理论力学沈阳建筑大学n第十三章动能定理
第十三章 动能定理
O 转动。在绕过圆盘的绳上吊有两物块A ，B ，质。绳与盘之间无相对滑动。在圆盘上作用一力偶，力偶矩按
以N ·m 计，?以rad 计）
。求0=?到π?2=时，力偶M 与
()2109.7M A B
2A
B 0
W W W W 4d m
m g r J
π
??π=++=
?+-=?
13-2 图示坦克的履带质量为m ，两个车轮的质量均为1m ，车轮视为均质盘，半径为Ｒ，两车轮轴间距离为R π．设坦克前进速度为v ，计算此质点系的动能。
解：
1. 先研究车轮，车轮作平面运动，角速度
R
v
=
ω；两车轮的动能为 212212112
3
2121212v m R m v m T =??? ???+?=ω
图13-2
2. 再研究坦克履带，AB 部分动能为零，
CD 部分为平动，其速度为2v ；圆弧 AD 与BC 部分和起来可视为一平面
运动圆环，环心速度为v ，角速度为R
v =ω ， 则履带的动能为 ()222222222
22
212212421v m R m v m v m T =++=
ω 3. 此质点系的动能为 ()22121232
1
v m m T T T +=
+= 13-3题
解：P 为B 运动的瞬心，以B
则：a e r v v v =+
且：,,r e a B v r v v v v ω=== 故：B e r v v v v r ω=+=+ 则该系统的动能为：
222
2222
111222
111 ()242
B B T mv J Mv m v r mr Mv ωωω=++=+++
13-4均质连杆AB 质量为4kg ，长l=600mm 。均质圆盘质量为6kg ，半径r=100mm 。弹
簧刚度为k=2 N/mm ，不计套筒A 及弹簧的质量。如连杆在图示位置被无初速释放后，A 端沿光滑杆滑下，圆盘做纯滚动。求：（1）当AB 达水平位置而接触弹簧时，圆盘与连杆的角速度；（2）弹簧的最大压缩量δ。
图13-3 r
v e
v
s rad l
g
W T T l
mg W ml T
T V A h A AB AB A /952.42330sin 2)3
1(210)1(1202221==
=-==
=∑∑ωω的速度为时，物体下落设物体
13-5 质量为m ，沿倾角为θ的斜面向下只滚不滑，如图所示。滚子借助于跨过滑轮B 的绳提升质量为2m 的物体C ， 同时滑轮B 绕O 轴转动。滚子A 与滑轮B 的质量相等，半径相等，且都为均质圆盘。求滚子重心的加速度和系在滚子上绳的张力。
解：设滚子质心下滑距离S 时，质心的速度为ν
以整体为研究对象，设滚子半径为R ，初始动能为1T =常量 该系统的动能为
2222
2221311122222
A B T mR mR m v ωω=
++ 将A B R R v ωω==代入，得
图13-4 C max 120
2max
max 2
1
max (1) 00
1
(sin 30)222
87.1T T l
W mg k T T W
mm
δδδδ===+
--==∑∑设弹簧的最大变形量为
()2221
22
T m m v =
+ ()2
sin W mg m g s θ=-∑
由动能定理得，
()()22121
2sin 2
m m v T mg m g s θ+-=- 将上式两边对时间求导得
2
2
sin 2m m a g m m θ-=
+
以A 为研究对象
2()sin (1)0cos (2)1
() (3)
2cx A T cy N A A A ma m a F F mg ma m F mg a J mR Fr R
θθα=-=+-=?=-=?=
联立（1）和（3）得：
22223(2)sin 2(2)
T mm m mm F g m m θ
++=+
13-6 均质OA 杆可绕水平轴O 转动，另一端铰接一均质圆盘，圆盘可绕铰A 在铅直面内自由旋转，如图所示。已知杆OA 长l ，质量为m 1；圆盘半径为R ，质量为m 2。摩擦不计，初始时杆OA 水平，杆和圆盘静止。求杆与水平线成θ角的瞬时，杆的角速度和角加速度。
解：对于圆盘A 有()0A A A i J M F α==
即有：0A α=
而初始圆盘静止，故圆盘A 平动。
A
F F
mg
T
F x
y
122222
1222222
212121
2212212120
1122
1
,3
1111(3)2326sin sin 2
1(3)sin sin (1)62
1OA A O OA A A OA O OA OA OA
OA OA T T T T J m v v l J m l T m l m l m m l l
W m g m gl T T W l m m l m g m gl ωωωωωθθωθθω==+=
+=?==+=+=+-=+=+=
∑∑而故：将式（）两1212(36)cos 2(3)OA m m g m m l
θα+=
+边对时间求导得
13-7题 解：（1）当软绳FG 被剪断之后，方板做平行移动，且剪断瞬间速度为零
由平面运动方程 0cos 60Cx ma mg =
0sin600Cy AD BE ma F F mg =+-= （点A 只有x 方向的加速度）
0000sin 60cos60sin 60cos6002222C AD AD BE BE b b b b
J F F F F α=-?-?+?-?=
解得：1
2
Cx a g =
，171.744AD F mg kN ==
，1267.744AD F mg kN ==
AD F Ax
a x
y C D
且AD BE F F =，故2
022(1sin 60) 2.63/Cy A v
a a g m s l
===-= 由质心运动定理：AD BE Cy F F mg ma +-=
解得：248.5AD BE F F kN ==
=
13-8 三个均质轮B 、C 、D ，具有相同的质量m 和相同的半径R ，绳重不计，系统从静止释放。设轮D 作纯滚动，绳的倾斜段与斜面平行。试求在重力作用下，质量亦为m 的物体A 下落h 时的速度和加速度。
解：
122222222
2
2210111111222222
221
,,,,221,
4
A A
B B B c c D D D B B D B B B A
C
D B C D A A h A v T
T mv mv J J mv J v v v v v v J J J mr r r r r T mv T T W ωωωωωω==
+++++=========-=∑设物体下落时，物体的速度为 图13-8 AD
F BE
F Cy
a mg
A 2sin (1)
1
4(1sin )21
D
A W mgh m
gh v mg a αα=-=
-=
∑将（）式两边对时间求导得：
(2)以B 为研究对象
1()B B B
T BC J M
F F R F R α=
=-∑ （1）
12B T BC T ma mg F F F =--+ （2） 其中：B B a R α=
，B A a a =，2
12
B J mR = 以A 为研究对象
2A T A ma F ma '-= (3) 联立（1）、（2）、（3）得：165sin 21
BC F mg α
+=
13-9题 解：（a ）10T =
2
212O T J ω=
1
1)2
W mg a =∑
其中：2
222))3
O C J J m ma =+= 由21T T W -=∑得：22
12()1)23
ma mg a ω= 解得：/s ω=
1
T F BC
F 2
T F 'A
（b ）板作平面运动，而0x
F
=∑，则质心C 将铅直下落，当板处于水平位置时，P 为
瞬心（如图所示）：
10T =： 221
2
P T J ω=
1(21)2W mg a =∑ 其中：22222
1115()()()212212O P J J m a m a a m a ma =+=++= 由21T T W -=∑得：22
15()(21)212
ma mg a ω= 解得：12(21) 3.121
/2g s a a
ω-=
=
13-10 图示均质杆长为2l ，质量为m ，初始时位于水平位置。如A 端脱落，杆可绕通过B
端的轴转动、当杆转到铅垂位置时，B 端也脱落了。不计各种阻力，求该杆在B 端脱落后的角速度及其质心的轨迹。 解：（一）B 脱落前瞬时
l
g mgl l m
23)2(3
2122=
=?ωω
B 脱落后杆以此角速度在铅直面内匀速转动。 （二）B 脱落后瞬时
2
3gl
l v Cx =
=ω B 脱落后杆质心作抛体运动
2
21
23gt l y t gl x C C --==
22
2
3t gl x C = （1）
22
t g
l y C -=+ （2）
式（1）、（2）消去t ，得
032=++l y l
x C C
即：0332
2=++l ly x C C
此即所求脱落后质心的运动轨迹。
P
O
A O 'A 'C 'C C v '
045v