七年级数学分式中的整式的除法分式及其基本性质分式的运算

七年级数学分式中的整式的除法-分式及其基本性质-分式的运算

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分式中的整式的除法，分式及其基本性质，分式的运算

一. 教学内容：

分式中的整式的除法，分式及其基本性质，分式的运算

［知识与技能］

1. 知道同底数幂的除法法则，并能运用它进行计算；

2. 能用单项式除以单项式性质进行计算；

3. 能进行多项式除以单项式的计算；

4. 掌握分式的基本概念，会在代数式中辨别分式；

5. 会运用分式的基本性质进行约分和通分；

6. 熟练进行分式的加减乘除运算；

7. 掌握分式的乘方；

8. 会根据运算顺序和法则，进行简单的四则混合运算。

［教学过程］（一）知识点回顾

1. 同底数幂的除法法则：即同底数幂相除，底数不变，指数相减，用式子表示为a a a m n m n ÷=-（m ，n 为正整数，m n a >，≠0）

2. 单项式除以单项式：是将系数及同底数幂分别相除，如果某个字母只在被除式里出现，则将该字母及其指数直接写到商里面。

3. 多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。（注意：①不要漏项，即所得的结果项数应与被除式中多项式的项数相同；②要注意商的符号，弄清多项式中每一项的符号是什么，相除时要带着符号与单项式相除。）

4. ①分式的概念：形如A

（A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0）的式子

叫做分式，其中A 叫分式的分子，B 叫分式的分母（注意：分式的典型特征是分式的分母中含有字母）

②分式有意义的条件：分式的分母必须不等于零。 ③分式的值是零的条件：分母不等于零，分子等于零。

④分式的基本性质：即分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零

的整式，分式的值不变。用式子表示为A B A M B M A B A M

B M

==××，÷÷。（这里要求

B ≠0，M ≠0）

⑤约分：根据分式的基本性质，将分子分母中的公因式约去，使分式变得简单。（注意：如果分式的分子，分母都是单项式，就直接约去分子，分母的公因式，即分子、分母系数的最大公约数，相同字母的最低次幂；如果分子、分母都是多项式，就先分解因式，找出公因式再进行约分；约分时一定要彻底。） ⑥通分：即把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，为进行分式的加减奠定基础。（注意：通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，即各分母所有因式的最高次幂的积。求最简公分母的一般方法是：a. 如果各分母都是单项

式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里；b. 如果各分母都是多项式，就要先把它们分解因式，然后把各个因式当作一个字母，再按照单项式的方法从系数、相同因式、不同因式三个方面确定）。

5. 分式的运算：

①分式的乘除法：分式的乘除归根结底是乘法运算，实质就是分式的约分，其运算结果要化为最简分式，分式乘分式，用分子的积作积的分子，用分母的积做积的分母；分式除以分式，把除式分子，分母颠倒位置后，与被除式相除。

②分式的乘方：把分子、分母各自乘方，用式子表示为()a b a b

n n

n =（n 为正

整数），乘方时一定要把分式加上括号。

③分式的加减法，同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，即a c b c a b c

±±=；异分母的分式相加减，先通分，变成同分母的分式再加减，计算结果要化成最简分式。

④分式的混合运算：混合运算的顺序与实数的运算顺序相同，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号，计算结果化为最简分式。

【典型例题】例1. 计算：

①()()a a 2432÷

②()()3332y x x y --÷

分析：①先应用幂的乘方把两个底数都化为同底数再进行相除。

②把()()x y y x --33、看成一个整体，把()x y -32转化为()32y x -，也可把

()()3333y x x y ---转化成，通常为方便起见，常改变偶数次幂的项；

解：①()()a a 2432÷==a a a 862÷ ②()()3332y x x y --÷

=--=-()()33332y x y x y x

例2. 已知36923241m n m n ==-+，，求的值。

分析：运用幂的有关性质，将3241m n -+转化为含有已知条件的代数式。解法一：

333333324124222m n m n m n -+==÷×÷×() =()()39322m n ÷×

∵，∴÷×÷×3692

339362327241

m n m n m n =====-+()()

解法二：

∵，∴92933222n n n n ====() 333324124m n m n -+=÷×

===()()333

62327

22222m n ÷×÷×

例3. 下列运算正确的是（） A. ()()62336332a b ab a b ÷=

B. ()()-=-2132

332x y xy xy ÷

C. ()()-=-a b c a b ab 4534÷

D. ()(.)x y z x y xyz 322052÷=

分析：A 中a a a b b b 33632÷，÷==是错误的；B 中-=-2132

÷，x x x 3÷=是错误的；C 中被除式里的c 在商中丢掉3，这是错误的。答案：D 。

例4. 计算：

①-324522a x y axy ÷()

②6325642322a b c a b c ab c ÷÷()()-

分析：①中有括号，应先按积的乘方运算出()axy 22，然后再按单项式除以单项式法则相除，注意符号。②中三个单项式相除可以一起相除。解：①-324522a x y axy ÷() =-=-332452242a x y a x y x y ÷ ②6325642322a b c a b c ab c ÷÷()()-

=-=-[()]()()()63252632422

÷÷·÷÷·÷÷·÷÷a a a b b b c c c a bc

例5. 计算：

()()3595923

53745553a b a b a b a b +--÷

分析：此题就是考查多项式除以单项式，易错点在于相除时各项的符号容易出现错误。

解：()()3595923

453745553a b a b a b a b +--÷

=-+---35349534923

4535374535553a b a b a b a b a b a b ÷÷÷()()()

=--+4512

622a b b

例6. 已知一个多项式与单项式-22x y 的积是x y x y 3221

-，试求该多项式。

分析：已知两个因式的积和一个因式，求另一个因式就是用积去除以已知因

式，注意符号。

解：()()x y x y x y 32221

2--÷

=---x y x y x y x y 3222221

2÷÷()()

=-+121

x y

∴该多项式为-+121

x y

例7. 在下列式子中，哪些是整式，哪些是分式

1305251018

2x a b xy y b c a x y a ，

，，，，，-++-+-.π。分析：看一个式子是否为分式，关键是看其分母中有无字母。

解：整式有：a b xy y a 22

23051018，，，-+-.π。分式有：12

5x b c a x y ，，+-+。

例8. 当x 取何值时，下列分式有意义？

（1）x x -+1

（2）11||x -

（3）412x x - （4）x

x x

22+

分析：只有当分式的分母不等于零时，分式才有意义。

解：（1）由x x x x x +==---+20221

，得，∴当≠时，分式

有意义。（2）由，可得±，∴当≠且≠时，分式||||x x x x x -==--101111

1有意义。

（3）由x x x x x 22101114

-==--，得±，∴当≠且≠时，分式有意义。

（4）由x x x x x x 212202002+=+===-，得，∴，，()∴当x ≠0且x ≠

－2时，分式x

x x

22+有意义。

例9. 下列分式中x 为何值时，分式的值为零？

①||x x -+1

②282822x x x -+-

分析：只有当分式的分母不等于零时，分式才有意义？

解：①当||x x -=+???

1010≠，即x =1时，分式||x x -+1

1的值为零。

②当280

280228282222x x x x x x x -=+-????

?=--+-≠，即时，分式的值为零。

例10. 不改变分式的值，将下列分式的分子、分母中的系数化为整数。

（1）0300205...x y x y

+- （2）13

141223

x y

x y -+ 分析：①式中的分子、分母要同乘以50；②中的分子分母要同乘以12，即分子、分母同乘各分母的最小公倍数。

解：（1）0300205...x y x y +-=+-=+-(.)(..)0350*******

155025x y y x y x y ××

（2）13141223x y x y -+=-+=-+()()131

412

1223

124368x y x y x y x y ××

例11. 将下列各式进行约分。

①-+12323

x y x y

n n ②162032x x x x -+- ③2432x x y y y x ()()-- ④x y z x y z 22

--+-()()

分析：①式直接约分；②、④两式需先进行因式分解，让分子分母中产生公因式，再进行约分；③式需将()()x y y x --或看作整体，并统一成相同的因式。解：①-+123232x y x y n n =-=-3434222

x y x y x y

x y n n ·() ②1620

2x x x x -+-=+-+-=-+-+-=-++x x x x x x x x x x x x x ()()()()()()()()44544454452 ③2432x x y y y x ()()--=--=---=-2422223222x x y y x y x y x x y x y y

x x y y ()()()()()()··

④x y z x y z

2222

--+-()()=+--++++-=-+++()()()()x y z x y z x y z x y z x y z

x y z

例12. 通分

①x ab y a bc 6922， ②a a a a -++-12161

22，分析：①的最简公分母是1822a b c ；②的最简公分母是()()a a +-112

解：①x ab y a bc a b c 691822

与的最简公分母是， ∴x ab x ac ab ac acx

a b c

63633182222==··，

y a bc y b a bc b by

a b c 92922182222==·· ②a a a a a a -++-+-1216

1112

22与的最简公分母是()() ∴a a a a a a a a a a a -++=--+-=-++-121111121

112222()()()()()()··

616111166

1122a a a a a a a a -=++-+=++-()()()()()()· 点评：找准最简公分母是通分的关键。

例13. 计算：（考查分式的乘除法和乘方）

（1）m m m m m 224432

3--++-÷

（2）m n m n n m mn m n

m 222

2---+()

()·÷ 分析：（1）式中分子、分母先进行因式分解；（2）式需将中间一项先乘方。

解：（1）m m m m m 224432

3--++-÷

=+----+=

--()()()()m m m m m m m m 221332

21·

（2）m n m n n m mn m n

m 222

2---+()

()·÷ =+---+=

-()()()()m n m n m n n m m n m

m n m n mn 2222

··

14. 计算（考查分式的加减运算）

（1）x y x y x y x y x y

x y +--+-+--3223222222 （2）

m n n m n m n m n m +-+---22 （3）16416434922x y x y x

y x --++- （4）a a

-24

2 分析：（1）中所有分式的分母相同；（2）中运用符号法则易化成同分母，再运用同分母分式相加减的法则进行；（3）先通分将各分式分母化成同分母；

（4）将a+2看作整体

a +2

，两个代数式通分，公分母为22--a a 或。解：（1）x y x y x y x y x y

x y +--+-+--3223222222

+-++--=

+--+--=--=-+-=

+()()()

()()()x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y

x y x y x y x y 32233223222222

（2）m n n m n m n m

n m +-+---22 =+----

-=+---=--=m n n m n n m m n m

m n n m n m n m n m 22221

（3）16416434922

x y x y x

y x --++-

--++

+-=--+-

+-12321232323231232123233232()()()()

()()()()

x y x y x

y x y x x y x y x x y x y

=+-+--+--+-3223232322323232

23232x y x y x y x y x y x y x x y x y ()()()()()()

+----+32323223232x y x y x x y x y ()()

()()·

=+-+--+3232623232x y x y x x y x y ()()

=--+=-+46232321

32y x x y x y x y

()()

（4）a a +--24

=+--=+--+-a a a a a a 21422224

2()()· =-a a 2

例5. 计算：（考查分式的混合运算）

（1）()x y x x y y y x

+-+-·2222

（2）x x x x x x x 22332

312

2+++++-+÷ （3）()x x x x x x x x

----+-+1346

322÷ 分析：（1）式先算乘法，再算加法；（2）式先分解因式，除法变成乘法；（3）式则先算括号内的部分。

解：（1）()x y x x y y y x +-+-·2222

=++-+-()()()x y x x y x y y y x ·22

=---=--x x y y x y x y x y 2222

+--=+()()

x y x y x y

x y （2）x x x x x x x 22332

312

2+++++-+÷ =+++++-+x x x x x x x ()()()312132

2·

=+-+=-+x x x x x 22222 （3）()x x x x x x x x

----+-+1346

322÷ =------++x x x x x x x x x x ()()()()()()

()

1433233÷

=--+---x x x x x x x

x 2271232()·

=---=-62326

()()x x x x x x ·

点评：对分式的混合运算，因式分解是关键，认真细心是保证。

例16. 化简，求值。

（1）x x x x x x +++---+1111

1234÷()，其中x =-31

（2）()a a a a a a a a -+--++-+22144

222÷，其中a 满足a a 2210+-=

分析：（1）式将分子分母能分解因式的因式分解，然后约分、通分，最后代入数值。

（2）式在化简之后，根据式子特征，应将a a 22+看成一个整体来处理。

解：（1）x x x x x x +++---+11113

1234÷() =++++-+--+x x x x x x x x 1111113

1223

·()()()()

=-+--+=+x x x x x 11312

当x =-=

-+==31231123

3时，原式

（2）()a a a a a a a a -+--++-+22144

222÷

=-+--++-[()()]a a a a a a a 22122

42·（先去括号）

=----+-=-+--+-a a a a a a a a a a a a a 2412422124()()()()()()

()()

=--++-=-+-a a a a a a a a a a 224244

24()()()()

=+=+121

22a a a a

()

当a a 2210+-=时，a a 221+=

∴原式==1

1。

点评：（2）式中注意到括号内与括号外的式子有公因式可约，因此考虑到了分配律，使运算简便。

例17. 已知a b c a b c b a c c a b

++=+++++0111111

，求()()()的值。

分析：由于a b c ++=0，所给式中各项都有a 、b 、c ，只是括号内的项不相同，可考虑将其变得相同，提取公因式后剩下a b c ++，从而得解。

解：a b c b a c c a b ()()()111111

+++++

=++-+++-+++-a b c a a b a c b b c a b c c ()()()111111111111

=++-+++-+++-=++++-=++-=-a a b c b a b c c a b c

a b c a b c

a b c

()()()()()()111111111111

111

30111

点评：考查分式化简时的灵活应用。

例18. 计算：2002220021

20022002320022

3232-++--××

分析：若直接进行计算，数字较大且易出错，这里不妨设2002=a ，然后转化为分式的求值运算，将会比较简便。解：设2002=a

则原式=-++--=-----+--a a a a a a a a a a a a a 3232322322

21321222()()

()() =-----+=-+==()()()()a a a a a a a a 11121220012004667

668

例19. 化简：

11112123199100a a a a a a a -+--+--++--()()()()()()

… 分析：本题通过通分化简是不可能的，利用1121231341

910

×××…×++++ =-+-+-++-=-=11212131314191101110910…的方法来解决本题较易，所查知

识点是分式的拆项化简。解：原式

=-+---+---++---=-111211131211001991100a a a a a a a a …

【模拟试题】一. 计算

1. ()()()()x y y x x y x y --+--+7632÷÷

2. ()[()()]()a a a a 324352322÷÷

3. [()()]()()a a a a 33432332·÷÷-

4. ()[5()]--+551n n ÷

5. ()()--5232223a b c ab c ÷

6. 6325642322a b c a b c ab c ÷÷()()-

7. ()()2412324332222a y a y a y ay -+-÷

8. [()()]()x x x x x 342122-+--÷

9. 364423622x x x x x

x -++-+÷

10. ()()()()ab b a

b b 32245·÷·---

11.

2m m +--

12. 211

12a a a -+- 13. m m m m +---3692

32÷ 14. ()x x x x x x

--+-2242÷ 15. ()()1111112+-+-x x ÷

16. ()1214322a a a a ++-+· 17.

()x x x x x x x 22244412

21--+---+·

二. 化简求值

1. ()a a a a a a a a -+--++-+22144

222÷，其中a 满足a a 2240+-=

2. a a a a a a a 22

212122--++--÷，其中a =11

3. 124422

--+-++x y x y x y x xy y

÷，其中x y =-=211， 4. 已知a ab b 2

60+-=，求a b b a a b ab

--+22

的值。

5. 已知m m +=15，求m m

-1

的值。

三. 思考题

1. 若1231228121x y x x y

==--+，，则的值是多少？

2. 若abc a ab a b bc b c

ca c =++++++++1111

，求的值。

【试题答案】一、计算 1. -2y 2. a 4

3. -a 9

4. -1

5. -25ac

6. -a bc 2

7. 633

2a y a -+

8. -+-x x 2

9. 922x x

10. b a

11. --+m m

m 242

12. 1

1a +

13.

m m -+3

3 14. -+4

22x x

15. x x

16. a a

-2

17. x

二、化简求值

121

4a a ()+= 2.

4a -= 3.

-+=-y x y 2

2 4. -=-22

1b a 或 5. ±1

三、思考题

1. 43

2. 1