高一数学必修一必修二检测含答案
孟津一高2015----2016学年上期期末考试
高一数学(理)试题
考试时间:120分钟 试卷满分:150分
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
.1已知集合{}
x x x A -<=22,{}21<<-=x x B ,则=B A ( )
()1,1.-A ()2,2.-B ()2,1.-C ()1,2.-D
2.设m 为一条直线, βα,为两个不同的平面,则下列说确的是( ) A .若ββαα//,//,//m m 则 B .ββαα⊥⊥⊥m m 则,, C .若ββαα⊥⊥m m 则,,// D .若ββαα⊥⊥m m 则,//, 3.两直线20ax y a -+=和(21)0a x ay a -++=互相垂直,则a =( ) A .1 B .31-
C .1或0
D .51-或3
1 4.已知函数(0),()(3)4(0)x a x f x a x a x ?<=?-+≥?
满足对任意12x x ≠,都有1212()()
0f x f x x x -<-成立,则a 的取值围是
( )
A .1(0,]4
B .(0,1)
C .1
[,1)4
D .(0,3)
5.如图为某几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )
A .105+
B .102+
C .6226++
D .626++
6.若圆C 的方程为2
2
(3)(2)4x y -+-=,直线l 的方程为10x y -+=,则圆C 关于直线l 对称的圆的方程为( )
A .2
2
(1)(4)4x y +++= B .2
2
(1)(4)4x y -+-= C .2
2
(4)(1)4x y -+-= D .2
2
(4)(1)4x y +++=
7.已知)38(log )(ax x f a -=在[﹣1,2]上的减函数,则实数a 的取值围是( ) A .(0,1) B .)34
,1( C .)4,3
4[ D .(1,+∞)
8.如图,三棱柱111ABC A B C -中,侧棱1AA 垂直底面111A B C ,底面三角形111A B C 是正三角形,E 是BC 中点,则下列叙述正确的是( ) A .1CC 与1B E 是异面直线 B .AC ⊥平面11ABB A
C .AE 与11B C 为异面直线,且11AE B C ⊥
D .11//AC 平面1AB E
9.若圆2
2
44100x y x y +---=上至少有三个不同的点,到直线:l y x b =+的距离为22,则b 取值围为 ( )
A .(2,2)-
B .[2,2]-
C .[0,2]
D .[2,2)-
10.长方体1111ABCD A B C D -中,12,1AB AA AD ===,则异面直线11CD BC 与所成角的余弦值为 ( ) A .
10 B .15 C .10 D .1
2
11.设点0(,1)M x ,在圆O :2
2
1x y +=上存在点N ,使得4
OMN π
∠=,则0x 的取值围是 ( )
A .[1,1]-
B .11
[,]22- C .[2,2]- D .22[,]22
-
12.已知偶函数)(x f 的定义域为}0|{≠∈x R x x 且,)(x f =???
??>-≤<--2),2(2
120,12|1|x x f x x ,则函数
)
1|(|7
log )(4)(+-=x x f x g 的零点个数为 ( ) A .6 B .8 C .10 D .12
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,满分20分.把答案填写在题中的横线上)
13.直线022=++ay x 与直线01)4(=-++y a ax 平行,则a 的值为______________.
14.已知函数x x x f 2)(2
+=,m x g x
+=)2
1()(,若任意]2,1[1∈x ,存在]1,1[2-∈x ,使得)()(21x g x f ≥,
则实数m 的取值围是______________.
15.若四面体ABCD 中,5====AD BC CD AB ,2==BD AC ,则该四面体的外接球的表面积为
______________.
16.若X 是一个集合,τ是一个以X 的某些子集为元素的集合,且满足:①X 属于τ,φ属于τ;②τ中任意
多个元素的并集属于τ;③τ中任意多个元素的交集属于τ.则称τ是集合X 上的一个拓扑.已知函数
]][[)(x x x f =,其中][x 表示不大于x 的最大整数,当*],,0(N n n x ∈∈时,函数)(x f 的值域为集合n A ,则
集合2A 上的含有4个元素的拓扑τ的个数为______________.
三、解答题(本大题共6个小题,满分70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)
如图,在四棱锥P —ABCD 中,PD ⊥平面ABCD ,AB ∥DC ,AB ⊥
AD ,BC =5,
DC =3,
AD =4,∠PAD =60°.
(1)若M 为PA 的中点,求证:DM ∥平面PBC ; (2)求三棱锥D —PBC 的体积.
18.(本小题满分12分)
已知圆C:1)4(2
2
=-+y x ,直线02:=-y x l ,点P 在直线l 上,过点P 作圆C 的切线PA,PB ,切点分别为A,B.
(1)若∠APB=60°,求点P 的坐标;
(2)求证:经过点A,P,C 三点的圆必经过定点,并求出所有定点的坐标.
19.(本小题满分12分)
“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明:“活水围网”养鱼时,某种鱼在一定的条件下,每尾鱼的平均生长速度v (单位:千克/年)是养殖密度x (单位:尾/立方米)的函数.当x 不超过4尾/立方米时,v 的值为2千克/年;当4 (1)当0 (2)当养殖密度x 为多大时,鱼的年生长量(单位:千克/立方米)可以达到最大?并求出最大值. 20.(本小题满分12分) 如图,在四棱锥P —ABCD 中,PA ⊥底面ABCD ,AB ⊥AD ,AC ⊥CD , ∠ABC =60°,PA =AB =BC ,E 是PC 的中点. (1)证明:AE ⊥平面PCD ; (2)求二面角A —PD —C 的正弦值. 21.(本小题满分12分) 已知点P (2,2),圆C :x 2+y 2-8y =0,过点P 的动直线l 与圆C 交于A ,B 两点,线段AB 的中点为M ,O 为坐标原点. (1)求M 的轨迹方程; (2)当|OP |=|OM |时,求l 的方程及△POM 的面积. 22.(本小题满分12分) 已知()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数,且1)1(=f ,若b a ,[]1,1∈-,0≠+b a 时有 ()() 0f a f b a b +>+成立. (1)判断()f x 在[]1,1- 上的单调性,并证明; (2)解不等式:11 ()( )21 f x f x +<-; (3)若2 ()21f x m am ≤-+对所有的[]1,1a ∈-恒成立,数m 的取值围. 孟津一高2015----2016学年上学期期末考试 高一数学(理)参考答案 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D C A C B B C B A A D ) 13. 2-4或 14. 2 5 ≤ m 15. π6 16. 9 三、解答题(本大题共6个小题,满分70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (1)证明 如图,取PB 中点N ,连接MN ,CN . 在△PAB 中,∵M 是 PA 的中点, ∴MN ∥AB ,MN =1 2AB =3, 又CD ∥AB ,CD =3, ∴MN ∥CD ,MN =CD , ∴四边形MNCD 为平行四边形, ∴DM ∥CN . 又DM ?平面PBC ,CN ?平面PBC , ∴DM ∥平面PBC . ….…………………5分 (2)解 V D —PBC =V P —DBC =1 3S △DBC ·PD , 又S △DBC =6,PD =43, 所以V D —PBC =8 3. ….…………………10分 18. 解:(1)由条件可得2=PM ,设)2,(a a P ,则2)42(2 2 =-+a a , 解得2=a 或5 6= a , 所以点)4,2(P 或点)5 12 ,56(P ………………………….…………………5分 (2)设)2,(a a P ,过点C P A ,,的圆即是以PC 为直径的圆,其方程为: 0)2)(4()(=--+-a y y a x x , .…………………7分 整理得08242 2=+---+a ay y ax y x 即0)82()4(2 2 =-+--+y x a y y x ……………………….……………9分 由???=-+=-+0 82042 2 y x y y x 得???==40y x 或?? ?? ?==51658y x , 该圆必经过定点)4,0(和)5 16 ,58( .…………………12分 19. 解 (1)由题意得当0 由已知得? ???? 20a +b =0, 4a +b =2,解得 ???? ? a =-1 8 , b =52, 所以v =-18x +5 2, ….…………………5分 故函数v =???? ? 2, 0 2, 4 ? 2x , 0 当0 8,f (x )max =f (10)=12.5. 所以当0 即当养殖密度为10尾/立方米时,鱼的年生长量可以达到最大,最大值为12.5千克/立方米. ….…………………12分 20. (1))证明 在四棱锥P —ABCD 中, 因为PA ⊥底面ABCD ,CD ?平面ABCD , 故CD ⊥PA .由条件CD ⊥AC ,PA ∩AC =A , ∴CD ⊥平面PAC . 又AE ?平面PAC ,∴AE ⊥CD . 由PA =AB =BC ,∠ABC =60°,可得AC =PA . ∵E 是PC 的中点,∴AE ⊥PC . 又PC ∩CD =C ,综上得AE ⊥平面PCD . ….…………………5分 (2)解 过点E 作EM ⊥PD ,垂足为M ,连接AM ,如图所示. 由(1)知,AE ⊥平面PCD ,AM 在平面PCD 的射影是EM , 则可得AM ⊥PD . 因此∠AME 是二面角A —PD —C 的平面角. ….…………………7分 由已知,可得∠CAD =30°. 设AC =a ,可得 PA =a ,AD =233a ,PD =213a ,AE =2 2a . 在Rt △ADP 中,∵AM ⊥PD ,∴AM ·PD =PA ·AD , 则AM =PA ·AD PD =a · 23 3a 21 3 a =27 7a . 在Rt △AEM 中,sin ∠AME = AE AM =144 . 所以二面角A —PD —C 的正弦值为14 4 . ….…………………12分 21. 解 (1)圆C 的方程可化为x 2+(y -4)2=16,所以圆心为C (0,4),半径为4. 设M (x ,y ), C M ⊥AB ∴ CM ⊥PM 故点M 在以PC 为直径的圆上 即(x -1)2+(y -3)2=2. 由于点P 在圆C 的部, 所以M 的轨迹方程是(x -1)2+(y -3)2=2. ….…………………6分 (2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心,2为半径的圆. 由于|OP |=|OM |, 故M 在圆O :82 2 =+y x 上. 由?????=+=-+-8 2)3()1(2 22 2y x y x 可得: 01662=-+y x 即l 的方程为01662=-+y x . ….…………………9分 又|OM |=|OP |=22, O 到l 的距离为 410 5 , |PM |=410 5 , 所以△POM 的面积为16 5. ….…………………12分 22. 解:(1)()f x 在[]1,1- 上为增函数,证明如下: 设任意12,x x []1,1∈-,且12x x <, 在 ()() 0f a f b a b +>+中令1a x =,2b x =-,可得 1212()()0()f x f x x x +->+-, 又∵()f x 是奇函数,得22()()f x f x -=-, ∴ 1212 ()() 0f x f x x x ->-.∵12x x <,∴120x x -<, ∴12()()0f x f x -<,即12()()f x f x < 故()f x 在[]1,1-上为增函数……………4分 (2)∵()f x 在[]1,1-上为增函数, ∴不等式11 ()( )21f x f x +<-,即 11 1121 x x -≤+<≤- 解得3,12x ?? ∈- -???? ,即为原不等式的解集;……………8分 (3)由(1),得()f x 在[]1,1- 上为增函数,且最大值为(1)1f =, 因此,若2 ()21f x m am ≤-+对所有的[]1,1a ∈-恒成立, 2211m am -+≥对所有的[]1,1a ∈-恒成立, 设2 ()20g a ma m =-+≥对所有的[]1,1a ∈-恒成立………………………10分