2020-2021学年高三数学(文科)高三教学质量检测及答案解析

最新普通高中高三教学质量检测（一）

数 学（文科）

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数z 满足i 1i z =--,则在复平面内,z 所对应的点在（ ）

A. 第一象限

B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限 【答案】B

【解析】1i

1i i

z --=

=-+，故选B. 2. 已知U =R ,函数ln(1)y x =-的定义域为M ,集合{02}N x x =<<,则U ()M N =I e（ ）

A. (,0]-∞

B. (0,1)

C. [1,2)

D. [2,)+∞ 【答案】A

【解析】{10}{1}(,1)M x x x x =->=<=-∞，

U (,0][2,)N =-∞+∞U e，∴U (){0}M N x x =≤I e．

3. 在等差数列{}n a 中,13a =,1033a a =,则{}n a 的前12项和12S =（ ） A. 120B. 132C. 144D. 168 【答案】D

【解析】∵13a =,1033a a =， ∴1193(2)a d a d +=+，∴2d =． ∴121211

12321682

S ?=?+

?=． 4. 曲线C :ln y x x =在点(e,e)M 处的切线方程为（ ）

A. e y x =-

B. e y x =+

C. 2e y x =-

D. 2e y x =+ 【答案】C

【解析】∵ln y x x =，∴ln 1y x '=+，∴ln 12k e =+=，∴切线方程为2()y e x e -=-，即2e y x =-．

5. 设变量,x y 满足10

020015x y x y y -≤??

≤+≤??≤≤?

,则23x y +的最大值为（ ）

A. 20

B. 35

C. 45

D. 55

【答案】D

6. 已知()sin(2)f x x ?=+的图像向右平移12

π

个单位后得到函数()g x 的图像,则“函数()g x 的图像关于点(

,0)6

π

中心对称”是“6

π

?=-

”的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件 【答案】B

【解析】()sin(2)6

g x x π

?=-

+．

∵函数()g x 的图像关于点(,0)6

π

中心对称，

∴26

6

k π

π

?π?

-

+=，k Z ∈．

∴6

k π

?π=-

，k Z ∈，故选B ．

7．已知函数22()ln(e

1)1x

f x x x =+-+,()2f a =,则()f a -的值为（ ）

A. 1

B. 0

C. 1-

D. 2-

【答案】B

【解析】2222()()ln(e

1)1[ln(e 1)()1]x

x f x f x x x x x -+-=+-++-+--+

222[ln(e 1)ln(e 1)]22x x x x -=+-+-+

22222e 1ln 22ln e 22e 1x x x x x x x -+=-+=-++

222222x x =-+=，∴()()2f a f a +-=．

∵()2f a =，∴()2()0f a f a -=-=．

8．已知sin cos 5θθ+=

,则tan()4

π

θ+=（ ） A.

12B. 2C. 1

2

± D. 2± 【答案】D

【解析】∵sin cos 5θθ+=

，∴sin()45

πθ+=．

∴cos()45πθ+==±，∴sin()4tan()24cos()4

π

θπθπθ++=

=±+．

9．若图的框图所给的程序运行结果为20S =,那么判断框中应填入的关于k 的条件是（ ）

A ．9k =？

B ．8k ≤？

C ．8k <？

D ．8k >？ 【答案】D

【解析】由程序框图可知：

10.某一简单几何体的三视图如图所示,该几何体的外接球的表面积是（ ）

A. 13π

B. 16π

C. 25π

D. 27π 【答案】C

【解析】该几何体为一个长方体，

其中底面为正方体，且对角线长为4，高为3，

5=．

∴外接球的直径25R =，∴外接球的表面积是2

425R ππ=．

11. 已知1F ,2F 分别是双曲线C :22

221x y a b

-=(0,0a b >>)的左右两个焦点,若在双曲线C 上存在点P 使

1290F PF ∠=?,且满足12212PF F PF F ∠=∠,那么双曲线C 的离心率为（ ）

1 B. 2

C.

D.

【答案】A

【解析】设2PF m =，则12PF a m =+．

1290F PF ∠=?,12212PF F PF F ∠=∠，

∴1230PF F ∠=o

，∴2121

2

PF F F c =

=，∴12PF a c =+． ∵22

2

12

12PF PF F F +=，∴222(2)(2)a c c c ++=，

∴22220c ac a --=，∴2220e e --=，

∴1e =

=． 12.若函数()2e ln()e 2x

x

f x x m =++-存在正的零点,则实数m 的取值范围为（ ）

A. (-∞

B. )+∞

C. (,e)-∞

D. (e,)+∞ 【答案】A

【解析】令2e ln()e 20x

x

x m ++-=，

∴1111ln()()e 22x x x m e +=

-=-. ∵11()2x y e =-过点1

(0,)2

，且单调减函数．

∴0x >时，111

()22

x y e =-<．

问题等价于1

ln()2

y x m =+<，0x >恒成立．

∵ln()y x m =+在(0,)+∞上为增函数，∴1

ln 2

m <

，m <． 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.

13.从某班5位老师中随机选两位老师值班,有女老师被选中的概率为

7

10

,则在这5位老师中,女老师有_______人. 【答案】2

【解析】假设女老师有1人，则女老师被选中的概率为

4

10

，不合题意. 假设女老师有2人，通过列举便知有女老师被选中的概率为7

10

．

14.在ABC ?中,A 、B 、C 的对边分别是c b a ,,,且B b cos 是A c C a cos ,cos 的等差中项,则B 的大小为

_______.

【答案】

3

π 【解析】∵B b cos 是A c C a cos ,cos 的等差中项，

∴2cos cos cos b B a C c A =+，

∴2sin cos sin cos sin cos sin()sin B B A C C A A C B =+=+=， ∵0B π<<，∴sin 0B >，∴1cos 2B =，∴3

B π=．

15.抛物线C :2

4y x =上到直线l :y x =

的点的个数为________. 【答案】3

【解析】设满足条件的点的坐标为2

(,)4

t t ，

∴点2

(,)4

t t 直线l :y x =

2

=

， ∴214t t -=，或2

14

t t -=-． 由2

14t t -=，得2440t t --=

，∴2t =± 由2

14

t t -=-，得2440t t -+=，∴4t =． 16.在等腰直角ABC ?中,90ABC ∠=?,2AB BC ==,M 、N 为AC 边上两个动点,

且满足MN =

,则

BM BN ?u u u u r u u u r

的取值范围为________.

【答案】3

[,2]2

【解析】以A 为原点建立直角坐标系，如图

则B

，设(,0)(0M x x ≤≤，

∵MN

(N x ， ∴4(1,4)AB AC AP AB AC

=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，即(1,4)P

∴((,BM BN x x ?=?u u u u r u u u

r 2

2x =

+23(22

x =-+．

∵0x ≤≤3

[,2]2

BM BN ?∈u u u u r u u u r ．

三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)

已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足21n n a S =-(*n ∈N ). （1）求证:数列{}n a 为等比数列；

（2）若(21)n n b n a =+,求{}n b 的前n 项和n T .

【解析】（1）当1n =时,1112121a S a =-=-,解得11a =. ……1分 当2n ≥时,21n n a S =-，1121n n a S --=-，

两式相减得12n n n a a a --=，∴1n n a a -=-， ……3分 ∴数列{}n a 是首项为1,公比为1-的等比数列. ……5分

（2）由（1）可得1(1)n n a -=-，∴1

(21)(1)n n b n -=+?-. ……6分

01213(1)5(1)7(1)(21)(1)n n T n -=?-+?-+?-+++?-L

1213(1)5(1)(21)(1)(21)(1)n n n T n n --=?-+?-++-?-++?-L ， ……8分

两式相减得

121232(1)2(1)2(1)(21)(1)n n n T n -=+?-+?-++?--+?-L ……9分

1[1(1)]

32(21)(1)1(1)n n n ----=+?-+?--- ……10分

1(22)(1)2n n -=+?-+. ……11分

∴数列{}n b 的前n 项和n T 1

(1)(1)1n n -=+?-+. ……12分

18.(本小题满分12分)

某射击爱好者想提高自己的射击水平,制订了一个训练计划,为了了解训练效果,执行训练计划前射击了

10发子弹(每发满分为10.9环),计算出成绩中位数为9.65环,总成绩为95.1环,成绩标准差为1.09环,执行训练计划后也射击了10发子弹,射击成绩茎叶图如图所示:

（1）请计算该射击爱好者执行训练计划后射击成绩的中位数、总成绩与标准差；

（2）如果仅从已知的前后两次射击的数据分析,你认为训练计划对该射击爱好者射击水平的提高有无帮助？为什么？

【解析】（1）训练后成绩中位数为

9.69.7

9.652

+=环, ……1分 总成绩为7.88.89.09.39.69.79.89.810.410.895+++++++++=环， ……3分 平均成绩为9.49环. ……4分

方差为

2222222222

( 1.7)(0.7)(0.5)(0.2)0.10.20.30.30.9 1.30.6410

-+-+-+-++++++=, 标准差为0.8环. ……7分 （2）中位数与总成绩训练前相同, ∵95.195>,总成绩训练前都比训练后大,

而这是衡量一个人平均射击水平的主要指标, ……9分 可见训练前的平均水平还比训练后的平均水平要好, ……11分 故此训练计划对该射击爱好者射击水平的提高没有帮助. ……12分 【答案二】尽管总成绩训练后都比训练前稍小,但相差并不大,并无显著差异, ……9分 而0.8 1.09<,训练后的标准差比训练前的标准差要小很多, 成绩稳定性显著提高了,说明该射击爱好者心理素质更稳定了,

这也是射击水平提高的表现. ……11分

8

88673408

810.9.8.7.

故此训练计划对该射击爱好者射击水平的提高有帮助. ……12分

19.(本小题满分12分)

如图,三棱柱111ABC A B C -中,侧面11AA C C ⊥侧面11ABB A

,1AC AA ==,1160AAC

∠=?, 1AB AA ⊥,H 为棱1CC 的中点,D 为1BB 的中点.

（1）求证:1A D ⊥平面1AB H ； （2

）若AB =

求三棱柱111ABC A B C -的体积.

【解析】（1）连结1AC ,

∵1ACC ?为正三角形,H 为棱1CC 的中点, ∴1AH CC ⊥,从而1AH AA ⊥, 又面11AAC C ⊥平面11ABB A ,

面11AAC C I 平面11ABB A 1AA =,AH ?平面11AAC C , ∴AH ⊥平面11ABB A .

又1A D ?平面11ABB A ,∴AH ⊥1A D ①, ……2分

设AB =,

由1AC AA ==,

∴12AC AA a ==,1DB a =

,

111111

DB A B B A AA ==, 又111190DB A B A A ∠=∠=?,∴11A DB ?∽11AB A ?, ∴1111B AA B A D ∠=∠, 又11190B A D AA D ∠+∠=?, ∴11190B AA AA D ∠+∠=?,

A 1

B 1

C 1

A C

B

D

H

H

D

B

C

A C 1

B 1

A 1

M

设11AB A D O =I ,则11A D AB ⊥…②, ……5分 由①②及1AB AH A =I ,可得1A D ⊥平面1AB H . ……6分 （2）方法一:取1AA 中点M ,连结1C M ,则1//C M AH ,

∴1C M ⊥面11ABB A . ……7分

∴1111111133C AB A AB A V S C M -?=

?== ……10分 ∴三棱柱111ABC A B C -

的体积为1113C AB A V -=. ……12分

20.(本小题满分12分)

已知椭圆Γ的中心在原点，焦点在x 轴，焦距为2

倍. （1）求椭圆Γ的标准方程；

（2）设(2,0)P ,过椭圆Γ左焦点F 的直线l 交Γ于A 、B 两点,若对满足条件的任意直线l ,不等式

PA PB λ?≤u u u r u u u r

(λ∈R )恒成立,求λ的最小值.

【解析】（1）依题意

,2221a c a b c ?=?

=??=+?

, ……1分

解得22a =,21b =,

∴椭圆Γ的标准方程为2

212

x y +=. ……3分 （2）设1122(,),(,)A x y B x y ,

∴11221212(2,)(2,)(2)(2)PA PB x y x y x x y y ?=-?-=--+u u u r u u u r

,

当直线l 垂直于x 轴时,121x x ==-,12y y =-且2112

y =

, 此时1(3,)PA y =-u u u r ,21(3,)(3,)PB y y =-=--u u u r

, ∴22

117(3)2

PA PB y ?=--=

u u u r u u u r . ……6分 当直线l 不垂直于x 轴时,设直线l :(1)y k x =+, 由22

(1)22

y k x x y =+??+=?,得2222

(12)4220k x k x k +++-=,

∴2122412k x x k +=-+,2122

22

12k x x k -=+, ……8分

∴2

1212122()4(1)(1)PA PB x x x x k x x ?=-+++++u u u r u u u r

2221212(1)(2)()4k x x k x x k =++-+++

222

22

22

224(1)(2)41212k k k k k k k

-=+?--?++++ 2217221k k +==+217131722(21)2

k -<+. ……11分 要使不等式PA PB λ?≤u u u r u u u r

(λ∈R )恒成立,

只需max 17()2PA PB λ≥?=u u u r u u u r ,即λ的最小值为17

2

. ……12分

21.(本小题满分12分)

设常数0a >,函数2

()ln 1x f x a x x

=

-+. （1）当3

4

a =时,求()f x 的最小值；

（2）求证：()f x 有唯一的极值点.

【解析】（1）22

2(1)()(1)x x x a f x x x +-'=-+322

(2)2(1)x a x ax a

x x +---=+， ……2分 当3

4a =时,322224563(1)(493)()4(1)4(1)x x x x x x f x x x x x +---++'==++， ……4分

由于0x >时,22

493

04(1)

x x x x ++>+, 故当01x <<时,()0f x '<,()f x 递减,当1x >时,()0f x '>,()f x 递增, 即当1x =时,()f x 取极小值即最小值1

(1)2

f =

. ……6分 （2）由（1）知322

(2)2()(1)x a x ax a

f x x x +---'=+,

令3

2

()(2)2g x x a x ax a =+---,

要证()f x 有唯一的极值点,即证()g x 在(0,)+∞上有唯一的变号零点. ……7分 事实上,2

()3(42)2g x x a x a '=+--,

令()0g x '=,

解得1x =

,2x =……9分

其中10x <,20x >.

∵(0)20g a '=-<,且()g x '的图像是开口向上的抛物线, 故在区间2(0,)x 上,()0g x '<,()g x 递减, ∴()()200g x g a <=-<,

在区间2(,)x +∞上,()0g x '>,()g x 递增,

∵3

2

()(2)2g x x a x ax a =+---2

()2()x x a x x a a =-+--, ∴2

2

(1)(1)2(1)(1)20g a a a a a a +=+++-=+++>, ∴2()(1)0g x g a ?+<,即()g x 在(0,)+∞上有唯一零点.

即()f x 在(0,)+∞上有唯一的极值点,且为极小值点. ……12分

请考生在第22,23,24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清楚题号. 22.(本小题满分10分)选修41-:几何证明选讲

如图,四边形ABCD 是圆内接四边形,BA 、CD 的延长线交于点P ,且AB AD =,2BP BC =. （1）求证:2PD AB =；

（2）当2BC =,5PC =时,求AB 的长. 【解析】（1）∵四边形ABCD 是圆内接四边形,

∴PAD PCB ∠=∠, ……1分 又APD CPB ∠=∠,

∴APD ?∽CPB ?,PD AD

PB CB

=

, ……3分 而2BP BC =,∴2PD AD =,

又AB AD =,∴2PD AB =. ……5分 （2）依题意24BP BC ==,

设AB t =,由割线定理得PD PC PA PB ?=?, ……7分 即25(4)4t t ?=-?,解得87t =

,即AB 的长为8

7

. ……10分 23.(本小题满分10分)选修44-:坐标系与参数方程选讲

已知直线l 的方程为4y x =+,圆C 的参数方程为2cos 22sin x y θ

θ

=??

=+?(θ为参数),以原点为极点,x 轴正半

P

A

B

C

D

轴为极轴,建立极坐标系.

（1）求直线l 与圆C 的交点的极坐标；

（2）若P 为圆C 上的动点,求P 到直线l 的距离d 的最大值. 【解析】（1）直线l :4y x =+,圆C :2

2

(2)4x y +-=, ……1分

由22

4(2)4

y x x y =+??+-=?,解得22x y =-??=?或04x y =??=?, ……3分

对应的极坐标分别为3)4π,(4,)2

π

. ……5分

（2）[方法1]设(2cos ,22sin )P θθ+,

则)14

d π

θ=

=++,

当cos()14

π

θ+

=时,d 取得最大值2 ……10分

[方法2]圆心(0,2)C 到直线l =,圆的半径为2,

∴P 到直线l 的距离d 的最大值为2 ……10分

24.(本小题满分10分)选修45-:不等式选讲

已知函数()2f x x a =-+,()4g x x =+,其中a ∈R . （1）解不等式()()f x g x a <+；

（2）任意x ∈R ,2

()()f x g x a +>恒成立,求a 的取值范围.

【解析】（1）不等式()()f x g x a <+，

即24x x -<+， ……2分 两边平方得2244816x x x x -+<++,解得1x >-, ∴原不等式的解集为()1,-+∞. ……5分 （2）不等式2

()()f x g x a +>，

可化为2

24a a x x -<-++, ……7分 又()()24246x x x x -++≥--+=,

∴2

6a a -<,解得23a -<<,

∴a 的取值范围为()2,3-. ……10分