排列组合二项式定理练习题.doc
1.用 1，2，3 三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须全部使用，且同一数字不能相邻 出现，这样的四位数有 (
)
个 个 个 个
答案
B
2 1
3 2
1 3
2
解析
利用树状图考察四个数位上填充数字的情况，如： 1
，共可
2 1
3 3
1 2
3
确定 8 个四位数，但其中不符合要求的有 2 个，所以所确定的四位数应有 18 个，故选 B.
2.某学习小组男女生共 8 人，现从男生中选 2 人，女生中选 1 人，分别去做 3 种不同的工作，
共有 90 种不同的选法，则男，女生人数为 ()
，6
，5 ，3 ，2
答案 B
解析 设男生人数为 n ，则女生人数为
8－ n ，由题意可知
2 1
3
2 1
C n
8－ n
3
n
8－ n
C A ＝90 ，即 C C ＝15，解
得 n ＝ 3，所以男，女生人数为 3， 5，故选 B.
3.将甲，乙等 5 位同学分别保送到北京大学，清华大学，浙江大学三所大学就读，则每所大 学至少保送一人的不同保送方法有 (
)
种 种 种 种 答案 A
3
2 2
1C C
解析 先将 5 个人分成三组， (3， 1，1)或 (1，2， 2)，分组方法有 C 5
4
2
＝25(种 )，再将
5
＋ C 2
三组全排列有 A 33
＝6(种 )，故总的方法数有 25×6＝ 150(种 ).
4.从 5 位男教师和 4 位女教师中选出 3 位教师，派到 3 个班担任班主任 (每班 1 位班主任 )，
要求这 3 位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有 (
)
种 种 种 种 答案 B
解析 因为要求 3 位班主任中男、 女教师都要有， 所以共有两种情况， 1 男 2 女或 2 男 1 女 .
若选出的 3 位教师是 1 男 2 女则共有
1
2 3
C 5
4 3
3 位教师
C A ＝ 180(种 )不同的选派方法，若选出的 是 2男1女则共有
2 1
3
C 5
4
3
180＋ 240＝ 420(种 )不同的方
C A ＝ 240(种)不同的选派方法，所以共有 案，故选 B.
5.若二项式 (2x ＋ a )7
的展开式中 1
3的系数是 84，则实数 a 等于 (
)
x x
答案 C
解析 二项式 (2x ＋
a 7 的通项公式为 k
7－
k
a
k
k 7－
k k 7－
2k
，令 7－ 2k ＝－ 3 ，得 k
x
)
T k ＋ 1 7
(x )
＝C 7
＝ C (2x)
2 a x
＝5.故展开式中 x 1
3的系数是
C 57 22a 5＝ 84，解得 a ＝1.
6.(x － 1)4－ 4x(x － 1)3＋ 6x 2(x － 1)2－ 4x 3(x － 1)＋ x 4 等于 ( )
A.－ 1
C.(2x － 1)4
D.(1－2x)5
答案
B
解析
(x － 1)4－ 4x(x －1)3＋ 6x 2(x － 1)2 －4x 3(x － 1)＋x 4＝ ((x － 1)－ x)4＝ 1.
7.某班准备从甲、乙等七人中选派四人发言，要求甲乙中两人至少有一人参加，那么不同的
发言顺序有 (
)
种 种 种 种
答案
C
解析 4
4
种).
A 7－ A 5＝720( 8.如图，花坛内有 5 个花池，有 5 种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种一种颜色
的花卉，相邻两池的花色不同，则栽种方案的种数为
(
)
答案 D
解析 若 5 个花池栽了 5 种颜色的花卉，方法有 A 55种，
若
5 个花池栽了 4 种颜色的花卉，
则 2， 4 两个花池栽同一种颜色的花，或 3，5 两个花池栽同一种颜色的花，方法有
2A 54 种；
若 5 个花池栽了 3 种颜色的花卉，方法有
3
5 4 3
A 5种，所以最多有 A 5＋ 2A 5＋ A 5＝ 420(种 ).
9.(x ＋ 1
)5 的各项系数和是 1 024，则由曲线 y ＝x 2 和 y ＝ x a 围成的封闭图形的面积为 ______.
ax
答案
5 12
1
y ＝ x 2
解析 设 x ＝ 1，则各项系数和为
1
1可得交点坐
(1＋ )5＝ 1 024＝ 4
5
，所以 a ＝ ，联立
a
3
3
y ＝ x
1
1
标分别为 (0， 0)， (1， 1)，所以曲线 y ＝ x 2 和 y ＝ x 3
围成的封闭图形的面积为
1
(x 3 － x 2)dx ＝
4
1
1 3 1 5
3
x 3 .
x
3
－ 0
＝ － ＝
12
4
3
4
3
10.圆上有 10 个点，过每三个点画一个圆内接三角形， 则一共可以画的三角形个数为 ______. 答案 120
解析 圆上任意三点都不共线，
因此有三角形 C 3
10＝ 120(个).
11.一排共有 9 个座位，现有 3 人就坐，若他们每两人都不能相邻，每人左右都有空座，而 且至多有两个空座，则不同坐法共有 ________种.
答案 36
解析 可先考虑 3 人已经就座，共有 A 33
＝6(种 )，再考虑剩余的 6 个空位怎么排放，根据要
求可产生把 6 个空位分为 1，1，2，2，放置在由已经坐定的 3 人产生的 4 个空中， 共有 C 24＝
6，所以不同的坐法共有
6×6＝ 36(种 ).
12.我国第一艘航母 “辽宁舰 ”在某次舰载机起降飞行训练中，有
5 架舰载机
(甲、乙、丙、丁、
戊)准备着舰，如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有 ________种 .
答案
24
解析 先把甲、乙捆绑在一起有
2
2
A 2
种情况，然后对甲、乙整体和戊进行排列，有
2
A 种情况，
2
2 2 2
这样产生了三个空位， 插入丙、 丁，有 A 3种情况， 所以着舰方法共有 A 2 A 2A 3＝ 2× 2×6＝24(种). 13.实验员进行一项实验，先后要实施 5 个程序 (A ，B ， C ，D ，E)，其中程序 A 只能出现在第
一步或最后一步，程序 C 或 D 在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有
______种 .
答案 24
解析
2 3
2
3
依题意，当 A 在第一步时， 共有 A 2A 3 ＝12(种 )；当 A 在最后一步时， 共有 A 2A 3＝ 12(种).
所以实验的编排方法共有
24 种.
14.用 1， 2， 3，4， 5，6 组成数字不重复的六位数，满足 1 不在左右两端， 2， 4，6 三个偶 数中有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为 ________.
答案 288
解析 从 2， 4， 6 三个偶数中任意选出 2 个看作一个 “整体 ”，方法有 A 32
＝ 6(种 )，先排 3 个
奇数，有 A 33＝ 6(种 )，形成了 4 个空，将 “整体 ”和另一个偶数插在 3 个奇数形成的 4 个空中， 方法有 A 42＝ 12(种 ).根据分步乘法计数原理求得此时满足条件的六位数共有
6× 6×＝12432(种 ).
若 1 排在两端， 1 的排法有
A 1A 2＝4(种 )，形成了 3 个空，将 “整体 ”和另一个偶数插在 3 个奇
2 2
数形成的 3 个空中，方法有
A 23＝ 6(种 )，根据分步乘法计数原理求得此时满足条件的六位数
共有 6×4×6＝144(种 )，故满足 1 不在左右两端， 2，4，6 三个偶数中有且只有两个偶数相邻，
则这样的六位数的个数为
432－144＝ 288(种 ).
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
典例精析
题型一 分类加法计数原理的应用
【例 1 】 在 1 到 20 这 20 个整数中，任取两个数相加，使其和大于
20，共有 种取
法.
【解析】当一个加数是 1 时，另一个加数只能是 20，有 1 种取法；
当一个加数是 2 时，另一个加数可以是 19,20，有 2 种取法； 当一个加数是 3 时，另一个加数可以是
18,19,20 ，有 3 种取法；
当一个加数是 10 时，另一个加数可以是 11,12， ，19,20，有 10 种取法； 当一个加数是 11 时，另一个加数可以是
12,13， ，19,20，有 9 种取法；
当一个加数是 19 时，另一个加数只能是 20，有 1 种取法 .
由分类加法计数原理可得共有
1＋ 2＋3＋ ＋ 10＋ 9＋ 8＋ ＋ 1＝100 种取法 .
【点拨】采用列举法分类，先确定一个加数，再利用
“和大于 20”确定另一个加数 .
【变式训练 1】(2010 济南市模拟 )从集合 {1,2,3， ，10}中任意选出三个不同的数，使这 三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为
()
【解析】当公比为 2 时，等比数列可为
1,2,4 或 2,4,8；当公比为 3 时，等比数列可为
3
1 1 2
1,3,9；当公比为 2时，等比数列可为 4,6,9.同理，公比为 2、 3、
3时，也有 4 个.故选 D.
题型二 分步乘法计数原理的应用
【例2】从6人中选 4 人分别到张家界、韶山、衡山、桃花源四个旅游景点游览，要 求每个旅游景点只有一人游览， 每人只游览一个旅游景点， 且 6 个人中甲、 乙两人不去张家
界游览，则不同的选择方案共有
种.
【解析】能去张家界的有
4 人，依此能去韶山、衡山、桃花源的有
5 人、4 人、3 人.
则由分步乘法计数原理得不同的选择方案有
4×5×4×3＝240 种 .
【点拨】根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这几步逐步地去做，才
能完成这件事，各步之间既不能重复也不能遗漏
.
【变式训练 2】 (2010 湘潭市调研 )要安排一份 5 天的值班表，每天有一人值班，现有 5 人，每人可以值多天班或不值班，但相邻两天不准由同一人值班，问此值班表共有种不同的排法 .
【解析】依题意，值班表须一天一天分步完成.第一天有 5 人可选有 5 种方法，第二天不能用第一天的人有 4 种方法，同理第三天、第四天、第五天也都有 4 种方法，由分步乘法计数原理共有5×4×4×4＝×41280 种方法 .
题型三分类和分步计数原理综合应用
【例 3 】(2011 长郡中学 )如图，用 4 种不同的颜色对图中 5 个区域涂色 (4 种颜色全
部使用 )，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种
数有.
【解析】方法一：由题意知，有且仅有两个区域涂相同的颜色，分为4类：1与5
同；2与 5同；3 与5同；1与 3同.对于每一类有
4 4
A4种涂法，共有 4A4＝ 96 种方法 .
方法二：第一步：涂区域1，有 4 种方法；第二步：涂区域2，有 3 种方法；第三步：涂区域 4，有 2 种方法 (此前三步已经用去三种颜色)；第四步：涂区域3，分两类：第一类，3 与1 同色，则区域 5 涂第四种颜色；第二类，区域 3 与 1 不同色，则涂第四种颜色，此时
区域 5 就可以涂区域 1 或区域 2 或区域 3 中的任意一种颜色，有 3 种方法 .所以，不同的涂色种数有 4×3×2×(1＋×13)＝ 96 种 .
【点拨】染色问题是排列组合中的一类难题.本题能运用两个基本原理求解，要注意的
是分类中有分步，分步后有分类.
【变式训练3】(2009 深圳市调研)用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1,2，， 9 的9 个小正方形，使得任意相邻(有公共边)小正方形所涂颜色都不相同，且 1,5,9 号小正方形涂
相同颜色，则符合条件的所有涂法有多少种
【解析】第一步，从三种颜色中选一种颜色涂1,5,9 号有C1种涂法；3
第二步，涂2,3,6 号，若2,6 同色，有 4 种涂法，若2,6 不同色，有 2 种涂法，故共有 6 种涂法；
第三步，涂4,7,8 号，同第二步，共有6种涂法.
由分步乘法原理知共有3×6×6＝108 种涂法 .
总结提高
分类加法计数原理和分步乘法计数原理回答的都是完成一件事有多少种不同方法或种
数的问题，其区别在于：分类加法计数原理是完成一件事要分若干类，类与类之间要互斥，
用任何一类中的任何一种方法都可以独立完成这件事；分步乘法计数原理是完成一件事要分
若干步，步骤之间相互独立，各个步骤相互依存，缺少其中任何一步都不能完成这件事，只
有当各个步骤都完成之后，才能完成该事件.因此，分清完成一件事的方法是分类还是分步，
是正确使用这两个基本计数原理的基础.
排列与组合
典例精析
题型一排列数与组合数的计算
6
8！＋ A6 33 3 【例 1】计算： (1) 2 4； (2) C3＋ C4＋＋ C10.
A － A
8 10
【解析】 (1)原式＝8× 7× 6× 5× 4×＋3×6×2×154× 3× 257×16× 5× 4× 3×25130 8×7－ 10× 9× 8×7＝56×(－89) ＝－623 .
4 3 3 3 4 3 3 4 3 3 4
(2)原式＝ C ＋C＋C ＋＋C ＝C ＋C ＋＋C ＝C ＋C ＋＋C ＝C ＝330.
4 4
5 10 5 5 10
6 6 10 11
【点拨】在使用排列数公式A n m＝n！进行计算时，要注意公式成立的条件：m， n
(n－ m)！
∈N+， m≤n.另外，应注意组合数的性质的灵活运用.
【变式训练1】解不等式 A 9x＞ 6 A 9x 2 .
9！9！
，
【解析】原不等式即＞6×
(9－ x)！(11－ x)！
也就是 1 ＞ 6 ，
(9 － x)！(11 x) ? (10 x) ? 9 x)!
化简得 x2－ 21x＋ 104＞0，
解得 x＜ 8 或 x＞ 13，又因为2≤x≤9，且 x∈ N*，
所以原不等式的解集为{2,3,4,5,6,7}.
题型二有限制条件的排列问题
【例 2】 3 男 3 女共 6 个同学排成一行.
(1)女生都排在一起，有多少种排法
(2)女生与男生相间，有多少种排法
(3)任何两个男生都不相邻，有多少种排法
(4)3 名男生不排在一起，有多少种排法
(5) 男生甲与男生乙中间必须排而且只能排 2 位女生，女生又不能排在队伍的两端，有
几种排法
【解析】 (1)将 3 名女生看作一人，就是 4 个元素的全排列，有 A44种排法 .又 3 名女生内
部可有 3 4 3
A3 4 3
种排法，所以共有 A ·A ＝ 144 种排法 .
(2) 男生自己排，女生也自己排，然后相间插入(此时有 2 种插法 )，所以女生与男生相间
3 3
共有 2A3·A3＝ 72 种排法 .
(3)女生先排，女生之间及首尾共有4 个空隙，任取其中 3 个安插男生即可，因而任何
两个男生都不相邻的排法共有 3 3
A3 4
种 .
·A ＝ 144
(4)直接分类较复杂，可用间接法.即从 6 个人的排列总数中，减去 3 名男生排在一起的
排法种数，得 3 名男生不排在一起的排法种数为
6 3 4
A6－ A3A4＝ 576 种 .
(5)先将 2 个女生排在男生甲、
2 2
乙之间，有 A3种排法 .又甲、乙之间还有A2种排法 .这样就
2 2
有 A3 2
4 人看成一个元素 (相当于一个男生 )，这一元素及另 1 名男生排
·A 种排法 .然后把他们
2 2 2 2
在首尾，有 A2种排法 .最后将余下的女生排在其间，有 1 种排法 .故总排法为 A3A2 A2＝24 种.
【点拨】排列问题的本质就是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制主要表现在：某些元素“排”或“不排”在哪个位子上，某些元素“相邻”或“不相邻”对.于这类问题，在分析时，主要按照“优先”原则，即优先安排特殊元素或优先满足特殊位子，对于“相邻”问题可用“捆绑法”，对于“不相邻”问题可用“插空法”对.于直接考虑较困难的问题，可以采用间
接法 .
【变式训练 2】把 1,2,3,4,5 这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按由小到大的顺序排列构成一个数列 .
(1)43 251 是这个数列的第几项
(2)这个数列的第 97 项是多少
【解析】(1)不大于
5 4 3 2
项.
43 251 的五位数 A5 － (A4＋ A3＋ A2)＝ 88 个，即为此数列的第 88
(2)此数列共有 120 项，而以 5 开头的五位数恰好有
4
A4＝ 24 个，所以以 5 开头的五位数
中最小的一个就是该数列的第97 项，即 51 234.
题型三有限制条件的组合问题
【例 3】要从 12 人中选出 5 人去参加一项活动 .
(1)A， B， C 三人必须入选有多少种不同选法
(2)A， B， C 三人都不能入选有多少种不同选法
(3)A， B， C 三人只有一人入选有多少种不同选法
(4)A， B， C 三人至少一人入选有多少种不同选法
(5)A， B， C 三人至多二人入选有多少种不同选法
【解析】 (1)只须从 A， B， C 之外的 9 人中选择 2 人， C92＝ 36 种不同选法 .
(2)由 A， B， C 三人都不能入选只须从余下9 人中选择 5 4 种选法 .
5 人，即有 C ＝C ＝ 126
9 9
(3)可分两步，先从A，B，C 三人中选出 1 1 9人中选 4人，
人，有 C 种选法，再从余下的
3
4 1 4
＝ 378 种选法 .
有 C9种选法，所以共有C3·C9
(4)可考虑间接法，从 12 人中选 5 人共有
5
A， B， C 三人都不入选的情况C12种，再减去
5 5 5 种选法 .
C ，共有 C －C ＝666
9 12 9
(5)可考虑间接法，从 12 人中选 5 种，再减去 A，B，C三人都入选的情况 2
5人共有 C C 种，
12 9
所以共有
5 2
种选法 . C12 －C9＝ 756
【点拨】遇到至多、至少的有关计数问题，可以用间接法求解
.对于有限制条件的问题，
一般要根据特殊元素分类
.
【变式训练 3】四面体的顶点和各棱中点共有 10个点.
(1)在其中取 4 个共面的点，共有多少种不同的取法 (2)在其中取 4 个不共面的点，共有多少种不同的取法 【解析】 (1)四个点共面的取法可分三类
.第一类： 在同一个面上取， 共有 4C 64 种；第二类：
在一条棱上取三点，再在它所对的棱上取中点，
共有 6 种；第三类：在六条棱的六个中点中
取，取两对对棱的 4 个中点，共有 C 32＝3 种.故有 69 种.
(2)用间接法
4
种 .
.共 C 10－ 69＝ 141
总结提高
解有条件限制的排列与组合问题的思路：
(1)正确选择原理，确定分类或分步计数；
(2)特殊元素、特殊位置优先考虑；
(3)再考虑其余元素或其余位置 .
12.3 二项式定理
典例精析
题型一 二项展开式的通项公式及应用
【例 1 】 已知 ( x
1 ) n
的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列.
24 x
(1)求证：展开式中没有常数项； (2)求展开式中所有的有理项 .
【解析】由题意得
2C 1
n ·1 ＝ 1＋ C 2
n ·(1
)2， 2 2
即 n 2－ 9n ＋ 8＝ 0，所以 n ＝ 8，n ＝ 1(舍去 ).
r ＋1 ＝ C r
·( x ) 8 r ·(
1 ) r
所以 T
8
24
x
8 r r
＝ (－ 1
)r ·C r 8 ·x 2 ·x
4 2
＝ (－1)r C 8
r
16 3r
x
4
(0 ≤r ≤8， r ∈ Z). · r
·
2
(1)若 T r ＋ 1 是常数项，则
16－
3r
＝0，即 16－3r ＝ 0，
4
因为 r∈ Z，这不可能，所以展开式中没有常数项.
16－ 3r
(2)若 T r＋1是有理项，当且仅当为整数，
又 0≤r≤8， r∈ Z，所以r＝ 0,4,8，
即展开式中有三项有理项，分别是T1＝x4， T5＝35
8 x， T9＝256
1
x-2.
【点拨】 (1)把握住二项展开式的通项公式，是掌握二项式定理的关键.除通项公式外，还应熟练掌握二项式的指数、项数、展开式的系数间的关系、性质；
(2)应用通项公式求二项展开式的特定项，如求某一项，含x 某次幂的项，常数项，有理项，系数最大的项等，一般是应用通项公式根据题意列方程，在求得n 或 r 后，再求所需的项 (要注意 n 和 r 的数值范围及大小关系)；
(3)注意区分展开式“第 r＋1 项的二项式系数”与“第 r＋ 1 项的系数”.
【变式训练 1】若 (x x＋
2
)n的展开式的前 3 项系数和为129，则这个展开式中是否3 x
含有常数项，一次项如果有，求出该项，如果没有，请说明理由.
0 1 2 2
【解析】由题知 C n n n ＝ 129，
＋ C ·2＋C ·2
所以 n＝8，所以通项为
r
x)
8-r
T r＋1＝ C8(x
12 11 r
2 r r 6
＝ 2 rC8 x ，
(
)
3 x
故 r＝ 6 时， T ＝26 C2x＝ 1 792x，
78
所以不存在常数项，而存在一次项，为 1 792x.
题型二运用赋值法求值
【例 2】(1)已知 (1＋ x)＋ (1＋x)2＋＋(1＋x)n＝a0＋ a1x＋a2x2＋＋ a n x n，且 a1＋a2＋＋a n － 1
＝29－n，则n＝；
(2)已知 (1－ x)n＝ a 0＋ a 1x＋ a2x2＋＋ a n x n，若 5a 1＋ 2a 2＝ 0，则 a0－ a 1＋ a2－ a 3＋＋(－ 1)n a n＝.
【解析】 (1)易知 a n＝ 1，令 x＝ 0 得 a0＝ n，所以 a0＋ a1＋＋ a n＝ 30.
又令 x＝ 1，有 2＋ 22＋＋ 2n＝ a0＋a 1＋＋ a n＝30，
即 2n＋1－2 ＝30，所以 n＝4.
(2)由二项式定理得，
1 2 n(n－ 1)
a ＝－ C ＝－ n， a ＝C ＝，
1n 2n
2
代入已知得－5n＋ n(n－ 1)＝ 0，所以 n＝ 6，
令 x＝－ 1 得 (1＋ 1)6＝a0－a1＋ a2－ a3＋ a4－ a5＋ a6，
即 a0－ a1＋ a2－ a3＋ a4－ a5＋ a6＝ 64.
【点拨】运用赋值法求值时应充分抓住代数式的结构特征，通过一些特殊值代入构造相
应的结构 .
【变式训练 2】设 (3x － 1)8＝ a 0＋ a 1x ＋ a 2x 2＋ ＋ a 7x 7＋ a 8x 8.求 a 0 ＋a 2 ＋ a 4＋ a 6＋ a 8 的值 .
【解析】令 f(x)＝ (3x － 1)8，
因为 f(1) ＝ a 0＋ a 1＋ a 2＋ ＋ a 8＝ 28，
f(－1)＝ a 0－ a 1 ＋a 2 － a 3＋ －a 7＋ a 8＝ 48，
所以 a 0
24
6 8 f(1)＋ f(－ 1)＝ 27
× (1＋ 8
＋ a ＋ a
＋ a ＋a ＝ 2
2 ).
题型三 二项式定理的综合应用
【例 3 】求证：
n
5 n ＋
1
－9 能被 20整除.
4×6＋
n
5 n ＋
1
n
n
n
＋ 5[(4＋ 1) n
n － 1
＋ 【解析】 4×6＋ － 9＝ 4(6 － 1)＋ 5(5 － 1)＝ 4[(5＋ 1) － 1] － 1]＝20[(5 1 n －
2 n － 1 n － 1 1 n － 2 n － 1 n n ＋
1 －9 能被 20 整 n ＋ ＋ C n
)＋ (4 ＋ C n
4
＋ ＋ C n
)] ，是 20 的倍数，所以 ＋ 5
C 5 4×6
除.
【点拨】用二项式定理证明整除问题时，首先需注意 (a ＋b)n 中， a ， b 中有一个是除数 的倍数；其次展开式有什么规律，余项是什么，必须清楚
.
【变式训练 3】求的近似值，使误差小于 .
【解析】＝ (1－6 ＝1＋6×(－1＋ 15×(－2＋ ＋ (－ 6
.
因为 T ＝C 2(－ 2＝ 15×(－ 2＝ 06＜，
3
6
且第 3 项以后的绝对值都小于，
所以从第 3 项起，以后的项都可以忽略不计
.
所以＝ (1－ 6≈1＋ 6×(－＝ 1－＝ .
总结提高
1.利用通项公式可求展开式中某些特定项
(如常数项、有理项、二项式系数最大项等
解决这些问题通常采用待定系数法，
运用通项公式写出待定式，
再根据待定项的要求写出
)，
n 、
r 满足的条件，求出 n 和 r ，再确定所需的项；
2.赋值法是解决二项展开式的系数和、差问题的一个重要手段；
3.利用二项式定理解决整除问题时，关键是进行合理的变形，使得二项展开式的每一项
都成为除数的倍数 .对于余数问题，要注意余数的取值范围 .
排列组合与二项式定理知识点
排列组合与二项式定理知识点
第一、第二……第n 位上选取元素的方法都是m 个，所以从m 个不同元素中，每次取出n 个元素可重复排列数m·m·… m = m n .. 例如：n 件物品放入m 个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ （解：n m 种） 二、排列. 1. ⑴对排列定义的理解. 定义：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．． 排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. ⑵相同排列. 如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同. ⑶排列数. 从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号m n A 表示. ⑷排列数公式： ) ,,()! (! )1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-= +--=Λ 注意：!)!1(!n n n n -+=? 规定0! = 1 111--++=?+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A 1 1 --=m n m n nA A 规定10 ==n n n C C
2. 含有可重元素．．．．．． 的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S 有k 个不同元素a 1，a 2,…...a n 其中限重复数为n 1、n 2……n k ，且n = n 1+n 2+……n k , 则S 的排 列个数等于! !...!!2 1 k n n n n n =. 例如：已知数字3、2、2，求其排列个数3 ! 2!1)!21(=+=n 又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列 个数1!3!3==n . 三、组合. 1. ⑴组合：从n 个不同的元素中任取m (m≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合. ⑵组合数公式： )!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m m m n m n -= +--==Λ ⑶两个公式：①;m n n m n C C -= ②m n m n m n C C C 11+-=+ ①从n 个不同元素中取出m 个元素后就剩下n-m 个元素，因此从n 个不同元素中取出 n-m 个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从n 个不同元素中取出n-m 个元素的唯一的一个组合. （或者从n+1个编号不同的小球中，n 个白球一
排列组合与二项式定理精华总结
排列组合 知识点 一、两个原理. 1. 乘法原理、加法原理：分类相加，分步相乘。 二、排列：元素是有顺序的 （1）：对排列定义.：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. （2）：排列数公式： ),,()! (! )1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-= +--=Λ 注意：!)!1(!n n n n -+=? 规定0! = 1 111--++=?+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A 1 1 --=m n m n nA A 规定10==n n n C C （3）： 含有可重元素．．．．．． 的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S 有k 个不同元素a 1，a 2,…...a n 其中有限重复数为n 1、n 2……n k ，且 n = n 1+n 2+……n k , 则S 的排列个数等于! !...!! 21k n n n n n = . 三、组合：元素没有顺序之分 （1）：组合：从n 个不同的元素中任取m (m≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合. （2）：组合数公式：)! (!!! )1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m m m n m n -=+--==Λ （3）：两个性质：①;m n n m n C C -= ②m n m n m n C C C 11+-=+ （4）：常用的证明组合等式方法例. i. 裂项求和法. 如： )!1(11)!1(!43!32!21+-=++++n n n Λ（利用! 1 )!1(1!1n n n n --=-） ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法. v. 递推法（即用m n m n m n C C C 11+-=+递推）如：4 13353433+=+++n n C C C C C Λ. vi. 构造二项式. 如：n n n n n n C C C C 222120)()()(=+++Λ 证明：这里构造二项式n n n x x x 2)1()1()1(+=++其中n x 的系数，左边为 2 2120022110) ()()(n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C +++=?++?+?+?--ΛΛ，而右边n n C 2= 四、排列、组合综合 （1）直接法 （2）间接法 （3）捆绑法 （4）插空法 （5）占位法 （6）调序法 （7）平均法 （8）隔板法 （9）定位问题 （10）指定元素排列组合问题 五、二项式定理. 1. ⑴二项式定理：n n n r r n r n n n n n n b a C b a C b a C b a C b a 01100)(+++++=+--ΛΛ. 展开式具有以下特点：
排列组合二项式定理知识点
排列组合项定理考试内容：分类计数原理与分步计数原理． 排列．排列数公式． 组合．组合数公式．组合数的两个性质．二项式定理．二项展开式的性质． 考试要求： （1）掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题． （2）理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题． （3）理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题． （4）掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题． 排列组合二项定理知识要点 一、两个原理. 1. 乘法原理、加法原理. 2. 可．以．有．重．复．元．素．的排列. 从m个不同元素中，每次取出n个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n位上选取元素的方法都是m个，所以 从m个不同元素中，每次取出n个元素可重复排列数m- m?…m = m n..例
3! 1 . 3! 如：n 件物品放入m 个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ (解: m n 种) 二、排列. 1.(1)对排列定义的理解. 定义：从n 个不同的元素中任取 m (贰n )个元素，按照一定顺序 排成一列， 叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. ⑵相同排列. 如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺 序也必须完全相同. ⑶排列数. 从n 个不同元素中取出m (mcn)个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取 出 m 个元素的一个排列.从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用 符号表 示. ⑷排列数公式： 注意：n n! (n 1)! n!规定 0! = 1 m m m m 1 m m 1 m m 1 On, A n 1 A n A m C n A n mA n A n nA n 1 /规^定 C n C n 1 2.含有可重元素的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集 S 有k 个不同元素a 1, a 2,……a n 其中限重复数为n 1、n ..... n k ,且n = n 计尊+ .. n k ,则S 的排列 例如：已知数字3、2、2,求其排列个数n 喈3又例如：数字5、5、5、 求其排列个数？其排列个数 个数等于n n! n !n 2!...n k
(最新经营)排列组合二项式定理与概率及统计
主讲人：黄冈中学高级教师汤彩仙 一、复习策略 排列与组合是高中数学中从内容到方法均比较独特的一个组成部分，是进一步学习概率论的基础知识，该部分内容，不论其思想方法和解题均有特殊性，概念性强，抽象性强，思维方法新颖，解题过程极易犯“重复”或“遗漏”的错误，且且结果数目较大，无法一一检验，因此给考生带来一定困难．解决问题的关键是加深对概念的理解，掌握知识的内于联系和区别，科学周全的思考、分析问题． 二项式定理是进一步学习概率论和数理统计的基础知识，把握二项展开式及其通项公式的相互联系和应用是重点． 概率则是概率论入门，目前的概率知识只是为进一步学习概率和统计打好基础，做好铺垫．学习中要注意基本概念的理解，要注意与其他数学知识的联系，要通过一些典型问题的分析，总结运用知识解决问题的思维规律． 纵观近几年高考，排列、组合、二项式定理几乎每年必考，考题多以选择题、填空题出现，题小而灵活，涉及知识点均于两三个左右，综合运用排列组合知识，分类计数和分步计数原理；二项式定理及二项式系数的性质计算或论证一些较简单而有趣的小题也于高考题中常见，概率及概率统计的内容，从近几年新课程卷高考来看，每年均有一道解答题，占12分左右． 排列与组合的应用题，是高考常见题型，其中主要考查有附加条件的应用问题.解决这类问题通常有三种途径:(1)以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.(2)
以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数.（4）某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为“捆绑法”；（5）某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为“插空法”； 于求解排列与组合应用问题时，应注意： (1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题； (2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理； (3)分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏； (4)列出式子计算和作答． 二、典例剖析 题型一：排列组合应用题 解决此类问题的方法是：直接法，先考虑特殊元素（或特殊位置），再考虑其他元素（或位置）；间接法，所有排法中减去不合要求的排法数；对于复杂的应用题，要合理设计解题步骤，一般是先分组，后分步，要求不重不漏，符合条件． 例1、（08安徽理12）12名同学合影，站成了前排4人后排8人．现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（）A．B．C．D．
排列组合与二项式定理的综合练习题
排列组合与二项式定理的综合应用 1．已知（1+a x ）(1+x)5的展开式中x 2 的系数为5，则a = （A ）-4 （B ）-3 （C ）-2 （D ）-1 2．若52345012345(23)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则：等于（） A ．55 B ．-l C ．52 D ．52- 3，则的值为 A ． B ．C 4．学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有（） A.36种 B.30种 C.24种 D.6种 5．4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有 (A) 12种 (B) 24种 (C) 30种 (D)36种 6．()()8 x y x y -+的展开式中27x y 的系数为________.（用数字填写答案） 7．(x-2)6的展开式中3x 的系数为.（用数字作答） 8．已知(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 8＝________. 9．有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数： (1)选其中5人排成一排； (2)排成前后两排，前排3人，后排4人； (3)全体排成一排，甲不站在排头也不站在排尾； (4)全体排成一排，女生必须站在一起； (5)全体排成一排，男生互不相邻； (6)全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人． 10．7个人排成一排，按下列要求各有多少种排法？ (1)其中甲不站排头，乙不站排尾； (2)其中甲、乙、丙3人必须相邻； (3)其中甲、乙、丙3人两两不相邻； (4)其中甲、乙中间有且只有1人； (5)其中甲、乙、丙按从左到右的顺序排列． 2312420)()(a a a a a +-++16-16
排列组合二项式定理与概率统计
排列组合二项式定理与概率统计 重点知识回顾 1. 排列与组合 ⑴ 分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理，两者的区别在于分步计数原理和分步有关, 分类计数原理与分类有关 ⑵ 排列与组合主要研究从一些不同元素中，任取部分或全部元素进行排列或组合, ⑶排列与组合的主要公式 _ r — r+1 项是 T r+1 =C n a n r b r . ⑵二项展开式的通项公式 二项展开式的第r+1项T r+1=c n a n —r b r （r=0,1,…叫）做二项展开式的通项公式。 ⑶二项式系数的性质 ① 在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等， 即 c n = c n r （r=0,1,2，…,n ）. 项和第n 3项）的二项式系数相等，并且最大，其值为 2 A n = n! =n(n — 1)(n — 2) ....... 2 ? 1. ②组合数公式： c m n! n(n 1) (n m 1) (m < n) m!( n m)! m (m 1) 2 1 ③组合数性质： ①c m ㈡ m (m < n) ② c 0 c ； c n 2 c ； 2n ③ Cn Cn c 4 C n c 1 c 3 C n C n 2n 1 2.二项式定理 ⑴二项式定理 (a +b)n =C 0a n +c n a n — 1 r b+ …+C n a n r b r +… + c n b n ,其中各项系数就是组合数c n ，展开式共有n+1项，第 问题?区别排列问题与组合问题要看是否与顺序有关, 与顺序有关的属于排列问题, 与顺序无关的属于组合问题 求共有多少种方法的 ①排列数公式: A m n! (n m)! n(n 1) (n m 1) (m 第一讲 排列组合概念及简单应用 排列和排列数公式 A m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)＝n ！ (n －m )！(m ，n ∈N *，并且m ≤n ) A n n ＝n ！＝n ×(n －1)×(n －2)×…×3×2×1. 规定：0！＝1. 组合与组合数公式 1．组合数公式 C m n ＝A m n A m m ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！＝n ！m ！(n －m )！(m ，n ∈N *，并且 m ≤n ) 2．组合数的性质 (1)C m n ＝C n －m n (2)C m n ＋1＝C m n ＋C m － 1n 常规题型 一、投信问题 1、个口袋里有5封信，另一个口袋里有4封信，各封信内容均不相同. （1）从两个口袋里各取一封信，有多少种不同的取法？ （2）把这两个口袋里的9封信，分别投入4个邮筒，有多少种不同的放法？ 2、五位旅客到一个城市出差，这个城市有6家旅馆，有多少种住宿方法？ 3、12名旅客在一辆火车上，共有六个车站，有多少种下车方案？ 4、3个同学在一座只有两个楼梯的楼上下楼，有几种下楼方案？ 二、染色问题 1、如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数. 2. 如图所示，用五种不同的颜色分别给A ，B ，C ，D 四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有________种． 3.用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1,2，…，9的9个小正方形(如图)，使得任意相邻(有公共边)的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为1,5,9的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有________种． 排列组合与二项式定理知识点 １．计数原理知识点 ①乘法原理：N=n1·n2·n3·…nM (分步) ②加法原理：N=n1+n2+n3+…+nM (分类) ２．排列（有序）与组合（无序） Anm=n(n－1)(n－2)(n－3)…(n－m+1)=n!/(n-m)! Ann =n! Cnm = n!/(n-m)!m! Cnm= Cnn－m Cnm＋Cnm＋1= Cn+1m+1 k?k!=(k+1)!－k! ３．排列组合混合题的解题原则：先选后排，先分再排 排列组合题的主要解题方法：优先法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素. 以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置. 捆绑法（集团元素法，把某些必须在一起的元素视为一个整体考虑） 插空法（解决相间问题）间接法和去杂法等等 在求解排列与组合应用问题时，应注意： (1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题； (2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理； (3)分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏； (4)列出式子计算和作答. 经常运用的数学思想是： ①分类讨论思想；②转化思想；③对称思想. ４．二项式定理知识点： ①(a+b)n=Cn0ax+Cn1an－1b1+ Cn2an－2b2+ Cn3an－3b3+…+ Cnran－rbr+-…+ Cn n－1abn－1+ Cnnbn 特别地：(1+x)n=1+Cn1x+Cn2x2+…+Cnrxr+…+Cnnxn ②主要性质和主要结论：对称性Cnm=Cnn－m 最大二项式系数在中间。（要注意n为奇数还是偶数，答案是中间一项还是中间两项） 所有二项式系数的和：Cn０+Cn1+Cn2+ Cn3+ Cn4+…+Cnr+…+Cnn=2n 奇数项二项式系数的和＝偶数项而是系数的和 Cn０+Cn２+Cn４+ Cn６+ Cn８+…＝Cn１+Cn３+Cn５+ Cn７+ Cn９+…=2n -1 ③通项为第r+1项：Tr+1= Cnran－rbr 作用：处理与指定项、特定项、常数项、有理项等有关问题。 5.二项式定理的应用：解决有关近似计算、整除问题，运用二项展开式定理并且结合放缩法证明与指数有关的不等式。 6.注意二项式系数与项的系数（字母项的系数，指定项的系数等，指运算结果的系数）的区别，在求某几项的系数的和时注意赋值法的应用。 排列组合二项定理考试内容： 分类计数原理与分步计数原理． 排列．排列数公式． 组合．组合数公式．组合数的两个性质． 二项式定理．二项展开式的性质． 考试要求： （1）掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题． （2）理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题． （3）理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题． （4）掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题． 排列组合二项定理知识要点 一、两个原理. 1. 乘法原理、加法原理. 2. 可．以有 ．．重复 ．．的排列. ．．元素 从m个不同元素中，每次取出n个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n位上选取元素的方法都是m个，所以从m个不同元素中，每次取出n个元素可重复排列数m·m·… m = m n.. 例 如：n 件物品放入m 个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ （解： n m 种） 二、排列. 1. ⑴对排列定义的理解. 定义：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. ⑵相同排列. 如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同. ⑶排列数. 从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号m n A 表示. ⑷排列数公式： 注意：!)!1(!n n n n -+=? 规定0! = 1 111--++=?+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A 11--=m n m n nA A 规定10 ==n n n C C 2. 含有可重元素．．．．．． 的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S 有k 个不同元素a 1，a 2,…...a n 其中限重复数为n 1、n 2……n k ，且n = n 1+n 2+……n k , 则S 的排列个数等于! !...!! 21k n n n n n = . 例如：已知数字3、2、2，求其排列个数3! 2!1)!21(=+=n 又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数1! 3!3==n . 第十章排列组合和二项式定理教材分析 作为高中数学必修内容的一个部份，本章在整个高中数学中占有重要地位以计数问题为主要内容的排列与组合，属于现在发展很快且在计算机领域获得广泛应用的组合数学的最初步知识，它不仅有着许多直接应用，是学习概率理论的准备知识，而且由于其思维方法的新颖性与独特性，它也是培养学生思维能力的不可多得的好素材；作为初中一种多项式乘法公式推广二项式定理，不仅使前面组合等知识的学习得到强化，而且与后面概率中的二项分布有着密切联系 本章教学约需17课时，具体分配如下： 10．1加法原理和乘法原理约2课时 10．2排列约4课时 10．3组合约5课时 10．4二项式定理约4课时 小结与复习约2课时 一、内容分析 本章从学习加法原理和乘法原理开始，应该说，这两个基本原理在本章的学习中占有重要地位；其作用并不限于用来推导排列数、组合数公式，实际上其解决问题的思想方法贯穿在整个学习的始终：当将一个较复杂的问题通过分类进行分解时，用的是加法原理；当将它通过分步进行分解时，用的是乘法原理在此基础上，研究排列与组合，运用归纳法导出排列数公式与组合数公式，并提出组合数的两个性质，以简化组合数的计算和为推导二项式定理作好铺垫 的学习深化一步，而且为学习后面的独立重复试验，二项分布作了准备 本章还为部分学有余力的学生安排了阅读材料《从集合的角度看排列、组合和概率》，通过这篇材料，可以看到排列、组合与概率这两类看上去并无共同之处的概念间的内在联系例如，求组合数及其相应的等可能性事件的概率，可分别看成是在一个全集下的某个子集到数的集合的不同的映射，可见从集合的角度去认识这些概念，可加深对其本质和内在联系的认识，此外，由于集合及其关系可用图形表示，便于将一些较复杂的问题分析清楚，因此运用集合的方法可以较为顺利地求解一些较为复杂的应用题 二、教学要求 1．掌握加法原理与乘法原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题 2.理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数计算公式，并能用它们解决一些简单的应用问题 3.掌握二项式定理和二项展开式的性质并能用它们计算和证明一些简单的问题 三、考点诠释 （1）两个原理（分类计数原理、分步计数原理） 分类和分步的区别，关键是看事件能否完成，事件完成了就是分类；必须要连续若干步才能完成的则是分步.分类要用加法原理将种数相加；分步要用乘法原理，分步后再将种数相乘. （2）两个概念（排列、组合） 排列与组合是既有联系又有区别的两类问题，它们都是从n个不同元素中任取m个不同元素.但是前者要求将元素排成一个顺序，后者对此不做要求.若不理解排列问题和组合问题的区别，在分析实际问题时就会犯错误. （3）两类基本公式 高中数学第十章-排列组合二项定理 考试内容： 分类计数原理与分步计数原理． 排列．排列数公式． 组合．组合数公式．组合数的两个性质． 二项式定理．二项展开式的性质． 考试要求： （1）掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题． （2）理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题． （3）理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题． （4）掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题． §10. 排列组合二项定理 知识要点 一、两个原理. 1. 乘法原理、加法原理. 2. 可．以有．．重复．．元素．． 的排列. 从m 个不同元素中，每次取出n 个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n 位上选取元素的方法都是m 个，所以从m 个不同元素中，每次取出n 个元素可重复排列数m·m·… m = m n .. 例如：n 件物品放入m 个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ （解：n m 种） 二、排列. 1. ?对排列定义的理解. 定义：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. ?相同排列. 如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同. ?排列数. 从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的 一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号m n A 表示. ?排列数公式： ),,()! (! )1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-= +--= 注意：!)!1(!n n n n -+=? 规定0! = 1 111--++=?+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A 11 --=m n m n nA A 规定10 ==n n n C C 2. 含有可重元素．．．．．． 的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S 有k 个不同元素a 1，a 2,…...a n 其中限重复数 n n +1n n n 排列组合、二项式定理总结复习 1，分类计数原理 完成一件事有几类方法，各类办法相互独立每类办法又有多种不同的办法（每一种都可以独立的完成这个事情） 分步计数原理 完成一件事，需要分几个步骤，每一步的完成有多种不同的 方法 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合 组合数 从 n 个不同元素中，任取 m （m ≤n ）个元素的所有组合个数 m n m = n ! n m !(n - m )! 性质 C m = C n -m C m = C m + C m -1 排列组合题型总结 一． 直接法 1 .特殊元素法 例 1 用 1，2，3，4，5，6 这 6 个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个 C C （1）数字 1 不排在个位和千位 （2）数字 1 不在个位，数字 6 不在千位。 分析：（1）个位和千位有 5 个数字可供选择A2 ，其余 2 位有四个可供选择A2 ，由乘法原理： 5 4 A2 A2 =240 5 4 2．特殊位置法 （2）当 1 在千位时余下三位有A3 =60，1 不在千位时，千位有A1 种选法，个位有A1 种，余下 5 4 4 的有A2 ，共有A1 A1 A2 =192 所以总共有 192+60=252 4 4 4 4 二间接法当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。如上例中（2）可用间接法A4 - 2 A3 +A2 =252 6 5 4 Eg 有五张卡片，它的正反面分别写 0 与 1，2 与 3，4 与 5，6 与 7，8 与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？ 分析：：任取三张卡片可以组成不同的三位数C 3 ? 23 ?A3 个，其中 0 在 5 3 百位的有C 2 ? 22 ?A2 个，这是不合题意的。故共可组成不同的三位数 4 2 C 3 ? 23 ?A3 - C 2 ? 22 ?A2 =432 5 3 4 2 Eg 三个女生和五个男生排成一排 （1）女生必须全排在一起有多少种排法（捆绑法） （2）女生必须全分开（插空法须排的元素必须相邻） （3）两端不能排女生 （4）两端不能全排女生 （5）如果三个女生占前排，五个男生站后排，有多少种不同的排法 排列组合与二项式定理的综合应用 1．()()5121x x -+的展开式中3x 的系数为（ ） A ．10 B ．-30 C ．-10 D ．-20 2．若()()72801281212x x a a x a x a x +-=++++…，则0127a a a a ++++…的值为（ ） A ．2- B ．3- C ．253 D ．126 3．()()512x x +-的展开式中2x 的系数为（ ） ． A ．25 B ．5 C ．-15 D ．-20 4．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（ ） A ．40种 B ．60种 C ．100种 D ．120种 5．从5名学生中选出4名分别参加A ，B ，C ，D 四科竞赛，其中甲不能参加C ，D 两科竞赛，则不同的参赛方案种数为( ) 6．8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为( ) A.828 9A A B.82810A A C.8287A A D.8286A A 7．小孔家有爷爷、奶奶、姥爷、姥姥、爸爸、妈妈，包括他共7人，一天爸爸从果园里摘了7个大小不同的梨，给家里每人一个.小孔拿了最小的一个，爷爷、奶奶、姥爷、姥姥4位老人之一拿最大的一个，则梨子的不同分法共有（ ） A ．96种 B ．120种 种 D ．720种 8．已知身穿红，黄两种颜色衣服的各两人，身穿蓝衣服的有1人，现将五人排成一列，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法有（ ） 种 种 种 种 9．3n x ?+??的展开式中，各项系数之和为A ，各项的二项式系数之和为B ，且72A B +=，则展开式中常数项为（ ） 10．从1,3,5,7,9中任取3个数字，从2,4,6,8中任取两个数字，一共可以组成没有重复数字的五位偶数的个数为（ ） A ．2880 B ．7200 C ． 1440 D ．60 11．某中学四名高二学生约定“五一”节到本地区三处旅游景点做公益活动，如果每个景点至少一名同学，且甲乙两名同学不在同一景点，则这四名同学的安排情况有（ ） A ．10种 B ．20种 C ．30种 D ．40种 12．51 ()(21)ax x x +-的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（ ） 排列组合二项式定理知识点 2、排列、组合 3、二项式定理 内容典型题 定义①二项式定理: (a＋b)n＝C 0n a n＋C 1n a n－1b1＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n ＝∑ = n r r n C a n－r b r（n∈N＋） ②二项式展开式第r＋1项通项公式: T r－1 ＝C r n a n－r b r 其中C r n（r＝0，1，2，…，n）叫做二项式系数. 8.二项式8)1 (- x的展开式中的第5项是( ) A. 70x4 B. 70x2 C. 56x3 D. －562 3 x 9.二项式(x－2)12展开式中第3项的系数是( ) A.264 B.－264 C.66 D.－1760 10.(x－2)8 的展开式中, x6的系数是( ) A. 56 B. －56 C. 28 D. 224 11.(x2＋)5展开式中的10x是( ) A.第2项 B.第3项 C.第4项 D.第5项 12.二项式x－1 x 6 的展开式中常数项是( ) A. 1 B. 6 C. 15 D. 20 13.设(3－x)n＝n n x a x a x a a+???+ + +2 2 1 ,已知 n a a a a+???+ + + 2 1 ＝64,则n＝. 14.设二项式(3x＋5)10＝ 1 8 8 9 9 10 10 a x a x a x a x a+ +???+ + +,则 1 8 9 10 a a a a a+ -???- + -＝. 15.二项式2x－1 x 6 的展开式中二项式系数最大的项是. 性质①在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等. ②如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项的二项式系数相等并且最大. ③二项式系数的和为n2，即 n C＋1 n C＋…＋r n C＋…＋n n C＝n2 ④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即 n C＋2 n C＋…＝1 n C＋3 n C＋…＝1 2-n 2010年高考数学试题分类汇编——排列组合与二项式定理 （2010全国卷2理数）（6）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有 （A ）12种 （B ）18种 （C ）36种 （D ）54种 【答案】B 【命题意图】本试题主要考察排列组合知识，考察考生分析问题的能力. 【解析】标号1,2的卡片放入同一封信有 种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封两个有 种方法，共有种，故选B. （2010全国卷2文数）（9）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有 （A ） 12种 (B) 18种 (C) 36种 (D) 54种 【解析】B ：本题考查了排列组合的知识 ∵先从3个信封中选一个放1，2有3种不同的选法，再从剩下的4个数中选两个放一个信封有 246C =，余下放入最后一个信封，∴共有24318C = （2010江西理数）6. (8 2展开式中不含．．4 x 项的系数的和为（ ） A.-1 B.0 C.1 D.2 【答案】B 【解析】考查对二项式定理和二项展开式的性质，重点考查实践意识和创新能力，体现正难则反。 采用赋值法，令x=1得：系数和为1，减去4 x 项系数80882(1)1C -=即为所求，答案为0. （2010重庆文数）（10）某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日（端午节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天 . 若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有 （A ）30种 （B ）36种 （C ）42种 （D ）48种 解析：法一：所有排法减去甲值14日或乙值16日，再加上甲值14日且乙值16日的排法 即221211 6454432C C C C C C -?+=42 法二：分两类 甲、乙同组，则只能排在15日，有2 4C =6种排法 高中数学之排列组合二项式定理 一、分类计数原理和分步计数原理： 分类计数原理：如果完成某事有几种不同的方法，这些方法间是彼此独立的，任选其中一种 方法都能达到完成此事的目的，那么完成此事的方法总数就是这些方法种数的和。 分步计数原理：如果完成某事，必须分成几个步骤，每个步骤都有不同的方法，而—个步骤 中的任何一种方法与下一步骤中的每一个方法都可以连接，只有依次完成所有各 步，才能达到完成此事的目的，那么完成此事的方法总数就是这些方法种数的积。 区别：如果任何一类办法中的任何一种方法都能完成这件事，则选用分类计数原理，即类 与类之间是相互独立的，即“分类完成”；如果只有当n 个步骤都做完，这件事才能完成，则选用分步计数原理，即步与步之间是相互依存的，连续的，即“分步完成”。 二、排列与组合： （1）排列与组合的区别和联系：都是研究从一些不同的元素中取出n 个元素的问题； 区别：前者有顺序，后者无顺序。 （2）排列数、组合数： 排列数的公式：)()! (!)1()2)(1(n m m n n m n n n n A m n ≤-= +---= 注意：①全排列：!n A n n =； ②记住下列几个阶乘数，1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720； 排列数的性质： ①11--=m n m n nA A （将从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素，分两步完成： 第一步从n 个元素中选出1个排在指定的一个位置上； 第二步从余下1-n 个元素中选出1-m 个排在余下的1-m 个位置 上） ②m n m n m n A mA A 111---+=（将从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素，分两类完成： 第一类：m 个元素中含有a ，分两步完成： 第一步将a 排在某一位置上，有m 不同的方法。 第二步从余下1-n 个元素中选出1-m 个排在余下的1-m 个位置 上） 即有11--m n mA 种不同的方法。 第二类：m 个元素中不含有a ，从1-n 个元素中取出m 个元素排在m 个 位置上，有m n A 1-种方法。 组合数的公式：)()!(!!!)1()2)(1(n m m n m n m m n n n n A A C m m n m n ≤-=+---== 组合数的性质： ①m n n m n C C -=（从n 个不同的元素中取出m 个元素后，剩下m n -个元素，也就是说， 排列组合与二项式定理 一、排列组合 1.（2016年四川高考）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( ) （A ）24 （B ）48 （C ）60 （D ）72 【答案】D 【解析】由题意，要组成没有重复的五位奇数，则个位数应该为1、3、5，其他 位置共有44A ，所以其中奇数的个数为44372A =，故选D. 2.（2015年四川高考）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ） （A ）144个 （B ）120个 （C ）96个 （D ）72个 【答案】B 【解析】据题意，万位上只能排4、5.若万位上排4，则有3 42A ?个；若万位上 排5，则有343A ?个.所以共有342A ?343524120A +?=?=个.选B. 3. （2015年广东高考）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言．（用数字作答） 【答案】1560．【解析】依题两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的 排列数，所以全班共写了24040391560A =?=条毕业留言，故应填入1560． 4．(2014大纲全国，理5)有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )． A ．60种 B ．70种 C ．75种 D ．150种 答案：C 解析：从6名男医生中选出2名有26C 种选法，从5名女医生中选出1名有15C 种选法，故共有216565C C 57521 ??=?=?种选法，选C. 5．(2014福建，理10)用a 代表红球，b 代表蓝球，c 代表黑球．由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1＋a )(1＋b )的展开式1＋a ＋b ＋ab 表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a ”表示取出一个红球、而“ab ”则表示把红球和蓝球都取出来．依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是( )． A ．(1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)(1＋b 5)(1＋c )5 B ．(1＋a 5)(1＋b ＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5)(1＋c )5 C ．(1＋a )5(1＋b ＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5)(1＋c 5) D ．(1＋a 5)(1＋b )5(1＋c ＋c 2＋c 3＋c 4＋c 5) 答案：A 解析：本题可分三步：第一步，可取0,1,2,3,4,5个红球，有1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5种取法；第二步，取0或5个蓝球，有1＋b 5种取法；第三步，取5个有区别的黑球，有(1＋c )5种取法．所以共有(1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)(1＋b 5)(1＋c )5种取法．故选A. 2017高考复习---排列组合与二项式定理 1?在8张奖券中有一、二、三等奖各 1张，其余5张无奖?将这8张奖券分配给4个人, 10 ?用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有 数字作答） a 1, a 2,…a 为实数，则 a 3= 每人2张，不同的获奖情况有 种（用数字作答）. 2 ?某学校开设 A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选 3门，若要求两类课 程中各至少选一 门，则不同的选法共有 种.（用数字作答） 3.把座位编号为1、2、3、4、5的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少 一张，至多两张，且分得的两张票必须是连号， 那么不同的分法种数为 ?（用数字作答） 4 ?将A,B, C, D,E, F 六个字母排成一排，且A,B 均在C 的同侧，则不同的排法共有 （用数字作答） 5 ?在某班进行的演讲比赛中，共有 5位选手参加，其中 3位女生，2位男生?如果2位男 生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为 6 ?将序号分别为1 , 2, 3, 4, 5的5张参观券全部分给 4人，每人至少1张，如果分给同 一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是 n 展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项等于 8?在二项式（ X -丄）n 的展开式中恰好第 5项的二项式系数最大，则展开式中含 X 2 项的系 数是 9 .甲、乙、丙 3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站 2人，同一级台阶上的人不 区分站的位置, 则不同的站法总数是 个.（用 11 .如图，一个地区分为 5个行政区域，现给地图着色，要求相 邻区域不得使用同一颜色. 现有 4种颜色可供选择, 色方法共有 种. （以数字作答） 12 .若将函数 f (X )=x 5 表示为 f (X )=a o +a 1 (1+x ) 13 .由1 , 2, 3, 4, 5, 6组成没有重复数字的六位数, 要求奇数不相邻，且 4不在第四位, 7 则不同的着 +a 2 (1 排列组合二项定理 考试内容： 分类计数原理与分步计数原理． 排列．排列数公式． 组合．组合数公式．组合数的两个性质． 二项式定理．二项展开式的性质． 考试要求： （1）掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题． （2）理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题． （3）理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题． （4）掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题． 排列组合二项定理 知识要点 一、两个原理. 1. 乘法原理、加法原理. 2. 可．以有．．重复．．元素．． 的排列. 从m 个不同元素中，每次取出n 个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n 位上选取元素的方法都是m 个，所以从m 个不同元素中，每次取出n 个元素可重复排列数m·m·… m = m n .. 例如：n 件物品放入m 个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ （解：n m 种） 二、排列. 1. ?对排列定义的理解. 定义：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. ?相同排列. 如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同. ?排列数. 从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的 一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号m n A 表示. ?排列数公式： ),,()! (! )1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-= +--= 注意：!)!1(!n n n n -+=? 规定0! = 1 111--++=?+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A 11 --=m n m n nA A 规定10 ==n n n C C 2. 含有可重元素．．．．．． 的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S 有k 个不同元素a 1，a 2,…...a n 其中限重复数排列组合与二项式定理及概率应用综合
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