第四单元 复合函数求导与高阶导数
经济数学基础 第二章 导数与微分
第四单元 复合函数求导与高阶导数
第一节 复合函数与隐函数求导法则
一、学习目标
在本节课中，我们学习复合函数求导法则和隐函数求导方法，学习之后我们要能够运用复合函数求导法则计算初等函数的导数与微分，能够计算隐函数的导数或微分.
二、内容讲解 （一）复合函数求导
1.复合函数求导问题：
（1）2)32(+=x y ，求?='y ；（2）100
)32(+=x y ，则?='y
解：第一个问题2
)32(+=x y ，求导数没有直接公式可用.
方法1：将函数展开
9124)32(2
2++=+=x x x y ，利用加法法则有128+='x y 方法2：将函数写成两个因式乘积的形式
)32)(32()32(2
++=+=x x x y ，利用四则运算法则求导数.)32(4)32(2)32(2+=+++='x x x y
第二个问题100
)32(+=x y ，展开？共101项，求导很麻烦.
写成因式乘积的形式，求导也将很麻烦. 在这节课我们将介绍复合函数求导法则.
讨论100
)32(+=x y ，引进中间变量32+=x u
9999)32(2002100d d d d d d +=?===
'x u x u u y x y y
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2.复合函数求导法则
定理 设y=f (u ),u=?(x ),且u =?(x )在点x 处可导，y=f (u )在点u=?(x )处可导，则复合函数y=f (?(x ))在点x 处可导，且
)
()(x u f y x φ''='或
x
u x u y y '?'='
3.复合函数求导步骤
（1）分清函数的复合层次，找出所有的中间变量； （2）依照法则，由外向内一层层的直至对自变量求导. 4.多层复合的函数求导数
对于多层复合的函数，即若)(),(),(x v v u u f y φ?===，
则)()()(x v u f y φ?'''=' 或x v u x
v u y y '?'?'=' 注意：多层复合的函数求导数仍是经过一切中间变量直至对自变量求导.
（二）隐函数求导
1.隐函数求导问题:
求由方程
12
2=+y x 所确定的隐函数)(x y y =的导数y '？ 解：先将y 从方程中解出来，得到21x y -=和2
1x y --=
分别求导
21x x y --=
'和
21x x
y -=
'，将21x y -=和2
1x y --=分别代入，
得
y x
y -
='，01232=+--y x x （1）
由（1）解得
)13(212
+-=
x x y ，
0e e =-+x
xy y （2） 在（2）中0),(=y x F 隐含)(x y y = 2.隐函数求导方法步骤
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（1）方程两边求导，)(x y y =；（2）整理方程，求出y '. 问题思考：设2
)1(e
x y -=，则2
)
1(e )1(2x x y --='
错误.正确求解过程为：
x v v u y u -===1,,e 2，x v u u x v e y )1()()(2'-''=')1(2e
2
)1(-??=-v x =2
)1(e )1(2x x ---。注意：1)1(-='-x . 三、例题讲解
例1 求下列函数的导数或微分
（1）x
y 2e =，求.y '
解：方法一:由x x x x y e e e e )11(2?===+，x
x x y 222e 2e e =+='
方法二: 利用复合函数求导法则，设x u y u
2,e ==，x x u u u y 2e 2)e (='?'='
（2）x
y e =，求.y '
解：利用复合函数求导法则，设
x u y u
==,e ，
x
u
x u u x
x
u y e
2121e )e (?=
?
='?'='.
（3）x y cos ln =，求y d .
解：利用复合函数求导法则，设x u u y cos ,ln ==，
x x x x u u u y x u tan )sin (cos 1
)(cos 1)(ln -=-='=
'?'='，x x y d tan d -=
例2设2
1x y -=，求).0(y '
解：先求一般点上函数的导数，再将0=x 代入求得结果.
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设2
1,x u u y -==，利用复合函数求导法则，
221)2(21)1()(x x
x u
x u y x u --=
-=
'-?'='，.0)0(='y
例3 设函数
)2(sin 3
2x y +=，求y '. 解：（首先对函数进行分解，找出所有中间变量）
322,sin ,x v v u u y +===，
23cos 2x v u y ??='2333)2cos()2sin(2x x x ?+?+=)2cos()2sin(6332x x x +?+=
例4 求函数321x y -=，求y '. 解：2
3
1
1,x u u y -==
)1()1(3121312'-?-='-x x y 3
2
2
)1(32---=x x
例5 设函数x
y 1
cos
3=，求y '.
解
x v v u y u 1,cos ,3=
==
x
v u u x v y )1()(cos )3(''?'='，[21)()1(---='='x x x ]
)1
)(sin )(3ln 3(2x v u
--=)1)(1sin )(3ln 3(21
cos x x x --=x
x x 1
cos 231sin 3ln ??=
例6 求由方程
12
2=+y x 所确定的隐函数)(x y y =的导数y '. 解：方程两边对自变量x 求导数，此时y 是中间变量.
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022='+y y x ，解出
y x
y -
='（与前面的结果相同）.
例7 求由方程
0e e =++x y xy 所确定的隐函数)(x y y =的导数y '？ 解：方程两边对自变量x 求导数，此时y 是中间变量.
0e e =+'++'x
y y x y y 解得
x y y x
x
++-='e e （注意：在隐函数的导数结果中常常含有y ）. 例8 求双曲线1=xy 在点（1，1）处的切线斜率. 分析：此题是求隐函数在某点处的导数. 解：因为0='+y x y ，所以
x y
y -
='，且在点（1，1）处的切线斜率1
)1,1(-='y
四、课堂练习
练习1设2
2a x y -=，求y '. 练习2 设2
e e 1x x
y -+=，求y '. 练习3 设
xy x y 2e 2=+，求y d ？ 练习4 求曲线
x y xy x 222
2=-+在2=x 处的切线方程？ 五、课后作业
1.计算下列函数的导数：
（1）
531
-=
x y ；（2）x x y x
+=1e ；（3）100
4)13(-=x y ；
（4）
1
22
e -+-=x x
y ；（5）bx y ax sin e =；（6）
)ln(2
b ax y +=；
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（7）x y ln ln =；（8）x
y 1
sin 3=；（9）x x x y 2
1ln ++=；（10）x
x y )(cos =
2.计算下列函数的微分：
（1）32
2)13(+=x y ；（2）2e e 1x x
y --=；（3）x y x x ln 21
32-=-+；（4）
x y x
cos e 12
-= 3. 下列各方程中y 是x 的隐函数，试求y '或y d ：
（1）1322=+-+x xy y x ，求y d ；（2）1e e =+-y x xy ，求y '； （3）
4)sin(=++xy e y x ，求y '；（4）1ln ln =+x y y x ，求y d .
经济数学基础第二章导数与微分
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第二节 高阶导数
一、学习目标
了解高阶导数的概念，掌握函数二阶导数的计算方法，会计算一些简单函数高阶导数
二、内容讲解
)(x f 的高阶导数：4
)(x x f =，3
4)(d )
(d x x f x x f ='=
2
2
2
12)(d )(d d )d )
(d d(
x x f x x f x x x f =''==；x x f x x f 24)(d )(d 33='''=.
一般地，)(x f y =函数的n 阶导数记为)(d d )
()(x f y x y n n n n ==
问题：求10003223-+=x x y 的10阶导数)
10(y .
)10(y =0。因为x x y 662+='，612+=''x y ，，12='''y ，0)4(=y ，
0)
10()5(===y y ，由此可以得出结论，n 次多项式的1+n 阶导数必为0
三、例题讲解
例1求函数
522-+=x x y 的二、三阶导数. 解：14+='x y ，4=''y ，0='''y 。 例2 求)1ln(x y +=的二阶导数 至n 导数.
解：
x y +=
'11
，
经济数学基础 第二章 导数与微分
2)1(1
)11()(x x y y +-
='+=''='' 32)1(1
)
!2()1(x y +-='''
n n n x n y )1(1)!
1()1(1)(+--=-
四、课堂练习
1设函数x x y -=e 2，求y ''；2设函数
)1ln(2
x y +=，求y ''；3求x x
y -=
1，求1=''x y .
五、课后作业
1.求下列函数的二阶导数：
（1）3223+-=x x y ；（2）)1ln(2
x y +=；（3）x x y ln =
；
（4）2)31(x y -=；（5）x x y e e +=-；（6）x x y cos sin +=.
2.求下列各函数在指定点的高阶导数值：
（1）1235+-=x x y ，求1-=''x y ；（2）2
e x y -=，求1=''x y
（3）x x y cos =，求0='''x y ；（4）3
)10(+=x y ，求2='''x y 3.求函数x
a y -=的n 阶导数.
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高阶、隐函数的导数和微分练习题
高阶导数 1． 填空题. （1）x y 10=，则()()=0n y . （2）y x =sin2，则()()y x n = .. 2． 选择题. （1）设f x ()在()-∞+∞,内为奇函数且在()0,+∞内有'>f x ()0，''>f x ()0，则f x ()在()-∞,0内是( ) A. '
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 1． 设y e y x x sin 22=-，求.dx dy 2． 设063sin 33=+-+y x y x ，求.0 =x dx dy 3．求曲线??? ????+=+=222 1313t t y t t x 在2=t 处的切线方程和法线方程. 4．利用对数求导法求导数. （1）.1sin x e x x y -= （2）().sin ln x x y =
反函数和复合函数的求导法则
二、反函数的导数法则 定理1：设)(x f y =为)(y x ?=的反函数，若)(y ?在0y 的某邻域内连续，严格单调，且0)(0≠'y ?，则)(x f 在0x （即)(0y f 点有导数），且) (1 )(00y x f ?'= '。 证明：0 0000)()(1 lim )()(lim )()(lim 000 y y y y y y y y x x x f x f y y y y x x --=--=--→→→???? )(1 )()(lim 100 00y y y y y y y ???'=--= → 所以 ) (1 )(00y x f ?'='。 注1：00 y y x x →? →，因为)(y ?在0y 点附近连续，严格单调； 2：若视0x 为任意，并用x 代替，使得)(1)(y x f ?'= '或)(1 dy dx dx dy =，其中dy dx dx dy , 均为整体记号，各代表不同的意义； 3：)(x f '和)(y ?'的“′”均表示求导，但意义不同； 4：定理1即说：反函数的导数等于直接函数导数的倒数； 5：注意区别反函数的导数与商的导数公式。 【例1】 求x y arcsin =的导数， 解：由于]1,1[,arcsin -∈=x x y ，是]2 ,2[,sin π π- ∈=y y x 的反函数，由定理1 得： 2211 sin 11cos 1)(sin 1)(arcsin x y y y x -= -=='='。 注1：同理可证：2 22 11 )tan (,11)(arctan ,11)(arccos x x arcc x x x x +-='+= '-- ='；
复合函数的求导法则(导案)
当堂检测 1．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数． （1）4 x x y = ； （2）1ln 1ln x y x -=+． （3）2(251)x y x x e =-+?； （4）sin cos cos sin x x x y x x x -=+ 解： （1）''''224(4)144ln 41ln 4()4(4)(4)4 x x x x x x x x x x x x x y ?-??-?-====， '1ln 44x x y -=。 （2）''''221 1ln 212()(1)2()21ln 1ln 1ln (1ln )(1ln ) x x y x x x x x x -==-+==?=+++++ '2 2(1ln )y x x =+ （3）'2'2'(251)(251)()x x y x x e x x e =-+?+-+? 22(45)(251)(24)x x x x e x x e x x e =-?+-+?=--?， '2(24)x y x x e =--?。 （4）''sin cos ()cos sin x x x y x x x -=+ '' 2(sin cos )(cos sin )(sin cos )(cos sin )(cos sin ) x x x x x x x x x x x x x x x -?+--?+=+ 2 (cos cos sin )(cos sin )(sin cos )(sin sin s )(cos sin )x x x x x x x x x x x x xco x x x x -+?+--?-++= + 2 sin (cos sin )(sin cos )s (cos sin )x x x x x x x x xco x x x x ?+--?=+ 2 2 (cos sin )x x x x =+。 2 ' 2(cos sin )x y x x x =+
最新复合函数求导练习题
复合函数求导练习题 一．选择题（共26小题） 1．设，则f′（2）=（） A．B．C．D． 2．设函数f（x）=g（x）+x+lnx，曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为（） A．y=4x B．y=4x﹣8 C．y=2x+2 D． 3．下列式子不正确的是（） A．（3x2+cosx）′=6x﹣sinx B．（lnx﹣2x）′=ln2 C．（2sin2x）′=2cos2x D．（）′= 4．设f（x）=sin2x，则=（） A．B．C．1 D．﹣1 5．函数y=cos（2x+1）的导数是（） A．y′=sin（2x+1）B．y′=﹣2xsin（2x+1） C．y′=﹣2sin（2x+1）D．y′=2xsin（2x+1） 6．下列导数运算正确的是（） A．（x+）′=1+B．（2x）′=x2x﹣1C．（cosx）′=sinx D．（xlnx）′=lnx+1 7．下列式子不正确的是（） A．（3x2+xcosx）′=6x+cosx﹣xsinx B．（sin2x）′=2cos2x C．D． 8．已知函数f（x）=e2x+1﹣3x，则f′（0）=（） A．0 B．﹣2 C．2e﹣3 D．e﹣3 9．函数的导数是（） A． B． C．D． 10．已知函数f（x）=sin2x，则f′（x）等于（） A．cos2x B．﹣cos2x C．sinxcosx D．2cos2x 11．y=e sinx cosx（sinx），则y′（0）等于（） A．0 B．1 C．﹣1 D．2
12．下列求导运算正确的是（） A． B． C．（（2x+3）2）′=2（2x+3）D．（e2x）′=e2x 13．若，则函数f（x）可以是（） A．B．C．D．lnx 14．设 ，则f2013（x）=（） A．22012（cos2x﹣sin2x）B．22013（sin2x+cos2x） C．22012（cos2x+sin2x）D．22013（sin2x+cos2x） 15．设f（x）=cos22x，则=（） A．2 B．C．﹣1 D．﹣2 16．函数的导数为（） A．B． C．D． 17．函数y=cos（1+x2）的导数是（） A．2xsin（1+x2） B．﹣sin（1+x2） C．﹣2xsin（1+x2）D．2cos（1+x2） 18．函数y=sin（﹣x）的导数为（） A．﹣cos（+x）B．cos（﹣x）C．﹣sin（﹣x）D．﹣sin（x+） 19．已知函数f（x）在R上可导，对任意实数x，f'（x）＞f（x）；若a为任意的正实数，下列式子一定正确的是（） A．f（a）＞e a f（0）B．f（a）＞f（0）C．f（a）＜f（0）D．f（a）＜e a f（0）20．函数y=sin（2x2+x）导数是（） A．y′=cos（2x2+x）B．y′=2xsin（2x2+x） C．y′=（4x+1）cos（2x2+x）D．y′=4cos（2x2+x） 21．函数f（x）=sin2x的导数f′（x）=（） A．2sinx B．2sin2x C．2cosx D．sin2x 22．函数的导函数是（） A．f'（x）=2e2x B． C．D．
反函数定义
反函数定义 一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y 把x表示出，得到x= g(y). 若对于y在C中的任何一个值，通过x= g(y)，x在A 中都有唯一的值和它对应，那么，x= g(y)就表示y是自变量，x是因变量y的函数，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f^-1(x). 反函数y=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域. 反函数性质 （1）互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称； 函数及其反函数的图形关于直线y=x对称 （2）函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射； （3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致； （4）大部分偶函数不存在反函数（唯一有反函数的偶函数是f(x)=a^x,x∈{0}，但是y=k（常数）无法通过水平线测试，所以没有反函数。）。奇函数不一定存在反函数。被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。 (5)一切隐函数具有反函数；
(6)一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性； （7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】。 （8）反函数是相互的且具有唯一性 （9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反） (10)原函数一旦确定，反函数即确定（三定）(在有反函数的情况下，即满足（2）） 例：y=2x-1的反函数是y=0.5x+0.5 y=2^x的反函数是y=log2 x 例题：求函数3x-2的反函数 解：y=3x-2的定义域为R，值域为R. 由y=3x-2解得 x=1/3(y+2) 将x,y互换,则所求y=3x-2的反函数是 y=1/3(x+2)（x属于R） （11）反函数的导数关系：如果X=F(Y）在区间I上单调，可导，且F‘（Y）不等于0，那么他的反函数Y=F’（X）在区间S={X|X=F(Y),Y属于I }内也可导，且[F‘（X)]'=1\[F’（Y）]'。 反函数说明 ⑴在函数x=f’(y)中，y是自变量，x是函数，但习惯上，我们一般用x表示自变量，用y 表示函数，为此我们常常对调函数x=f‘(y)中的字母x,y，把它改写成y=f’(x)，今后凡无特别说明，函数y=f(x)的反函数都采用这种经过改写的形式。
反函数的导数
反函数的导数 首先证明反函数的求导公式： 定理：设)(x f y =为)(y x ?=的反函数，若)y （?在点y 0的某邻域内连续，严格单 调且()0' 0≠y ?，则()x f 在点()()00y x x ?=可导，且()() 00'1 'y x f ?= 证：设()()00y y y x ??-?+=?，()()00x f x x f y -?+=?因为?在0y 的某邻域内连续且 严格单调，故1-=?f 在0x 的某邻域内连续且严格单调，从而当且仅当0=?y 时0=?x ， 并 且 当 且仅当 →?y 时 0→?x ，由()0'0≠y ?，可得 ()()00000'1 lim 1lim lim 'y y x x y x y x f y y x ?= ??=??=??=→?→?→?。 例6 证明： （i ）(a a a x x ln )'(=其中） 1.0(≠>a a 特别地()x x e e =' . (ii) )arcsin ' (x = x 2 -11； ()x arccos '=— x 2 -11 (iii) () x arctan ' = x 2 11 +；() x arc cot ' =— x 2 11 + 证 （i ）由于R x y a x ∈= .为对数函数 ，y x a log = .),0(+∞∈y 的反函数，故由公 式（6）得到 ()a x '=) (log ' 1 y a = e y a log = a a x ln . （ii ）由于)1,1(,arcsin -∈=x x y 是) 2.2(,sin π π-∈=y y x 的反函数，故由公式（6）得到 ()x arcsin ' = () y sin ' 1 = y cos 1 = y sin 2 -11= )1,1(.-112 -∈x x 同理可 证:()x arccos ' =—)1,1(.-11 2 -∈x x
第四单元 复合函数求导与高阶导数
经济数学基础 第二章 导数与微分 第四单元 复合函数求导与高阶导数 第一节 复合函数与隐函数求导法则 一、学习目标 在本节课中，我们学习复合函数求导法则和隐函数求导方法，学习之后我们要能够运用复合函数求导法则计算初等函数的导数与微分，能够计算隐函数的导数或微分. 二、内容讲解 （一）复合函数求导 1.复合函数求导问题： （1）2)32(+=x y ，求?='y ；（2）100 )32(+=x y ，则?='y 解：第一个问题2 )32(+=x y ，求导数没有直接公式可用. 方法1：将函数展开 9124)32(2 2++=+=x x x y ，利用加法法则有128+='x y 方法2：将函数写成两个因式乘积的形式 )32)(32()32(2 ++=+=x x x y ，利用四则运算法则求导数.)32(4)32(2)32(2+=+++='x x x y 第二个问题100 )32(+=x y ，展开？共101项，求导很麻烦. 写成因式乘积的形式，求导也将很麻烦. 在这节课我们将介绍复合函数求导法则. 讨论100 )32(+=x y ，引进中间变量32+=x u 9999)32(2002100d d d d d d +=?=== 'x u x u u y x y y
经济数学基础 第二章 导数与微分 2.复合函数求导法则 定理 设y=f (u ),u=?(x ),且u =?(x )在点x 处可导，y=f (u )在点u=?(x )处可导，则复合函数y=f (?(x ))在点x 处可导，且 ) ()(x u f y x φ''='或 x u x u y y '?'=' 3.复合函数求导步骤 （1）分清函数的复合层次，找出所有的中间变量； （2）依照法则，由外向内一层层的直至对自变量求导. 4.多层复合的函数求导数 对于多层复合的函数，即若)(),(),(x v v u u f y φ?===， 则)()()(x v u f y φ?'''=' 或x v u x v u y y '?'?'=' 注意：多层复合的函数求导数仍是经过一切中间变量直至对自变量求导. （二）隐函数求导 1.隐函数求导问题: 求由方程 12 2=+y x 所确定的隐函数)(x y y =的导数y '？ 解：先将y 从方程中解出来，得到21x y -=和2 1x y --= 分别求导 21x x y --= '和 21x x y -= '，将21x y -=和2 1x y --=分别代入， 得 y x y - ='，01232=+--y x x （1） 由（1）解得 )13(212 +-= x x y ， 0e e =-+x xy y （2） 在（2）中0),(=y x F 隐含)(x y y = 2.隐函数求导方法步骤
第三讲 柯西积分公式与解析函数的高阶导数
工程数学II 课程教案 授课时间：第 周 周 第 节 课时安排 课次__ 授课方式（请打√）：理论课□ 讨论课□ 实验课□ 习题课□ 综合课□ 其他□ 授课题目（教学章、节或主题）： §3.5 柯西积分公式；§3.6 解析函数的高阶导数． 教学目的、要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）： 1．熟练掌握柯西积分公式； 2．熟练掌握高阶导数公式． 教学重点及难点： 重点： 柯西积分公式；高阶导数公式． 难点： 柯西积分公式． 教学基本内容（要体现出教学方法及手段）： §3.5 柯西积分公式 一、问题的提出 0 , .B z B 设为一单连通域为中一点 () , f z B 如果在内解析那末 ()f z z z -在 0.z 不解析0 () d ,C f z z z z -? 所以一般不为零0.C B z 为内围绕的闭曲线根据闭 路变形原理知, 该积分值不随闭曲线 C 的变化而改变, 求这个值. C 积分曲线取作以 00 , ,z z z δδ-=为中心半径为很小的的正向圆周 () ,f z 由的连续性 C 在上 0 () , f z z δ函数的值将随着的缩小而逐渐接近于它在圆心处的值0 ()d C f z z z z -? 00 () d .()C f z z z z δ-? 将接近于缩小， 00 ()d C f z z z z -? 000 1()d 2().C f z z if z z z π==-? 二、柯西积分公式 定理 () , f z D C D 如果函数 在区域内处处解析为内的任何一条正向简单闭 0, , , D z C 曲线它的内部完全含于为内任一点那末
复合函数求导法则及其应用
习 题 4.4 复合函数求导法则及其应用 ⒈ 求下列函数的导数： ⑴ y x x =-+()2122； ⑵ y x x =e sin 23； ⑶ y x = +1 13 ； ⑷ y x x = ln ； ⑸ y x =sin 3； ⑹ y x =cos ； ⑺ y x x x =+-++11ln()； ⑻ y x =-arcsin (e )2 ； ⑼ ??? ? ?-=221ln x x y ； ⑽ y x x =+1 222(sin )； ⑾ y x x x = +-1122 ln ； ⑿ y x x = +12 csc ； ⒀ y x x = -++2213 31 23 34； ⒁ y x =-e sin 2 ； ⒂ y x a x x a x =-+-2 2 22. 解 （1）)14)(12(2)'12)(12(2'222-+-=+-+-=x x x x x x x y 。 （2）)3sin 23cos 3(3sin )'()'3(sin '222x x e x e x e y x x x +=+=。 （3）23 32323 3)1(2 3 )'1()1(21'--+-=++-=x x x x y 。 （4）2 12 ' 2 1 ln 2ln 1ln ln 21'?? ? ??-=?? ? ????? ??=x x x x x x x x y 。 （5）3233cos 3)'(cos 'x x x x y ==。 （6）x x x x y 2sin )'(sin '- =-=。
（7 ）1'2y = 。 （8 ）2 2 'x x y --= = 1 22 2--x e x 。 （9）44 2 4(1)'1'[ln(1)ln(]'21x y x x x x -=--=--=4422 (1)x x x +-。 （10）2232(2sin )''(2sin )x x y x x -+=+=3 2) sin 2() cos 4(2x x x x ++-。 （11 ）'y == 2 322222)1() 21)(ln 1(ln )1(2x x x x x x - -+--。 （12 ）2 ' '1csc x x y x =+ = 2222 322 1csc csc cot (1csc ) x x x x x ++= +。 （13 ）'y =+ 452323 4112()(21)(4)3()(31)(9)34x x x x --=--+-+ 45 223 34827(21)(31)34 x x x x --=---+。 （14）2sin 2'e (sin )'x y x -=-2 sin sin 2x x e -=-?。
第四节 多元复合函数的求导法则
第四节 多元复合函数的求导法则 要求：熟练地计算复合函数的一阶偏导数，会计算抽象函数的二阶偏导数计算。 重点：各种类型复合函数的求导与计算。 难点：抽象函数的二阶偏导数计算。 作业：习题8－4（36P ）2)3)2)2)3)4)2,4,6,8,10,11,12,13 一．多个中间变量，一个自变量情况 定理1 如果函数()u t ?=及()v t ψ=都在点t 可导，且函数),(v u f z =在对应点具有连续偏导数，则复合函数[](),()z f t t ?ψ=在点t 可导，且其导数公式为 d z z d u z d v d t u d t v d t ?? = + ?? （全导数） 证明 设t 有增量t ?，相应函数()u t ?=及()v t ψ=的增量为 ,u v ??，此时函数),(v u f z =相应获得的增量为z ?． 又由于函数),(v u f z =在点(,)u v 处可微，于是由上节定理3证明有 12f f z u v u v u v εε???= ?+ ?+?+??? 这里，当0,0u v ?→?→时，120,0εε→→，上式除以t ?得 1 2z f u f v u v t u t v t t t εε???????=+++???????． 当0t ?→时，0,0u v ?→?→，,u du v dv t dt t dt ??→ →??， 所以 0l i m t d z z f d u f d v d t t u d t v d t ?→??? ==+???，即 d z f d u f d v z d u z d v d t u d t v d t u d t v d t ?? ? ?= + =+????． 此时，dz z du z dv dt u dt v dt ??=+ ??从形式上看是全微分z z dz du dv u v ??= + ??两端除以d t 得到 的，常将 d z d t 称为全导数． 推论 若),,(w v u f z =，()u t ?=，()v t ψ=，)(t w w =复合而的复合函数 [](),(),()z f t t w t ?ψ=满足定理条件，则有全导数公式 d z z d u z d v z d w d t u d t v d t w d t ?? ? = + +?? ? 例1．设函数y x u =，而t x e =，sin y t =，求全导数dt du ．
反三角函数求导公式证明
§2.3 反函数的导数，复合函数的求导法则 一、反函数的导数 设)(y x ?=是直接函数，)(x f y =是它的反函数，假定)(y x ?=在I y 内单调、可导，而且0)(≠'y ?，则反函数)(x f y =在间 },)(|{y x I y y x x I ∈==?内也是单调、可导的，而且 )(1 )(y x f ?'=' (1) 证明： ?∈x I x ，给x 以增量x ?),0(x I x x x ∈?+≠? 由 )(x f y = 在 I x 上的单调性可知 0)()(≠-?+=?x f x x f y 于是 y x x y ??=??1 因直接函数)(y x ?=在I y 上单调、可导，故它是连续的，且反函数)(x f y =在I x 上也是连续的，当0→?x 时，必有0→?y )(11lim lim 00y y x x y y x ?'=??=??→?→?即：)(1)(y x f ?'=' 【例1】试证明下列基本导数公式 ().(arcsin )().()().(lo g )ln 11121131 2 2x x a rctg x x a x a x '= -'= +'= 证1、设y x sin =为直接函数，x y arcsin =是它的反函数 函数 y x sin =在 )2,2(ππ-=y I 上单调、可导，且 '=≠x y cos 0 因此，在 )1,1(-=x I 上， 有 y x cos 1)arcsin (= ' 注意到，当)2,2(π π-∈y 时，0cos >y ，2 21sin 1cos x y y -=-= 因此， 211 )arcsin (x x -=' 证2 设 x tgy =，)2,2(ππ-=y I 则y arctgx =，I x =-∞+∞(,) tgy x = 在 I y 上单调、可导且 0cos 12>='y x 故 22211 11 cos )(1)(x y tg y tgy arctgx +=+=='=' 证3 a x a a a a y y x ln 1ln 1)(1 )log (=='='
反函数求导法则
反函数求导法则 刘云 （天水师范学院数学与统计学院数学与应用数学11级六班 甘肃天水 741000） 摘 要：主要叙述了反函数求导定理，基本初等函数的导数和微分公式，求导定理的推广以及在实际例题中的应用。 关键词：反函数；基本初等函数；求导 引 言 除了少数几个最简单的函数之外，可以直接用定义较方便地求出导数的函数实在是微乎其微，因而就有必要对一般的函数导出一系列的求导运算法则，故本节主要讨论反函数的求导法则以及应用。 1. 反函数求导定理 若函数)(x f y =在()b a ,上连续、严格单调、可导并且0)(≠'x f ,记α))(),(min(-+=b f a f ,))(),(max(-+=b f a f β,则它的反函数)(y f x '=在()b a ,上可导，且有 [])(1)(1x f y f '='-. 证明： 因为函数)(x f y =在()b a ,上连续且严格单调，由反函数连续定理，它的反函数)(1y f x -=在),(βα上存在、连续、且严格单调，这时0)()(≠-?+=?x f x x f y 等价于0)()(11≠-?+=?--y f y y f x ，并且当0→?y 时有0→?x 。 因此
[]y y f y y f y f y ?-?+='--→?-)()(lim )(1101 )()(lim 0x f x x f x x -?+?=→? )(1)()(lim 10x f x x f x x f x '=?-?+=→?. 2.基本初等函数的导数和微分公式： 0)(='C 0*0)(==dx C d 1)(-='a a ax x dx ax x d a a 1)(-= x x cos )(sin =' xdx x d cos )(sin = x x sin )(cos -=' xdx x d sin )(cos -= x x 2sec )(tan =' xdx x d 2sec )(tan = x x 2csc )(cot -=' xdx x d 2csc )(cot -= x x x sec tan )(sec =' xdx x x d sec tan )(sec = x x x csc cot )(csc -=' xdx x x d csc cot )(csc -= 3.求导定理的推广 (1)多个函数线性组合的导函数 ∑∑=='='?? ????n i i i n i i i x f c x f c 11)()(， 其中),,3,2,1(n i c i =为常数。 （2）多个函数乘积的导函数 ∑∏∏=≠==?? ????????'='??????n j n j i i i j n i i x f x f x f 111)()()(.
第十二讲高阶导数习题
第十二讲 高阶导数习题 一、选择题 1. 设x e x f 2)(=，则(0)f '''=【 】 A. 8 B. 2 C. 0 D. 1 2. 设x x x f cos )(=，则()f x ''=【 】 A. x x sin cos + B. x x x sin cos - C. x x x sin 2cos -- D. x x x sin 2cos + 3. 设y=sinx ，则y (10)|x=0=【 】 A. 1 B. -1 C. 0 D. 2n 4. 已知ln ,=y x x 则()6y =【 】 A. 5 1x - B. 51x C. 54!x D. 54!x - 二、填空题 1. 设函数)(x f 有任意阶导数且)()('2 x f x f =，则()f x '''= 。 2. 已知函数2x y e =，则y '''=_____________. 3. 设函数)(x f 在2=x 的某邻域内可导，且)()(x f e x f ='，1)2(=f ，则=''')2(f _____________. 4. 设函数)(y f x =的反函数)(1x f y -=及)]([1x f f -'、)]([1x f f -''均存在，且 0)]([1≠'-x f f ，则=-212dx )x (f d _____________. 5. 设x x x f +-=11)(，则=)x (f )n (_____________. 6. 设x x y 44cos sin -=，则=) n (y ____________. 7. 184、设x x x y cos sin sin 3+=，则=) n (y ____________.
求导法则(一)
§3.2 求导法则（一） 教学内容 1.函数的和、差、积、商的求导法则； 2.反函数的求导法则； 3.复合函数的求导法则. 教学重点与难点 导数的运算法则及导数基本公式. 简要复习上节内容 1.导数的定义； 2.导数的定义的几种形式； 3.可导的充要条件； 4.函数可导与连续的关系； 5.导数的几何意义、物理意义. 一、导数的四则运算法则 设),(x u u =)(x v v =都在x 处可导，则有 ①v u v u '±'='±)(； ②v u v u uv '+'=')(； u c cu '=')(； ③2 )(v v u u v v u '-'='. 我们现在只证明②. 证 设=)(x f )()(x v x u 则 h x f h x f x f h )()(lim )(0-+='→=h x v x u h x v h x u h ) ()()()(lim 0-++→ =h x v x u x v h x u x v h x u h x v h x u h )()()()()()()()(lim 0-+++-++→ =h x v h x v h x u h )()()(lim 0-++→+=-+→h x u h x u x v h ) ()() (lim 0=v u v u '+' 例1 2sin cos 4)(3π -+=x x x f ，求)(x f '，)2(π f '. 解 )(x f '=x x sin 432-， )2(πf '=443 2-π. 例2 求21 log 3tan sin a y x x x x =++的导数. 解 x x x a x x x x y a 2 22sin cos sec 3ln log 2-+++='.
复合函数的求导法则高阶导数
[11] 复合函数的求导法则·高阶导数 ◇ 一、求下列函数的导数： 1．)1ln(2 x y +=． 2．x x y sin 2sin 2ln -+=． 3．)12sin(3+=-x e y x ． 4．)]cos(ln )[sin(ln x x x y +=． 5．)1ln(2x x e e y ++=． 6．x x y +=1arcsin ． [解] 1．x x y 2112?+='2 12x x +=． 2．])sin 2ln()sin 2[ln('--+='x x y )sin 2(sin 21)sin 2(sin 21'-?--'+?+= x x x x x x x x sin 2cos sin 2cos ---+=x x 2sin 4cos 4-=． 3．])12[sin()12sin()(33'+++'='--x e x e y x x )12cos(2)12sin(333+++-=--x e x e x x )]12sin(3)12cos(2[3+-+=-x x e x ． 4．])cos(ln )[sin(ln )cos(ln )sin(ln '+++='x x x x x y ]1)sin(ln 1)[cos(ln )cos(ln )sin(ln x x x x x x x ?-?++=)cos(ln 2x =． 5．)1(1122'++?++='x x x x e e e e y )2121(11222x x x x x e e e e e ?++?++=x x e e 21+=． 6．)1(111 '+?+-='x x x x y )1(1211'+?+?+=x x x x x 2)1(11211x x x x +?+?+=)1(21x x +=． ◇ 二、将幂指函数)()(x v x u 变形成)(ln )(x u x v e 后求导数： 1．x x e x y 2=． 2．x x y ln ) (sin =． [解] 1． )2(ln 2ln 2+=?==x x x x x x x e e e e x y ，于是 ])2(ln [')2(ln '+=+x x e y x x ]1)2[(ln 2x x x e x x x ?++=)3(ln 2+=x e x x x . 2．)(sin ln ln '='?x x e y )cot ln sin ln (sin ln ln x x x x e x x +=? ).cot ln sin ln ()(sin ln x x x x x x += ◇ 三、设)(x f 可导，求函数)(sin )(sin 22+=x f x f y 的导数． [解] x x f x f x x x f y 2)()(cos cos sin 2)(sin 222?'?+??'=' )(cos )(22sin )(sin 222x f x f x x x f '+'=. ◇ 四、设f (x ) 和g (x ) 可导且0≠+22)()(x g x f ，试求)()(x g x f y 22+=的导数．
反函数的求导法则辨析
昨天的文章中提到过反函数的求导法则。反函数的求导法则是：反函数的导数是原函数导数的倒数。这话听起来很简单，不过很多人因此犯了迷糊： y=x3的导数是y'=3x2，其反函数是y=x1/3，其导数为y'=1/3x-2/3.这两个压根就不是互为倒数嘛！ 出现这样的疑问，其实是对反函数的概念未能充分理解，反函数是说，将f(x)的自变量当成因变量，因变量当成自变量，得到的新函数x=f(y)就是原函数的反函数。所以y=x3的反函数严格来说应该是x=1/3y-2/3，只不过为了符合习惯，经常将x写成y，y写成x而已，这一点，因为在中学的时候没怎么强调，所以到了大学就有些不适应。因此： y=x1/3的导函数应该这样求y‘=1/(y3)'=1/(3y2) (因为y的反函数是x=y3)， =1/(3x2/3)=1/3x-2/3.(将y=x1/3带入即可) 实际上反函数求导法则是根据下面的原则 所以反函数求导法则的意思是说，反函数的导数，等于x对y求导的倒数。我们再以反三角函数来作为例子，希望学到这点的朋友能够真正理解他。 例题：求y=arcsinx的导函数。首先，函数y=arcsinx的反函数为x=siny，所以：y‘=1/sin’y=1/cosy 因为x=siny，所以cosy=√1-x2；(那个啥，这个符号输入有点蛋疼，不过各位应该能看懂) 所以y‘=1/√1-x2。
同理大家可以求其他几个反三角函数的导数。所以以后在求涉及到反函数的导数时，先将反函数求出来，只是这里的反函数是以x为因变量，y为自变量，这个要和我们平时的区分开。最后将y想法设法换成x即可。 相信大家对这一点应该有所明白的吧！大家可以试着求y=arctanx的导函数，然后与结果进行对照。
第十二讲高阶导数习题资料讲解
第十二讲高阶导数习 题
精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 第十二讲 高阶导数习题 一、选择题 1. 设x e x f 2)(=，则(0)f '''=【 】 A. 8 B. 2 C. 0 D. 1 2. 设x x x f cos )(=，则()f x ''=【 】 A. x x sin cos + B. x x x sin cos - C. x x x sin 2cos -- D. x x x sin 2cos + 3. 设y=sinx ，则y (10)|x=0=【 】 A. 1 B. -1 C. 0 D. 2n 4. 已知ln ,=y x x 则()6y =【 】 A. 5 1x - B. 51x C. 54!x D. 54!x - 二、填空题 1. 设函数)(x f 有任意阶导数且)()('2x f x f =，则()f x '''= 。 2. 已知函数2x y e =，则y '''=_____________. 3. 设函数)(x f 在2=x 的某邻域内可导，且)()(x f e x f ='，1)2(=f ，则 =''')2(f _____________. 4. 设函数)(y f x =的反函数)(1x f y -=及)]([1x f f -'、)]([1x f f -''均存在，且 0)]([1≠'-x f f ，则=-2 12dx ) x (f d _____________. 5. 设x x x f +-=11)(，则=)x (f )n (_____________. 6. 设x x y 44cos sin -=，则=) n (y ____________. 7. 184、设x x x y cos sin sin 3+=，则=) n (y ____________. 8. 设)()()(x a x x f n ?-=，其中)(x ?在点a 的一个邻域内有)1(-n 阶连续导数，则
高中数学复合函数的求导法则教案
§1.2.2复合函数的求导法则 教学目标 理解并掌握复合函数的求导法则． 教学重点 复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积． 教学难点 正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确． 一．创设情景 （一）基本初等函数的导数公式表 （2）推论：[]''()()cf x cf x = （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）
二．新课讲授 复合函数的概念 一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作()()y f g x =。 复合函数的导数 复合函数()()y f g x =的导数和函数()y f u =和()u g x =的导数间的关系为x u x y y u '''=?，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 若()()y f g x =，则()()()()()y f g x f g x g x ''''==????? 三．典例分析 例1求y ＝sin （tan x 2）的导数． 【点评】 求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果． 例2求y ＝ax x a x 22--的导数． 【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理． 例3求y ＝sin 4x ＋cos 4x 的导数． 【解法一】y ＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2cos 2x ＝1－ 21sin 22 x ＝1－41（1－cos 4 x ）＝43＋4 1cos 4 x ．y ′＝－sin 4 x ． 【解法二】y ′＝(sin 4 x )′＋(cos 4 x )′＝4 sin 3 x (sin x )′＋4 cos 3x (cos x )′＝4 sin 3 x cos x ＋ 4 cos 3 x (－sin x )＝4 sin x cos x (sin 2 x －cos 2 x )＝－2 sin 2 x cos 2 x ＝－sin 4 x 【点评】 解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步． 例4曲线y ＝x （x ＋1）（2－x ）有两条平行于直线y ＝x 的切线，求此二切线之间的距离． 【解】y ＝－x 3 ＋x 2 ＋2 x y ′＝－3 x 2＋2 x ＋2 令y ′＝1即3 x 2－2 x －1＝0，解得 x ＝－ 31或x ＝1． 于是切点为P （1，2），Q （－31，－27 14）， 过点P 的切线方程为，y －2＝x －1即 x －y ＋1＝0． 显然两切线间的距离等于点Q 到此切线的距离，故所求距离为2 |1271431|++-＝22716．
浅析莱布尼兹公式在求高阶导数中的应用
浅析莱布尼兹公式在求高阶导数中的应用 导数的计算在我们整个考研数学是一个比较简单的考点了，只需灵活运用函数求导法则、导数四则运算、复合函数求导、反函数求导以及隐函数求导都可以解决。然而在考研过程中还涉及一些题型，即求某函数的高阶导数，通常为n 阶等。对于高阶导数的计算，核心思路在于找规律以及运用莱布尼兹公式进行求解，而莱布尼兹公式为导数计算考点中的一个核心考点，但很多同学往往把握不到位。因此，本文介绍一下莱布尼兹公式在求高阶导数中的应用。 一、莱布尼兹公式 莱布尼兹公式主要用来计算两个函数乘积的高阶导数。 设u(x),v(x)均有n 阶导数，则有 ∑=-=n k k n k k n n x v x u C x v x 0)()()() ()()]()(u [这个公式为莱布尼兹公式抽象形式，从这个公式中可以看到，我们在应用莱布尼茨公式时会求函数n 阶导数，因此对于常用的函数高阶导数公式需非常熟悉，具体总结如下：
()()()()()()1()11.,2.,(ln )(0,1) 3.y sinx,sin()2 4.cos ,cos()2 5.,(1).......1)1 6.,(1)! 7.ln ,(1)(1)!x n x x n x n n n a n a n n n n n n n y e y e y a y a a a a n y x n y x y x y x y a a a n x y y n x x y x y n x ππ-----====>≠==+ ==+==--+==-==--（有了这些公式，我们应用莱布尼茨公式就比较方便了。 二、公式应用 例1.设2 ),1(,ln )()(2≥=n f x x x f n 其中求代入由莱布尼兹公式得： ()2()02()12'(1)12''(2)2()(1)-2(2)-1(3)-()(1)()(ln )ln ()ln ()ln 04()-1n-1)!2-1n-2)!n-1)-1n-3)!(1)2-1n n n n n n n n n n n n n n n n n f x x x C x x C x x C x x x f x x n x x n x f ---+-+--==++=+?+=因为的三阶导数已经为了，所以莱布尼茨公式的第项开始我们就不用写了 所以，（）（（）（（（）（（）n-3)! （分析与提炼 由例1可知，莱布尼兹公式运用过程中通常题型为幂函数与上述常用可求高阶导数函数结合求高阶导数，其原因在于幂函数在求有限次导数之后会变为0，使得高阶导数便于计算。除了记忆莱布尼茨公式，常用函数高阶导数公式外，求两个函数乘积的高阶导数时，我们还要注意最后一步组合数的计算和整个式子的化简，不要再这里出错。 中公祝全体考生考试成功！