2＋y 2＝m 2
得x 2P ＝k 2m 29k 2＋81，即x P ＝±km 3k 2＋9. 将点(m
3，m )的坐标代入l 的方程得b ＝m (3－k )3，因此x M ＝k (k －3)m 3(k 2＋9).
四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即x P ＝2x M .
于是±km
3k 2＋9＝2×k (k －3)m 3(k 2＋9)，解得k 1＝4－7，k 2＝4＋7. 因为k i >0，k i ≠3，i ＝1,2，
所以当l 的斜率为4－7或4＋7时，四边形OAPB 为平行四边形． 例6.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1,0)，右顶点为A ，且|AF |
＝1.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)若动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 有且只有一个交点P ，且与直线x ＝4交于点Q ，问：是否存在一个定点M (t,0)，使得·＝0.若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．
[解析] (1)由c ＝1，a －c ＝1，得a ＝2，∴b ＝3， 故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2
3＝1.
(2)由?
??
y ＝kx ＋m ，3x 2＋4y 2
＝12， 消去y 得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，
∴Δ＝64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＝0，即m 2＝3＋4k 2. y P ＝kx P ＋m ＝－4k 2m ＋m ＝3m ，即P (－4k m ，3m )． ∵M (t,0)，Q (4,4k ＋m )，
∴＝(－4k m －t ，3
m )，＝(4－t,4k ＋m )，
∴·＝(－4k m －t )·(4－t )＋3m ·(4k ＋m )＝t 2－4t ＋3＋4k
m (t －1)＝0恒成立， 故???
t ＝1，t 2－4t ＋3＝0，即t ＝1. ∴存在点M (1,0)符合题意． 设P (x P ，y P )，则x P ＝－
4km 3＋4k
2＝－4k
m ， y P ＝kx P ＋m ＝－4k 2m ＋m ＝3m ，即P (－4k m ，3
m )． ∵M (t,0)，Q (4,4k ＋m )，
∴＝(－4k m －t ，3
m )，＝(4－t,4k ＋m )，
∴·＝(－4k m －t )·(4－t )＋3m ·(4k ＋m )＝t 2－4t ＋3＋4k
m (t －1)＝0恒成立， 故???
t ＝1，t 2－4t ＋3＝0，即t ＝1. ∴存在点M (1,0)符合题意．
四、取值范围问题
例7.(2015·浙江，15分)已知椭圆x 22＋y 2
＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋1
2对称.
(1)求实数m 的取值范围；
(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)．
[解析] (1)由题意知m ≠0，可设直线AB 的方程为y ＝－1
m x ＋b .由
?????
x 22＋y 2＝1，
y ＝－1m x ＋b ，
消去y ，得(12＋1m 2)x 2－2b m x ＋b 2－1＝0.因为直线y ＝－1
m x ＋b
与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b 2＋2＋4
m 2>0，①
设M 为AB 的中点，则M (2mb m 2＋2，m 2b
m 2＋2)，
代入直线方程y ＝mx ＋1
2，解得b ＝－m 2＋22m 2.② 由①②得m <－63或m >6
3.
(2)令t ＝1m ∈(－62，0)∪(0，6
2)，则且O 到直线AB 的距离d ＝t 2＋12
t 2＋1.
设△AOB 的面积为S (t )，所以 S (t )＝12|AB |·d ＝12
－2(t 2－12)2＋2≤22，当且仅当t 2＝1
2时，等号成立．
故△AOB 面积的最大值为2
2.|AB |＝t 2＋1·
－2t 4＋2t 2＋3
2t 2
＋12
，
例8.已知圆x 2
＋y 2
＝1过椭圆x a 2＋y b 2＝1(a >b >0)的两焦点，与椭圆有且仅有
两个公共点，直线l ：y ＝kx ＋m 与圆x 2
＋y 2
＝1相切，与椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1相交于
A ，
B 两点．记λ＝OB OA ?·，且23≤λ≤3
4. (1)求椭圆的方程； (2)求k 的取值范围；
(3)求△OAB 的面积S 的取值范围．
解：(1)由题意知2c ＝2，所以c ＝1.因为圆与椭圆有且只有两个公共点，从而b ＝1，故a ＝2，所以所求椭圆方程为x 22＋y 2
＝1.
(2)因为直线l ：y ＝kx ＋m 与圆x 2＋y 2＝1相切，所以原点O 到直线l 的距离为|m |12＋k 2＝1，即m 2＝k 2
＋1.由?????
y ＝kx ＋m ，x 22
＋y 2
＝1得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－21＋2k 2
.λ＝·＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1
＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2
＝k 2＋11＋2k
2，由23≤λ≤34，得12≤k 2≤1，即k 的取值范围是??????－1，－22∪????
??22，1.
(3)|AB |2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝2－2(2k 2＋1)2，由
1
2≤k 2≤1，得62≤|AB |≤43.设△OAB 的AB 边上的高为d ，则S ＝12|AB |d ＝1
2|AB |，所以64≤S ≤23.即△OAB 的面积S 的取值范围是????
??64，23.
例9.已知椭圆E ：x t ＋y 3＝1的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k (k >0)
的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA .
(1)当t ＝4，|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积； (2)当2|AM |＝|AN |时，求k 的取值范围．
【解】 (1)设M (x 1，y 1)，则由题意知y 1>0.当t ＝4时，E 的方程为x 24＋y 2
3＝1，A (－2，0)．由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π
4.因此直线AM
的方程为y ＝x ＋2.将x ＝y －2代入x 24＋y 23＝1得7y 2－12y ＝0.解得y ＝0或y ＝12
7，所以y 1＝127.因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝144
49.
(2)由题意知t >3，k >0，A (－t ，0)．将直线AM 的方程y ＝k (x ＋t )代入x 2
t
＋y 23＝1得(3＋tk 2)x 2＋2t ·tk 2x ＋t 2k 2
－3t ＝0.由x 1·(－t )＝t 2k 2－3t 3＋tk 2得x 1＝t (3－tk 2)3＋tk 2，故|AM |＝|x 1＋t |1＋k 2＝6t (1＋k 2)3＋tk 2
. 由题设知，直线AN 的方程为y ＝－1k (x ＋t )，故同理可得|AN |＝6k t (1＋k 2)3k 2＋t .
由2|AM |＝|AN |得
23＋tk 2＝k
3k 2＋t
， 即(k 3－2)t ＝3k (2k －1)．当k ＝3
2时上式不成立，因此
t ＝3k (2k －1)k 3－2.t >3等价于k 3－2k 2＋k －2k 3－2＝(k －2)(k 2＋1)k 3－2<0，
即k －2k 3－2<0.由此得??? k －2>0，k 3－2<0，或???
k －2<0，k 3－2>0， 解得32 2，2). 五．最值问题 例10.平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的离心率为3 2，左、右焦点分别是F 1，F 2.以F 1为圆心、以3为半径的圆与以F 2为圆心、以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上． (1)求椭圆C 的方程； (2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 2 4b 2＝1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q . ①求|OQ | |OP |的值； ②求△ABQ 面积的最大值． 解】 (1)由题意知2a ＝4，则a ＝2. 又c a ＝3 2，a 2－c 2＝b 2，可得b ＝1， (2)由(1)知椭圆E 的方程为x 216＋y 2 4＝1. ①设P (x 0，y 0)，|OQ | |OP |＝λ， 由题意知Q (－λx 0，－λy 0)． 因为x 20 4＋y 20＝1， 又(－λx 0)216＋(－λy 0)24＝1，即λ24? ????x 204＋y 20＝1， 所以λ＝2，即|OQ ||OP |＝2. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2 ＝1. ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 将y＝kx＋m代入椭圆E的方程， 可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0，由Δ>0，可得m2<4＋16k2.① 则有x1＋x2＝－8km 1＋4k2，x1x2＝ 4m2－16 1＋4k2 . 所以|x1－x2|＝416k2＋4－m2 1＋4k2 . 因为直线y＝kx＋m与y轴交点的坐标为(0，m)，所以△OAB的面积 S＝1 2|m||x1－x2|＝ 216k2＋4－m2|m| 1＋4k2 ＝2(16k2＋4－m2)m2 1＋4k2 ＝2 ? ? ? ? ? 4－ m2 1＋4k2 m2 1＋4k2 . 设 m2 1＋4k2 ＝t. 将y＝kx＋m代入椭圆C的方程， 可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0， 由Δ≥0，可得m2≤1＋4k2.② 由①②可知0 因此S＝2(4－t)t＝2－t2＋4t， 故S≤2 3. 当且仅当t＝1，即m2＝1＋4k2时取得最大值2 3. 由①知，△ABQ的面积为3S， 所以△ABQ面积的最大值为6 3. 例11.定圆M ：(x ＋3)2＋y 2＝16，动圆N 过点F (3，0)且与圆M 相切，记圆心N 的轨迹为E . ①求轨迹E 的方程； ②设点A ，B ，C 在E 上运动，A 与B 关于原点对称，且|AC | ＝|BC |，当△ABC 的面积最小时，求直线AB 的方程． (2)解：①∵F (3，0)在圆M ：(x ＋3)2＋y 2＝16内，∴圆N 内切于圆M .∵|NM |＋|NF | ＝4>|FM |，∴点N 的轨迹E 为椭圆，且2a ＝4，c ＝3，∴b ＝1，∴轨迹E 的方程为x 24＋y 2 ＝1. ②a.当AB 为长轴(或短轴)时， S △ABC ＝1 2|OC |·|AB |＝2. b ．当直线AB 的斜率存在且不为0时，设直线AB 的方程为y ＝kx ，A (x A ，y A )，联立方程????? x 24 ＋y 2＝1y ＝kx 得，x 2A ＝ 41＋4k 2，y 2A ＝4k 21＋4k 2，∴|OA |2＝x 2A ＋y 2 A ＝4(1＋k 2)1＋4k 2.将上式中的k 替换为－1k ，可得|OC |2 ＝4(1＋k 2 )k 2＋4 . ∴S △ABC ＝2S △AOC ＝|OA |·|OC | ＝ 4(1＋k 2) 1＋4k 2 · 4(1＋k 2)k 2＋4＝4(1＋k 2) (1＋4k 2)(k 2＋4) . ∵(1＋4k 2)(k 2 ＋4)≤(1＋4k 2)＋(k 2 ＋4)2 ＝5(1＋k 2)2，∴S △ABC ≥8 5，当且仅当1＋4k 2＝k 2＋4，即k ＝±1时等号成立，此时△ABC 面积的最小值是85.∵2>85，∴△ABC 面积的最小值是8 5，此时直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x . 高考圆锥曲线的常见题型 典型例题 题型一：定义的应用 例1、动圆M 与圆C 1:(x+1)2+y 2=36内切,与圆C 2:(x-1)2+y 2 =4外切,求圆心M 的轨迹方程。 例2、方程 表示的曲线是 题型二：圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： 1、椭圆：由,分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 2、双曲线：由, 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐 标轴上； 3、抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 典型例题 例1、已知方程 1212 2=-+-m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的 取值范围是 例2、k 为何值时,方程 1592 2=---k y k x 的曲线：(1)是椭圆;(2)是双曲线. 题型三：圆锥曲线焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题 1、椭圆焦点三角形面积2 tan 2α b S = ；双曲线焦点三角形面积 2 cot 2α b S = 2、常利用第一定义和正弦、余弦定理求解 3、22,,,n m mn n m n m +-+四者的关系在圆锥曲线中的应用； 典型例题 例1、 椭圆x a y b a b 222210+=>>()上一点P 与两个焦点F F 12，的张角∠F P F 12= α， 求证：△F 1PF 2的面积为b 22 tan α 。 例2、已知双曲线的离心率为2，F 1、F 2是左右焦点，P 为双曲线上一点，且， ．求该双曲线的标准方程 题型四：圆锥曲线中离心率，渐近线的求法 1、a,b,c 三者知道任意两个或三个的相等关系式，可求离心率，渐进线的值； 2、a,b,c 三者知道任意两个或三个的不等关系式，可求离心率，渐进线的范围； 圆锥曲线大题专题训练 1．如图，曲线G 的方程为22(0)y x y =≥．以原点为圆心．以(0)t t >为半径的圆分别 与曲线G 和y 轴的正半轴相交于点A 与点B ．直线AB 与x 轴相交于点C ． （Ⅰ）求点A 的横坐标a 与点C 的横坐标 c 的关系式 （Ⅱ）设曲线G 上点D 的横坐标为2a +， 求证：直线CD 的斜率为定值． 1.解： （Ⅰ）由题意知，(A a ． 因为OA t =，所以2 2 2a a t +=．由于0t > 由点(0)(0)B t C c ，，，的坐标知，直线BC 的方程为 1c t +=． 又因点A 在直线BC 上，故有 1a c +=，将（1）代入上式，得1a c =， 解得2c a =+ （Ⅱ）因为(2D a +，所以直线CD 的斜率为 1CD k = ===-． 所以直线CD 的斜率为定值． 2．设F 是抛物线2 :4G x y =的焦点． （I ）过点(04)P -，作抛物线G 的切线，求切线方程； （II ）设A B ，为抛物线G 上异于原点的两点，且满足0FA FB =u u u r u u u r g ，延长AF ，BF 分别交抛物线G 于点C D ，，求 四边形ABCD 面积的最小值． 2.解：（I ）设切点2 004x Q x ?? ???，．由2x y '=，知抛物线在Q 点处的切线斜率为02x ，故所求切线方程为 2000()42x x y x x -=-． 即2 04 24x x y x =-． 因为点(0)P -4，在切线上． 所以2 044 x -=-，2 016x =，04x =±．所求切线方程为24y x =±-． （II ）设11()A x y ，，22()C x y ，． 由题意知，直线AC 的斜率k 存在，由对称性，不妨设0k >． 圆锥曲线解题方法技巧归纳 第一、知识储备： 1. 直线方程的形式 （1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 （2）与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈ ②点到直线的距离d = ③夹角公式：2121 tan 1k k k k α-= + （3）弦长公式 直线 y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离：12AB x =- = 或12AB y y =- （4）两条直线的位置关系 ①1212l l k k ⊥?=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=?且 2、圆锥曲线方程及性质 (1)、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式） 标准方程：22 1(0,0)x y m n m n m n +=>>≠且 2a = 参数方程：cos ,sin x a y b θθ== (2)、双曲线的方程的形式有两种 标准方程：22 1(0)x y m n m n +=?< 距离式方程： 2a = (3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？ 22 222b b p a a 椭圆：；双曲线：；抛物线： (4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？ 如：已知21F F 、是椭圆13 42 2=+y x 的两个焦点，平面内一个动点M 满足221=-MF MF 则 动点M 的轨迹是（ ） A 、双曲线； B 、双曲线的一支； C 、两条射线； D 、一条射线 (5)、焦点三角形面积公式：1 2 2tan 2 F PF P b θ ?=在椭圆上时，S 1 2 2cot 2 F PF P b θ ?=在双曲线上时，S （其中222 1212121212||||4,cos ,||||cos |||| PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠==?=?） (6)、记住焦半径公式：（1）00;x a ex a ey ±±椭圆焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为，可简记为 “左加右减，上加下减”。 （2）0||x e x a ±双曲线焦点在轴上时为 （3）11||,||22 p p x x y ++抛物线焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为 (6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？ 第二、方法储备 1、点差法（中点弦问题） 设() 11,y x A 、()22,y x B ，()b a M ,为椭圆13 42 2=+y x 的弦AB 中点则有 1342 12 1=+y x ，1342 22 2=+y x ；两式相减得( )()03 4 2 2 2 1 2 2 21=-+-y y x x ? ()() ()() 3 4 21212121y y y y x x x x +-- =+-?AB k =b a 43- 2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什 么？如果有两个参数怎么办？ 设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程， 新课标高考《圆锥曲线》大题专题含答案 全国高考理科数学试题分类汇编9：圆锥曲线 一、选择题 1 ．（2013年高考江西卷（理）） 过点2,0) 引直线l 与曲线2 1y x = +相交于 A,B 两点,O 为坐标原点,当?AOB 的面积取最大值时,直线 l 的斜 率 等 于 （ ） A ．y E B B C CD =++3 B ．3 C ．3± D ．32 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版）） 双曲线 2 214 x y -=的顶点到其渐近线的距离等于 （ ） A ．25 B ．4 5 C 25 D 453 ．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版）） 已知中心在原 点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于3 2 ,在双曲线C 的方程 是 （ ） A ．22 145 x -= B ．22 145 x y -= C ． 22 125 x y -= D ． 22 125 x -= 4 ．（2013年高考新课标1（理）） 已知双曲线C : 22 2 21x y a b -=(0,0a b >>)的离心率为52 ,则C 的渐近 线 方 程为 （ ） A ．14y x =± B ．13 y x =± C ． 12 y x =± D ．y x =± 5 ．（2013年高考湖北卷（理）） 已知04π θ<<,则双曲线 22 122:1 cos sin x y C θθ -=与22 2222 :1sin sin tan y x C θθθ -=的 （ ） A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．焦 距相等 D ．离心率相等 6 ．（2013年高考四川卷（理）） 抛物线2 4y x =的焦点到双曲线 2 21 3 y x -=的渐近线的距 离 是 （ ） A ．12 B ．3 2 C ．1 D 3 高考圆锥曲线经典真题 知识整合： 直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能. 1.（江西卷15）过抛物线22(0)x py p =>的焦点F 作倾角为30o 的直线，与抛物线 分别交于A 、B 两点（A 在y 轴左侧），则 AF FB = ．1 3 2 (2008年安徽卷)若过点A(4,0)的直线l 与曲线 22 (2)1x y -+=有公共点,则直线l 的斜率的取值范围为 ( ) A. [3,3] B. (3,3) C. 33[33- D. 33 (,33- 3(2008年海南---宁夏卷)设双曲线22 1916x y -=的右顶点为A,右焦点为F,过点F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则三角形AFB 的面积为-___________. 热点考点探究： 考点一：直线与曲线交点问题 例1.已知双曲线C ：2x2－y2=2与点P(1，2) (1)求过P(1，2)点的直线l 的斜率取值范围，使l 与C 分别有一个交点，两个交点，没有交点. 解：(1)当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x=1,与曲线C 有一个交点.当l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2=k(x －1),代入C 的方程，并整理得 (2－k2)x2+2(k2－2k)x －k2+4k －6=0 (*) (ⅰ)当2－k2=0,即k=± 2 时，方程(*)有一个根，l 与C 有一个交点 (ⅱ)当2－k2≠0,即k ≠±2 时 Δ=［2(k2－2k)］2－4(2－k2)(－k2+4k －6)=16(3－2k) ①当Δ=0,即 3－2k=0,k=23 时，方程(*)有一个实根，l 与C 有一个交点. ②当Δ＞0,即k ＜23 ,又 k ≠± 2 ,故当k ＜－ 2 或－2 ＜k ＜ 2 或 2＜k ＜2 3 时，方程(*)有两不等实根，l 与C 有两个交点. ③当Δ＜0，即 k ＞23 时，方程(*)无解，l 与C 无交点. 综上知：当k=±2,或k=23 ，或 k 不存在时，l 与C 只有一个交点； 当2＜k ＜23 ,或－2＜k ＜2,或k ＜－ 2 时，l 与C 有两个交点； 当 k ＞23 时，l 与C 没有交点. (2)假设以Q 为中点的弦存在，设为AB ，且A(x1,y1),B(x2,y2)，则2x12－y12=2,2x22－y22=2两式相减得：2(x1－x2)(x1+x2)=(y1－y2)(y1+y2) 又∵x1+x2=2,y1+y2=2 ∴2(x1－x2)=y1－y1 即kAB= 2 121x x y y --=2 但渐近线斜率为±2,结合图形知直线 AB 与C 无交点，所以假设不正确，即以 Q 为中点的弦不存在. 圆锥曲线大题归类 一．定点问题 例1.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a >1)的上顶点为A ，右焦点为F ，直线AF 与圆M ： (x －3)2＋(y －1)2＝3相切． (1)求椭圆C 的方程； (2)若不过点A 的动直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，且AP →·AQ → ＝0，求证：直线l 过定点，并求该定点的坐标． [解析](1)圆M 的圆心为(3,1)，半径r ＝ 3. 由题意知A (0,1)，F (c,0)， 直线AF 的方程为x c ＋y ＝1，即x ＋cy －c ＝0， 由直线AF 与圆M 相切，得|3＋c －c |c 2＋1 ＝3， 解得c 2＝2，a 2＝c 2＋1＝3， 故椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1. (2)方法一：由·＝0知AP ⊥AQ ，从而直线AP 与坐标轴不垂直， 故可设直线AP 的方程为y ＝kx ＋1，直线AQ 的方程为y ＝－1k x ＋1. 联立??? y ＝kx ＋1， x 23＋y 2＝1，整理得(1＋3k 2)x 2＋6kx ＝0， 解得x ＝0或x ＝－6k 1＋3k 2 ， 故点P 的坐标为(－6k 1＋3k 2，1－3k 2 1＋3k 2 )， 同理，点Q 的坐标为(6k k 2＋3，k 2－3k 2＋3 ) ∴直线l 的斜率为k 2－3k 2＋3－1－3k 2 1＋3k 26k k 2＋3－－6k 1＋3k 2 ＝k 2－14k ， ∴直线l 的方程为y ＝k 2－14k (x －6k k 2＋3)＋k 2－3k 2＋3 ， 即y ＝k 2－14k x －12. ∴直线l 过定点(0，－12)． 方法二：由·＝0知AP ⊥AQ ，从而直线PQ 与x 轴不垂直，故可设直线l 的方程为y ＝kx ＋t (t ≠1)， 联立????? y ＝kx ＋t ，x 23＋y 2＝1， 整理得(1＋3k 2)x 2＋6ktx ＋3(t 2－1)＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)则????? x 1＋x 2＝－6kt 1＋3k 2， x 1x 2＝3(t 2－1)1＋3k 2， (*) 由Δ＝(6kt )2－4(1＋3k 2)×3(t 2－1)>0，得 3k 2>t 2－1.由·＝0， 文科圆锥曲线 1.设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32 a x =上一点，12PF F ?是底角为30o 的等腰三 角形，则E 的离心率为（ ） () A 12 () B 23 () C 3 4 () D 4 5 【答案】C 【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思想，是简单题. 【解析】∵△21F PF 是底角为030的等腰三角形， ∴0 260PF A ∠=，212||||2PF F F c ==，∴2||AF =c ，∴322 c a = ，∴e =34， 2.等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162 =的准线交于,A B 两点，AB =；则C 的实轴长为（ ） ()A ()B ()C 4 ()D 8 【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系，是简单题. 【解析】由题设知抛物线的准线为：4x =，设等轴双曲线方程为：2 2 2 x y a -=，将4x =代入等轴双曲线方程解 得y =，∵||AB =a =2， ∴C 的实轴长为4，故选C. 3.已知双曲线1C ：22 221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距 离为2，则抛物线2C 的方程为 (A) 2x y = (B) 2x y = (C)28x y = (D)216x y = 考点：圆锥曲线的性质 解析：由双曲线离心率为2且双曲线中a ，b ，c 的关系可知a b 3=，此题应注意C2的焦点在y 轴上，即（0，p/2） 到直线x y 3= 的距离为2，可知p=8或数形结合，利用直角三角形求解。 4.椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为 （A ） 2211612x y += （B ）221128x y += （C ）22184x y += （D ）22 1124 x y += 【命题意图】本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用。通过准线方程确定焦点位置，然后借助于焦距和准线求解参数,,a b c ，从而得到椭圆的方程。 【解析】因为242c c =?=，由一条准线方程为4x =-可得该椭圆的焦点在x 轴上县2 2448a a c c =?==，所以222 844b a c =-=-=。故选答案C 5.已知1F 、2F 为双曲线22 :2C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠= 圆锥曲线经典例题及总结 1.圆锥曲线的两定义： 第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>），焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝1（0a b >>）。 方程2 2 Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。 （2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：22 22b x a y -＝1（0,0a b >>）。方程 22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B 异号）。 （3）抛物线：开口向右时2 2(0)y px p =>，开口向左时2 2(0)y px p =->，开口向上时 22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。 3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： （1）椭圆：由x 2 ,y 2 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 （2）双曲线：由x 2,y 2 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； （3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 提醒：在椭圆中，a 最大，2 2 2 a b c =+，在双曲线中，c 最大，2 2 2 c a b =+。 1.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2，0），右顶点为)0,3( （1）求双曲线C 的方程； （2）若直线2:+ =kx y l 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>?OB OA （其 中O 为原点）. 求k 的取值范围. 解：（Ⅰ）设双曲线方程为12222=-b y a x ).0,0(>>b a 由已知得.1,2,2,32222==+== b b a c a 得再由 故双曲线C 的方程为.13 22 =-y x （Ⅱ）将得代入13 222 =-+=y x kx y .0926)31(22=---kx x k 由直线l 与双曲线交于不同的两点得?????>-=-+=?≠-. 0)1(36)31(36)26(, 0312 222 k k k k 即.13 1 22<≠ k k 且 ① 设),(),,(B B A A y x B y x A ，则 ,22,319 ,31262 2>+>?--=-= +B A B A B A B A y y x x OB OA k x x k k x x 得由 而2)(2)1()2)(2(2++++=+++=+B A B A B A B A B A B A x x k x x k kx kx x x y y x x .1 37 3231262319)1(22222 -+=+-+--+=k k k k k k k 于是解此不等式得即,01393,213732 222>-+->-+k k k k .33 1 2< 圆锥曲线 1.圆锥曲线的两定义： 第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>），焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝1（0a b >>）。 方程22 Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。 （2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：22 22b x a y -＝1（0,0a b >>）。方程 22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B 异号）。 （3）抛物线：开口向右时2 2(0)y px p =>，开口向左时2 2(0)y px p =->，开口向上时 22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。 3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： （1）椭圆：由x 2 ,y 2 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 （2）双曲线：由x 2,y 2 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； （3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 提醒：在椭圆中，a 最大，2 2 2 a b c =+，在双曲线中，c 最大，2 2 2 c a b =+。 4.圆锥曲线的几何性质： （1）椭圆（以122 22=+b y a x （0a b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两 个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线2a x c =±； ⑤离心率：c e a =，椭圆?01e <<， e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。 （2）双曲线（以22 2 21x y a b -=（0,0a b >>）为例）：①范围：x a ≤-或,x a y R ≥∈；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），两个顶点(,0)a ±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为 22 ,0x y k k -=≠；④准线：两条准线2a x c =±； ⑤离心率：c e a =，双曲线?1e >，等轴双曲线 ?e =e 越小，开口越小，e 越大，开口越大；⑥两条渐近线：b y x a =±。 （3）抛物线（以2 2(0)y px p =>为例）：①范围：0,x y R ≥∈；②焦点：一个焦点(,0)2 p ，其中p 的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴0y =，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）； 1. 平面上一点向二次曲线作切线得两切点，连结两切点的线段我们称切点弦.设过抛物线 22x py =外一点00(,)P x y 的任一直线与抛物线的两个交点为C 、D ，与抛物线切点弦AB 的交点为Q 。 （1）求证：抛物线切点弦的方程为00()x x p y y =＋； （2）求证：112|||| PC PD PQ +=. 2. 已知定点F （1，0），动点P 在y 轴上运动，过点P 作PM 交x 轴于点M ，并延长MP 到点N ，且.||||,0PN PM PF PM ==? （1）动点N 的轨迹方程； （2）线l 与动点N 的轨迹交于A ，B 两点，若304||64,4≤≤-=?AB OB OA 且，求直线l 的斜率k 的取值范围. 3. 如图，椭圆13 4: 2 21=+y x C 的左右顶点分别为A 、B ，P 为双曲线134:222=-y x C 右支上（x 轴上方）一点，连AP 交C 1于C ，连PB 并延长交C 1于D ，且△ACD 与△PCD 的面积 相等，求直线PD 的斜率及直线CD 的倾斜角. 4. 已知点(2,0),(2,0)M N -，动点P 满足条件||||PM PN -=记动点P 的轨迹为W . （Ⅰ）求W 的方程； （Ⅱ）若,A B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB ?的最小值. 5. 已知曲线C 的方程为:kx 2+(4-k )y 2=k +1,(k ∈R) （Ⅰ）若曲线C 是椭圆，求k 的取值范围； （Ⅱ）若曲线C 是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角是60°，求此双曲线的方程； （Ⅲ）满足（Ⅱ）的双曲线上是否存在两点P ，Q 关于直线l ：y=x -1对称，若存在，求出过P ，Q 的直线方程；若不存在，说明理由。 6. 如图（21）图，M （-2，0）和N （2，0）是平面上的两点，动点P 满足： 6.PM PN += (1)求点P 的轨迹方程； (2)若2 ·1cos PM PN MPN -∠＝,求点P 的坐标. 7. 已知F 为椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的右焦点，直线l 过点F 且与双曲线 12 2 2=-b y a x 的两条渐进线12,l l 分别交于点,M N ，与椭圆交于点,A B . （I ）若3 MON π∠= ，双曲线的焦距为4。求椭圆方程。 （II ）若0OM MN ?=（O 为坐标原点），1 3 FA AN =，求椭圆的离心率e 。 高考数学试题分类汇编 圆锥曲线 一． 选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、 F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2， －1）的距离及点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （41，－1） B. （4 1，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点 的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11 c a ＜ 2 2 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32 a 的点 到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 5.（江西卷7）已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ?=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是C A ．(0,1) B ．1 (0,]2 C ． D ． 6.（辽宁卷10）已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离及P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ A ） A B ．3 C D ．9 2 7.（全国二9）设1a >，则双曲线22 22 1(1)x y a a - =+的离心率e 的取值范围是（ B ） A ． B ． C ．(25)， D ．(2 8.（山东卷(10)设椭圆C 1的离心率为 13 5 ，焦点在X 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8， A B C D - 2019-2020年高考数学大题专题练习——圆锥曲线（一） 1.设F 1，F 2为椭圆22 143 x y +=的左、右焦点，动点P 的坐标为(－1,m )，过点F 2的直线与 椭圆交于A ，B 两点. （1）求F 1，F 2的坐标； （2）若直线P A ，PF 2，PB 的斜率之和为0，求m 的所有整数值. 2.已知椭圆2 214 x y +=，P 是椭圆的上顶点.过P 作斜率为k （k ≠0）的直线l 交椭圆于另一点A ，设点A 关于原点的对称点为B . （1）求△P AB 面积的最大值； （2）设线段PB 的中垂线与y 轴交于点N ，若点N 在椭圆内部，求斜率k 的取值范围. 3.已知椭圆()22 22:10x y C a b a b +=>>的离心率为5，定点()2,0M ，椭圆短轴的端点是 1B ，2B ，且21MB MB ⊥. （1）求椭圆C 的方程； （2）设过点M 且斜率不为0的直线交椭圆C 于,A B 两点，试问x 轴上是否存在定点P ，使PM 平分APB ∠？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由. 4.已知椭圆C 的标准方程为22 1 1612x y +=，点(0,1)E ． （1）经过点E 且倾斜角为 3π 4 的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，求||AB ． （2）问是否存在直线p 与椭圆交于两点M 、N 且||||ME NE =，若存在，求出直线p 斜率的取值范围；若不存在说明理由． 5.椭圆1C 与2C 的中心在原点，焦点分别在x 轴与y 轴上，它们有相同的离心率2 e =，并且2C 的短轴为1C 的长轴，1C 与2C 的四个焦点构成的四边形面积是22. (1)求椭圆1C 与2C 的方程； (2)设P 是椭圆2C 上非顶点的动点，P 与椭圆1C 长轴两个顶点A ，B 的连线PA ，PB 分别与椭圆1C 交于E ，F 点. (i)求证：直线PA ，PB 斜率之积为常数； (ii)直线AF 与直线BE 的斜率之积是否为常数？若是，求出该值；若不是，说明理由. 解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型 总论：常用的八种方法 1、定义法 2、韦达定理法 3、设而不求点差法 4、弦长公式法 5、数形结合法 6、参数法（点参数、K 参数、角参数） 7、代入法中的顺序 8、充分利用曲线系方程法 七种常规题型 （1）中点弦问题 （2）焦点三角形问题 （3）直线与圆锥曲线位置关系问题 （4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题 （5）求曲线的方程问题 1．曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。 2．曲线的形状未知-----求轨迹方程 （6） 存在两点关于直线对称问题 （7）两线段垂直问题 常用的八种方法 1、定义法 （1）椭圆有两种定义。第一定义中，r 1+r 2=2a 。第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。 （2）双曲线有两种定义。第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。 （3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。 2、韦达定理法 因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。 3、设而不求法 解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有： （1）)0(122 22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有 02 20=+k b y a x 。(其中K 是直线AB 的斜率) （2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有 020 20=-k b y a x (其中K 是直线AB 的斜率) （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. (其中K 是直线AB 的斜率) 4、弦长公式法 弦长公式：一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB 长的方法是：把直线方程y kx b =+代入圆锥曲线方程中，得到型如ax bx c 2 0++=的方程，方程的两根设为x A ，x B ，判别式为△，则||||AB k x x A B =+-=12·| |12a k △ ·+，若直接用结论，能减少配方、开方等运算过程。 5、数形结合法 解析几何是代数与几何的一种统一，常要将代数的运算推理与几何的论证说明结合起来 《圆锥曲线解题十招全归纳》 招式一：弦的垂直平分线问题 例题1、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ?是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。 招式二：动弦过定点的问题 例题2、已知椭圆C ：22 221(0)x y a b a b +=>>， 且在x 轴上的顶点分别为A 1(-2,0),A 2(2,0)。 （I ）求椭圆的方程； （II ）若直线:(2)l x t t =>与x 轴交于点T,点P 为直线l 上异于点T 的任一点，直线PA 1,PA 2分别与椭圆交于M 、N 点，试问直线MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论 招式三：过已知曲线上定点的弦的问题 例题4、已知点A 、B 、C 是椭圆E ：22221x y a b += (0)a b >>上的三点，其中点A 是椭圆的右顶点，直线BC 过椭圆的中心O ，且0AC BC =，2BC AC =，如图。(I)求点C 的坐标及椭圆E 的方程； (II)若椭圆E 上存在两点P 、Q ，使得直线PC 与直线QC 关于直线x =PQ 的斜率。 招式四：共线向量问题 1：如图所示，已知圆M A y x C ),0,1(,8)1(:22定点=++为圆上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足N 点,0,2=?=的轨迹为曲线E.I ）求曲线E 的方程；II ）若过定点F （0，2）的直线交曲线E 于不同的两点G 、H （点G 在点F 、H 之间），且满足λ=，求λ的取值范围. 2：已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线2 14 y x =的焦点，离心率 为 5 .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 的右焦点作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于M 点，若1MA AF λ=，2MB BF λ= ，求证：1210λλ+=-. 3、已知△OFQ 的面积S=26, 且m FQ OF =?。设以O 为中心，F 为焦点的双曲线经过Q ， 2)14 6 ( ,||c m c -==，当||取得最小值时，求此双曲线方程。 类型1——求待定字母的值 例1设双曲线C ：)0(12 22>=-a y a x 与直线L ：x+y=1相交于两个不同的点A 、B ，直线L 与y 轴交 于点P ，且PA=PB 12 5 ，求a 的值 1.椭圆C 1：()22210x y a b a b +=>>的离心率为3，椭圆C 1截直线y x =所得的弦长为410. 过椭圆C 1的左顶点A 作直线l 与椭圆交于另一点M ，直线 l 与圆C 2：()()2 2240x y r r -+=>相切于点N . （Ⅰ）求椭圆C 1的方程； （Ⅱ）若43 AN MN =u u u r u u u u r ，求直线l 的方程和圆C 2的半径r . 2.已知椭圆C ：112 162 2=+ y x 左焦点F ，左顶点A ，椭圆上一点B 满足x BF ⊥轴，且点B 在x 轴下方，BA 连线与左准线l 交于点P ，过点P 任意引一直线与椭圆交于C ，D ，连结AD ，BC 交于点Q ，若实数21,λλ满足：CQ BC 1λ=，DA QD 2λ=. （1）求21λ?λ的值； （2）求证：点Q 在一定直线上. 3.已知椭圆C ：)0(12 42 2>>=+ b a y x 上顶点为D ，右焦点为F ，过右顶点A 作直线DF l //， 且与y 轴交于点),0(t P ，又在直线t y =和椭圆C 上分别取点Q 和点E ，满足OE OQ ⊥（O 为坐标原点），连接EQ . （1）求t 的值，并证明直线AP 与圆222=+y x 相切； （2）判断直线EQ 与圆222=+y x 是否相切？若相切，请证明；若不相切，请说明理由. 4.如图，△AOB 的顶点A 在射线)0(3:> =x x y l 上，A ，B 两点关于x 轴对称，O 为坐标原点，且线段AB 上有一点M 满足3||||=?MB AM ，当点A 在l 上移动时，记点M 的轨迹为W . （1）求轨迹W 的方程； （2）设)0,(m P 为x 轴正半轴上一点，求||PM 的最小值)(m f . 5.已知点P 是椭圆C 上任一点，点P 到直线1l ：2x =-的距离为1d ，到点(10)F -，的距离为 2d ，且 212 d d =.直线l 与椭圆C 交于不同两点A 、B （A 、B 都在x 轴上方），且 圆锥曲线经典题型 一．选择题（共10小题） 1．直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，则此双曲线离 心率的范围是（） A．（1，）B．（，+∞） C．（1，+∞）D．（1，）∪（，+∞）2．已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（） A．B．C． D． 3．设F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使得，其中O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为（） A．B． C．D． 4．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D． 5．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相交，则此 双曲线的离心率的取值范围是（） A．（2，+∞）B．（1，2） C．（1，）D．（，+∞） 6．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线 的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（） A．B．C．D．2 7．设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的一点，F1、F2分别是双曲线的 左、右焦点，已知PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的一条渐近线方程是（）A．B．C．y=2x D．y=4x 8．已知双曲线的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心 率的取值范围是（） A．（，+∞） B．（1，）C．（2．+∞）D．（1，2） 9．如果双曲线经过点P（2，），且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲线的方程是（） A．x2﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1 10．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（） A．B．C．D． 二．填空题（共2小题） 11．过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=8，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是． 12．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使，O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为． 三．解答题（共4小题） 4 1 ?如图，曲线G 的方程为y 2 2x(y > 0) ?以原点为圆心?以t(t 0)为半径的圆分别 点C , D ，求四边形 ABCD 面积的最小值. 由题意知，直线 AC 的斜率 k 存在，由对称性，不妨设 k 2 X 。 2.解：(I )设切点Q X 0, 4 X g 亍，知抛物线在Q 点处的切线斜率为肓，故所求切线方程为 X 0(X X 。) ? 因为点P(0, )在切线上. 所以4 2 ,X 0 16 , ?所求切线方程为y 2x 4 ? (II )设 A(X 1,屮),C(X 2, y 2) ? 与曲线G 和y 轴的正半轴相交于点 A 与点B .直线AB 与x 轴相交于点C ? (I)求点 A 的横坐标a 与点C 的横坐标 c 的关系式 (n)设曲线G 上点D 的横坐标为a 2 , 求证：直线 CD 的斜率为定值. 1?解：(I) 由题意知，A(a, '2a). 因为|0A t ，所以a 2 2a t 2 .由于t 0 , 故有"O 由点B(0, t), C(c,0)的坐标知，直线 BC 的方程为x y 1 c t 又因点A 在直线BC 上，故有a ' 2a 1，将(1 )代入上式，得 a c t * 2a .a(a 2) 解得 c a 2 ,2(a 2) ? (n)因为D(a 2,、.2(a 2))，所以直线CD 的斜率为 ■2(a 2) a 2 c 2@—2) v 2(a ,2) a 2 (a 2 .、2(a 2)) 2(a 2) 所以直线CD 的斜率为定值. 2 ?设F 是抛物线G: X 2 4y 的焦点. (I )过点P(0, 4)作抛物线G 的切线，求切线方程; (II )设A, B 为抛物线G 上异于原点的两点，且满足 0 ,延长AF , BF 分别交抛物线G 于 B 萌 2a : (1 5圆锥曲线题型归类大全 17
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