天津市第一中学2021届高三上学期第三次月考数学试题
天津一中2010-2021 高三年级三月考数学试卷
本试卷分为第 I 卷（选择题）、第II 卷（非选择题）两部分，共150 分，考试用时 120 分钟
考生务必将答案涂写在规定的位置上，答在试卷上的无效。祝各位考生考试顺利! 一．选择题
1．已知集合M = {x | x2 -x0} ，N = {-1 ，0，1，2} ，则M N = ( )
A．{-1 ，0，1} B．{-1 ，0} C．{0 ，1} D．{1 ，2}
2．已知命题p :| x -1|> 1 ，命题q : lnx 1 ，则p 是q 成立的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充分
必要条件D．既不充分也不必要条件
的图象大致是( )
3．函数f ( x) = x3
e x -1
A．B．
C．D．
4．某学校共有学生 4000 名，为了了解学生的自习情
况，随机调查了部分学生的每周自习时间（单位：小
时），制成了如图所示的频率分布直方图，样本数据分组
为[17.5 ，20) ，[20 ，22.5) ，[22.5 ，25) ，[25 ，
27.5) ，[27.5 ，30] ．根据直方图，估计该校学生中每
周自习时间不少于 22.5 小时的人数是( )
A．2800 B．1200 C．140 D．60
2 3 5．已知直三棱柱 ABC - A 1 B 1C 1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上，若 AB = 1 ， AC = 3 ，
AB ⊥ AC ， AA 1 = 4 ，则球 O 的表面积为 ( )
A ． 5π
B ．10π
C ． 20π
D ．
20 5π
3
1 1 6．已知 a = ( 1 )- 3 ， b = log
2 ， c = (1
) 2 ，则 a ， b ， c 的大小关系是 (
)
1
3 A ． a < b < c
B ． b < a < c
C ． c < a < b
D ． b < c < a
7．已知双曲线 E : x 2 y 2
- = 1(a > 0, b > 0) 的右焦点为 F (c ， 0)(c > 0) ，过 F 作直线 l ，若 l
a 2
b 2 与双曲线 E 有且只有一个交点，且 l 与 y 轴的交点为 P (0, -2
c ) ，则双曲线 E 的离心率为 ( )
A ． 3
B ． 5
C ． 6
D ． 3 + 1
8．已知函数 f ( x ) =
3 sin x + cos x ( x ∈ R ) ，将 y = f ( x ) 的图象上所有点的横坐标缩短到原
来的 1 倍（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平行移动 π
个单位长度，得到
2 6
y = g ( x ) 的图象，则以下关于函数 y = g ( x ) 的结论正确的是 ( )
A ．若 x 1 ， x 2 是 g ( x ) 的零点，则 x 1 - x 2 是 2π 的整数倍
B ．函数 g ( x ) 在区间 [- π ， π
] 上单调递增
4 4
C ．点 ( 3π
， 0) 是函数 g ( x ) 图象的对称中心
4
D ． x = π
是函数 g ( x ) 图象的对称轴
3
? x 2 - 2kx + 2k , x 1
9．已知 k ∈ R ，设函数 f ( x ) = ? ?( x - k - 1)e x + e 3
, x > 1 ，若关于 x 的不等式 f ( x )0 在 x ∈ R 上
恒成立，则 k 的取值范围为 ( )
A ． [0 ， e 2 ]
B ． [2 ， e 2 ]
C ． [0 ， 4]
D ． [0 ， 3] 二．填空题
10．已知复数 z 满足 (1 + i ) z = 3 + i (i 为虚数单位），则复数 z 的虚部是
， | z |=
．
11．圆 x 2 + y 2
- 4x + 6 y - 7 = 0 被直线 ax - y + 1 = 0 截得的弦长为 8，则 a =
．
12．若 ( x 3
-
的展开式中第 7 项为常数项，则常数项为 （用数字填写答案）
13．某大学志愿者协会有 6 名男同学，4 名女同学，在这 10 名同学中，3 名同学来自数
学学院，其余 7 名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这 10 名同学中 随机选取 3 名同学，到希望小学进行支教．选出的 3 名同 学是来自互不相同学院的概率为 ；设 X 为选出的 3 名
同学中女同学的人数，则 X 的数学期望为 ．
14 ． 已 知 x > 0 ， y > 0 ， 且 x + 2 y = 1 ， 则
2 + 1 -16( x - 2 y )2 的最小值为 ．
x y
15．如图，在 ?ABC 中， AB = 2 ， AC = 1 ， D ， E 分别是
直线 AB ， AC 上的点， AE = 2BE ， CD = 4 AC ，且 BD CE = -2 ，则 ∠BAC = ．若 P
是线段 DE 上的一个动点，则 BP CP 的最小值为 ．
三．解答题
16 ． 已 知 ?ABC 的 内 角 A 、 B 、 C 的 对 边 分 别 为 a 、 b 、 c ， 满 足 已 知
c cos B + b cos C = a ．
2 c os A
（1）求角 A 的大小；
（2）若 cos B = ，求 sin(2B + A ) 的值；
3
（3）若 ?ABC 的面积为 ， a = 3 ，求 ?ABC 的周长．
3
17 ． 如 图 ， 在 直 三 棱 柱 ABC - A 1 B 1C 1 中 ， AC ⊥ BC ， 且 AC = BC = CC 1 = 2 ， M 是 AB 1 ， A 1 B 的交点， N 是 B 1C 1 的中点． （1）求证： MN ⊥ 平面 A 1 BC ；
（2）求平面 AA 1 B 与平面 A 1 BC 锐二面角的大小；
（3）求直线 NB 与平面 A 1 BC 夹角的正弦值．
x
18．设椭圆
2 y 2
+ =1(a >b > 0)
的左焦点为
，下顶点为
，上顶点为
，是等边a2 b2
三角形.
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设直线
，过点且斜率为
的直线与椭圆交于点
异于点，线段的垂直平分线与直线交于点，与直线交于点
，若.
(ⅰ)求的值；
(ⅱ)已知点
，点
在椭圆上，若四边形为平行四边形，求椭圆的方程. 19．设{a n} 是等比数列，{b n } 是递增的等差数列，{b n } 的
前项和为S n (n ∈N
，，，.
（1）求{a n } 与{b n} 的通项公式；
*
) ，（2）设d n =a n +b n ，数列{d n } 的前 n
项和为
，求满足T n > 2n+
1
+1成
立的的最小值.
?a n b n ,n为奇数
=
?
c
（3）对任意的正整数n ，设c n?(3b n - 2)a n
?
,n为偶数
，求数列{ n }的前 2n 项和.
?b n b n+2
20. 已知函数f ( x) = ( x+b)(e x -a) (b > 0) 在点(-1, f (-1)) 处的切线方程为
(e -1) x+ey +e -1 = 0 ．
（1）求，；
（2）设曲线y = f ( x) 与x 轴负半轴的交点为点
y =h( x) ，求证：对于任意的实数x ，都有f ( x) ≥h( x) ；
（3）若关于x 的方程f ( x) =m 有两个实数根，
证明：．
参考答案
1．
【分析】先求出集合M ，再利用集合的交集的定义求解．
【解答】解：集合M = {x | x2 -x0} = {x | 0x1} ，
∴M N = {0 ，1} ，
故选：C ．
2．
【分析】分别求出关于p ，q 成立的x 的范围，根据集合的包含关系判断充分必要条件即可．【解答】解：命题p :| x -1|> 1 ，故：x > 2 或x < 0 ，命
题q : lnx 1 ，故x e ，
则p 是q 成立的必要不充分条件，
故选：B ．
3．
【分析】利用特殊点，即可判断；
【解答】解：由x = 0 不在定义域内，x =-1 时函数值为正数，图象在x 轴的上方；当x
趋向正无穷时，由于指数增长较快，因此函数值趋向于 0．
故选：A ．
4．
【分析】由频率分布直方图计算该校学生中每周自习时间不少于 22.5 小时的频率和频数．【解答】解：由频率分布直方图知，该校学生中每周自习时间不少于 22.5 小时的频率为
1 - (0.0
2 + 0.10) ? (20 -17.5) = 1 - 0.
3 = 0.7 ，所有估计该校学生中
每周自习时间不少于 22.5 小时的人数是
4000 ? 0.7 = 2800
（人) ．故选：A ．
5．
【分析】由题意画出图形，利用勾股定理可求出外接球的半径，代入球的表面积公式得答案．【解答】解：由直棱柱的外接球的半径与底面三角形的外接圆的半径和棱柱高的一半构成直角三角形．
AB =1 ，AC = 3 ，AB ⊥AC ，∴外接圆的半径r =1 BC =1 ?
12 + ( 3)2 =1，
22
球心到底面的距离h = 1AA1 = 2 ，
2
∴球的半径满足R2 =r 2 +h2 =12 + 22 = 5 ，
∴球O 的表面积为4πR2 =
20π．故选：C ．
2 2 3
3
6．
1 - 1 1 1 【分析】可以得出 ( ) 3 > 1, l og 1
2 < 0, 0 < ( ) 2
< 1 ，然后即可得出 a ， b ， c 的大小关系．
2 3 3 1 1 【解答】解： ( 1 )- 3 > ( 1 )0 = 1 ， log 2 < log 1 = 0 ， 0 < (1 ) 2 < (1 )0 = 1 ， 1 1 3 3
∴ b < c <
a ． 故选： D ． 7．
【分析】利用已知条件求出双曲线的渐近线的斜率，然后转化求解离心率即可．
x 2 y 2
【解答】解：双曲线 E : - = 1(a > 0, b > 0) 的右焦点为 F (c ， 0)(c > 0) ，过 F 作直
a 2
b 2 线 l ，若 l 与双曲线 E 有且只有一个交点，且 l 与 y 轴的交点为 P (0, -2
c ) ，
可得直线 PF 与双曲线的一条渐近线平行，所以 b
= 2 ，
a
b 2 b 2
c 2 可得 = 4 ，所以1 + = 5 ，即 = 5 ， a 2 a 2 a 2 所以 e = 故选： B ． 8．
【分析】由题意利用函数 y = A s in(ω x + ? ) 的图象变换规律，求得 g ( x ) 的解析式，再利用 正弦函数的性质，得出结论．
【解答】解：函数 f ( x ) = x + cos x = 2 sin( x + π
)( x ∈ R ) ，
6
将 y = f ( x ) 的图象 上所有点 的横坐标 缩短到原 来的 1 2
倍（纵坐标不 变 ），可得 y = 2sin(2 x + π
) 的图象；
6
再将得到的图象上所有点向右平行移动 π
个单位长度，
6
得到 y = g ( x ) = 2 sin(2 x - π
) 的图象，
6 则关于函数 y = g ( x ) ，
若 x 1 ， x 2 是 g ( x ) 的零点，则 x 1 - x 2 是半个周期 π 的整数倍，故 A 错误； 在区间 [- π ， π ] 上， 2x - π ∈ [- 2π ， π
] ，函数 g ( x ) 没有单调性，故 B 错误；
4 4 6 3 3
令 x =
3π ，求得 g ( x ) = 2 s in
4π
= -
3 ≠ 0 ，故 C 错误；
4 3 令 x = π ，求得 g ( x ) = 2 ，为最大值，故 x = π
是函数 g ( x ) 图象的对称轴，故 D 正确，
3 3 故选： D ． 9．
【分析】当 x 1 时， f (x ) = x 2
- 2kx + 2k ，分 k < 1 、 k 1 两类讨论，可求得 k 0 ；当 x > 1 时，
f (x ) = (x - k - 1)e x + e 3
，分 k 1 、 k > 1 两类讨论，可求得 k 3 ；取其公共部分即可得 到答案． 【解答】解：（1）当 x 1 时， f (x ) = x 2 - 2kx + 2k ， ∴ f ( x ) 的对称轴为 x = k ，开口向上．
①当 k < 1 时， f ( x ) 在 (-∞, k ) 递减， (k ,1) 递增， ∴ 当 x = k 时， f ( x ) 有最小值，即 f (k )0 ，∴ 0k < 1 ； ②当 k 1 时， f ( x ) 在 (-∞,1) 上递减，
∴ 当 x = 1 时， f ( x ) 有最小值，即 f （1） = 1 ， ∴10 显然成立，此时 k 1 ． 综上得， k 0 ；
（2）当 x > 1 时， f (x ) = (x - k - 1)e
x
+ e 3 ，∴ f '(x ) = (x - k )e x
，
① ' 当 k 1 时， f ( x ) 在 (1, +∞) 上递增，
∴ f ( x ) > f （1） = -ke + e 30 ，∴ k e 2 ，∴ 此时 k 1 ； ② ' 当 k > 1 时， f ( x ) 在 (1, k ) 递减， (k , +∞) 递增，
∴ f (x ) f (k ) = -e k + e 3
0 ，∴ k 3 ， ∴ 此时1 < k 3 ． 综上： 0k 3 ，
关于 x 的不等式 f ( x )0 在 x ∈ R 上恒成立，则 k 的取值范围为 0k 3 ， 故选： D ． 10．
【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简求得复数 z 的虚部，然后利 用复数模的计算公式求 | z | ． 【解答】解：由 (1 + i ) z = 3 + i ，得 z = 3 + i = (3 + i )(1 - i )
= 2 - i ，
∴ 复数 z 的虚部是 -1 ， | z |= 故答案为： -1 ； 5 ． 11．
1 + i 22
+ (-1)
2 =
(1 + i )(1 - i )
5 ． 【分析】把圆的一般方程化为标准方程，求出圆心坐标，再由题意利用点到直线的距离公 式，求得 a 的值．
【解答】解：圆 x 2 + y 2 - 4x + 6 y - 7 = 0 ，即 ( x - 2)2 + ( y + 3)2
= 20 ， 它的圆心 (2, -3) 到直线 ax - y + 1 = 0 的距离为 = 2
a 2 + 1
9 10 10 3 7 3 7 3 7 3 7 C 3 7 3 7
C C C C C C C C C ∴ a = - 3
，
4 故答案为： - 3
．
4
12． 【分析】求出展开式的第 7 项，令 x 的指数为 0，即可求得 n 值，从而可得常数项．
【解答】解： ( x 3 n
的展开式中第 7 项为常数项， 6 ( 3 )n -6 ( 1 )6
( 1)6 6 3n - 27 ∴T 7 = C n
x
- = - C n x ， ∴ 3n - 27 = 0 ，解得 n = 9 ， 故常数项为 (-1)6 C 6
= 84 ． 故答案为：84．
13．
【分析】从这 10 名同学中随机选取 3 名同学，到希望小学进行支教．基本事件总数 n = C 3
，设“选出的 3 名同学是来自互不相同学院”为事件 A ，事件 A 包含的基本事件个 数 m = C 1C 2 + C 0C 3 ，由此能求出选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率；随机变量 X 的所有可能值为 0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量 X 的分布列和 数学期望． 【解答】解：从这 10 名同学中随机选取 3 名同学，到希望小学进行支教． 基
本事件总数 n = C 3
， 设“选出的 3 名同学是来自互不相同学院”为事件 A ， 事
件 A 包含的基本事件个数 m = C 1C 2 + C 0C 3
， 则选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率为：
P （A ） = C 1C 2 + C 0
C 3 3 10
= 49 ．
60 随机变量 X 的所有可能值为 0，1，2，3，
P ( X = 0) =
P ( X = 1) = 0 3 4 6 3 10 1 2 4 6 3 10 C 2C 1 = 1
， 6 = 1 ， 2
3 P ( X = 2) =
4 6 = ， 3 10 3 0 P ( X = 3) = 4 6 10
1
0 =1 ，30
所以随机变量X 的分布列是：
E(X) =0?+1?+2?+3?=．
6 2 10 30 5
( ( 14．
【分析】利用基本不等式求出结果即可．
2 + 1 -16( x - 2 y )2 = 1
-16[( x + 2 y )2 - 8xy ] 【解答】
x y xy
= 1 + 128xy -16 ≥ 16 2 xy 答案为：16 ． 15．
【分析】由题可知 AE = 2 A B ， AD = 5 A C ，由 BD CE = -2 ，
2 可得 11AB A C - 5 A C 2
- 2 A B = -2 ，代入
相应数 据即 可求得 cos ∠BAC 的值，从而求得 ∠BAC ；
设 EP = λ ED ， λ ∈[0 ， 1] ，根据平面向量的混合运算可推出
BP CP = 21λ 2 - 12λ + 7 ，再利用配方法即可得解．
【解答】 解： AD = 5 A C ，
BD CE = -2 ，
AE = 2BE ， CD = 4 A C ， ∴ AE = 2 A B ， ∴ ( A D - AB )( A E - AC ) = (5 A C - AB )(2 A B - AC ) 2 = 11AB A C - 5 A C 2
- 2 A B = 11? 2 ?1? cos ∠BAC - 5 ?1 - 2 ? 4 = 22 c os ∠BAC - 13 = -2 ， 解得 cos ∠BAC = 1
，
2
∠BAC ∈ (0,π ) ，∴∠BAC = π
．
3
设 EP = λ ED ， λ ∈[0 ，1] ， 1
4 ∴ BP CP = (BE + EP )(CD + DP ) = [ AE + λ ( A D - AE )][ AD + (1 - λ )( A E - AD )]
2 5
= ( 1 - λ )(1 - λ ) AE 2 + λ (λ - 1 ) A D 2 + 17 λ - 1
- 2λ 2 ) AD A E 2 5 10 10
= 16( 1 - λ )(1 - λ ) + 25λ (λ - 1 ) + 17 λ - 1
- 2λ 2 ) ? 5 ? 4 ? cos π
2 5 10 10
3 = 21λ 2 - 12λ + 7
= 21(λ -
6 )2 + 3
7 ． 21 7
∴ 当 λ = 6 时， BP CP 有最小值，为 37 ．
21 7 故答案为： 37
．
7 16．
【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式，结合 sin A ≠ 0 ， 可求 cos A = 1
，结合范围 0 < A < π ，可求 A 的值．
2
（2）由已知利用同角三角函数基本关系式可求 sin B 的值，利用二倍角公式，两角和 的正弦函数公式即可求解．
（3）由已知利用三角形的面积公式可求 bc 的值，进而根据余弦定理可求 b + c 的值， 即可得解 ?ABC 的周长．
【解答】解：（1） c cos B + b cos C =
由正弦定理得 sin C cos B + sin B cos C = a
，
2 c os A
sin A ，
2 c os A
从而有 sin(B + C ) = s in A ≠ 0 ，
∴ cos A = 1
，
2 0 < A < π ， ∴ A = π ；
3
sin A 2 c os A
? sin A = sin A ，
2 c os A
（2）由已知得， sin B =
3 ∴ sin 2B = 2 s in B cos B =
， cos 2B = 2 c os 2 B - 1 = - 1
， 3 3
∴ sin(2B + A ) = sin(2B + π ) = sin 2B cos π + cos 2B sin π = 2 ，
3 3 3 6 （3） S = 1 bc sin A = 1 bc =
∴ bc = 16
，
3
2 2 2
3 由余弦定理得， a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos A = (b + c )2 - 2bc - 2bc cos A ， 即 9 = (b + c )2 - 3 ? 16
，解得 b + c = 5 ，
3 ∴ ?ABC 的周长为 a + b + c = 8 ． 17．
【分析】（Ⅰ）以 C 为原点，分别以 CB 、 CC 1 、 CA 为 x 、
y 、 z 轴建立 坐 标系，用 坐 标表示点 与 向量 A 1 B 、 CB 、
MN ，可得 MN ⊥ A 1 B ， MN ⊥ CB ， 从而可得 MN ⊥ 平面 A 1 BC ；
（Ⅱ） 作 CH ⊥ AB 于 H 点，则 平面 A 1 BA 的一个 法向 量为
CH = (1, 0,1) ，平面 A 1 BC 的一个法向量为 MN = (0,1, -1) ，利 用向量的夹角公式，即可求得平面 AA 1 B 与平面 A 1 BC 夹角．
【解答】（1）证明：以 C 为原点，分别以 CB 、 CC 1 、 CA 为 x 、 y 、 z 轴建立坐标 系，则由 AC = BC = CC 1 = 2 ，知 A 1 (0 ，2， 2) ， B 1 (2 ，2， 0) ， B (2 ，0， 0) ， C 1 (0 ， 2， 0) ，∴ M (1 ，1，1) ， N (1 ，2， 0) ，
∴ A 1 B = (2 ． -2 ， -2) ， CB = (2 ，0， 0) ， MN = (0 ，1， -1) ， （3 分）
∴ MN A 1 B = 0 - 2 + 2 = 0 ， MN CB = 0 + 0 + 0 = 0 ，
∴ MN ⊥ A 1 B ， MN ⊥ CB ，∴ MN ⊥ 平面 A 1 BC ；
（6 分）
（2）作CH ⊥AB 于H 点， 平面ABC ⊥平面ABB1 A1 ，∴C H ⊥平面A1BA ，
故平面A1BA 的一个法向量为CH = (1, 0,1) ，
而平面A1BC 的一个法向量为MN = (0,1, -1) ，
（9 分）
∴c os
CH MN
| CH || MN |
|=
1
2
π
) ，
2
π
∴平面AA1B 与平面A1BC 夹角的大小为．
3
（12 分）
（3）BN=（-1,2,0)
设 BN 与平面A1BC 夹角为θ
sin θ=| cos
5
18．
= n
19．
(II)因为 d n = a n + b n
n
n (n + 1) 所以 T n = 2(2 -1) +
2
因此 T n > 2
n +1
+ 1 解得 n > 2 n ∈ N *
∴ n ≥ 3 即满足条件 的最小值为 3 .
?a n b n , n 为奇数 = ?
（3）因为 c n ? (3b n - 2)a n , n 为偶数 ，
? ? 当 n 为偶数时， c b n b
n + 2 (3b - 2) a n
(3n - 2)2n 2=n + 2 2n n = = - ， b b n n + n + n
n n + 2 22 n + 2
( 2) 2 记 N= c 2 + c 4 + + c 2 n = - 2 ；
2n + 2
当 n 为奇数时， c = a b = n ? 2n ， n n n
记 3 5 2 n -1
M = c 1 + c 3 + c 5 + ... + c 2 n -1 = 1? 2 + 3 ? 2 + 5 ? 2 + ... + (2n - 1) ? 2 ①
则 4M = 1? 23 + 3 ? 25 + 5 ? 27 + ... + (2n -1) ? 22 n +1
② ① - ②得 -3M = 2 + 2 ? 23 + 2 ? 25 + 2 ? 27 + ... + 2 ? 22 n -1 - (2n -1) ? 22 n +1
?
24 (1-22n-2 )
= 2 + 24 + 26 + 28 +...+22n -(2n -1)?22n+1 = 2 +-(2n -1)?22n+1
1-2
2
24 (1 - 22 n-2 ) 10 ?5 ?
= 2 +- (2n -1) ?22 n+1 =-+ - 2n ??22 n+1 ，
1 - 2
2
所以M =
10
+
?2n
-
5 ?
?22n+1 ，
3 ?3 ?
9 ?3 9 ?
2n 52
n+1
2=
2n+ 2
8
因此数列{c n }的前2n 项和为(- ) ?2+-.
20.
3 9 2n + 2 9
（1）将代入切线方程中，有．
，
即
．又
，
所以
若，
则，与矛盾，
故．
2））可知，
令f (x)= 0 ，有x =-1 或x = 0
故曲线与轴负半轴的唯一交点为
．曲线在点
，
则
．
令
，
则，
所以F '(x)= f '(x)-f '(-1)=e x (x+ 2)-1 ，．
e
当时，
若x ∈(-∞, -2] ，F '(x)< 0 ，
若x ∈(-2, -1) ，F '(x)=e
x
(x+3)> 0 ， F '(x)在x ∈(-2, -1)时单调递增，
F '(x) 故，在上单调递减，当 时， 由F '(x)=e x (x+3)> 0 知F '(x)在x ∈(-1, +∞)时单调递增， F '(x)>F '(-1)= 0 ， 在上单调递增．所 以， 即 （3）， 设的根为， 则， 又单调递减，且所 以． m =h (x1' )=f (x1 )≥h (x1 )， 设曲线在点处的切线方程为，有，令 ，， 当时，，故函数 在， 所以当，当，所以函数在区间上单调递减，在区间 所以 即， 设， 则， 故． 又，