江苏省各地市高考数学 最新联考试题分类汇编(10) 圆锥曲线

一、填空题:

10．（江苏省苏锡常镇四市2013年3月高三教学情况调研—）已知1F ，2F 是双曲线的两个

焦点，以线段12F F 为边作正12MF F ?，若边1MF 的中点在此双曲线上，则此双曲线的离心率为 ▲ ． 【答案】31+

11．(江苏省扬州市2013年3月高三第二次调研)在平面直角坐标系xOy 中，已知A 、B 分

别是双曲线22

13y x -=的左、

右焦点，△ABC 的顶点C 在双曲线的右支上，则sin sin sin A B C

-的值是 ． 【答案】2

1-

10. (江苏省无锡市2013年2月高三质量检测)椭圆x 2

2＋y 2

＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭

圆相交于点A 、B ，当△FAB 的周长最大时，△FAB 的面积为 ▲ ． 【答案】 2

1、（常州市2013届高三期末）已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线经过点(1,2)，

则该双曲线的离心率的值为 ▲ 答案：5

2、（连云港市2013届高三期末）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线

y 2 = 4x 的准线交于A 、B 两点，AB =3，则C 的实轴长为 ▲ .

答案：1

3、（南京市、盐城市2013届高三期末）已知1F 、2F 分别是椭圆14

82

2=+y x 的左、右焦点,

点P 是椭圆上的任意一点,

则121

||

PF PF PF -的取值范围是 ▲ ．

答案：[0,222]+

6、（苏州市2013届高三期末）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线

22

22:1(0,0)x y E a b a b

-=>>的左顶点为A ，过双曲线E 的右焦点F 作与实轴垂直的直线

交双曲线E 于B ，C 两点，若ABC ?为直角三角形，则双曲线E 的离心率为 ． 答案：2

7、（泰州市2013届高三期末）设双曲线22

145

x y -=的左、右焦点分别为1F ,2F ,点P 为双

曲线上位于第一象限内一点，且12PF F 的面积为6，则点P 的坐标为 答案：??

?

?

??2,556 8、（无锡市2013届高三期末）如图，过抛物线y 2

=2px （p>0）的焦点F 的直线L 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为 。 答案：

二、解答题:

⒙（江苏省盐城市2013年3月高三第二次模拟）（本小题满分16分）如图，圆O 与离心率

为23的椭圆T ：12222=+b

y a x （0>>b a ）相切于点M )1,0(。

⑴求椭圆T 与圆O 的方程；

⑵过点M 引两条互相垂直的两直线1l 、2l 与两曲线分别交于点A 、C 与点B 、D （均不重合）。

①若P 为椭圆上任一点，记点P 到两直线的距离分别为1d 、2d ，求2

22

1d d +的最大值；

②若MD MB MC MA ?=?43，求1l 与2l 的方程。 18．解: (1)由题意知:

222,1,2

3a b c b a c =+==解得3,1,2===c b a 可知:

椭圆C 的方程为14

22

=+y x 与圆O 的方程122=+y x ………………………………4分 (2)设),(00y x P 因为1l ⊥2l ,则2

020

2

22

21

)1(++==+y x PM d d 因为14

2

020=+y x 所以3

16

)3

1

(3)1(442

02

02

02

22

1+

+-=++-=+y y y d d ,…………………………7分 因为110≤≤-y 所以当310-=y 时2

221d d +取得最大值为3

16，此时点

)3

1

,324(-±

P …………9分

O A 1

A 2

B 1

x

y

17．(江苏省扬州市2013年3月高三第二次调研)（本小题满分14分）

在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆E ：22221(0)y x a b a b

+=>>的左、右顶点分别为1A 、2A ，上、下顶点分别为1B 、2B ．设直线11A B 的倾斜角的正弦值为13

，圆C 与以线段2

OA

E x

O y

N

A

M

为直径的圆关于直线11A B 对称． （1）求椭圆E 的离心率；

（2）判断直线11A B 与圆C 的位置关系，并说明理由； （3）若圆C 的面积为π，求圆C 的方程．

（3）由圆C 的面积为π知圆半径为1，从而12

k =，

设2OA 的中点()10,

关于直线11A B ：2220x y -+=的对称点为()m n , ，则2

1,

1122022

n m m n ?=-?-?

+?-+=?．

解得4213m n ==, ．所以，圆C 的方程为(

)(

2

242113x y -+=．

18．(江苏省无锡市2013年2月高三质量检测)（本题满分15分）

已知椭圆 x 2 a 2 ＋y 2

b 2

＝1(a >b >0)的左顶点A (－2，0)，

离心率为12，过点E (－2

7，0)的直线l 交椭圆于M ，N ．

(Ⅰ)求椭圆方程；

(Ⅱ)求证：∠MAN 的大小为定值．

1、（常州市2013届高三期末）如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知12,F F 分别是椭圆

E :22

221(0)x y a b a b

+=>>的左、右焦点，A ，B 分别是椭圆E 的左、右顶点，且2250AF BF +=. （1）求椭圆E 的离心率；

（2）已知点()1,0D 为线段2OF 的中点，M 为椭圆E 上的动点（异于点A 、B ），连接1MF 并延长交椭圆E 于点N ，连接MD 、ND 并分别延长交椭圆E 于点P 、Q ，连接PQ ，设直线MN 、PQ 的斜率存在且分别为1k 、2k ，试问是否存在常数λ，使得120k k λ+=恒

理得，

211211

51

40x x y y y y --+-=.()1113115

y x y y x -+=

-，13145y y x ∴=

-.从而13159

5

x x x -=-，故点1111594,55x y P x x ??- ?--??.同理，点222259

4,55x y Q x x ??- ?--??

.三点M 、1F 、N 共线，12

1222y y x x ∴=++，从而

()

1221122x y x y y y -=-.从而

()()()()12

1221121234121212341212124457557595944455y y x y x y y y y y y y x x k k x x x x x x x x x x -

-+-----=====------

--.故21407k

k -=，从

而存在满足条件的常数λ，4

7

=-.

2、（连云港市2013届高三期末）已知椭圆C ：22

221x y a b

+=(a >b >0)的上顶点为A ，左，

右焦点分别为F 1，F 2,且椭圆C 过点P (43，b

3

)，以AP 为直径的圆恰好过右焦点F 2.

(1)求椭圆C 的方程；

(2)若动直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，试问：在x 轴上是否存在两定点，使其到直线l 的距离之积为1？若存在，请求出两定点坐标；若不存在，请说明理由.

②当直线l 斜率不存在时，直线方程为x =±2时，

定点(－1，0)、F 2(1，0)到直线l 的距离之积d 1? d 2=(2－1)(2+1)=1. 综上,存在两个定点(1,0),(-1,0),使其到直线l 的距离之积为定值1. ………16分 3、（南京市、盐城市2013届高三期末）如图, 在平面直角坐标系xOy 中, 已知椭圆

2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点M (32,2),椭圆的离心率22

3

e =

, 1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点.

(1)求椭圆C 的方程；

(2)过点M 作两直线与椭圆C 分别交于相异两点A 、B . ①若直线MA 过坐标原点O , 试求2MAF ?外接圆的方程；

②若AMB ∠的平分线与y 轴平行, 试探究直线AB 的斜率是否为定值？若是, 请给予证明；若不是, 请说明理由

.

(2)①记12MF F ?的外接圆的圆心为T .因为1

3

OM k =

,所以MA 的中垂线方程为3y x =-, 又由(32,2)M , 2F ()

42,0,得1MF 的中点为722，而2

1MF k =-， 所以2MF 的中垂线方程为32y x =-332y x

y x =-???=-??，得3292T …8分 所以圆T 22

329255

42044????-++= ? ? ? ??

???， 故2MAF ?的外接圆的方程为22

32921254x y ??-+= ?

?………………10分 (说明:该圆的一般式方程为223292

200x x y y ++-=)

4、（南通市2013届高三期末）已知左焦点为F (－1，0)的椭圆过点E (1，233)．过点P (1，

1)分别作斜率为k 1，k 2的椭圆的动弦AB ，CD ，设M ，N 分别为线段AB ，CD 的中点． （1）求椭圆的标准方程；

（2）若P 为线段AB 的中点，求k 1；

（3）若k 1+k 2=1，求证直线MN 恒过定点，并求出定点坐标． 解：依题设c =1，且右焦点F '(1，0)．

所以，2a =EF EF '+=2

2

2323(11)2333??+++= ???

，b 2=a 2－c 2

=2，

故所求的椭圆的标准方程为22132

y x +

=． ………………………………4分 (2)设A (1x ，1y )，B (2x ，2y )，则2211132x y +=①，22

22

132

x y +=②．

②－①，得 21212121()()()()032

x x x x y y y y -+-++=．

所以，k 1=

212121212()423()63

P P y y x x x x x y y y -+=-=-=--+． ……………………………9分

5、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆)0(1:

2

22

2>>=+b a b y a x E 的焦距为2，且过点)2

6

,

2(. （1） 求椭圆E 的方程；

（2） 若点A ，B 分别是椭圆E 的左、右顶点，直线l 经过点B 且垂直于x 轴，点P 是椭

圆上异于A ，B 的任意一点，直线AP 交l 于点.M （ⅰ）设直线OM 的斜率为,1k 直线BP 的斜率为2k ，求证：21k k 为定值；

（ⅱ）设过点M 垂直于PB 的直线为m . 求证：直线m 过定点，并求出定点的坐标.

A

B

M

P

O

l

x

y

m

y

x

O

D

C

B

A

答案：

1111

01111222(2)4(2)2

x x x y y x y x y y y x ---=-+=-+

+2211111122(4)4(2)x x y x y x y --+=++ 2211111122(4)123(2)x x x x y x y --+-=++=111122x x x y y --+=1

1

2(1)x x y -+，

所以直线m 过定点(1,0)-． ………………………………………………………16分

8、（扬州市2013届高三期末）如图，已知椭圆1E 方程为

22

221(0)x y a b a b

+=>>，圆2E 方程为222x y a +=，过椭圆的左顶点A 作斜率为1k 直线1l 与椭圆1E 和圆2E 分别相交于B 、C ．

（Ⅰ）若11k =时，B 恰好为线段AC 的中点，试求椭圆1E 的离心率e ； （Ⅱ）若椭圆1E 的离心率e =

1

2

，2F 为椭圆的右焦点，当2||||2BA BF a +=时，求1k 的值；

（Ⅲ）设D 为圆2E 上不同于A 的一点，直线AD 的斜率为2k ，当2

122k b k a

=时，试问直线BD

是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．

（Ⅲ）法一：由12222(),1,

y k x a x y a

b =+???+=??得2222

1

22

()0k x a x a a b +-+=， ∴x a =-，或2221222

1()

a b k a x b a k -=+，

∵B x a ≠-，∴22212221()B a b k a x b a k -=+，则21

1222

1

2()B B ab k y k x a b a k =+=+．……11分

法二：直线BD 过定点(,0)a ， …………………10分

证明如下：

设(,0)P a ，(,)B B B x y ，则：22

221(0)B B x y a b a b

+=>>

2

22222

12222222

()1B B B AD PB PB B B B y y y a a a a b k k k k b b x a x a b x a b a ==??=?=-=-+--，

所以PB AD ⊥，又PD AD ⊥

所以三点,,P B D 共线，即直线BD 过定点(,0)P a 。. …………………16分 9、（镇江市2013届高三期末）已知椭圆O 的中心在原点，长轴在x 轴上，右顶点(2,0)A 到

右焦点的距离与它到右准线的距离之比为

23. 不过A 点的动直线1

2

y x m =+交椭圆O 于P ,Q 两点．

（1） 求椭圆的标准方程；

（2）证明P ,Q 两点的横坐标的平方和为定值；

（3）过点 A,P ,Q 的动圆记为圆C ，动圆C 过不同于A 的定点，请求出该定点坐标.

19.解：（1）设椭圆的标准方程为()0122

22>>=+b a b

y a x .由题意得23,2==e a .……2分

3=∴c , 1b =, ……2分 ∴椭圆的标准方程为14

22

=+y x .……4分

（2）证明：设点),(),,(2211y x Q y x P

将m x y +=

2

1

带入椭圆，化简得：0)1(2222=-++m mx x ○

1

∴212122,

2(1)x x m x x m +=-=-,……6分 ∴22

2121212()24x x x x x x +=+-=,

∴P ,Q 两点的横坐标的平方和为定值4.……7分

(法二) 设圆的一般方程为:22

0x y Dx Ey F ++++=,将m x y +=

2

1

代入的圆的方程: 024522=+++??

?

??+++F mE m x E D m x ○

5.……8分 方程○1与方程○5为同解方程.22122(1)542

E m mE F

m D m m ++-+=+=

, ……11分 圆过定点(2,0)，所以024=++F D , ……12分

因为动直线m x y +=2

1

与椭圆C 交与P,Q （均不与A 点重合）所以1-≠m . 解得: 3(1)3335

,,42222

m D E m F m -=

=+=--,……13分 (以下相同)