概率论-第一章-随机事件与概率
第一章 随机事件及其概率
自然界和社会上发生的现象可以分为两大类：
一类是，事先可以预言其必然会发生某种结果，即在保持条件不变的情况下重复实验或
观察，它的结果总是确定的。这类现象称为确定性现象。
另一类是，事先不能预言其会出现哪种结果，即在保持条件不变的情况下重复实验或观
察，或出现这种结果或出现那种结果。这类现象称为随机现象。
随机现象虽然对某次实验或观察来说，无法预言其会出现哪种结果，但在相同条件下重
复进行大量的实验或观察，其结果却又呈现出某种规律性。 随机现象所呈现出的这种规律
性，称为随机现象的统计规律性。
概率论与数理统计就是研究随机现象统计规律性的一门数学学科。
§1 随机事件
一、随机试验与样本空间
;
我们把对随机现象进行的一次实验或观察统称为一次随机试验，简称试验，通常用大写
字母E 表示。
举例如下：
E 1：抛一枚硬币，观察正面H 、反面T 出现的情况；
E 2：将一枚硬币抛掷两次，观察正面H 、反面T 出现的情况；
E 3：将一枚硬币抛掷两次，观察正面H 出现的次数；
E 4：投掷一颗骰子，观察它出现的点数；
E 5：记录某超市一天内进入的顾客人数；
E 6：在一批灯泡里，任取一只，测试它的寿命。
随机试验具有以下三个特点：
（1）每次试验的结果具有多种可能性，并且能事先明确知道试验的所有可能结果；
（2）每次试验前，不能确定哪种结果会出现；
%
（3）试验可以在相同的条件下重复进行。
随机试验E 的所有可能结果的集合称为E 的样本空间，记作Ω。样本空间的元素，即
E 的每个结果，称为样本点，一般用ω表示，可记{}ω=Ω。
上面试验对应的样本空间：
{}T H ,1=Ω；
{}TT TH HT HH ,,,2=Ω；
{}2,1,03=Ω；
{}6,5,4,3,2,14=Ω；
{} ,4,3,2,1,05=Ω；
{}06≥=Ωt t 。
注意，试验的目的决定试验所对应的样本空间。
：
二、随机事件
试验E 样本空间Ω的子集称为E 的随机事件，简称事件，通常用大写字母A ，B ，C ,…
表示。设A 是一个事件，当且仅当试验中出现的样本点A ∈ω时，称事件在该次试验中发
生。
由一个样本点组成的单点集称为基本事件。
样本空间Ω称为E 的必然事件，每次试验中它都发生。空集?称为E 的不可能事件，
每次试验中它都不发生。
例如，E 4中“出现偶数点”、“出现奇数点”都是随机事件，“出现点数不超过6”是必
然事件，“出现点数超过7”是不可能事件。
【例】一个袋中装有大小相同的3个白球和2个黑球，现从中任意取出一球，试写出样
本空间及下列事件是由哪些基本事件组成的。
（1）事件A ：“摸出的是白球”；
（2）事件B ：“摸出的是黑球”。
解 先对球编号，令1、2、3号球为白球，4、5号球为黑球，并设i ω=“取得第i 号球”
其中(15i ≤≤)。则样本空间}{ωωωωωΩ=12345
,,,,, 和 （1）事件{}A ωωω=123,,；
（2）事件}{B ωω=
45
,。 、
三、事件的关系与运算
事件间的关系和运算按照集合间的关系和运算来处理。
1．事件的包含与相等
在试验中，若事件A 发生必然导致事件B 发生， 则称事件B 包含事件A 或称事件A 包
含于事件B ，记为B A ?或A B ?。此时，事件A 中的基本事件必属于事件B ，即A 是B
的一个子集。
~
例如，4E 中，若记{}1,3,5A =表示“出现奇数点”，{}1,2,3,4,5B =表示“出现点数
不超过5”，显然A B ?，即事件B 包含事件A 。
事件的包含关系有以下性质：
（1）A A ?；
（2）若A B ?，B C ?，则A C ?；
（3）?A ??Ω。
若A B ?，且B A ?，则称事件A 和事件B 相等，记为A B =。此时，A 与B 拥有完
全相同的基本事件。
2．事件的并（和运算）
在试验中，事件A 与事件B 至少有一个发生的事件，称为事件A 与事件B 的并（或和
事件），记为A B 。 此时，A B 就是由属于事件A 或属于事件B 的全部基本事件组成
的集合。
例如，4E 中，若记{}1,3,5A =表示 “出现奇数点”，{}1,2,3,4B =表示“出现点数
不超过4”，则{}5,4,3,2,1=B A 表示“出现点数不超过5”。
`
易知，若A B ?，则B B A = 。
类似地，称“n 个事件12,,,n A A A 中至少有一个发生”的事件为n 个事件1A ，2A ，…，
n A 的并，记为
121n
n i i A A A A ==
。
3．事件的交（积运算）
在试验中，事件A 与事件B 同时发生的事件，称为事件A 与事件B 的交（或积事件），
记为A B (或AB )。此时，A B 就是由既属于事件A 又属于事件B 的全部基本事件组
成的集合。
%
例如，4E 中，若记{}1,3,5A =表示 “出现奇数点”，{}1,2B =表示“出现点数不超
过2”， 则{}1AB =表示“出现点数为1”。
易知，若A B ?，则AB A =。
类似地，称“n 个事件12,,
,n A A A 同时发生”的事件为n 个事件1A ，2A ，…，n A 的
交，记作
121n
n i i A A A A ==
或 121n
n i i A A A A ==∏ 4．事件的差（差运算）
在试验中，事件A 发生而事件B 不发生的事件称为事件A 与事件B 的差（或差事件），
记为A B -。此时，A B -就是由属于事件A 而不属于事件B 的全部基本事件组成的集合。
,
例如，4E 中，若记{}1,3,5A =表示 “出现奇数点”，{}1,2,3,4B =表示“出现点数
不超过4”，则{}5A B -=表示“出现点数为5”。
5．互不相容事件
在试验中，若事件A 与事件B 不能同时发生，则称事件A 与事件B 是互不相容的 (或
互斥的)，记为A B =? (或AB =?)。此时，事件A 与事件B 不相交，或它们的交是
空集，即事件A 与事件B 没有公共的基本事件。
!
例如，2E 中，若记{}1,3,5A =表示 “出现奇数点”，{}2,4B =表示“出现小于5的
偶数点”，则A B =?，即,A B 是互不相容事件，不可能同时“出现奇数点”和“出现偶
数点”。
在一次试验中，任意两个基本事件都不能同时发生，所以基本事件是互不相容的。
对于n 个事件12,,
,n A A A ，如果其中任取两个,()i j A A i j ≠，均有i j A A =?，则称此n 个事件12,,,n A A A 是两两互不相容的。
6．对立事件（逆事件）
在试验中，若事件A 与事件B 必有一个发生且仅有一个发生，即事件A 和事件B 满足
条件：
Ω=B A 且 AB =?
则称事件A 和事件B 是对立事件（或互逆事件），记为B A =，A B =。因此，事件A 的逆事件A 就是由属于Ω而不属于A 的全部基本事件组成的集合，即A 是A 的补集。
)
例如，4E 中，若记{}1,3,5A =表示“出现奇数点”，则{}2,4,6A =表示“出现偶数
点”。
易知有以下性质：
（1） A A =
（2） A A =Ω-
（3） A B AB -=
注意：互逆事件与互不相容事件是两种不同的关系。在一次试验中，两个互不相容事件
仅仅是不能同时发生，并不能排除它们同时都不发生；而两个互逆的事件不仅不能同时发生，
而且同时不发生也是不可能的。所以有结论：互逆事件一定是互不相容的，但互不相容事件
却不一定是互逆的。
常见的事件的关系与运算的规则归纳如下：
1．有关包含
?A ??Ω，B A A ?， A B A -?， AB A ?
2．有关并
—
A ?A =， Ω=Ω A ， Ω=A A ，A A A = ，
A B B A =， )()(C B A C B A =
3．有关交
AA A =， AA =?， A ?=?，A A Ω=，
AB BA =，()()AB C A BC =
4．分配律
)()()(C A B A C B A =， )()()(C B C A C B A =，
()()()A B C A C B C =， ()()()A B C A B A C =
5．德·摩根律
B A B A =， B A B A =
6．有关逆与差
{
Ω=?，?=Ω，A A =，
A A =Ω-，A
B AB -=，
A A
B A =- )(，B A B B A =-)(
【例1】 一名射手连续向某个目标射击三次，令A =“第1次击中目标”，B =“第2
次击中目标”，C =“第3次击中目标”，试用,,A B C 表示以下各事件：
（1）3次都击中目标；（2）3次均未击中目标；（3）第2次击中目标，而第1、3次都
没击中；（4）第2次击中目标而第3次没击中；（5）恰好有1次击中目标；（6）至少有1
次击中目标（其逆事件为3次均未击中目标）；（7）至多有1次击中目标。
解 （1）ABC ； （2）A B C ； （3）ABC ；
（4）BC ； （5）C B A C B A C B A ；
（6）C B A 或 C B A ；
（7）C B A C B A C B A C B A 。
【例2】 吴书.例2。
某城市的供水系统由甲、乙两个水源与三部分管道1，2，3组成，试用事件
，
=i A {第i 号管道正常工作} )3,2,1(=i
表示事件“城市能正常供水”和“城市断水”。
【例3】 已知随机事件A 与B 是互逆事件，求证：A 与B 也是互逆事件。
证明：由于A 与B 是互逆事件，有
Ω=B A ， AB =?
于是
==AB B A ?=Ω 且有 =Ω==B A B A ? 所以A 与B 也是互逆事件。
【例4】 对随机事件A 、B ，求证：AB A B A -=-。 证明：====-B A A A B A A AB A AB A )(?B A B A B A -==
*
§2 事件的概率与等可能概型（古典概型）
一、频率与概率
定义1 若事件A 在n 次相同条件下的重复试验中发生了A n 次，则称
n
n A f A n =)( 为事件A 在这n 次试验中出现的频率，并称A n 为事件A 在这n 次试验中出现的频数。
由定义易知，频率具有以下性质：
1．非负性 0)(≥A f n
2．规范性 1)(=Ωn f
3．有限可加性 若k 个事件k A A A ,,,21 两两互不相容，则有
)()()()(2121k n n n k n A f A f A f A A A f +++=
！
随机事件在一次试验中是否发生是不确定的，但在大量重复试验或观察中，其发生却具
有规律性。
例如，历史上，多人做过抛掷硬币的试验，其结果如下表所示
从表中可以看出，当抛掷次数足够多时，正面向上的频率在附近摆动，这种现象称为随
机事件的频率稳定性，这是概率这一概念的经验基础。
定义2 在相同条件下做大量重复随机试验，事件A 出现的频率总在某一常数p 附近摆
动，且试验次数越多，摆动幅度越小，则称常数p 为事件A 的概率，记作()P A p =。
该定义通常称为概率的统计定义。概率的统计定义虽无法确定概率的准确值，但可取当
试验次数n 充分大时，事件A 出现的频率作为它的近似值，这一点在实践中有着重要意义。
概率()P A 表示随机事件A 发生的可能性大小，它是事件A 本身客观存在的一种固有属
性。由频率的稳定性和频率的性质得到启发，给出概率的公理化定义。
定义 设E 是随机试验，Ω是它的样本空间，对于E 的每一个事件A 赋予一个实数，
记为()P A ，如果集合函数)(?P 满足下列条件，则称()P A 为事件A 的概率：
1．非负性 对每一个事件A ，有0)(≥A P
2．规范性 对必然事件Ω，有1)(=ΩP
3．可列可加性 设事件 ,,21A A 是两两互不相容的事件，则有
++=)()()(2121A P A P A A P 或 ∑∞
=∞==1
1)()(i i i i A P A P
!
二、概率的性质
性质1 (P ?)0=
性质2 (有限可加性) 若事件n A A A ,,,21 两两互不相容，则有
)()()()(2121n n A P A P A P A A A P +++=
性质3 若事件B A ,满足A B ?，则有
)()()(A P B P A B P -=-， )()(A P B P ≥
性质4 对任一事件A ，1)(≤A P
性质5 （逆事件概率） 对任一事件A ，有
)(1)(A P A P -=
性质6 （加法公式）对任意两个事件B A ,，有
…
)()()()(AB P B P A P B A P -+=
推广到对任意三个事件C B A ,,，则有
)()(()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=
【例1】 随机调查某班的一次考试成绩，数学及格的学生占72%，语文及格的学生占
69%，两门都及格的学生占50%，问至少一门及格的学生的概率
解 设A 表示“数学及格的学生”，B 表示“语文及格的学生”，则“两门都及格的学生”
可用AB 表示，“至少有一门及格的学生”可用B A 表示。
已知()P A =72%，()P B =69%，()P AB =50%，于是由加法公式得
=-+=)()()()(AB P B P A P B A P 91%
【例2】 已知事件A 和B 满足()(P AB P A =)B ，且()P A t =，求()P B 。
解 因为A B A B =+，于是有
)]()()([1)(1)()()(AB P B P A P B A P B A P B A P AB P -+-=-===
化简得 ()()1P A P B +=
|
所以 ()1()1P B P A t =-=-。
【例3】（减法公式）对任意两个事件B A ,，有
)()()(AB P A P B A P -=-
证明：因为AB A B A -=-，且A AB ?，所以有
)()()()(AB P A P AB A P B A P -=-=-
【例4】设事件C B A ,,，当3.0)(,6.0)(==B P B A P 时，求)(B A P 。
解 )()]()()([)()()()(B P AB P B P A P AB P A P B A P B A P --+=-=-=
3.03.06.0)()(=-=-=B P B A P
三、等可能概型（古典概型）
先看两个例子。
—
【例1】 在抛掷硬币试验中，试验只有2个结果：“出现正面”和“出现反面”。由于
硬币是均质的，这两个结果发生的可能性相同，即它们的概率都是1/2。
【例2】 在投掷骰子试验中，试验的结果有6个：“出现的点数为i ”(1,2,3,4,5,6i =)。
由于骰子是均质的，每一个结果发生的可能性相同，即它们的概率都是1/6。
以上两个例子具有如下共同点：
（1）有限性 试验可能发生的结果是有限的，即样本空间中只含有限个基本事件；
（2）等可能性 试验中每个基本事件发生的可能性是相同的。
具有上述特点的随机试验称为等可能概型（古典概型）。
定义 在古典概型中，设样本空间Ω的基本事件总数为n ，事件A 包含的基本事件数为
k ，则事件A 的概率为
==n
k A P )(事件A 包含的基本事件数/样本空间Ω中基本事件的总数。 该定义通常称为概率的古典定义。
【例3】 吴书.例3。
将一枚硬币抛两次，
}
（1）设事件1A 为“恰好有一次出现正面”，求)(1A P ；
（2）设事件2A 为“至少有一次出现正面”，求)(2A P 。
【例4】 盛书.例2，放回抽样；吴书.例4，不放回抽样。
设口袋装有6个球，其中4个白球、2个红球，从袋中取球2次，每次取一个。试分别
就放回抽样和不放回抽样两种情况求
（1）取到的2个球都是白球的概率；
（2）取到的2个球颜色相同的概率；
（3）取到的2个球中至少有一个是白球的概率。
【例5】 盛书.例4
设有N 件产品，其中有D 件次品，今从中任取n 件，问其中恰有)(D k k ≤件次品的概
率是多少（超几何分布）
【例5`】 一个袋里有5个白球，4个黑球，从袋中任取3个球，（1）求3个球都是黑
球的概率；（2）求至少有1个黑球的概率；（3）求至少有2个黑球的概率。
解 从全部9个球中任取3个球，共有39C 种取法。
：
(1) 设A 表示“取出3个球都是黑球”。从4个黑球中任取3个黑球有34C 种取法。
所以 3349()/4/840.083P A C C ===。
（2）设B 表示“取出3个球至少有1个黑球”，则B 表示“取出3个球都是白球”。由
于
3359()/10/840.119P B C C ===
所以 ()1()10.1190.881P B P B =-=-=。
(3) 设C 表示“取出3个球至少有2个黑球”，D 表示“取出3个球恰有2个黑球”，E
表示“取出3个球恰有3个黑球”，则C D E =+，且D 、E 互不相容。于是
()()()()P C P D E P D P E =+=+
2133345949//30/844/840.405C C C C C =+=+=。
【例6】 吴书.例5（盛书.例3）。
将n 个球放入)(n N N ≥个盒子中去，设盒子容量不限，试求
（1）每个盒子至少有一个球的概率；
。
（2）n 个盒子中各有一个球的概率。
【例7】 吴书.例6（盛书.例5）。
袋中有a 个白球，b 个红球，k 个人依次在袋中任取一个球，（1）作放回抽样；（2）作
不放回抽样，求第),,2,1(k i i =人取到白球（记为事件B ）的概率)(b a k +≤。（抽签原
理）
【例8】 盛书.例6。
在1~2000的整数中随机地取一个数，求取到的整数即不能被6整除，又不能被8整除
的概率。
【例9】 盛书.例7。
将15名新生随机地平均分配到3个班级中去，这15名新生中有3名优秀生。求
（1）每个班级各分配到1名优秀生的概率；
（2）3名优秀生分配在同一班级的概率。
【例10】吴书.例7。
（女士品茶）一位常饮奶茶的女士称：她能从一杯冲好的奶茶中辨别出该奶茶是先放牛
奶还是先放茶冲制而成.做了10次测试，结果是她都正确地辨别出来了.问该女士的说法是
否可信（实际推断原理：概率很小的事件在一次试验中实际上几乎不会发生）
<
【例10`】 从数字1,2,3,4,5中任取两个不同的数字，计算它们组成的两位数大于30
的概率。
解 设事件A 表示“取到的两位数大于30”，先从3,4,5中任取一个数作为十位数，有13
C 种取法，再从余下的四个数中任取一个数作为个位数，有14C 种取法，故事件A 包含的基本
事件数为
11343412C C =?=。
而从1,2,3,4,5中任取一个数作为十位数，有1
5C 种取法，再从余下的四个数中任取一个数作
为个位数有14C 种取法，故样本空间包含的基本事件总数为
11545420C C =?=。
所以 11113454()/12/200.6P A C C C C ===。
§3 条件概率
一、条件概率
在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率称为条件概率，记作(|)P B A 。
/
【例1】 吴书.例1。
一个家庭有2个小孩，已知其中至少一个是女孩，问另一个也是女孩的概率是多少（假
定生男生女是等可能的）
一般情况下)|()(A B P B P ≠，原因是计算概率时，样本空间由Ω变成了A Ω。
定义 设B A ,是两个事件，且0)(>A P ，则称
)
()()|(A P AB P A B P = 为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率。
类似地，有当0)(>B P 时，有
)
()()|(B P AB P B A P = 可以验证条件概率满足概率定义中的三个条件，所以条件概率也是概率，具有概率的一
切性质。
【例2】 吴书.例2。
袋中有10个球，其中3个黑球、7个白球，依次从袋中不放回取2球，
[
（1）已知第一次取出的是黑球，求第二次取出的仍是黑球的概率；
（2）已知第二次取出的是黑球，求第一次取出的也是黑球的概率。
【例3】 已知灯泡使用到1000小时的概率为，使用到1500小时的概率为。一只灯泡
已经使用了1000小时，求这只灯泡使用到1500小时的概率。
解 设A 表示事件“灯泡使用到1000小时”，B 表示事件“灯泡使用到1500小时”。
显然，B A ?，所以AB B =。所求的概率为(|)P B A ，由条件概率的定义
(|)()/()()/()0.25/0.750.33P B A P AB P A P B P A ====。
【例4】设C B A ,,是事件，2.0)(,5.0)(,6.0)(===AB P B P A P ，求)|(A B B P 。
解 )
()()()]([)|(B A P B A P A B P A B B P A B B P == 其中 )()](1[)()()()(AB P A P AB P A P B A P B A P --=-=-=
2.02.0)6.01(=--=
)()](1[)](1[)()()()(AB P B P A P AB P B P A P B A P --+-=-+=
【
7.02.0)5.01()6.01(=--+-=
所以 7
27.02.0)|(==
A B B P 。 二、乘法公式
由条件概率的公式，立即可得
定理（乘法公式）对任意事件A 、B ，有
()()(|)P AB P A P B A = (()0P A >)
()(|)P B P A B = (()0P B >)
如果A 先发生，则使用第一式；如果B 先发生，则使用第二式
可以推广到有限多个事件的情形：n 个事件的乘法公式为
12
121312121()()(|)(|)(|)n n n P A A A P A P A A P A A A P A A A A -= ,
特别地，当3n =时，有
()()(|)(|)P ABC P A P B A P C AB = (()0,()0P A P AB >>)
【例5】 吴书.例4。
袋中有a 个白球，b 个红球，现从中依次不放回地取出2个球，求两次都取到白球的概
率。
【例6】 袋中共有100个球，已知有10个黑球，90个红球，现从中依次取出2个球，
求（1）不放回取出时，第2次才取到红球的概率；（2）取出第一个球放回后，再取出第二
个球，第2次才取到红球的概率。
解 设i A 表示事件“第i 次取到红球”（1,2i =），则i A 表示事件“第i 次取到黑球”。
（1）所求的概率为12()P A A ，由乘法公式
091.099
9010010)|()()(12121=?==A A P A P A A P 。 （2）此时所求的概率仍记为12()P A A ，由乘法公式
090.0100
9010010)|()()(12121=?=
=A A P A P A A P 。 【例7】 吴书.例5。
^ 已知某厂的一批产品共100件，其中有5件废品。某采购员对产品进行不放回抽样检查，
如果被抽查的5件产品中至少有一件是废品，则拒绝购买这批产品。求采购员拒绝购买这批
产品的概率。
三、全概率公式
定理1（全概率公式）设试验E 的样本空间为Ω，A 为E 的事件，n B B B ,,,21 是Ω
的一个划分（即n B B B ,,,21 两两互不相容，且
Ω== n i i B 1），而0)(>i B P ),2,1(n i =，
则 ∑==++=n
i i i n n B P B A P B P B A P B P B A P A P 111)()|()()|()()|()(
定理2（贝叶斯公式）设试验E 的样本空间为Ω，A 为E 的事件，n B B B ,,,21 是Ω
的一个划分，且0)(,0)(>>i B P A P ),2,1(n i =，则
∑==n i i
i i i i B P B A P B P B A P A B P 1)()|()
()|()|(，),2,1(n i =
【例1】 吴书.例6（盛书.例5）。
某厂的两个车间生产同型号产品。据以往记录，第一车间的次品率为，第二车间的次品
率为。两个车间生产的成品混放在一个仓库里且无区分标志，假定第一、二车间生产的成品
比例为3:2。
（1）在仓库中随机取1件成品，求它是次品的概率；
（2）在仓库中随机取1件成品，若已知取到的是次品，求该次品分别由第一、二车间
生产的概率。
（
如果存在与A 有关的Ω的一个划分n B B B ,,,21 ，且每个i B 都先于A 发生，将由所有
可能“原因” i B 的概率求“结果” A 的概率的问题称为全概率问题，可用全概率公式解
决；将由“结果” A 的概率推断各种可能“原因” i B 的概率的问题称为逆概率问题，可
用贝叶斯公式解决，已知的)(i B P 称为先验概率，求出的)|(A B P i 称为后验概率。
【例2】 吴书.例7。
假设在某时期内影响股票价格变化的因素只有银行存款利率的变化。经分析，该时期内
利率不会上调，利率下调的概率为60%，利率不变的概率为40%。根据经验，利率下调时某
支股票上涨的概率为80%，利率不变时，这支股票上涨的概率为40%，求这支股票上涨的概
率。
【例3】 吴书.例8（盛书.例8）。
根据记录，某种诊断癌症的试验具有如下效果：若以A 表示事件“试验反应为阳性”，
以C 表示事件“被检查者患有癌症“，则有95.0)|(,95.0)|(==C A P C A P 。现对自然人
群进行普查，设被检查者患有癌症的概率为，即005.0)(=C P ，试求)|(A C P 。
【例4】 吴书.例9。
玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只次品的概率分别为，，和。某顾客
欲买一箱玻璃杯，在购买时随机查看4个，若无次品则买下这箱玻璃杯，否则退回。试求
（1）顾客买下这箱玻璃杯的概率；
（2）在顾客买的这箱玻璃杯中，确实没有次品的概率。
/
§4 独立性
定义 若事件A 的发生不影响事件B 的概率，即
(|)()P B A P B =
则称事件B 对A 是独立的，否则称为不独立的。
根据乘法公式，()()(|)()(|)P AB P A P B A P B P A B ==，如果事件B 对A 是独立的，
则()(|)P B P B A =，代入乘法公式得()(|)P A P A B =，即事件A 对B 也是独立的。所以，
事件A 、B 之间的独立性是对称的，即是相互独立的。
定理1 事件A 与事件B 相互独立的充要条件是
()()()P AB P A P B =
推广到有限个事件的情形：如果n 个事件12,,,n A A A 相互独立，则
1212()()()
()n n P A A A P A P A P A =。 理论上定理1可用于事件独立性的判断。但在具体应用中，往往先根据事件的实际意
义判断A 、B 的独立性，然后利用定理1求出()P AB 。
定理2 如果事件A 与B 相互独立，则事件A 与B 、A 与B 、A 与B 也相互独立。
定理3 如果事件A 与B 相互独立，则
)()(1)(B P A P B A P -=
推广到有限个事件的情形：如果n 个事件12,,,n A A A 相互独立，则
)()()(1)(2121n n A P A P A P A A A P -=。
【例1】 从甲、乙两个箱子中随机抽取奖券，中奖率分别为和，现在两个箱子中各随
机抽取一张，求两张都中奖的概率。
解 设A 表示 “甲箱中抽出一张中奖”，B 表示“乙箱中抽出一张中奖”，则
()0.6P A =，()0.5P B =。显然A 与B 是相互独立的，
因而 ()()()0.3P AB P A P B ==。
【例2】 吴书.例2。
甲乙二人独立地对目标各射击1次，甲射中目标的概率为，乙射中目标的概率为，求目
标被射中的概率。
【例3】 一条线路中有3个电阻，每个电阻断电的概率都是(01)r r <<，分别计算
（1） 3个电阻并联时，整条线路断电的概率；
（2） 3个电阻串联时，整条线路断电的概率。
解 设(1,2,3)i A i =表示“第i 个电阻断电”，A 表示“并联时整条线路断电”, B 表示
“串联时整条线路断电”。
（1）并联时，只有3个电阻全断电线路才会断电,即123A A A A =。因而有
3123123()()()()()P A P A A A P A P A P A r ===。
（2）串联时, 只要有一个电阻断电整条线路就会断电,即321A A A B =。因而有
3321321)1(1)()()(1)()(r A P A P A P A A A P B P --=-== 。
【例4】 吴书.例4。
有电路如图，其中1，2，3，4为继电器接点，设各继电器接点闭合与否相互独立，且
每一个继电器接点闭合的概率均为p ，求L 至R 为通路的概率。
【例5】 吴书.例3。
（保险赔付）设有n 个人向保险公司购买人身意外保险（保险期为1年），假定投保人
在1年内发生意外的概率为。
（1）求保险公司赔付的概率；
（2）当n 为多大时，使得以上赔付的概率超过2
1。 注意：事件B A ,相互独立与事件B A ,互不相容是不同范畴中的两个概念，一般来说它们
是没有关系的。但当B A ,相互独立，且0)(,0)(>>B P A P 时，B A ,必相容。
第1章 随机事件及其概率(答案)
第1章 随机事件及其概率 一.填空题 1. 向指定目标射三枪，以分别表示事件“第一、二、三枪击中目标”，试用表示以下各事件：（1）只击中一枪记为 123,,A A A 123,,A A A （2）三枪都未击中记为 （3）至少击中一枪记为 . 解1)123123123A A A A A A A A A ++ 2)123A A A 3)123A A A ∪∪ 或123 或123A A A Ω? 2. A,B,C 是三个随机事件，试用A,B,C 表示以下各事件的概率, 则1)A ，B ，C 中至少有一个发生的概率为 2)A ，B ，C 中都发生的概率为 3)A ，B ，C 都不发生的概率为 . 解1)()P A B C ∪∪ 2)()P ABC 3)()P ABC 3.(97-4-3)设A,B 是任意两个随机事件,则(()()()())P A B A B A B A B ∪∪∪∪= 解:由分配律() ()(()()()())(())(()))P A B A B A B A B P AA B AA B P BB P ∪∪∪∪=∪∪==?=0 4.(92-3-3)将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机排成一行,那么恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 解：C 字母每个位置都有2种可能，其它事唯一确定的， 2!2!7!= 1 1260 5.(07-1,3,4-4)在( 0,1 )中随机地取2个数,则两数之差的绝对值小于1/2的概率为 解:12x y ?<,如图所示,1 141P ? = =34 . 6. (93-3-3) 一批产品共有10件正品,2件次品，每次取1件,现不放回抽取3次，则第2次取次品的概率 解：法1（抽签原理） 212=16 法2（排列问题），第2次取次品，第1,3次是剩下任取2个的排列： 21110121110××=××1 6 7. (97-1-3) 袋中有50个乒乓球，其中20个黄球，30个白球，今有2人依次随机从袋中各取一球，不放回，则第2个人取黄球的概率 . 解：法1：（抽签原理） 2050=2 5 法2：（排列问题，第2个人取黄球，第1个人从剩下的49个取一个） 20492 50495 ×=× 法3：（排列问题，第2个人取黄球，第1个人取黄球或白球） ()201930201920302 504950495 ×+×+×==×× （注：抽签原理最简，只跟中签数与总签数的比值有关，与抽取第几个无关；排列问题——分次完成） 8. (92-1-3) 已知()()()11 ()()(),0,41P A P B P C P AB P AC P BC === ===6 ，事件A,B,C 全不发生的概率为 解:()()()11 ()()(),0,,416 ()()(P A P B P C P AB P AC P BC ======∵ )00ABC AB P ABC P AB P ABC ?≤=∴=, ()()()()()()()11(1()1[]132416P ABC P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =?∪∪=?++???+=?×?×=3 8
第一章 随机事件及其概率课后习题参考答案
第一章 随机事件及其概率 1. 1) {}01001,,,.n n n n Ω=L 2) {}{}10,11,12,13,,10.n n Z n Ω==∈≥L 3) 以"'',''"+-分别表示正品和次品，并以""-+--表示检查的四个产品依次为次品，正品，次品，次品。写下检查四个产品所有可能的结果S ，根据条件可得样本空间Ω。 , ,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,. , ,,,S ++--++-++++-+++++---+--++-+-+-++?? =? ?-+---+-+-++--+++-------+--+---++??++--++-++++-+++++--+-+-+-++?? Ω=? ?-+---+-+-++--+++--?? 4) {}22(,)1.x y x y Ω=+< 2. 1) ()A B C ABC --=， 2) ()AB C ABC -=， 3) A B C A B C ++=U U ， 4) ABC ， 5) ()A B C ABC Ω-++=， 6) ()AB BC AC AB BC AC Ω-++=++， 7) ()ABC A B C Ω-=U U ， 8) AB AC BC ++. 3. 解：由两个事件和的概率公式()()()()P A B P A P B P AB +=+-，知道 ()()()() 1.3(),P AB P A P B P A B P A B =+-+=-+ 又因为()(),P AB P A ≤ 所以 （1）当()()0.7P A B P B +==时，()P AB 取到最大值0.6。 （2）当()1P A B +=时，()P AB 取到最小值0.3。 4. 解：依题意所求为()P A B C ++，所以 ()()()()()()()() 1111 000(0()()0)44485.8 P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC P ABC P BC ++=++---+=++---+≤≤==Q 5. 解：依题意， ()()() () ()()()() ()()()() ()()0.70.5 0.25. ()()()0.70.60.5 P B A B P BA P B A B P A B P A B P BA BA BA A P A P B P AB P A P BA P A P B P AB ++= = ++=+=+---= ==+-+-Q 6. 解：由条件概率公式得到111()1()()(),(),34 12()2 P AB P AB P A P B A P B P A B ==?=== 所以1 111 ()()()().4 6123 P A B P A P B P AB +=+-=+-= 7. 解：
概率论1.1概率论随机事件及其运算
《概率论》课后练习（一） 第一章§1-1随机事件与概率 班级 姓名 座号 成绩 一．填空题（每空1.6分,共计8分） 1．一份试卷上有6道题。某学生在解答时由于粗心随机地犯了4处不同的错误。现观察该学生做完试卷他答对的题数，则样本空间=Ω____________________。 2．十件产品中三件次品，每次从中取1件（不放回抽样）直到将三件次品都取出，记录抽取到的正品数；则样本空间=Ω_______________ 。 3. 一口袋中有许多红色、白色、蓝色的乒乓球，在其中任取出4 只，观察它们具有颜色的种数。则样本空间=Ω______________________。 4..设某人向靶子射击3次，用 i A 表示“第i 次射击击中靶子” )3,2,1(=i ，试用语言描述下列事件：(1)— ——321A A A (2) 21A A 二． 单项选择题（每小题2,共计8分） 1. 射击3次，事件i A 表示第i 次命中目标)3,2,1(=i ，则表示至少命中一次的是 （ ） )(A 321A A A )(B 321A A A -Ω )(D A A A A A A A A A 21321321 )(D 321A A A 2. 以A 表示事件“甲种产品畅销或乙种产品滞销”，则其对立事件A 表示（ ）。 )(A “甲种产品滞销，乙种产品畅销” )(B “甲、乙两种产品均畅销” )(C “甲种产品滞销” )(D “甲种产品滞销或乙种产品畅销” 3. 对于任意事件A 和B ，则与B B A =+不等价的是（ ）。 )(A B A ? )(B A B ? )(C φ=B A )(D φ=B A 4. 对于事件A ，C B ，,则下列等式不成立的是（ ）。 )(A B B A A -+=)( )(B ))(()(C A B A AB A ++=+ )(C 如果AB A =，则B A ? )(D )(C B A C B A +-=-- 三．下列说法是否正确？（必须说明理由 ）（每小题2分，共计4分） （1）若Ω=+B A ，则B A ,互为对立事件。 (2) 若φ=ABC ，则C B A ,,两两互斥。
随机事件与概率 考研试题
第一章 随机事件与概率 一、填空题 1．（1990年数学一）设随机事件A ，B 及其和事件A B 的概率分别是0.4，0.3和0.6若B 表示B 的对立事件，那么积事件AB 的概率P AB （） =_________． 【解题分析】要求P AB （）时,一般应想到AB A B A AB =-=-，这是事件的差与事件的积之间常见的转化关系，AB A ?而,所以有, () ()()P AB P A P AB =-,这时只需要求出 ()P AB 即可. 解: ()()()()P A B P A P B P AB =+- ， 又 () ()()P AB P AB P A +=， 所以 () ()()0.60.30.3P AB P A B P B =-=-= . 本题用文氏图考虑求解思路更为直观,见图10-1. 图10-1 注:本题()0.4P A =是多余的. 2．（1991年数学四）设A ，B 为随机事件，()0.7,P A =()0.3P A B -=,则 () P AB =________． 【解题分析】 要求() P AB ,由于AB AB 与是对立事件,只要求出()P AB 即可.利用关系A B A AB -=-，()()()P A B P A P AB -=-，可得()P AB . 解:由题设()()() 0.7,0.3P A P A B P AB =-==， 利用公式 AB AB A +=，知 ()()()0.70.30.4P AB P A P AB =-=-=, 故 () ()110.40.6P AB P AB =-=-=． 本题也可利用图10-1考虑求解思路. 3．（2000年数学一）设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为1 9 ，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等，则()P A =________．
概率论与数理统计教程习题(第一章随机事件与概率)
习题1（随机事件及其运算） 一．填空题 1. 设A ，B ，C 是三个随机事件，用字母表示下列事件： 事件A 发生，事件B ，C 不都发生为 ； 事件A ，B ，C 都不发生为 ； 事件A ，B ，C 至少一个发生为 ； 事件A ，B ，C 至多一个发生为 . 2. 某人射击三次，用A i 表示“第i 次射击中靶”(i =1,2,3).下列事件的含义是： 1A 表示 ； 321A A A 表示 ； 321321321A A A A A A A A A ++表示 ； 321A A A 表示 . 3. 在某学院的学生中任选一人，用A 表示“选到的是男生”，用B 表示“选到的是二年级的学生”，用C 表示“选到的是运动员”。则式子ABC=C 成立的条件是 . 二．选择题 1. 在事件A ,B ,C 中，B 与C 互不相容，则下列式子中正确的是（ ）. ① A BC A = ； ② A BC A = ； ③ Φ=BC A ； ④ Ω=BC A . 2. 用A 表示“甲产品畅销，乙产品滞销”，则A 表示（ ）. ① “甲产品滞销，乙产品畅销”； ② “甲、乙产品都畅销”； ③ “甲产品滞销或乙产品畅销”； ④ “甲、乙产品都滞销”. 3. 若概率0)(=AB P ，则必有（ ）. ① Φ=AB ； ② 事件A 与B 互斥； ③ 事件A 与B 对立； ④ )()()(B P A P B A P += .
三．解答题 1. 将一枚骰子掷两次，记录点数之和，写出样本空间Ω及事件=A {点数之和为偶数}；=B {点数之和能被3整除}. 2. 将一枚骰子掷两次，观察点数的分布，写出样本空间Ω及事件=A {点数之和为6}；=B {点数之差为2}. 3. 某城市发行日报和晚报两种报纸。有15%的住户订日报，25%的住户订晚报，同时订两种报纸的住户有8%，求下列事件的概率：C ={至少订一种报}；D ={恰订一种报}；E ={不订任何报}. 4. 若已知,2.0)(,0)()(,3.0)()()(======BC P AC P AB P C P B P A P 求概率)(ABC P ；)(C B A P ；).(C B A P
习题1 随机事件及其概率
习题一 随机事件及其概率 一、填空题 1．设随机试验E 对应的样本空间S ,与其任何事件不相容的事件为φ，而与其任何事件相互独立的事件为φP （A|B ）=1, 则A 、B 两事件的关系为 A=B ；设E 为等可能型试验，且S 包含 10 个样本点，则按古典概率的定义其任一基本事件发生的概率为 0.1 。 2．若A 表示某甲得100分的事件，B 表示某乙得100分的事件，则 （1）A 表示 甲未得100分的事件； （2）A B ?表示 甲乙至少有一人得100分的事件； （3）AB 表示 甲乙都得100的事件； （4）AB 表示 甲得100分，但乙未得100分的事件； （5）AB 表示 甲乙都没得100分的事件； （6）AB 表示 甲乙不都得100分的事件； 3．若事件,,A B C 相互独立，则()P A B C ??= ()()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P A P C P B P C P A P B P C ++---+。 4．若事件,A B 相互独立，且()0.5,()0.25,P A P B ==则 ()P A B ?=0.625。 5．设111()()(),()()(),(),4816 P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =======则 ()P A B C ??=167；()P ABC =169 ；(,,)P A B C =至多发生一个43；(,,P A B C =恰好发生一个）163 ；(|)P A A B C ??=74。 6．袋中有 50 个乒乓球，其中 20 个是黄球，30 个白球，今有两人依次随机地从袋中各取1球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是 0.4 。 7．将 C ，C ，E ，E ，I,N,S 七个字母随机地排成一行，则恰好排成英文单词 SCIENCE 的概率为11260 。 8．10 件产品有 4 件次品，现逐个进行检查，则不连续出现 2 个次品的概
概率论第一章随机事件及其概率答案2
概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第一章 随机事件及其概率（一） 一．选择题 1．对掷一粒骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为 [ C ] （A ）不可能事件 （B ）必然事件 （C ）随机事件 （D ）样本事件 2．下面各组事件中，互为对立事件的有 [ B ] （A ）1A ={抽到的三个产品全是合格品} 2A ={抽到的三个产品全是废品} （B ）1B ={抽到的三个产品全是合格品} 2B ={抽到的三个产品中至少有一个废品} （C ）1C ={抽到的三个产品中合格品不少于2个} 2C ={抽到的三个产品中废品不多于2个} （D ）1D ={抽到的三个产品中有2个合格品} 2D ={抽到的三个产品中有2个废品} 3．下列事件与事件A B -不等价的是 [ C ] （A ）A AB - （B ）()A B B ?- （C ）AB （D ）AB 4．甲、乙两人进行射击，A 、B 分别表示甲、乙射中目标，则A B ?表示 [ C ] （A ）二人都没射中 （B ）二人都射中 （C ）二人没有都射着 （D ）至少一个射中 5．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对应事件A 为. [ D ] （A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B ）“甲、乙两种产品均畅销”； （C ）“甲种产品滞销”； （D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销 6．设{|},{|02},{|13}x x A x x B x x Ω=-∞<<+∞=≤<=≤<，则AB 表示 [ A ] （A ）{|01}x x ≤< （B ）{|01}x x << （C ）{|12}x x ≤< （D ）{|0}{|1}x x x x -∞<
随机事件及其概率(知识点总结)
随机事件及其概率 一、随机事件 1、必然事件 在一定条件下，必然会发生的事件叫作必然事件. 2、不可能事件 在一定条件下，一定不会发生的事件叫作不可能事件. 3、随机事件 在一定条件下，可能发生，也可能不发生的事件叫作随机事件，一般用大写字母A，B，C来表示随机事件. 4、确定事件 必然事件和不可能事件统称为相对于随机事件的确定事件. 5、试验 为了探索随机现象发生的规律，就要对随机现象进行观察或模拟，这种观察或模拟的过程就叫作试验. 【注】（1）在一定条件下，某种现象可能发生，也可能不发生，事先并不能判断将出现哪种结果，这种现象就叫作随机现象. 应当注意的是，随机现象绝不是杂乱无章的现象，这里的“随机”有两方面意思：①这种现象的结果不确定，发生之前不能预言；②这种现象的结果带有偶然性. 虽然随机现象的结果不确定，带有某种偶然性，但是这种现象的各种可能结果在数量上具有一定的稳定性和规律性，我们称这种规律性为统计规律性. 统计和概率就是从量的侧面去研究和揭示随机现象的这种规律性，从而实现随机性和确定性之间矛盾的统一.
（2）必然事件与不可能事件反映的是在一定条件下的确定性现象，而随机事件反映的则是在一定条件下的随机现象. （3）随机试验满足的条件：可以在相同条件下重复进行；所有结果都是明确可知的，但不止一个；每一次试验的结果是可能结果中的一个，但不确定是哪一个. 随机事件也可以简称为事件，但有时为了叙述的简洁性，也可能包含不可能事件和必然事件. 二、基本事件空间 1、基本事件 在试验中不能再分的最简单的随机事件，而其他事件都可以用它们进行描述，这样的事件称为基本事件. 2、基本事件空间 所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，常用大写字母Ω来表示，Ω中的每一个元素都是一个基本事件，并且Ω中包含了所有的基本事件. 【注】基本事件是试验中所有可能发生的结果的最小单位，它不能再分，其他的事件都可以用这些基本事件来表示；在写一个试验的基本事件空间时，应注意每个基本事件是否与顺序有关系；基本事件空间包含了所有的基本事件，在写时应注意不重复、不遗漏. 三、频率与概率 1、频数与频率 在相同条件S 下进行了n 次试验，观察某一事件A 是否出现，则称在n 次试验中事件A 出现的次数A n 为事件A 出现的频数；事件A 出现的比例()A n n f A n = 为事件A 出现的频率.
《随机事件及其概率》教案(1)
随机事件及其概率 教学目标: （1）通过实例理解确定性现象与随机现象的含义和随机事件、必然事件、不可能事件的概念。（2）根据定义判断给定事件的类型，明确事件发生的条件是判断事件的类型的关键； （3）理解随机事件的频率定义及概率的统计定义，知道根据概率的统计定义计算概率的方法, 理解频率和概率的区别和联系； （4）通过对概率的学习，使学生对对立统一的辨证规律有进一步的认识. 教学重点: 根据随机事件、必然事件、不可能事件的概念判断给定事件的类型，并能用概率来刻画实际生活中发生的随机现象, 理解频率和概率的区别和联系. 教学难点: 理解随机事件的频率和概率定义及计算方法, 理解频率和概率的区别和联系. 教学过程: 一、问题情境 1、观察下列现象发生与否，各有什么特点？ （1）在标准大气压下，把水加热到100℃，沸腾； （2）导体通电，发热； （3）同性电荷，互相吸引； （4）实心铁块丢入水中，铁块浮起； （5）买一张福利彩票，中奖； （6）掷一枚硬币，正面朝上。 注：显然（1）、（2）两种现象必然发生的，（3）、（4）两种现象不可能发生，从而它们都是确定性现象。（5）、（6）两种现象可能发生，也可能不发生（是随机现象）。 2、实验1：奥地利遗传学家（G.Mendel）用豌豆进行杂交试验，下表为试验结果（其中F1 为第一子代，为F2第二子代）： 性状F1的表现F2的表现 种子的形状全部圆粒圆粒5474 皱粒1850 圆粒︰皱粒≈2.96︰1 茎的高度全部高茎高茎787 矮茎277 高茎︰矮茎≈2.84︰1 子叶的颜色全部黄色黄色6022 绿色2001 黄色︰绿色≈3.01︰1 豆荚的形状全部饱满饱满882 不饱满299 饱满︰不饱满≈2.95︰1 孟德尔发现第一子代对于一种性状为必然事件，其可能性为100％,另一种性状的可能性为0，而第二子代对于前一种性状的可能性约为75％，后一种性状的可能性约为25％，通过进一步研究某种性状发生的频率作出估计，他发现了生物遗传的基本规律。 实验2 A B 1 模拟次数10 正面向上的频率0.3 2 模拟次数100 正面向上的频率0.53 3 模拟次数1000 正面向上的频率0.52 4 模拟次数5000 正面向上的频率0.4996
随机事件及其概率习题
第一章 随机事件及其概率 习题一 一、填空题 1．设样本空间}20|{≤≤=Ωx x ，事件}2 3 41|{ },121|{<≤=≤<=x x B x x A ，则B A Y 1 3{|0}{| 2}42x x x x =≤<≤≤U , B A 113{|}{|1}422 x x x x =≤≤<11.1随机事件及其概率
高二概率同步练习1（随机变量及其概率） 1，写出下列试验的样本空间： （1） 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果出现两次，记录投掷的次数。 （2） 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果接连出现两次，记录投掷的次数。 （3） 连续投掷一枚硬币直至正面出现，观察正反面出现的情况。 （4） 抛一枚硬币，若出现H 则再抛一次；若出现T ，则再抛一颗骰子，观察出现的各种 结果。 。 2，设B A ,是两个事件，已知,125.0)(,5.0)(,25.0)(===AB P B P A P ，求)])([(),(),(),(___ ___AB B A P AB P B A P B A P ??。 3，在100，101，…，999这900个3位数中，任取一个3位数，求不包含数字1个概率。 4，在仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数中，任取一个三位数。（1）求该数是奇数的概率；（2）求该数大于330的概率。 5，袋中有5只白球，4只红球，3只黑球，在其中任取4只，求下列事件的概率。 （1）4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球。 （2）4只中至少有2只红球。 （3）4只中没有白球。 。
6，一公司向M 个销售点分发)(M n n <张提货单，设每张提货单分发给每一销售点是等可能的，每一销售点得到的提货单不限，求其中某一特定的销售点得到)(n k k ≤张提货单的概率。 7，将3只球（1~3号）随机地放入3只盒子（1~3号）中，一只盒子装一只球。若一只球装入与球同号的盒子，称为一个配对。 （1）求3只球至少有1只配对的概率。 （2）求没有配对的概率。 8，（1）设,1.0)(,3.0)(,5.0)(===AB P B P A P ，求)|(),|(),|(B A A P A B P B A P ?, )|(),|(AB A P B A AB P ?. （2）袋中有6只白球，5只红球，每次在袋中任取1只球，若取到白球，放回，并放入1只白球；若取到红球不放回也不放入另外的球。连续取球4次，求第一、二次取到白球且第 三、四次取到红球的概率。 9，一只盒子装有2只白球，2只红球，在盒中取球两次，每次任取一只，做不放回抽样，已知得到的两只球中至少有一只是红球，求另一只也是红球的概率。
(第一章)随机事件与概率习题
第一章 随机事件与概率 亲量圭尺，躬察仪漏，目尽毫厘，心穷筹策。 ──祖冲之 内容提要 1. 事件间的关系与运算（四种关系：包含关系、互不相容、对立和相互独立；三种运算：和、积与差；若干运算规律：交换律、结合律、分配律和对偶律：1111,n n n n i i i i i i i i A A A A ===== = ） 2. 确定概率的三种方法：频率方法（(()(),n k A P A f A n n ≈=出现的次数)充分大(试验的总次数) ）；古典方法（用于求古典概型的随机试验中各种结果出现的概率：()k A P A n =（中的样本点数）（样本点总数））； 几何方法（用于求几何概型的随机试验中各种结果出现的概率：()A S A P A S Ω=Ω（的度量）（的度量） ）； 3. 概率的公理化定义及其简单性质 （1） 公理化定义：概率是定义在事件域Φ 上的非负、规范、可列可加的实值函数： ()()()()()o o 1:P A 021 o 3,,() 1212P P A A P A P A A A i j i j ≥Ω==++=?≠ 非负性规范性：可列可加性： （2） 性质： 11 1111. ()0,2.:,,()3.()()()()() 4.()1(), 5. 6.()()()()()(n n n i i i i n n i i i j i i i P A A P A P A A B P B A P B P A P A P B P A P A P A B P A P AB P A B P A P B P AB P A P A P A A ===≤=?=??= ?????-=-≤=--=-=+-??=- ???∑∑ o o o o o o 1有限可加性若互不相容，则单调性：且（）（）（），加法公式:，一般地 111)()(1)n n i j k i j n i j k n i P A A A P A -<≤≤<<≤=??+++- ??? ∑∑ 4. 条件概率及三大公式（乘法公式，全概率公式，Bayes 公式） （1） 条件概率的定义 直观上的定义：已知A 出现的条件下B 发生的概率称为在A 发生的条件下B 的条件概率，记
随机事件的概率教学反思
篇一：随机事件的概率教学反思 教学反思 根据 本节课的内容及学生的实际水平，在教学中，采用启发、引导、探索、讨论交流的方式进行组 织教学。充分调动学生的主动性、积极性使学生真正成为学习主体.整个教学过程贯穿“怀 疑”—“思索”—“发现”—“解惑”四个环节，学生随时对所学知识产生有意注意，符合学生认知水 平，培养了学习能力。 “概率” 概念枯燥抽象，学生似懂非懂；抛币试验简单无趣，道理似易实难；教学活动，单调乏味；思 辩之美，无从体会——“随机事件的概率”对许多高中教师而言，“食之无味、弃之可惜”．抛币 试验是取是舍？频率估计概率的题型训练是否必要？再三权衡，笔者认为，抛币试验是本节课 的精华，唯有亲历随机过程，体会其随机性与规律性，才能真正理解概率概念；另外，关于频 率估计概率的题型训练，笔者则一笔带过——因为频率估计概率，重在其思想方法，而非具体 操练，而且对具体估计值的处理，没有确信的统一方法．希望通过这节课的教学，能使学生感 受到随机现象有趣的一面，纠正生活中一些错误常识，更客观的看待一些“偶然”情况；能使 学生在紧张而活泼的教学环节中，亲历随机性和规律性的统一过程；能使学生初步理解随机性， 并感受利用统计方法处理随机性中的规律性——随机性是表象，规律性才是我们研究的主题． 当然， 课堂是一个动态的过程，为使严谨的课堂更具弹性，我还做了其他准备，比如模拟抛掷骰子试 验，赌徒分金币等学生感兴趣的且与本节课相关的问题，以便适时的给学生拓宽知识，让学生 更充分地感受到数学知识在生产、生活、娱乐、服务等方面的广泛应用。创设情境，引导经历 概念和模型构建的过程.概率涉及到很多的新概念和模型，要使这些新概念变为学生自己的知 识，必须与学生已有的知识经验建立起广泛的联系这就要求我们在概念和模型的教学过程中， 必须根据学生的生活，学习经验，创设丰富的问题情境，引导学生自己去生成概念、提炼模型， 发现计算的法则，教师且不可因教学时间紧而淡化概念、模型构建的过程否则，学生因获得孤 立的概念、模型，无法在纷繁的问题情景中去辨认，从而导致解题思想僵化.构建知识网络， 引导把握各知识点间的联系与区别. 学生能否准确迅速地运用概念和模型解题，主要取决于 他们对概念和各模型之间的联系和区别是否真正把握，我们平时说“夯实基础，提高能力”， 从本质上说就是引导学生把握知识间的联系和区别，即教材的知识结构是否转化为自己的认知 结构因此，在概率的教学过程中，教师要随时引导学生将获得的新概念、新模型和已有的概念 和模型进行对照和比较，找出它们之间的联系和区别，优化自己的认知结构充分展示建模的思 维过程，引导感悟模型提取的思维机制. 概率问题求解的关键是寻找它的模型，只要模型一 找到，问题便迎刃而解而概率模型的提取往往需要经过观察、分析、归纳、判断等复杂的思维 过程，常常因题设条件理解不准，某个概念认识不清而误入歧途因此，在概率应用问题的教学 中，教师应随时充分展示建模的思维过程，使学生从问题的情境中感悟出模型提取的思维机制， 获取模型选取的经验，久而久之，感受多了，经验丰富了，建模也就容易了，解题的正确率就 会大大提高 篇二：随机事件的概率教学反思及说课稿 《3.1.1随机事件的概率》说课稿 梁潇 一、教材的地 位和作用 “随机 事件的概率”是人教a版《数学必修3》第三章第一节的内容，本节课是其中的第一课时．课
第一章 随机事件与概率-教案
第一章随机事件与概率－教案引言在这一章将介绍： ·《概率》中用到的基本概念和术语， ·随机事件之间的关系以及概率的基本关系式, ·再介绍应用非常广泛的两类概率问题：等可能概型、n重贝努利概型. 这一章是学习《概率》的基础. §1.1 随机事件 【教学目的】 1.理解《概率》研究的对象是随机现象的统计规律性，随机现象的特点具有不确定的一面，即试验前哪一个结果发生不知道，也有确定性的一面，即统计规律性，也称频率稳定性. 2.理解随机试验的条件，样本点、样本空间术语. 3.理解随机事件术语，掌握随机事件的关系、运算与运算律，注意 （1）从发生的角度清楚事件的关系与运算的涵义； （2）熟练掌握由简单事件表示复杂事件的方法； （3）掌握事件关系的常用变形，如 -=-=，A S A =+，A B A AB AB A B A AB B AB +=+=+，A AB AB =-； （4）理解事件互斥与对立不等价. 【教学内容】 一、随机现象与频率稳定性 确定性现象 ◆自然与社会存在两类现象不确定性现象随机现象 其他 随机现象的特点不确定性——事情发生之前，不清楚那一个结果会发生. 确定性——频率稳定性，也称作统计规律性. 《概率论与数理统计》研究的对象即随机现象的统计规律性. ◆又《概率论》是研究概率的，“概率”与“统计规律性”什么关系？以后解决. 二、随机试验、样本空间
1．随机试验 定义1对随机现象作实验或观察，且具有如下三个特点，统称为随机试验，记作E. （1）可以在相同条件下重复进行； （2）试验的可能结果不唯一，全部可能结果已知； （2）试验前不能确定哪一个结果发生. 注关于“相同”当然只能是相对而言，事实上正是因为有很多不确定因素的影响，才造成了结果的不确定性. 2．样本点样本空间 ·随机试验的每一个结果称为样本点，记作e、ω等. ·全部可能结果，即全体样本点组成的集合，称为样本空间，记为S，即S={e}. 例1看如下随机试验与相应的样本空间. （1） E：掷一颗色子，观察出现的点数. 1 E：一枚硬币掷两次，观察朝上一面的图案.记字面朝上为正，朝下为反. （2）2 （3） E：记录120急救站一个小时内接到的呼叫次数. 3 （4） E：对灯泡做破坏性试验，记录灯泡的寿命. 4 E：按户调查城市居民食品、穿衣的支出. （5） 5 其中， S，2S的样本点数为有限个，称为有限样本空间. 3S，4S，5S中样本点数为无限个，称为无 1 限样本空间. 又 S中样本点可按一定顺序排列，简称可列样本空间.4S，5S中样本点则不可排列. 3 三、随机事件的概念、关系与运算 1．随机事件 ◆随机试验E的样本空间S的子集，称为E的随机事件，通常记为A、B、C等. ◆随机事件发生是常用的一个术语，规定： 随机事件A发生的充分必要条件是随机试验时A中的一个样本点出现. 利用符号“?”表示“充分必要”也称“等价”，则随机事件发生的规定可以简记为： 随机事件A发生?随机试验时A中的一个样本点出现. ◆特殊的随机事件： e}或e； 基本事件：一个样本点构成的事件，记作{ 必然事件：每次试验都必然发生的事件，即样本空间S； 不可能事件：每次试验都不会发生的事件，即空集φ. 2．事件间的关系与运算
第一章 随机事件与概率(中山大学)
第一章 随机事件与概率 1．从0,1,2,,9十个数字中，先后随机取出两数，写出下列取法中的样本空间： (1)放回时的样本空间1Ω (2)不放回时的样本空间2Ω 解： (1) 100 01 02 0910 11 12 1990 91 92 99??????Ω=????????，(2)2 01 02 03 0910 12 13 1990 91 92 98??????Ω=???????? 2.一个袋内装有４个白球和５个红球，每次从袋内取出一球，直至首次取到红球为止。写出下列两种取法的样本空间： (1)不放回时的样本空间1Ω (2)放回时的样本空间2Ω 解：(1)Ω１＝{红，白红，白白红，白白白红，白白白白红｝ (2)Ωn 个 ２＝｛红，白红，，白白白红｝ 5.设样本空间{0,1,2,,9},A Ω=事件＝{2,3,4},B={3,4,5},C={4,5,6}，求： (1)A B (2) ()A B C 解：(1) {2,3,4,5}A B A B A B === (2) ()(){4,5} {0,1,5,6,7,8,9}{4,5} {0,1,4,5,6,7,8,9}A B C A BC A ==== 11.小何买了高等数学、高等代数、解析几何、和大学英语四本书放到书架上，问各册自左向右或自右向左排列恰好是上述次序概率。 解： 214!12P == 15.在整数0-9中，任取4个，能排成一个四位偶数的概率。 解：4105040n A ==，3112 94882296k A C C A =+=
22960.465040k p n ∴= == 14. 设n 个人排成一行，甲与乙是其中的两个人，求这n 个人的任意排列中，甲与乙之间恰有r 个人的概率。如果n 个人围成一圈，试证明甲与乙之间恰有r 个人的概率与r 无关，都是1 1n -（在圆排列中，仅考虑从甲到乙的顺时针方向）。 解：(1)基本事件数为!n ，设甲排在第i 位，则乙排在第i+r+1位， 1,2,,1i n r =--，共1n r --中取法，其余n-2个位置是n-2个人的全排列，有（n-2）!种，甲乙位 置可调换，有12C 种，故有利事件数由乘法原理有 12C （n-r-1）(n-2)!，由古典概型的计算公式，得 1 22(1)(1)C n r P n n --== -（n-r-1）(n-2)!n! 甲乙相邻的概率为： 12(1)!2!C n P n n -== 另解１：先固定甲，有n 种，再放置乙，有n-1,基本事件数有(1)n n -,有利事件 数为2(n-r-1).故有 2(1)(1)n r P n n --= - 另解2:先在甲乙之间选出r 个人，然后将甲乙与这r 个人看成一个整体与剩下的n-r-2个人作全排列. 212212(1)!(1)r n r n n r A A A n r P n n n -------== - (2)环排列：甲乙按顺时针方向排列，中间相隔r 个人的基本事件数是 n 个位置取 2个人的排列，共有2n A 种，而甲的位置选取有n 种选法，故由古典概型的计算有 21 1n n P A n = =- 甲乙相邻的情形：设甲乙合一个位置，甲乙可互换，则甲乙相邻有2(2)!n -种排 列，故 2(2)!2(1)!1n P n n -== --. 另解：一圈有n 个位置，甲占一个后，乙还有n-1个，与甲相邻的共2个,故21P n = -(只考虑乙) 16.口袋内有2个伍分,3个贰分,5个壹分的硬币,任取其中5个,求总值超过一角的概率. 解: 基本事件数为 5 10252n C ==,有利事件数为 1) 2个伍分,其他任意,有23 2856C C = 2) 1个伍分,2个贰分:12223560C C C =
概率论第一章随机事件及其概率答案
概率论与数理统计练习题 _____ 专业______ 班姓名第一 章随机事件及其概率(一) 学号一.选择题 1.对掷一粒骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为 (A)不可能事件(B)必然事件(C) 随机事件 2.下面各组事件中，互为对立事件的有 [ (D)样本事件 [ (A) A i ｛抽到的三个产品全是合格品｝｛抽到的三个产品全是废品｝(B) B i ｛抽到的三个产品全是合格品｝B2 ｛抽到的三个产品中至少有一个废 品 (C) C i ｛抽到的三个产品中合格品不少 于2个｝ C2 ｛抽到的三个产品中废品不多于 (D) D i ｛抽到的三个产品中有2个合格品D2 ｛抽到的三个产品中 有2个废品｝ 3.下列事件与事件A B不等价的是 (A) A AB (B) (A B) B (C) AB AB 4.甲、乙两人进行射击，A、B分别表示甲、乙射中目标，则A B表示 (A)二人都没射中(C)二人没有都射着(B)二人都射中(D)至少一个射中 5.以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对应事件A为. (A) “甲种产品滞销，乙种产品畅销” (C) “甲种产品滞销”；(B) “甲、乙两种产品均畅销”； (D) “甲种产品滞销或乙种产品畅销 6?设{x| x }, A {x|0 x 2}, B {x|1 3｝，则AB表示 (A) {x|0 x 1 } (B) {x|0 1 } (C) {x|1 x 2} (D) {x| 0} {x|1 x } 7 .在事件A , B , C中，A和B至少有一个发生而C不发生的事件可表示为 (A) AC BC ；(B) ABC ； (C) ABC ABC ABC ; (D) &设随机事件A,B满足P(AB) 0，则 (A) A, B互为对立事件(B ) A, B互不相容
第一章_随机事件及其概率习题(可编辑修改word版)
1 1 3 第一章 随机事件及其概率 习 题 一 一、填空题 1．设样本空间Ω = {x | 0 ≤ x ≤ 2} ，事件 A = {x | 1 < x ≤ 1}, B = {x | 1 ≤ x < 3 }，则 A B 2 4 2 = {x | 0 ≤ x < 1} {x | 3 ≤ x ≤ 2} , 4 2 AB = {x | 4 ≤ x ≤ 2} {x |1 < x < 2 } . 2. 连续射击一目标， A i 表示第i 次射中，直到射中为止的试验样本空间Ω ，则 Ω ={ A 1； A 1 A 2； ； A 1 A 2 A n -1 A n ； } . 3. 一部四卷的文集，按任意次序放在书架上，各卷自左向右，或自右向左顺序恰好为 1、2、 3、4 概率为 1 . 12 4. 一批( N 个)产品中有 M 个次品、从这批产品中任取 n 个，其中恰有个 m 个次品的概 率是 C m C n -m / C n . M n - M N 5. 某地铁车站, 每 5 分钟有一趟列车到站，乘客到达车站的时刻是任意的，则乘客侯 车时间不超过 3 分钟的概率为 0.6 . 6. 在区间（ 0, 1） 中随机地取两个数， 则事件“ 两数之和小于 6 5 ” 的概率为 0.68 . 7．已知 P (A )=0.4, P(B )=0.3, (1) 当 A ,B 互不相容时, P (A ∪B )= 0.7; P(AB )= 0 . (2) 当 B ?A 时, P(A+B )= 0.4 ; P (AB )= 0.3 ； 8. 若 P ( A ) = α, P (B ) = β, P ( AB ) = γ , P ( A + B ) = 1- ; P ( A B ) = - ; P ( A + B ) = 1-+ . 9. 事件 A , B , C 两两独立, 满足 ABC =，P ( A ) = P (B ) = P (C ) < 1 ,且 P (A+B+C )= 9 ， 2 16 则 P ( A ) =0.25？？ . 10. 已知随机事件 A 的概率 P ( A ) = 0.5 ，随机事件 B 的概率 P (B ) = 0.6 ，及条件概率 P (B | A ) = 0.8 ，则和事件 A + B 的概率 P ( A + B ) = 0.7 .
概率论与数理统计教程习题(第一章随机事件与概率)
3. ① 43=4 ②事件A 与B 互斥: 习题1 （随机事件及其运算） 一-填空题 1. 设儿8- C 是三个随机事件，用字僻表示下列事件: 事件A 发生，事件8, C 不都发生为 用A 表示“第/次射击中靶"（扫123）.下列事件的含义是: 人表示. A/2人3 + 4/?每+ 4/?比 表示. 瓦U 兀U 召表示, 3. 在某学院的学生中任选一人，用A 表示“选到的是男生X 用B 表示“选到的是二 年级的学 生”，用C 表示“选到的是运动员”。则式T ABC=C 成立的条件是 1. 在事件ASX 中，8与C 互不相容，则下列式子中正确的是（ ① A\JBC = A, ② A\JBC = A, ③ AUBC = 4 ④ AUBC = n. 4, 若槪率P （AB ）=O,则必有（ 事件 B, C 都不发生为 事件A, 8, C 至少一个发生为 事件A, B, C 至多一个发生为 2?用 A 表示“甲产品畅销，乙产品滞销”, 则A 表示（ ①“甲产品滞销.乙产品畅销”: ②“甲、乙产品都畅销S ③“甲产品滞销或乙产品畅销I ④“甲、乙产品都滞销”. 2.某人射击三次,
③事件A与B对立: ④ P(A\JB) = P(A) + P(B). 三-解答题 1?将一枚骰子掷两次，记录点数之和，写出样本空间C及事件&=｛点数之和为偶数｝：B = ｛点数之和能被3整除｝? 2?将一枚骰子掷两次，观察点数的分布，写出样本空间Q及事件A=｛点数之和为6｝：B = ｛点数之差为2｝? 3.某城市发行日报和晚报两种报纸。有15%的住户订日报，25%的住户订晚报，同时订两种报纸的住户有8%,求下列事件的概率：C=｛至少订一种报｝； D巩恰订一种报｝: &｛不订任何报｝? 4?若已知 P(A) = P(B) = P(C) = 03. P(AB) = P(AC) = 0? P(BC) = 02求概率P(ABC)： P(AUBUC)： P(ABC).