第22章-二次函数单元测试题(及答案)
第22章 二次函数单元测试题
一、选择题（共24分）
1、抛物线1)3(22+-=x y 的顶点坐标是（ ）
A ．(3，1)
B ．(3，－1)
C ．(－3，1)
D ．(－3，－1) 2、将抛物线y =（x ﹣1）2+3向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为（ ） A ． y =（x ﹣2）2
B ． y =（x ﹣2）2+6
C ． y =x 2+6
D ． y =x 2
3、已知二次函数y =x 2－3x +m （m 为常数）的图象与x 轴的一个交点为（1，0），则关于x 的一元二次方程x 2－3x +m =0的两实数根是（ ） A ．x 1=1，x 2=－1
B ．x 1=1，x 2=2
C ．x 1=1，x 2=0
D ．x 1=1，x 2=3
4、下列二次函数中，图像以直线x =2为对称轴，且经过点(0,1)的是 （ ）
A 、1)2(2+-=x y
B 、1)2(2++=x y
C 、3)2(2--=x y
D 、3)2(2-+=x y 5、若x 1,x 2(x 1 ＜x 2)是方程(x －a )(x －b ) = 1(a < b )的两个根，则实数x 1,x 2,a,b 的大小关系为（ ） A ．x 1＜x 2＜a ＜b B ．x 1＜a ＜x 2＜b C ．x 1＜a ＜b ＜x 2 D ．a ＜x 1＜b ＜x 2 6、)0(1≠+=k n kx y 与二次函数)0(2
2≠++=a c bx ax y 的图象相交于A (1-，5)、B (9，2)两点，则关于x 的不等式c bx ax n kx ++≥+2
解集为( )
A 、91≤≤-x
B 、91<≤-x
C 、91≤<-x
D 、1-≤x 或9≥x 7、已知两点),3(),,5(21y B y A -均在抛物线)0(2
≠++=a c bx ax y 上，点
),(00y x C 是该抛物线的顶点，若021y y y ≥>，则0x 的取值范围是（ ）
A ．50->x
B ．10->x
C ．150-<<-x
D ．320<<-x
8、若二次涵数y =ax +bx +c (a ≠0)的图象与x 轴有两个交点，坐标分别为(x 1，0)，(x 2，0)，且x 1
B ．b 2－4ac ≥0
C ．x 1 D ．a (x 0－x 1)( x 0－x 2)<0 二、填空题（每小题3分，共24分） 9、函数62 --=x x y 的图像与x 轴的交点坐标是 ； 10、写出一个开口向上，顶点坐标是（2，－3）的函数解析式 ； 第6题图 11、如果函数 是二次函数，那么k 的值一定是 . 12、如图所示，已知二次函数 的图象经过（－1,0）和（0,－1）两 点，则化简代数式 = . 13、二次函数2 y ax bx =+的图象如图，若一元二次方程2 0ax bx m ++=有实数 根，则m 的最大值为 14、如图，一段抛物线：y ＝－x (x －3)（0≤x ≤3），记为C 1，它与x 轴交于点O ，A 1； 将C 1绕点A 1旋转180°得C 2，交x 轴于点A 2； 将C 2绕点A 2旋转180°得C 3，交x 轴于点A 3； …… 如此进行下去，直至得C 13．若P （37，m ） 在第13段抛物线C 13上，则m =_________． 15如图，抛物线y ＝－x 2+2x +m （m ＜0）与x 轴相交于点A （x 1，0）、B （x 2，0），点A 在点B 的左侧．当x ＝x 2－2时，y 0（填“＞”“＝”或“＜”号）． 16、小轩从如图所示的二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息： ①ab ＞0；②a +b +c ＜0；③b +2c ＞0；④a ﹣2b +4c ＞0；⑤． 你认为其中正确的信息是 三、解答题 17.（8分）已知抛物线的解析式为 (1)求证：此抛物线与x 轴必有两个不同的交点； (2)若此抛物线与直线的一个交点在y 轴上，求m 的值. 第14题图 第13题 第15题图 第12题图 第16题图 18、（8分）已知抛物线y 1=ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴相交于点A ，B （点A ，B 在原点O 两侧），与y 轴相交于点C ，且点A ，C 在一次函数y 2= 3 4 x +n 的图象上，线段AB 长为16，线段OC 长为8，当y 1随着x 的增大而减小时，求自变量x 的取值范围． 19．（8分）二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）写出方程ax 2+bx +c ＝0的两个根。 （2）写出不等式ax 2+bx +c ＞0的解集。 （3）写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围。 （4）若方程ax 2+bx +c ＝k 有两个不相等的实数根，求k 的取值范围 20．（8分）在关于x ，y 的二元一次方程组?? ?=+=-a 2y x 1 y 2x 中． （1）若a =3．求方程组的解； （2）若S =a （3x +y ），当a 为何值时，S 有最值． 21．（8分）如图，Rt △ABC 中，AC =BC =2，正方形CDEF 的顶点D 、F 分别在AC 、BC 边上，C 、D 两点不重合，设CD 的长度为x ，△ABC 与正方形CDEF 重叠部分的面积为y ， (1)求y 与x 之间的函数关系 (2)x 为何值时重叠部分的面积最大 第21题图 22．（本题满分10分）已知关于x 的方程22 (23)10x k x k --++=有两个不相等的实数根1x 、2x ． （1）求k 的取值范围；（3分） （2）试说明10x <，20x <；（3分） （3）若抛物线2 2 (23)1y x k x k =--++与x 轴交于A 、B 两点，点A 、点B 到原点的距离分别为OA 、 OB ，且23OA OB OA OB +=?-，求k 的值．（4分） 23．（10分）九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x （1≤x ≤90）天的售价与销量的相关信息如下表： 已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y 元． （1）求出y 与x 的函数关系式； （2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？ （3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果． 24、（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数=++y x bx c 的图象与x 轴交于A 、B 两点，B 点的坐标为(3，0)，与y 轴交于点(03)C -，，点P 是直线BC 下方抛物线上的一个动点． （1）求二次函数解析式； （2）连接PO ，PC ，并将△POC 沿y 轴对折，得到四边形POP C '.是否存在点P ，使四边形POP C '为菱形？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）当点P 运动到什么位置时，四边形ABPC 的面积最大？求出此时P 点的坐标和四边形ABPC 的最大面积. C 第24题图 1 第24题图2(备用) 参考答案 一、1、A 2、D 3、B 4、C 5、C 6、A 7、B 8、D 二、9、(－2,0)(3,0)10、略11、0 12、 a 2 13、3 14、2 15、＜ 抛物线22y x x m =-++（m ＜0）与x 轴相交于点A （x 1，0）、B （x 2，0），∴ 220x x m -++= x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－m ＞0，∴x 1＝2－x 2，∴x ＝－x 1＜0，由图象知，当x ＜0时，y ＜0。 16、 解答： 解：①如图，∵抛物线开口方向向下，∴a ＜0． ∵对称轴x =﹣ =﹣，∴b =a ＜0， ∴ab ＞0．故①正确； ②如图，当x =1时，y ＜0，即a +b +c ＜0． 故②正确； ③如图，当x =﹣1时，y =a ﹣b +c ＞0， ∴2a ﹣2b +2c ＞0，即3b ﹣2b +2c ＞0， ∴b +2c ＞0． 故③正确； ④如图，当x =﹣1时，y ＞0，即a ﹣b +c ＞0． 抛物线与y 轴交于正半轴，则c ＞0． ∵b ＜0， ∴c ﹣b ＞0， ∴（a ﹣b +c ）+（c ﹣b ）+2c ＞0，即a ﹣2b +4c ＞0． 故④正确； ⑤如图，对称轴x =﹣ =﹣，则 ．故⑤正确． 综上所述，正确的结论是①②③④⑤，共5个． 17.(1)证明：∵ ∴ ∴方程有两个不相等的实数根. ∴抛物线与轴必有两个不同的交点. (2)解:令则解得 18解：根据OC长为8可得一次函数中的n的值为8或﹣8． 分类讨论：①n=8时，易得A（﹣6，0）如图1， ∵抛物线经过点A、C，且与x轴交点A、B在原点的两侧， ∴抛物线开口向下，则a＜0， ∵AB=16，且A（﹣6，0）， ∴B（10，0），而A、B关于对称轴对称， ∴对称轴直线x==2， 要使y1随着x的增大而减小，则a＜0， ∴x＞2； （2）n=﹣8时，易得A（6，0），如图2， ∵抛物线过A、C两点，且与x轴交点A，B在原点两侧， ∴抛物线开口向上，则a＞0， ∵AB=16，且A（6，0）， ∴B（﹣10，0），而A、B关于对称轴对称， ∴对称轴直线x==﹣2， 要使y1随着x的增大而减小，且a＞0， ∴x＜﹣2． 19、解：（1）由图可知，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于（1，0）、（3，0）两点．∴x1=1，x2=3； （2）依题意因为ax2+bx+c＞0，得出x的取值范围为1＜x＜3；（2分） （3）如图可知，当y随x的增大而减小，自变量x的取值范围为x＞2；（2分） （4）由顶点（2，2）设方程为a（x－2）2+2=0， ∵二次函数与x轴的2个交点为（1，0），（3，0）， 代入a（x－2）2+2=0得：a（1－2）2+2=0， ∴a=－2， ∴抛物线方程为y=－2（x－2）2+2， y =－2（x －2）2+2－k 实际上是原抛物线下移或上移|k |个单位．由图象知，当2－k ＞0时，抛物线与x 轴有两个交点． 故k ＜2．（4分） 20、解：（1）a =3时，方程组为， ②×2得，4x ﹣2y =2③， ①+③得，5x =5， 解得x =1， 把x =1代入①得，1+2y =3， 解得y =1， 所以，方程组的解是 ； （2）方程组的两个方程相加得，3x +y =a +1， 所以，S =a （3x +y ）=a （a +1）=a 2+a ， 所以，当a =﹣ =﹣时，S 有最小值． 21、解答：解：当0＜x ≤1时，y =x 2，当1＜x ≤2时，ED 交AB 于M ，EF 交AB 于N ，如图， CD =x ，则AD =2﹣x ， ∵Rt △ABC 中，AC =BC =2， ∴△ADM 为等腰直角三角形， ∴DM =2﹣x ，∴EM =x ﹣（2﹣x ）=2x ﹣2， ∴S △ENM =（2x ﹣2）2=2（x ﹣1）2， ∴y =x 2﹣2（x ﹣1）2=﹣x 2+4x ﹣2=﹣（x ﹣2）2+2， ∴y = 22、解：（1）由题意可知： [] 2 24(1)0(23)k k -+>--=V ， · ························ 1分 即0512>+-k ························ 2分 ∴5 12 k < ． ························· 3分 （2）∵122 12 230 10x x k x x k +=-??g ， ························· 5分 21题答 （3）依题意，不妨设A （x 1,0），B （x 2,0）. ∴1212()(23)OA OB x x x x k +=+=-+=--， 2121212()()1OA OB x x x x x x k =--=--==+g g g ， ····················· 8分 ∵23OA OB OA OB +=-g ， ∴2(23)2(1)3k k --=+-， 解得k 1＝1，k 2＝－2． ··························· 9分 ∵5 12 k < ，∴k ＝－2． ························· 10分 23．（10分）（1）当1≤x ＜50时，y =（200﹣2x ）（x +40﹣30）=﹣2x 2+180x +200， 当50≤x ≤90时， y =（200﹣2x ）（90﹣30）=﹣120x +12000， 综上所述：y =； （2）当1≤x ＜50时，二次函数开口下，二次函数对称轴为x =45， 当x =45时，y 最大=﹣2×452+180×45+2000=6050， 当50≤x ≤90时，y 随x 的增大而减小， 当x =50时，y 最大=6000， 综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元； （3）当20≤x ≤60时，每天销售利润不低于4800元． 24、解：（1）将B 、C 两点的坐标代入2 =++y x bx c ，得93=0,= 3.b c c ++??-? 解之，得=2, b -?? 所以二次函数的解析式为2 =23y x x --. ………………………………… 3分 （2）如图1，假设抛物线上存在点P ，使四边形 POP C '为菱形，连接PP '交CO 于点E ． ∵四边形POP C '为菱形， ∴PC=PO ，且PE ⊥CO ． ∴OE=EC=32，即P 点的纵坐标为3 2-.……5分 由2 23x x --=3 2 -，得 12x x 所以存在这样的点，此时P ，3 2 -）. …………7分 （3）如图2，连接PO ，作PM ⊥x 于M ，PN ⊥y 于N ．设P 点坐标为（x ，2 23x x --）， 由2 23x x --=0，得点A 坐标为（－1，0）. ∴AO=1，OC=3， OB=3，P Ｍ=2 23x x -++，PN ＝x ． ∴S 四边形ABPC =AOC S ?+POB S ?+POC S ? =12AO·OC +12OB·PM +1 2 OC·PN = 12×1×3+12×3×(223x x -++)+12 ×3×x =239 622x x -++ =23375()228 x - -+. 易知，当x= 32时，四边形ABPC 的面积最大．此时P 点坐标为（32，15 4 -），四边形ABPC 的最大面积为758 . P 第25题图1 第25题图2(备用)