人教版数学高一-A版必修2模块综合检测(A)

模块综合检测(A)

(时间：120分钟 满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．直线x ＝tan 60°的倾斜角是( ) A ．90° B ．60° C ．30° D ．不存在 2．给出下列四个命题：

①垂直于同一直线的两条直线互相平行； ②垂直于同一平面的两个平面互相平行；

③若直线l 1，l 2与同一平面所成的角相等，则l 1，l 2互相平行；

④若直线l 1，l 2是异面直线，则与l 1，l 2都相交的两条直线是异面直线． 其中假命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

3．方程y ＝ax ＋1

a

表示的直线可能是( )

4．若l 、m 、n 是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是( )

A ．若α∥β，l ?α，n ?β，则l ∥n

B ．若α⊥β，l ?α，则l ⊥β

C ．若l ⊥n ，m ⊥n ，则l ∥m

D ．若l ⊥α，l ∥β，则α⊥β

5．已知三棱锥S —ABC 的各顶点都在一个半径为r 的球面上，球心O 在AB 上，SO ⊥底面ABC ，AC ＝2r ，则球的体积与三棱锥体积之比是( )

A ．π

B ．2π

C ．3π

D ．4π

6．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别为AA 1、AB 、BB 1、B 1C 1

的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角等于( )

A ．45°

B ．60°

C ．90°

D ．120°

7．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( ) A ．x ＋2y －1＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．2x ＋y －3＝0 D ．x ＋2y －3＝0

8．以等腰直角三角形ABC 斜边BC 上的高AD 为折痕，将△ABC 折成二面角C －AD －B 为多大时，在折成的图形中，△ABC 为等边三角形．( )

A ．90°

B ．60°

C ．45°

D ．30°

9．经过点M (1,1)且在两坐标轴上截距相等的直线是( ) A ．x ＋y ＝2 B ．x ＋y ＝1 C ．x ＝1或y ＝1 D ．x ＋y ＝2或x ＝y

10．若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为2

2

，则a 的值为( )

A ．－2或2

B ．12或32

C ．2或0

D ．－2或0

11．直线3x ＋y －23＝0截圆x 2＋y 2＝4得的劣弧所对的圆心角是( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°

12．在平面直角坐标系中，与点A (1,2)距离为1，且与点B (3,1)的距离为2的直线共有( )

A ．1条

B ．2条

C ．3条

D ．4条

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．已知点A (－2,3,4)，在y 轴上有一点B ，且|AB |＝35，则点B 的坐标为________． 14．圆x 2＋y 2＋x －6y ＋3＝0上两点P 、Q 关于直线kx －y ＋4＝0对称，则k ＝________． 15．如图，某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积为________．

16．已知圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋8＝0，若圆

C 和坐标轴的交点间的线段恰为圆C ′直径，则圆C ′的标准方程为__________________．

三、解答题(本大题共6小题，共70分)

17．(10分)已知△ABC 三边所在直线方程为AB ：3x ＋4y ＋12＝0，BC ：4x －3y ＋16＝0，CA ：2x ＋y －2＝0．求AC 边上的高所在的直线方程．

18．(12分)求经过点P (6，－4)且被定圆O ：x 2＋y 2＝20截得的弦长为62的直线AB 的方程．

19．(12分) 如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，E 为侧棱PC 的中点，求证P A ∥平面EDB ．

20．(12分)如图所示，在四棱柱(侧棱垂直于底面的四棱柱)ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知DC ＝DD 1＝2AD ＝2AB ，AD ⊥DC ，AB ∥DC ．

(1)求证D 1C ⊥AC 1；

(2)设E 是DC 上一点，试确定E 的位置，使D 1E ∥平面A 1BD ，并说明理由．

21．(12分)已知M 与两定点O (0,0)、A (3,0)的距离之比为1

2

．

(1)求M 点的轨迹方程；

(2)若M 的轨迹为曲线C ，求C 关于直线2x ＋y －4＝0对称的曲线C ′的方程．

22．(12分) 如图所示，四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是半径为R 的圆的内接四边形，其中BD 是圆的直径，∠ABD ＝60°，∠BDC ＝45°．PD 垂直底面ABCD ，PD ＝22R ，E ，F

分别是PB ，CD 上的点，且PE EB ＝DF

FC

，过点E 作BC 的平行线交PC 于G ．

(1)求BD 与平面ABP 所成角θ的正弦值； (2)证明：△EFG 是直角三角形；

(3)当PE EB ＝1

2

时，求△EFG 的面积．

模块综合检测(A) 答案

1．A

2．D [①忽视两直线可以相交，②可以相交、平行，③l 1、l 2可以异面、相交，④与l 1、l 2都相交的两直线可以相交，故选D ．]

3．B [注意到直线的斜率a 与在y 轴上的截距1

a

同号，故B 正确．]

4．D

5．D [∵SO ⊥底面ABC ，∴SO 为三棱锥的高线，

∴SO ＝r ，

又∵O 在AB 上，AB ＝2r ，AC ＝2r ，∠ACB ＝90°

∴BC ＝2r ，∴V S －ABC ＝13×12×2r ×2r ×r ＝1

3r 3．

又∵球的体积V ＝4

3πr 3，

∴V

V S －ABC ＝43πr 313

r 3

＝4π．]

6．B [连接A 1B ，BC 1，A 1C 1，

∵E 、F 、G 、H 分别为AA 1、AB 、BB 1、B 1C 1的中点，

∴EF ∥12A 1B ，GH ∥1

2BC 1，

∴∠A 1BC 1即为异面直线EF 与GH 所成的角． 又∵ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体 ∴A 1B ＝BC 1＝A 1C 1， ∴∠A 1BC 1＝60°．]

7．D [直线x －2y ＋1＝0与x ＝1的交点为A (1,1)，点(－1,0)关于x ＝1的对称点为B (3,0)

也在所求直线上，∴所求直线方程为y －1＝－1

2

(x －1)，即x ＋2y －3＝0．]

8．A [

关键利用折叠前后不变的垂直关系，如图所示，可知∠BDC 为二面角的平面角，设 BD ＝CD ＝a ，则可求BC ＝AB ＝AC ＝2a ，故∠BDC ＝90°．] 9．D [截距相等问题关键不要忽略过原点的情况．] 10．C [圆的方程可化为(x －1)2＋(y －2)2＝5， 则圆心为(1,2)．

由点到直线的距离公式得d ＝|1－2＋a |2＝2

2，

解得a ＝2或0．]

11．C [可先求出圆心到直线的距离d ＝3，由于半径为2，设圆心角为θ，则知 cos θ2＝3

2

，∴θ＝60°．] 12．B [满足要求的直线应为圆心分别为A 、B ，半径为1和2的两圆的公切线，而圆A 与圆B 相交，所以公切线有两条．]

13．(0,8,0)或(0，－2,0) 14．2

解析 由已知可知PQ 的垂直平分线为kx －y ＋4＝0，

∴直线kx －y ＋4＝0过圆心???

?－1

2，3， ∴－1

2k ＋1＝0，k ＝2．

15．36

π

解析 由三视图可知，该几何体是半个圆锥，底面半径为1，高为3，故体积为16

π×12×3＝

36

π． 16．x 2＋(y －3)2＝1

解析 圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋8＝0与x 轴没有交点，只与y 轴相交，取x ＝0，得y 2－6y ＋8＝0解得两交点分别为(0,2)和(0,4)，由此得圆C ′的圆心坐标为(0,3)，半径为1，所以标准方程为x 2＋(y －3)2＝1．

17．解 由?

????

3x ＋4y ＋12＝0

4x －3y ＋16＝0，

解得交点B (－4,0)，

∵BD ⊥AC ，∴k BD ＝－1k AC ＝1

2，

∴AC 边上的高线BD 的方程为 y ＝1

2

(x ＋4)，即x －2y ＋4＝0． 18．解 由题意知，直线AB 的斜率存在，且|AB |＝62，OA ＝25，作OC ⊥AB 于C ． 在Rt △OAC 中，|OC |＝

20－(32)2＝2．

设所求直线的斜率为k ， 则直线的方程为y ＋4＝k (x －6)， 即kx －y －6k －4＝0． ∵圆心到直线的距离为2， ∴|6k ＋4|1＋k 2

＝2，即17k 2＋24k ＋7＝0，

∴k ＝－1或k ＝－717

．

故所求直线的方程为x ＋y －2＝0或7x ＋17y ＋26＝0． 19．证明

如图所示，连接AC ，BD ，交于点O ，连接EO ，因为四边形ABCD 为正方形，所以O 为AC 的中点，又E 为PC 的中点，所以OE 为△P AC 的中位线，所以EO ∥P A ，又EO ?平面EDB ，且P A ?平面EDB ，所以P A ∥平面EDB ．

20．(1)证明

在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，连接C 1D ，

∵DC ＝DD 1，

∴四边形DCC 1D 1是正方形， ∴DC 1⊥D 1C ．

又AD ⊥DC ，AD ⊥DD 1，DC ∩DD 1＝D ， ∴AD ⊥平面DCC 1D 1，D 1C ?平面DCC 1D 1， ∴AD ⊥D 1C ．

∵AD ，DC 1?平面ADC 1，且AD ∩DC 1＝D ， ∴D 1C ⊥平面ADC 1， 又AC 1?平面ADC 1， ∴D 1C ⊥AC 1． (2)解

在DC 上取一点E ，连接AD 1，AE ，设AD 1∩A 1D ＝M ，BD ∩AE ＝N ，连接MN ， ∵平面AD 1E ∩平面A 1BD ＝MN ，要使D 1E ∥平面A 1BD ，须使MN ∥D 1E ，又M 是AD 1

的中点．

∴N 是AE 的中点． 又易知△ABN ≌△EDN ， ∴AB ＝DE ． 即E 是DC 的中点．

综上所述，当E 是DC 的中点时，可使D 1E ∥平面A 1BD ． 21．解 (1)设M 坐标为(x ，y )，由题意得x 2＋y 2

(x －3)2＋y 2

＝1

2

，整理得(x ＋1)2＋y 2＝4． 所以M 点的轨迹方程为(x ＋1)2＋y 2＝4． (2)因为曲线C ：(x ＋1)2＋y 2＝4，

所以C 关于直线2x ＋y －4＝0对称的曲线C ′是与C 半径相同的圆，故只需求C ′的圆心坐标即可，设C ′的圆心坐标(x 0，y 0)．

由题意得???

??

y 0x 0＋1＝1

2

2·x 0

－12＋y 0

2－4＝0

，解得???

x 0＝

195

y 0

＝12

5

．

故曲线C ′的方程为????x －1952＋????y －12

52＝4． 22．(1)解 在Rt △BAD 中，

∵∠ABD ＝60°，∴AB ＝R ，AD ＝3R ． 而PD 垂直底面ABCD ，

P A ＝PD 2＋AD 2＝(22R )2＋(3R )2＝11R ， PB ＝PD 2＋BD 2＝

(22R )2＋(2R )2＝23R ．

在△P AB 中，P A 2＋AB 2＝PB 2，即△P AB 是以∠P AB 为直角的三角形，设点D 到面P AB 的距离为h ，

由V P —ABD ＝V D —P AB 有P A ·AB ·h ＝AB ·AD ·PD ， 即h ＝AD ·PD P A ＝3R ·22R 11R ＝26611R ，

∴sin θ＝h BD ＝66

11

．

(2)证明 ∵EG ∥BC ，∴PE EB ＝PG GC ．而PE EB ＝DF

FC

，

∴PG GC ＝DF

FC

，∴GF ∥PD ， ∴GF ⊥BC ．而BC ∥EG ， ∴GF ⊥EG ，

∴△EFG 是直角三角形．

(3)解 当PE EB ＝12时，EG BC ＝PE PB ＝13，GF PD ＝CF CD ＝2

3，

即EG ＝13BC ＝13×2R ×sin45°＝2

3R ，

GF ＝23PD ＝23×22R ＝423

R ，

∴S △EFG ＝12EG ·GF ＝12×23R ×423R ＝4

9

R 2．