等效风荷载计算方法分析

等效静力风荷载的物理意义

从风洞试验获取屋面风荷载气动力信息，到得到结构的风振响应整个过程来看，计算过程中涉及到风洞试验和随机振动分析等复杂过程，不易为工程设计人员所掌握，因此迫切需要研究简便的建筑结构抗风设计方法。等效静力风荷载理论就是在这一背景下提出的。其基本思想是将脉动风的动力效应以其等效的静力形式表达出来，从而将复杂的动力分析问题转化为易于被设计人员所接受的静力分析问题。等效静力风荷载是联系风工程研究和结构设计的纽带[3]，是结构抗风设计理论的核心内容，近年来一直是结构风工程师研究的热点之一。

等效静力风荷载的物理意义可以用单自由度体系的简谐振动来说明[45, 108]。

图1.3 气动力作用下的单自由度体系

对如图1.3的单自由度体系，在气动力()P

t 作用下的振动方程为：

(

)mx cx kx P t ++= (1.4.1)

考虑粘滞阻尼系统，则振动方程可简化为：

()()()

2

00222P t x f x f x m

ξππ++=

(1.4.2)

式中0f =

为该系统的自振频率，ξ=

假设气动力为频率为f 的简谐荷载，即()20i ft P

t F e π=，那么其稳态响应为：

()()()

202

00

12i ft F k

x t e f f i f f πξ=

-+? (1.4.3)

进一步化简有：

(

)()2i ft x t Ae πψ-= (1.4.4)

其中A =

，()

02

02arctan

1f f f f ξψ=-，A 为振幅，ψ为气动力和

位移响应之间的相位角。

现在假设该系统在某静力F 作用下产生幅值为A 的静力响应，那么该静力应该为：

F kA ==

(1.4.5)

如果不考虑相位关系，静力F 与简谐气动力()P t 将产生一致的幅值响应，则这两种荷载之间

存在一种“等效”的关系，那么F 可以称为()P

t 的“等效静力风荷载”。

从上面这个简单的实例可以很清楚的体会到，所谓等效静力风荷载是指这样一种静力荷载，当把它作用于结构上时，其在结构上产生的静力响应（不仅指代位移响应，也包括内力响应等）与外加气动力荷载产生的动力响应最大幅值是完全相等的。本文中，将动力响应的最大幅值称为峰值响应，或目标响应。

等效静力风荷载理论的提出和发展

等效静力风荷载（Equivalent static wind loading, ESWL ）理论研究始于高层、高耸结构。1967年，A.G. Davenport 率先引入随机振动理论，建立了结构抖振响应分析的理论框架，并借助阵风荷载因子（Gust Loading Factor, GLF ）这一概念将复杂的动力分析问题转化为易于被设计者接受的静力分析问题，从而开创了等效静风荷载理论研究的先河[109]。其后，先后有很多学者进行过等效静力风荷载的探讨，并且提出了多种计算方法，但大多是针对高层结构而提出的一系列改进措施[108,

110-119]

。

上世纪九十年代，Kasperski （1992）在研究低矮房屋的等效静力风荷载时，重新审视了阵风荷载因子法的不足，提出了适用于刚性屋面的荷载—响应相关（Load-Response-Correlation, LRC ）法

[120, 121]

，用于计算其背景等效静力风荷载。LRC 法的提出和发展，使得等效静力风荷载的物理概念

更加清晰。随后，LRC 法被广泛的应用于大跨度屋盖结构等效静力风荷载的计算[71, 96]。LRC 法的优点是，它利用荷载和响应之间的相关系数来确定等效静力风荷载，这使得求得的等效静力风荷载是实际可能发生的。

在LRC 法的基础上，Holmes 等人（1996, 1999）建议采用LRC 法和等效风振惯性力相结合的办法来表示等效静力风荷载，并且给出了平均风荷载、背景风荷载以及代表多阶共振分量的惯性风荷载一起组合的等效静力风荷载形式[122] （或称为三分量组合形式）。之后，不断有学者对三分量法提出改进和完善[2, 6, 7, 45, 97-105, 107]。

到目前为止，已经出现多种静力等效方法，下面详细介绍几种主要的方法。

1.4.

2.1 阵风荷载因子（GLF ）法

Davenport （1967）引入“阵风荷载因子”（Gust Loading Factor, GLF ）来考虑脉动风荷载对结构响应的放大[109]，这种简单可行的方法得到发展并运用到实际工程中，成为制定高层建筑风荷载规范的主要依据。

阵风荷载因子法定义峰值响应与平均响应之比——“阵风荷载因子”G 来表征结构对脉动荷载的放大作用。作用在结构上以某个响应等效的静力等效风荷载可用下式计算，

()()()?p

z G z p z = (1.4.6) 式中，

()p z 为平均风荷载，阵风荷载因子()G z 由下式确定:

()()()

?r z G z r z = (1.4.7)

其中()?r

z 表示峰值响应，()r z 为平均响应。()?r

z 可以表示为： ()()()?r r

z r z g z σ=+ (1.4.8) 其中g 为峰值因子，()r z σ为计算得到的某个响应的均方根值。将（1.4.8）代入（1.4.7），得到

()()

()1r z G z g r z σ=+ (1.4.9)

利用阵风荷载因子法来表示静力等效风荷载简单方便，因而在近年来的大跨度屋盖结构抗风研究中应用也很广泛。目前对封闭平屋盖等效静力风荷载的研究一般都采用了阵风荷载因子法。例如Marukawa （1993）针对来流紊流度、屋盖的几何特性和梁的结构特性为阵风荷载因子提供了经验公式[123]。Ueda （1994）采用同步测压技术研究了梁柱框架结构平屋盖的风振响应[124]，特别研究了来流紊流对风荷载的影响，提供了比文献[123]更详尽的阵风荷载因子表达形式。Uematsu 根据封闭平坦矩形屋盖的结构形式，把平坦矩形屋盖分为主次梁体系屋盖和空间整体体系屋盖两大类，前者由互相平行的主梁作为承重结构，主梁之间通过次梁连接，结构振型为主梁在竖向的振动，第一阶振型可以用一维的正弦曲线描述；而后者为空间网架，在风荷载作用下屋面发生类似弹性板的竖向振动，振型可以用两个正弦曲线的乘积形式描述。Uematsu （1997）对不同跨高比的第一类平屋盖在不同流场中进行了刚性模型试验[125]，用第一阶模态力计算了主梁的动力反应，发现靠近屋盖边缘的主梁最大风振反应发生在风向垂直于梁轴线的情况；而位于屋盖中央的主梁其最大风振反应发生在来流平行于梁轴线的情况。根据这个规律对第一阶模态力推导的梁阵风荷载因子公式进行了简化， 提出了适合工程运用的经验公式， 其中考虑了紊流度、 结构跨高比、 主梁位置等因素。Uematsu （1996，1997）还研究了第二类平坦矩形屋盖[126, 127]，研究方法与第一类矩形平屋盖基本相同。由于其振动形式与第一类矩形平屋盖不同，所以最不利的工况为来流垂直于屋盖边缘的情况。对阵风荷载因子的研究表明，当折减频率比较小时，阵风响应因子受结构跨高比的影响较大，并且此时的等效风荷载比按准定常方法得到的风荷载要大很多。Uematsu （1999）采用类似平坦矩形屋盖的方法进一步研究了圆形平屋盖的风振响应[83]。文中用考虑第一阶模态的阵风荷载因子经验公式（包含了高跨比及来流紊流的影响）计算了几个圆形平屋盖的位移及弯矩，发现计算结果与时程分析结果吻合得很好。Uematsu 的方法优点在于计算简便、快捷，但仅考虑了一阶模态的贡献，忽略了高阶振型的影响。阵风荷载因子法同样被用于结构外形相对复杂的大跨度屋盖结构[128]。

尽管阵风荷载因子法使用很简单，但有很大的局限性。从式（1.4.6）可知，该方法给出的静力等效风荷载是与平均风荷载同分布的。由于大跨度屋盖结构各响应的阵风响应因子常常差别很大，就可能导致某响应对应静力等效风荷载作用下的该响应大小，并不是所有静力等效风荷载作用下的最大响应，这样易导致设计人员的误解。另外，如果结构的平均响应（荷载）为零时，GLF 法给出的阵风荷载因子将会出现无穷大（零）的情况[6]。

1.4.

2.2 惯性风荷载（IWL ）法

实际上，保证控制点响应等效的静风荷载分布形式存在无穷多个，Davenport 提出的GLF 法及其改进方法都是假定等效静力风荷载的分布形式同平均风荷载，并没有体现响应出现极值时结构真实的最不利荷载分布。惯性风荷载（IWL ）法[129-134]从结构动力方程出发研究等效静力风荷载的分布，认为脉动风对应的等效静力风荷载可以用结构的惯性力表示，其分布形式是真实的最不利荷载分布。其主要思想是：如果结构第j 阶振型()j z φ在结构上的模态坐标标准差为j σ，则相应于该

振型的惯性力为()()2j j j m

z z ωσφ[135]。

下面证明在惯性力()()2j j j m

z z ωσφ作用下结构产生的响应为()j j z σφ。

在此惯性力下的广义力为（因振型对质量的正交性，其它阶振型的广义力均为零），

()()()20

L

j j j j z m z z dz φωσφ?

=2*j j j M ωσ (1.4.10)

而在此广义力作用下的广义模态坐标为，

j j j j j

K M σωσ=*2*

/ (1.4.11)

由此可以证明惯性力()()2j j j m

z z ωσφ作用下结构产生的相应为()j j z σφ。

惯性风荷载法实际上也是一种阵风荷载因子法，只不过其阵风荷载因子由惯性力来表示。由于中国建筑结构荷载规范GBJ 中采用此方法，因而惯性风荷载法习惯上也称为GBJ 法。在中国建筑结构荷载规范中，对于主要为第一阶振型起作用的结构（对于多阶模态作用的结构可用相同的方法计算阵风荷载因子），阵风荷载因子（中国规范GBJ9-87称风振系数）为：

()()()

()

21111m z z G z g p z ωσφ=+ (1.4.12)

其中1ω为第一阶自振圆频率。

显然，GBJ 法给出的阵风荷载因子与结构的质量分布和动力特性有关，其静力等效风荷载与平均风荷载的分布是不同的，GBJ 法赋予了静力等效风荷载明确的物理意义。但GBJ 法也有不足，虽然它给出的共振等效风荷载和响应与实际值是相同的，但背景等效风荷载和其它响应则与实际情况不同，另外GBJ 法无法处理多模态的耦合情况，因而不适用于大跨度屋盖结构。类似于GLF 法，如果结构的平均荷载为零时，GBJ 法给出的风振系数也将会出现无穷大的情况。

阵风荷载因子法和惯性风荷载法都用阵风荷载因子来反映总等效风荷载和平均风荷载之间的关系；不同之处在于对阵风荷载因子的计算，前者认为阵风荷载因子等于动力响应与平均响应的比值，而后者则将风振惯性力与平均风荷载的比值作为阵风因子来反映风荷载的脉动放大作用。以上根据“阵风荷载因子”思想提出的静力等效风荷载方法写入了许多国家的高层建筑结构抗风规范。使用阵风荷载因子法虽然简单方便，但直接把研究高层结构的方法搬到大跨度屋盖结构显然不合适，因为大跨度屋盖结构相对高层结构而言，不论荷载还是响应特性都要复杂很多。

1.4.

2.3 荷载响应相关（LRC ）法

Kasperski （1992）年提出的荷载-响应相关法，即LRC 法[120, 121]，是在研究低矮建筑风洞试验[95,

136-138]

基础上发展起来的一种计算静力等效风荷载的方法。LRC 法利用准静力的方法计算背景响应，

能够得到背景风荷载的等效分布形式，它的出现使等效背景风荷载的计算有了坚实的理论基础。Kasperski （1992）认为，即使对于非高斯过程的荷载，LRC 法仍然能给出具有很好近似程度的等效荷载分布[121]。Holmes （1992）将LRC 法与正交分解法结合在一起来表示等效的背景风荷载[139]。

从结构动力学可以知道，结构在低频部分的响应可以认为仅是弹性恢复力来抵抗外力的（俞载道, 1987）[140]。根据这一原理，LRC 法考虑了结构上脉动风荷载之间的相关性，用准静力的方法计算出结构表面等效背景风荷载。

用准静态方法得到 t 时刻结构上某点的瞬态背景响应为

()()()0

,l

r r t p z t I z dz =? (1.4.13)

其中，(),p z t 为作用在结构上的脉动风荷载，()r I z 为对应于响应r 的影响线。相应的平均响应

为

()()0

l

r r p z I z dz =? (1.4.14)

根据（1.4.13），可得到响应的标准差B r ,σ：

()()()()2

1

2

1

2

1

2

00

,,,l

l

r

r

r B

p z t p z t I z I z dz dz

σ

=?

? (1.4.15)

式中下标“B ”表示背景响应。

作为上式计算的一个中间步骤，响应和荷载的协方差可以表示为：

()()()()21211,,20

,,,l

r r p r B p r p

p z t p z t I z dz z σ

ρσσ==? (1.4.16)

,r p ρ定义为0z 位置的背景响应与2z 位置处荷载之间的相关系数，那么可以把（1.4.15）改写为：

()()()()2

21211200,,,l

l r r r B

I z p z t p z t I z dz dz σ??=??????? (1.4.17) 把（1.4.16）代入（1.4.17）得：

()(),2,220

l

r B r r p p I z z dz σρσ??=???? (1.4.18)

如果定义：

()(),eB B r p p P z g z ρσ= (1.4.19)

式中B g 为背景响应的峰值因子。那么（1.4.18）即为：

()(),0

l

B r B r eB g I z P z dz σ=?? (1.4.20)

可见，()eB

P z 为对应于背景响应值,B r B g σ的等效静力风荷载。

从上述的推导可知，LRC 法通过荷载与响应之间的相关性分析，过滤掉了对所考察响应没有贡献或贡献很小的脉动荷载，从而体现了对响应有效的脉动荷载分布。对于响应和荷载的均值为零的情况，LRC 法均可以给出解答。利用LRC 法，某响应对应静力等效风荷载作用下的该响应的大小，一定是所有静力等效风荷载作用下的最大响应。由于,r p ρ小于1，所以LRC 法定义的等效荷载分布在峰值压力分布（

?B p p

p g σ=+）的包络线内，由此可见LRC 法是一个易于理解的等效静荷载概念。另外，LRC 法采用了准静态方法，实际上已经包含了构成背景分量的所有模态的贡献。但由于 LRC 法只能计算背景响应，因此将它应用于大跨度屋盖结构时，只适用于强刚性屋盖的等效荷载分布的计算，而对于弱刚性或柔性屋盖则不适用，因为这时共振响应占了相当大的比重。

1.4.

2.4 三分量法

周印、顾明(1998)根据Davenport 提出的把顺风向响应处理为平均、背景和共振分量的思想提出了用这三个分量的组合来表示高层建筑静力等效风荷载[108, 113]的方法，其中背景等效风荷载用LRC 法表示；由于共振时结构等效风荷载等于惯性力，因此用代表共振分量的等效风振惯性力表示共振等效风荷载。和以上方法类似，对于背景、共振响应均不能忽略的风致结构振动问题，Holmes （2002）采用了将LRC 法和等效风振惯性力相结合的办法来表示静力等效风荷载，并给出了平均风荷载、背景风荷载以及代表共振分量的惯性风荷载一起组合的等效风荷载形式[122]。下面简述其计算的基本过程。

对于背景响应等效静力风荷载，上小节已经给出了详细的推导；而对于共振响应等效静力风荷载，与1.4.2.2小节的惯性力略有不同，区别在于这里仅考虑各阶模态的共振响应。对于某结构，其第 i 阶模态的位移均方响应可以表示为[45]：

()()()2

22

00

1

qi i Qi i qi S n dn H n S n dn K σ∞

∞

==

??

(1.4.21)

式中()qi

S n 为第 i 阶模态的位移响应谱，可以表示为：

()()()221qi i Qi i

S n H n S n K =

(1.4.22) 其中i K 为第 i 阶模态的广义刚度；()i H n 为第 i 阶模态的频响函数，()2

i H n 则称为第 i 阶模态的位移导纳；()Qi

S n 为第 i 阶模态力自谱。对于一般的荷载，其输入力谱的卓越频率均比结构的

自振频率小很多，因而对于位移导纳()2

i H n ，其值在第 i 阶自振频率i n 附近有较大的峰值，而在其他频率上的值则很小，因此可以将位移导纳分为两个部分：在其自振频率i n 附近，这部分认为是由于结构的共振引起，称为共振区域；另一部分是除共振区域外的其他区域，该部分与结构的共振无关，称为背景区域。通过推导[45]可以得到：

()()220

14i Qi Qi i i i qi n S n dn S n K πσξ∞

???

+????

? (1.4.23) 上式的前面部分为第 i 阶模态位移响应的背景分量，后面部分为第 i 阶模态响应的共振分量。如用

,qi R σ表示第 i 阶模态响应的共振分量，那么它可以表示为：

()2

2

,14i

Qi i i i

qi R

n S n K πσξ= (1.4.24) 因此第 i 阶模态的共振响应等效静力风荷载可以表示为：

()()2

,,,eR i R i i i qi R P g m z z ωφσ= (1.4.25)

上式考虑了共振响应峰值因子,R i g 。

根据三分量法的思想，总的峰值响应可表示为

?T r

r =+(1.4.26) 上式其实就是常用的SRSS 法，它基于小阻尼及各模态之间的交叉项可忽略的假定。

相应的静力等效风荷载（包括平均、背景和共振分量）为

()()()(),,e B eB R i eR i i

p z p z W P z W P z =++∑ (1.4.27)

式中()eB

P z 为 LRC 法得到的背景响应等效静力风荷载，见（1.4.19）式；(),eR i P z 为第 i 阶共振

响应的等效静力风荷载；B W 、,R i W 分别为()eB P z 和(),eR i P z 的权值系数，由下式确定

[122]

： ,2

222

1/2

,,,()

B r B

B B

r B

R i

i

qi R g W g g σσ

σ=

+∑ (1.4.28)

,,,2222

1/2

,,,()

R i qi R

R i

B

r B

R i

i

qi R g W g g σσ

σ=

+∑ (1.4.29)

上述方法虽然考虑了背景和多个模态共振响应，但必须假定参振模态之间能够很好的分离。而在工程实践中，常见的大跨度屋盖结构不仅要包含多振型的贡献，而且应该考虑不同振型响应之间的耦合影响。这使得 Holmes 提出的方法在处理大跨度屋盖结构的静力等效风荷载问题上遇到了障碍。