二次函数的综合应用中考试题中的核心素养

第三章 函数

第17课时 二次函数的综合应用

1. (2017河北)如图，若抛物线y ＝－x 2＋3与x 轴围成的封闭区域(边界除外)内整点(点的横、纵坐标都

是整数)的个数为k ，则反比例函数y ＝k x

(x ＞0)的图象是( )

2. 如图，一座拱桥的轮廓是抛物线型，拱高6 m ，在长度为8 m 的两支柱OC 和AB 之间，还安装着三根支柱，相邻两支柱间的距离均为5 m .

(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求拱桥抛物线的函数表达式；

(2)求支柱EF 的长度；

(3)拱桥下面拟铺设行车道，要保证高3 m 的汽车能够通过(车顶与拱桥的距离不小于0.3 m )，行车道最宽可以铺设多少米？

第2题图

3.根据下列要求，解答相关问题：

(1)请补全以下求不等式－2x2－4x≥0的解集的过程.

①构造函数，画出图象：

根据不等式特征构造二次函数y＝－2x2－4x；抛物线的对称轴x＝－1，开口向下，顶点(－1，2)与x轴的交点是(0，0)，(－2，0)，用三点法画出二次函数y＝－2x2－4x的图象如图①所示；

②数形结合，求得界点：

当y＝0时，求得方程－2x2－4x＝0的解为；

③借助图象，写出解集：

由图象可得不等式－2x2－4x≥0的解集为.

(2)利用(1)中求不等式解集的方法步骤，求不等式x2－2x＋1＜4的解集.

①构造函数，画出图象；

②数形结合，求得界点；

③借助图象，写出解集.

(3)参照以上两个求不等式解集的过程，借助一元二次方程的求根公式，求关于x的不等式ax2＋bx＋c ＞0(a＞0)的解集.

图①图②

第3题图

参考答案

中考试题中的核心素养

1. D 【解析】在抛物线y ＝－x 2＋3中，令y ＝0，解得x ＝±3 ，令x ＝0，则y ＝3，所以抛物线与x 轴围成的封闭区域(边界除外)内整点有(－1，1)，(1，1)，(0，1)，(0，2)，共4个，所以k ＝4，所以反比例

函数解析式为y ＝4x

，其图象经过点(1，4)，(2，2)，(4，1)，所以符合的图象如选项D. 2. 解：(1)根据题意，设拱桥抛物线的函数表达式为y ＝ax 2＋bx ，

∵相邻两支柱间的距离均为5 m ，∴OA ＝4×5＝20(m)，

∴(20，0)，(10，6)两点都在抛物线上，

∴?

????400a ＋20b ＝0，100a ＋10b ＝6， 解得???a ＝－350，

b ＝65．

∴拱桥抛物线的函数表达式为y ＝－350 x 2＋65

x ； (2)设点F 的坐标为(15，n )，

∴n ＝－350 ×152＋65 ×15＝92

. ∴EF ＝8－92

＝3.5 (m)； (3)当y ＝3＋0.3＝3.3(m)时，有

－350 x 2＋65 x ＝3.3， 化简，得x 2－20x ＋55＝0，

解得x ＝10±35 ，则x 1≈3.292，x 2≈16.708，

∴x 2－x 1＝16.708－3.292＝13.416≈13.4 m.

答：行车道最宽可以铺设13.4米．

3. 解：(1)②x 1＝0，x 2＝－2；

③－2≤x ≤0；

(2)①构造函数，画出图象：

构造函数y ＝x 2－2x ＋1，抛物线的对称轴x ＝1，

且开口向上，顶点坐标为(1，0)，

关于对称轴x ＝1对称的一对点(0，1)，(2，1)，

用三点法画出函数图象如解图所示；

第3题解图②数形结合，求得界点：

当y＝4时，方程x2－2x＋1＝4的解为：x1＝－1，x2＝3；

③借助图象，写出解集：

由解图知，不等式x2－2x＋1＜4的解集是：－1＜x＜3.

(3)当b2－4ac＞0时，关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集是x＞－b＋b2－4ac

2a或x＜

－b－b2－4ac

2a；

当b2－4ac＝0时，关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集是x≠－b

2a；当b2－4ac＜0时，关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集是全体实数．