对数函数教案
§2.8.1 对数函数
教学目标:1\理解对数函数的概念；2、掌握对数函数的图象和性质；3、培养学生数形结合的意识
教学重点：对数函数的图象和性质
教学难点：对数函数与指数函数的关系 教学方法：学导式 教学过程： （I ）复习回顾
我们研究指数函数时，曾经讨论过细胞分裂问题，某种细胞分裂时，得到的细胞的个数
y 是分裂次数x 的函数，这个函数可以用指数函数y =x 2表示。
现在，我们来研究相反的问题，如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个……细胞，那么，分裂次数x 就是要得到的细胞个数y 的函数。根据对数的定义，这个函数可以写成对数的形式就是x x 2log =
如果用x 表示自变量，y 表示函数，这个函数就是x y 2log = 由反函数概念可知， x y 2log =与指数函数x
y 2=互为反函数 这一节，我们来研究指数函数的反函数——对数函数
（Ⅱ）讲授新课
1．对数函数定义：一般地，当0>a 且1≠a 时，函数x y a log =叫做对数函数 这里大家要明确，对数函数x y a log =与指数函数x
a y =互为反函数，所以，对数函数的解析式可以由指数函数求反函数得到，对数函数的定义域、值域也就是指数函数的值域、定义域。即对数函数的定义域是（0，+∞），值域是R 。
由于对数函数x y a log =与指数函数x
a y =互为反函数，所以x y a log =的图象与
x a y =的图象关于直线x y =对称。因此，我们只要画出和x a y =的图象关于x y =对称
的曲线，就可以得到x y a log =的图象，然后根据图象特征得出对数函数的性质。
2、对数函数的图象和性质 图 象
说明：图中虚线表示的曲线是指数函数x
a y =的图象
接下来，我们通过例题来看一下对数函数性质的简单应用。 3、例题讲解：
例1． 求下列函数的定义域：
（1）2
log x y a =； （2）)4(log x y a -=； （3）)9(log 2x y a -=
分析：此题主要利用对数函数x y a log =的定义域（0，+∞）求解。
解：（1）由2
x >0得0≠x 。所以函数2log x y a =的定义域是0≠x x ；
（2）由04>-x 得4 （3）由9-02 >-x 得-33< 33<<-x x 评述：此题只是对数函数性质的简单应用，应强调学生注意书写格式。 为使大家进一步熟悉对数函数的图象和性质，我们来做练习。 （Ⅲ）课堂练习：课本P 89练习1，2 要求：学生板演练习，教师讲评 （Ⅳ）课时小结：通过本节学习，大家应逐步掌握对数函数的图象与性质，并能利用对数函数的性质解决一些简单问题，如求对数形式的复合函数的定义域问题。 （V ）课后作业 一、课本P 89习题2.8 1，2； 二、1．预习内容：P 88例题，例3 2、预习提纲： （1） 同底数的两对数如何比较大小？ （2） 不同底数的两对数如何比较大小？ §2.8.2 对数函数性质应用 教学目标：1、掌握对数函数单调性；2、掌握比较同底数对数大小的方法；3、培养学生数学应用意识 教学重点：利用对数函数单调性比较对数大小 教学难点：不同底数的对数比较大小 教学方法：自学辅导法 教学过程： （I ）复习回顾 上一节，大家学习了对数函数的图象和性质，明确了对数函数的单调性，即：当1>a 时，x y a log =在（0，+∞）上是增函数；当10< （Ⅱ）讲授新课 1、例题讲解： 例2：比较下列各组数中两个值的大小： （1）5.8log ,4.3log 22； （2）7.2log ,8.1log 3.03.0； （3）)1,0(9.5log ,1.5log ≠>a a a a 分析：此题主要利用对数函数的单调性比较两个同底数的对数值大小。 解：（1）考查对数函数x y 2log =，因为它的底数2>1，所以它在（0，+∞）上是增函数，于是5.8log 4.3log 22< （2）考查对数函数x 3.0log ，因为它的底数0<0.3<1，所以它在（0，+∞）上是减函数，于是7.2log 8.1log 3.03.0> 通过例2（1）、（2）的解答，大家可以试着总结两个同底数的对数比较大小的一般步骤： （1） 确定所要考查的对数函数； （2） 根据对数底数判断对数函数增减性； （3） 比较真数大小，然后利用对数函数的增减性判断两对数值的大小 解：（3）当1>a 时，x y a log =在（0，+∞）上是增函数，于是9.5log 1.5log a a < 当10< 评述：对数函数的增减性决定于对数的底数是大于是还是小于是。而已知条件并未指明，因此需要对底数a 进行讨论，体现了分类讨论的思想，要求学生逐步掌握。 例3：比较下列各组中两个值的大小： （1）6log ,7log 76； （2）8.0log ,log 23π 分析：由于两个对数值不同底，故不能直接比较大小，可在两对数值中间插入一个已知数，间接比较两对数的大小。 解：（1）16log 7log 66=> 7767log 6log 71,log 7log 6<=∴> （2）01log log 33=>π ；2232log 0.8log 10,log log 0.8π<=∴>； 评述：例3仍是利用对数函数的增减性比较两个对数的大小，当不能直接比较时，经常在两个对数中间插入1或0等，间接比较两个对数的大小，例3（2）题也可与1比较。 （Ⅲ）课堂练习：课本P 89练习3 补充：比较7.0log 2与8.0log 3 1两个值的大小 要求：学生板演，教师讲评 （Ⅳ）课时小结 通过本节学习，大家要掌握利用对数函数的增减性比较两对数大小的方法，并要能逐步掌握分类讨论的思想方法。 （V ）课后作业 一、课本P 89习题2.8 3 二、1．预习内容：函数单调性、奇偶性证明 预习提纲： （1） 判断、证明函数单调性的通法； （2） 判断、证明函数奇偶性的通法。 教学后记 §2.8.3 对数函数性质应用 教学目标 ：1．掌握对数函数单调性；2．掌握比较同底数对数大小的方法；3．培养学生数学应用意识 教学重点：函数单调性、奇偶性的证明通法 教学难点：对数运算性质、对数函数性质的应用 教学方法：引导式 教学过程： （I ）复习回顾 上一节，我要求大家预习函数单调性、奇偶性的证明方法，现在，我们进行一下回顾。 1、判断及证明函数单调性的基本步骤：假设—作差—变形—判断 说明：变形目的是为了易于判断；判断有两层含义：一是对差式正负的判断；二是对增减函数定义的判断。 1、判断及证明函数奇偶性的基本步骤： ① 考查函数定义域是否关于原点对称； ② 比较)(x f -与)(x f 或者)(x f -的关系； ③ 根据函数奇偶性定义得出结论。 说明：考查函数定义域容易被学生忽视，应强调学生注意。 接下来，我们一起来看例题 （Ⅱ）讲授新课 例4：判断下列函数的奇偶性： （1）x x x f +-=11lg )(； （2）)1ln()(2x x x f -+= 分析：首先要注意定义域的考查，然后严格按照奇偶性证明基本步骤进行 解：（1）由 011>+-x x 可得11<<-x ，所以函数的定义域为： （1,1-）关于原点对称 又x x x f -+=-11lg )(111lg()lg ()11x x f x x x ---==-=-++。即)()(x f x f -=- 所以函数x x x f +-=11lg )(奇函数 评述：此题确定定义域即解简单分式不等式，函数解析式恒等变形需利用对数的运算性质。说明判断对数形式的复合函数的奇偶性，不能轻易直接下结论，而应注意对数式的恒等变形。 解：（2）由012>-+x x 可得R x ∈，所以函数的定义域为R 关于原点对称 又 )1ln()(2x x x f ++=- ()x f x ===-=- 即)()(x f x f -=- 所以函数)1ln()(2x x x f -+=是奇函数 评述：此题定义域的确定可能稍有困难，可以讲解此点，而函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧，应要求学生掌握。 例5：（1）证明函数)1(log )(2 2+=x x f 在),0(+∞上是增函数。（2）问：函数 )1(log )(22+=x x f 在)0,(-∞上是减函数还是增函数？ 分析：此题目的在于让学生熟悉函数单调性证明通法，同时熟悉上一节利用对数函数单调性比较同底数对数大小的方法。 证明：设),0(,21+∞∈x x ，且21x x < 则)1(log )1(log )()(2 222 1221+-+=-x x x f x f 1102 22121+<+∴< 又x y 2log = 在),0(+∞上是增函数 ∴)1(log )1(log 2 222 12+<+x x ，即)()(21x f x f < ∴函数)1(log )(2 2+=x x f 在)0,(-∞上是增函数 （2）题证明可以依照上述证明过程给出 评述：此题可引导学生总结函数)1(log )(2 2+=x x f 的增减性与函数12 +=x y 的增 减性的关系，并可在课堂练习之后得出一般性的结论。 （Ⅲ）课堂练习 （1） 证明函数)1(log 221+=x y 在)0,(-∞上是减函数； （2） 判断函数)1(log 2 21+=x y 在)0,(-∞上的增减性 （Ⅳ）课时小结 通过本节学习，大家能进一步熟悉对数函数的性质应用，并掌握证明函数单调性、奇偶性的通法，提高数学应用的能力。 （V ）课后作业 一、1．求)2(log 2 3.0x x y -=的单调递减区间； 2．求)4(log 2 2x x y -=的单调递增区间； 3、已知)2(log ax y a -=在[0，1]上是x 的减函数，求a 的取值范围 二、1．预习内容：课本P 90例1，P 96～P 97 2．预习提纲： （1） 什么是数学模型？ （2） 什么是数学建模 （3） 你认为数学建模的关键是什么？ 教学后记 §2.9.1 函数的应用举例 教学目标：1．了解数学建模；2．掌握根据已知条件建立函数关系式；3培养学生分析问题、解决问题的能力；4、培养学生应用数学的意识 教学重点：根据已知条件建立函数关系式 教学难点：数学建模意识 教学方法：读议讲练法 教学过程： （I ）复习回顾 前面，我们已经学习了函数的概念、函数的性质以及指数函数和对数函数，并要求大家在课前对本章作系统地归纳整理，接上来，用已学过的知识举例说明函数的应用。 （Ⅱ）讲授新课 大家首先阅读课本P 96～P 97，来了解一下数学建模的有关知识 1、数学模型与数学建模： 简单地说，数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于实际问题的数学描述。 数学模型方法，是把实际问题加以抽象概括，建立相当的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法。 2、例题讲解： 例1：用长为m 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如图），若矩形底边长为2x ，求此框架的面积y 与x 的函数式，并写出它的定义域。 分析：所求框架面积由矩形和半圆组成，数量关系较为明确，而且题中已设出变量，所以属于函数关系的简单应用。 解：如图设x AB 2=，则CD 弧长=x π，于是AD 2 2x x m π--= 因此mx x y ++- =22 4 π 再由0220 2>?? ? ??-->x x m x π 解之得π+<<20m x 即函数式是：mx x y ++- =22 4 π；定义域是：)2 , 0(+πm 评述：此题虽为函数关系的简单应用，但应让学生通过此题明确应用的能力要求及求解应用题的基本步骤。 1． 数学应用题的能力要求： （1） 阅读理解能力； （2） 抽象概括能力 （3） 数学语言的运用能力； （4） 分析、解决数学问题的能力 2． 解答应用题的基本步骤： （1） 合理、恰当假设； （2） 抽象概括数量关系，并能用数学语言表示； （3） 分析、解决数学问题； （4） 数学问题的解向实际问题的还原。 有了上述说明，我们在看例2时就应有所注意。 例2：如图所示，有一块半径为R 的半圆形纲板，计划剪裁成等腰梯形ABCD 的形状，它的下底AB 是⊙O 的直径， 上底CD 的端点在圆周上，写出这个梯形周长y 和腰长x 间的函数式，并求出它的定义域。 分析：要用腰长表示周长的关系式，应该知道等腰梯形各边的长，下底长已知为2R ， 两腰长为2x ，因此，只须用已知量（半径R ）和腰长x 的函数式。 解：如图所示，AB=2R ，C 、D 在⊙O 的半圆周上设腰长AD=BC=x ，作DE ⊥AB ，垂足为E ，墨守成规结BD ，那么∠ADB 是直角，由此Rt △ADE ～△ABD 。 ∴AB AE AD ?=2 即R x AE 22 = ∴R x R AE AB CD 222-=-= 所以，)2(222R x R x R y -++= 即R x R x y 422 ++-= 再由???? ????? >->>020 202 2R x R R x x 解得R x 20<< ∴周长y 与腰长x 的函数式为：R x x R y 4212 ++- =，定义域为：)2,0(R 评述：例2是实际应用问题，解题过程是从问题出发，引进数学符号，建立函数关系式，再研究函数关系式的定义域，并结合问题的实际意义做出回答，这个过程实际上就是建立数学模型的一种最简单的情形。 （Ⅲ）课堂练习 课本P 92练习薄，2 （Ⅳ）课时小结 通过本节学习，大家应对数学建模有所了解，并能根据已知条件建立函数关系式，逐步增强解决实际问题的能力。 （V ）课后作业 一、课本P 93习题2.9 1，2 二、1.、预习内容：课本P 91例2 2．预习提纲 （1） 例2的数学模型和哪种函数有关？ （2） 试列举有关平均增长率的实际问题。 板书设计 教学后记 §2.9.2 函数的应用举例 教学目标：1．继续了解数学建模的方法；2．能够建立有关增长率的数学模型；3培养学生应用数学的意识 教学重点：数学建模的方法 教学难点：数学建模意识 教学方法：引导式 教学过程： （I ）复习回顾 上一节，我们了解了数学建模的方法和较简单的情形，并总结了解答应用题的基本步骤，这一节，我们继续学习有关数学建模的方法，加强大家的函数应用意识。 （Ⅱ）讲授新课 例3：按复利计算利息的一种储蓄，本金为a 元，每期利率为r ，设本利和为y ，存期为x ，写出本利和y 随存期x 变化的函数式，如果存入本金1000元，每期利率2.25%，试计算5期后的本利和是多少？ 分析：了解复利概念之后，利率就是本金的增长率，和大家初中所接触的增长率问题相似。 解：已知本金为a 元 1期后的本利和为)1(1r a r a a y +=?+=； 2期后的本利和为2 2)1()1()1(r a r r a r a y +=+++=； 3期后的本利和为3 3)1(r a y +=； …… x 期后的本利和为x r a y )1(+= 将1000=a （元），r =2.25%, 5=x 代入上式得5 5 1000(1 2.25%)1000 1.0225y =?+=? 由计算器算得68.1117=y （元） 答：复利函数式为x r a y )1(+=，5期后的本利和为1117.68元 评述：此题解答的过程体现了解题的思路，再现了探究问题的过程，容易被学生接受。 例4：某乡镇现在人均一年占有粮食360千克，如果该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x 年后若人均一年占有y 千克粮食，求出函数y 关于x 的解析式。 分析：此题解决的关键在于恰当引入变量，抓准数量关系，并转化成数学表达式，具体解答可以依照例子。 解：设该乡镇现在人口量为M ，则该乡镇现在一年的粮食总产量为360M 。 经过1年后该乡镇粮食总产量为360M （1+4%），人口量为M （1+1.2%），则人均占有粮食为 %) 2.11(%) 41(360++M M ； 经过2年后人均占有粮食为2 2 %) 2.11(%)41(360++M M …… 经过x 年后人均占有粮食x x M M y %) 2.11(%)41(360++= 即所求函数式为：x y )012 .104.1( 360= 评述：例4是一个有关平均增长率的问题，如果原来的产值的基础数为N ，平均增长率为P ，则对于时间x 的总产值y 可以用下面的公式，即x p n y )1(+= 解决平均增长率的问题，常用这个函数式。 （Ⅲ）课堂练习 课本P 92练习3，4 （Ⅳ）课时小结 通过本节学习，大家要掌握有关增长率的数学模型，如产量、产值、粮食、人口等增长问题就常用增长率的数学模型。 （V ）课后作业 一、课本P 93习题2.9 3，4 二、1．预习内容：课本P 91例3 2．预习提纲： （1） 例3中的数学模型是什么？ （2） 例3解决的是一个什么数学问题？ 板书设计 教学后记 §2.9.3 函数的应用举例 教学目标：1．使学生适应各学科时的横向联系；2．能够建立一些物理问题的数学模型；3．培养学生分析问题、解决问题的能力 教学重点：数学建模的方法 教学难点：实际问题抽象为数学问题 教学方法：自学辅导法 教学过程： （I ）复习回顾 上一节课，我们主要学习了有关增长率的数学模型，这种模型在有关产量、产值、粮食、人口等等增长问题常被用到，这一节，我们学习有关物理问题的数学模型。 （Ⅱ）讲授新课 例5：设在海拔x m 处的大气压强是y Pa ，y 与x 之间的函数关系式是kx ce y =，其中 c,k 为常量。已知某地某天在海平面的大气压为1.01×105Pa ，1000m 高空的大气压为0.90×105Pa ，求600m 高空的大气压强（结果保留3个有效数字）。 分析：解决此题，应排除题中专业术语的干扰，抽象概括出数量关系，准确地转化成数学表达式。 解：将,1001.1,05 ?==y x 5 1090.0,1000?==y x 分别代入函数式kx ce y =，得 ?????=?=?k k ce ce 100050.51090.01001.1 解之得??????-=?=-) (1015.110 01.14 5 由计算器处得k c ∴函数式x e y 4 10 15.151001.1-?-??= 将x =600代入上述函数式得600 1015.15 41001.1??--??=e y 由计算器算得)(10943.05 Pa y ?= 答：在600m 高空的大气压约为0.943×105Pa 评述： （1） 此题利用数学横型解决物理问题； （2） 需由已知条件先确定函数式； （3） 此题实质为已知处变量的值，求对应的函数值的数学问题； （4） 此题要求学生能借助计算器进行比较复杂的运算。 例6：在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n 次测量分别得到 n a a a ,,21 共n 个数据，我们规定所测量的物理量的“最佳近似值”a 是这样一个量：与 其他近似值比较a 与各数据差的平方和最小，依此规定，从n a a a a ,,,221 推出的 a = 。 分析：此题应排除物理因素的干扰，抓准题中的数量关系，将问题转化成函数求最值问题。 解：由题意可知，所求a 应使2 21)()(n a a a a y -++-= 最小 由于)()(22 22212212n n a a a a a a a na y +++++-=，若把a 看作自变量，则y 是关于a 的二次函数，于是问题转化为求二次函数的最小值。 因为n>0，所以二次函数)(a f 图象开口方向向上。 当)(121n a a a n a ++= 时，y 有最小值，所以)(1 21n a a a n a ++=即为所求 评述：此题在高考中是具有导向意义的试题，它以物理知识和简单数学知识为基础， 并以物理学科中的统计问题为背景，给出一个新的定义，要求学生读懂题目，抽象其中的数量关系，将文字语言转化为符号语言，即 22221)()()(n a a a a a a y -++-+-= 然后运用函数的思想、方法去解决问题，解 题关键是将函数式化成以a为自变量的二次函数形式，这是函数思想在解决实际问题中的应用。 （Ⅲ）课堂练习 课本P93习题2.9 5 (Ⅳ)课时小结 通过本节学习，进一步熟悉数学建模的方法，能运用数学模型解决一定的关于物理的实际问题，提高解决数学应用题的应变能力。 （V）课后作业 一、课本P93习题2.9 6 二、1．预习内容：P94～P95 2．预习提纲： （1）实习作业的要求； （2）实习报告的内容。 板书设计 教学后记