2019届福建省晋江市(安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学四校)高三上学期期中考试数学(理)试题

2019届福建省晋江市（安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中

学四校）高三上学期期中考试数学（理）试题

考试科目：数学（理科） 满分：150分 考试时间：120分钟

第Ⅰ卷 （选择题 共60分）

一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的。

（1）已知集合{|2}M x x =<，{}

2|0N x x x =-<，则下列关系中正确的是（ ）

（A ）M N ?=R （B ）M C N ?=R R （C ）N C M ?=R R （D ）M N M = （2）若复数z 满足(3)(2i)5z --=，则z 的共轭复数为（ ）

（A ）2i + （B ）2i - （C ）5i + （D ）5i - （3）()()()()=-?+?--??-x x x x 140cos 70sin 50cos 20sin ( )

（A ）

12 （B

（C ）1

2

- （D

）

（4）下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是（ ）

（A ）x

x y 2

12-= （B ）x x y sin ?= （C ）()1lg +=x y （D ）||

2x y -= （5）为了得到函数sin(2)3y x π=-的图象，只需把函数4cos(2)3

y x π

=-的图象（ ）

（A ）向左平移4

π

个长度单位 （B ）向右平移4

π

个长度单位 （C ）向左平移

2

π

个长度单位 （D ）向右平移

2

π

个长度单位

（6）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“n S 的最大值是8S ”是“789710

a a a a a ???++>0

+<0”的（ ）

（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件

（7）已知y x ,满足约束条件22

3231x y x y kx y -≥-??

-≤??+≥?

，且2z x y =+的最小值为1，则实数k 的值为（ ）

（A ）2 （B ）1 （C ）

12 （D ）13

（8

）曲线y =，直线x y -=2及x 轴所围成的图形的面积为( ) （A ）

34 （B ）38 （C ）310 （D ）3

16 （9）已知函数()sin()f x x ω?=+（0ω>，||2

π

?<

）的部分图象

如图，则

2019

1

()6

n n f π

==∑

（ ） （A ）1- （B ） 1

2

（C ） 0 （D ） 1

（10）在边长为1的正方形ABCD 中，且BE AD μ= ，CF AB μ=-

，则AE AF ?= ( )

（A ）1 （B ）1- （C ）12μ- （D ）21μ- （11）已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且7431n n A n B n +=

+，则使得n n

a

b 为整数的正整数n 的个数是( )

（A ）6 （B ）4 （C ） 3 （D ）2

（12） 若函数()ln f x x x h =-++，在区间1,e e ??????

上任取三个实数,,a b c 均存在以()f a ,()f b ,()f c 为

边长的三角形，则实数h 的取值范围是（ ）

（A ）1(1,1)e -- （B ）1(1,e 3)e -- （C ）1(1,)e

-+∞ （D ）(e 3,)-+∞

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题--第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。第（22）题--第（23）题为选考题，考生根据要求作答。

二. 填空题. （本大题共4小题，每小题5分，共20分） （13）已知sin 3sin 3παα?

?

=+

??

?

，则tan 6πα??

+

= ??

?

______________. 6π 512

π1

-1

（14）已知向量a ，b 满足||2=a ，||1=b

，||-≤a b b 在a 上的投影的最小值是 .

（15）已知等比数列{}

n a ，{}n b ，{}

n c 的公比分别为2，A ，B ，记

()()()()414314214114+-+-+-+-+++=n n n n n a a a a b ，()()()()()*+-+-+-+-∈???=N n a a a a C n n n n n ,414314214114，

则

=B

A

. （16）在ABC ?中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若cos 3cos a B b A =，则A B -的最大值是 ． 三. 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 （17）（本小题满分12分）

已知函数()R x x x x x f ∈-??? ??

+???

?

?

+

+=,2

112cos 12sin cos 2ππ． (Ⅰ) 求()f x 在区间???

??

?-6,3ππ上的最大值和最小值； (Ⅱ) 若??? ??

<<=??

?

??-40,532242παπαf ，求α2sin 的值.

（18）（本小题满分12分）

已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a =-. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）若数列1n n a ??

+????

的前n 项和为n T ，求n T 以及n T 的最小值．

（19）（本小题满分12分）

如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=?，

1

2

PD AD AB ==

,PD ⊥底面ABCD . (Ⅰ)证明：PA BD ⊥；

(Ⅱ)求平面PAD 与平面PBC 所成的锐二面角的大小.

（20）（本小题满分12分）

在ABC ?中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c

sin cos C c A =

，2

2

2

a c

b +=+． （Ⅰ）求A 和B 的大小；

（Ⅱ）若,M N 是边AB

上的点，,6

MCN b π

∠==CMN ?的面积的最小值．

（21）（本小题满分12分）

已知函数()()1ln 1g x x x =++ (Ⅰ)求()g x 的单调区间； (Ⅱ)设1()ln x f x x x e =-的最小值为M ，证明：2211,M e e ?

?∈--- ??

?

请考生从第（22）、（23）题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。

（22）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线:sin x a C y a

?=?

?

=??（a 为参数），在以原点O 为极点，x 轴的非

负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为1)4

cos(22-=+π

θρ. （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；

（2）过点(1,0)M -且与直线l 平行的直线1l 交C 于A ，B 两点，求点M 到A ，B 两点的距离之积.

（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数122)(--+=x x x f ． （1）求不等式2)(-≥x f 的解集M ；

（2）对任意),[+∞∈a x ，都有a x x f -≤)(成立，求实数a 的取值范围．

安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学 2018年秋季高三期中联考参考答案及评分说明

一. 选择题

1. B

2. D

3. A

4. C

5. A

6. B

7. B

8. C

9. D 10. A 11. A 12. D 二. 填空题

13. 12 15. 4096212=（都可以） 16. 6

A B π

-= 三．解答题

17. 解：()分分

432sin 232cos 23

2sin 21232sin 232cos 23212sin 232cos 212cos 2122

1262sin 22cos 1???????

?

?+=

???

? ??+=???? ??+=???? ??++=????-?

?? ??

+++=ππx x x x x x x x x x x f (Ⅰ) ∵()f x 在区间??????-

12,3ππ上是增函数，在??

?

???6,12ππ上是减函数…………5分 4

36,2312,433=??? ??=??? ??-=???

??-πππf f f …………6分

∴()()2312,433max min =

??

?

??=-=??? ??-=ππf x f f x f …………8分 (Ⅱ)∵5324sin 23242=

??? ??+=???

??-παπαf ∴544sin =??? ?

?

+πα…………9分 ∵4

0π

α<

<

25714sin 242cos 2sin 2=

-??? ??

+=????????? ?

?+-=∴παπαα…………12分 18. 解：

（Ⅰ）当1n =时，12a =。………………1分

当2n ≥时，1122n n S a --=-，………………2分

所以1122(22)n n n n n a S S a a --=-=---，即

*1

2(2,)n

n a n n a -=≥∈N ， ………………4分 所以数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，故*2()n n a n =∈N . ………………6分 （Ⅱ）令11

2

n n n n n b a ++=

=， 1232341

2222n n

n T +=

++++ ，…………① ………………7分 ①×

12

，得234112341

222222n n n n n T ++=+++++ ，…………②………………8分

①－②，得11332

22n n n T ++=

-，……………9分 整理，得3

32

n n n T +=-，……………10分

又令3

2n n n c +=

，则14126

n n c n c n ++=<+，是所以1n n c c +>，{}n T 是单调递减数列…………11分 所以11n T T ≥≥.n T 的最小值为1………………12分 19. 解：

(Ⅰ)因为60,2DAB AB AD ∠=?=,

由余弦定理得BD = …………1分 从而222BD AD AB +=，故BD AD ⊥…………3分 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD PD ⊥…………4分 所以BD ⊥平面PAD . …………5分 故PA BD ⊥…………6分

(Ⅱ)如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系

D xyz -，…………7分

则()0B

,()

C -,()0,0,1P

，(1),(1,0,0)AB PB BC =-=-=-

易得平面PAD 的一个法向量为()0,1,0n =r

…………8分

设平面PBC 的法向量为m u r

，则

m PB m BC ?=?=

…………9分 可取(0,1,m =-u r

…………10分

1

cos ,2

n m m n n m ?==? …………11分

故平面PAD 与平面PBC 所成的锐二面角的大小为60? …………12分

20. 解：sin cos C c A =sin sin cos A C C A =， 因为sin 0C ≠，所以tan A =

6

A π

=． …………………………2分 由2

2

2

a c

b +=+，得2222a

c b ac +-=

，由余弦定理，得cos B =6

B π

∴=……4分 （Ⅱ）设()090MCA αα∠=?≤≤?，在AMC ?中由正弦定理，得

sin sin CM AC

A AMC

=

∠ 所以CM =

，同理CN =

8分

故MCN CN CM S ABC ∠???=

?sin 2

1

3116

sin sin 63ππαα==≥

????++ ? ?????，此时4π

α=……12分

21. 解：(Ⅰ) ()'1ln 1g x x x =++

…………1分， 设()1

ln 1h x x x

=++ ()'22111

x h x x x x

-=

-=…………2分 所以()h x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增…………3分

()()min 120h x h ==>，即()'0g x >…………4分

所以()g x 在()0,+∞上单调递增…………5分

(Ⅱ) ()ln 1x

f x e x -'=++，…………6分， 设()ln 1x F x e x -=++

()'

11x x x

e x F x e x xe -=-+=，…………7分， 设()

x

G x e x =- ()'10x G x e =->，所以()G x 在()0,+∞上单调递增

()()010G x G >=>，即()'0F x >，所以()F x 在()0,+∞上单调递增…………8分

()()1

2

120,10e e F e e F e e ------=>=-<

所以()F x 在()0,+∞上恰有一个零点()

210,x e e --∈且()0

0ln 10x e

x -++=*…………9分

()f x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增…………10分

0000001

()ln ln ln 1x M f x x x x x x e

==-

=++，()210,x e e --∈…………11分 由(Ⅰ)知0()f x 在()0,+∞上单调递增 所以()()21

02

211()f e f x f e e e

---

-=<<=- 所以2211,M e e ??

∈--

- ???

…………12分 22. 解：（Ⅰ）曲线C 化为普通方程为：2

213

x y +=,………………………2分 由

1)4

cos(22-=+π

θρ，得2sin cos -=-θρθρ，……………………4分

所以直线l 的直角坐标方程为02=+-y x .……………………………………5分

（2）直线1l

的参数方程为1,.x y ?=-+

????=??（t 为参数），……………………7分 代入2

213

x y +=

化简得：2220t -=，…………………9分

设B A ,两点所对应的参数分别为21,t t ，则121t t =-， ∴12||||||1MA MB t t ?==. ………10分

23. 解： （Ⅰ）， 当时，

，即，所以

；……………1分

当时，

，即，所以；……………2分 当

时，，即，所以

；……………3分

综上，不等式的解集为

．……………4分

（Ⅱ）设……………5分

因为对任意

，都有成立，所以

．

① 当时，

，……………6分

所以

所以，符合

．……………7分 ② 当时，，……………8分

所以

所以

，符合

．……………9分 综上，实数的取值范围是．……………10分