反比例函数中的面积问题

反比例函数中的面积问题

一、以反比例函数图像上的点和过这点作坐标轴的垂线所得的垂足所围成的图形面积

例1 反比例函数y=的图像如图1所示，点M是该函数图像上一点，MN 垂直于x轴，垂足是点N，如果S

=2，则k的值为.

△MON

变式1：如图2，已知点P在函数y=（x＞0）的图像上，PA⊥x轴、PB ⊥y轴，垂足分别为A、B，则矩形OAPB的面积为.

二、以反比例函数图像与正比例函数图像的交点和坐标平面上的一些特殊点所围成的图形面积

例2 如图3，反比例函数y=的图像与直线y=kx（k＞0）相交于A、B两点，AC∥y轴，BC∥x轴，则△ABC的面积等于个面积单位.

分析Rt△ABC的两个顶点是反比例函数图像与正比例函数图像的交点，分别在反比例函数图像的两个分支上，且知道反比例函数图像上的A、B两点关于

=|2x×2y|=2|xy|=10.

原点成中心对称，∴S

△ABC

变式1. 如图4，直线y=mx与双曲线y=交于点A、B. 过点A作AM⊥x 轴，垂足为点M连接BM. 若S

=1，则k的值是（）.

△ABM

A．1 B. m-1

C．2 D. m

分析图形变为反比例函数图像上的A、B两点和其中一点与坐标轴的交点

所围成的△AMB，底为|y|，高为|2x|，则S

=|y×2x|=|xy|=|k|=1，得k=±1

△ABM

（根据图形知k＞0），所以k=1.

变式2. 如图5，直线y=mx与双曲线y=交于点A、B过点A、B分别作AM⊥x轴、BN⊥x轴，垂足分别为M、N，连接BM、AN. 若S AMBN=1，则k 的值是.

分析图形变成AMBN，它的面积实际上就是△ABM面积的2倍，则S

=2|xy|=2|k|=1，结合图像可知k=.

AMBN

三、以反比例函数图像与一次函数图像的交点和坐标原点所围成的图形面积

例3 如图6，在直角坐标系xOy 中，一次函数y=k 1x+b 的图像与反比例函数y=

的图像交于A （1，4）、B （3、m ）两点.

（1）求一次函数的解析式； （2）求△AOB 的面积. 分析 （1）略；

（2）△AOB 是以反比例函数图像与一次函数图像的交点和坐标原点所围成的图形，△AOB 面积直接比较难求，可看作S △COD - S △COA - S △BOD . 先求出一次函数的解析式，然后求出一次函数y=k 1x+6的图像与x 轴和y 轴的交点坐标，就可求出S △COD 、S △COA 、S △BOD ，即可求出S △AOB =4×

×-×1×-4××=

.

变式1. 如图7，一次函数y=kx+b 的图像与反比例函数y=的图像交于A

（-2，1），B （1，n ）两点.

（1）试确定上述反比例函数和一次函数的解析式； （2）求△AOB 的面积. 分析 （1）略：

（2）△AOB 也是以反比例函数图像与一次函数图像的交点和坐标原点所围成的图形，只是把△AOB 的面积看作S △COD + S △COA + S △BOD ，即可求得S △AOB =1×1×+1×1×+1×1×=.

四、以反比例函数图像与其它图形的交点和坐标原点所围成的图形面积

例4 如图8，已知双曲线y=（x＞0）经过矩形OABC边AB的中点F，交BC于点E，且四边形OEBF的面积为2，则k= .

分析这是以反比例函数图像与矩形的交点和坐标原点所围成的图形面积.

四边形OEBF的面积可看作S

矩形OABC - S

△COE

- S

△AOF

，设F点的坐标为（x, y），

则E点的坐标为（x, 2y），S

矩形OABC =x×2y=2xy=2k, S

△COE

=x×2y×=

xy=k，S△AOF=xy=k，所以S四边形OEBF=k=2.

五、以反比例函数图像上的点与坐标轴围成的图形及一次函数图像与坐标轴围成的图形和面积

例5 如图9，D是反比例函数y=（k＜0）的图像上一点，过D作DE⊥x

轴于E，DC⊥y轴于C，一次函数y=-x+m与y=-x+2的图像都经过点C，与x轴分别交于A、B两点，四边形DCAE的面积为4，求k的值.

分析先求出C（0，2），D（，2）和m=2，再求出A（2，0），得S

矩

形OCDE =-k，S

△COA

=2，所以-k+2=4，得k=-2.

（2012湖北荆州3分）如图，点A 是反比例函数2

y=x

（x ＞0）的图象上任意一点，AB ∥x 轴交反比例函数3

y=x

-的图象于点B ，以AB 为边作?ABCD ，其中C 、D 在x 轴上，则S □ABCD 为【 】

A ． 2

B ． 3

C ． 4

D ． 5 【答案】D 。

【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，平行四边形的性质。 【分析】设A 的纵坐标是a ，则B 的纵坐标也是a ．

把y=a 代入2y=

x 得，2a=x ，则2

x=a

，，即A 的横坐标是2a ；同理可得：B 的横坐

标是：3

a

-。

∴AB=

235=a a a ??-- ???。∴S □ABCD =5a

×a=5。故选D 。 （2012辽宁鞍山3分）如图，点A 在反比例函数()3

y=x 0x

>的图象上，点B 在反比例函数()k

y=

x 0x

>的图象上，AB ⊥x 轴于点M ，且AM ：MB=1：2，则k 的值为【 】

A ． 3

B ．－6

C ．2

D ．6 【答案】B 。

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征。 【分析】如图，连接OA 、OB ．

∵点A 在反比例函数()3y=

x 0x >的图象上，点B 在反比例函数()k

y=x 0x

>的图象上，AB ⊥x 轴于点M ，

∴S △AOM =

32，S △BOM =k 2。∴S △AOM ：S △BOM =3

2

：k 2=3：|k|。

∵S △AOM ：S △BOM =AM ：MB=1：2，∴3：|k|=1：2。∴|k|=6。

∵反比例函数()k

y=

x 0x

>的图象在第四象限，∴k ＜0。∴k=－6。故选B 。 14. （2012辽宁本溪3分）如图，已知点A 在反比例函数4

y=x

图象上，点B 在反比例函数

k

y=x (k≠0)的图象上，AB ∥x 轴，分别过点A 、B 向x 轴作垂线，垂足分别为C 、D ，若OC=1

3

OD ，则k 的值为【 】

A 、10

B 、12

C 、14

D 、16 【答案】B 。

【考点】反比例函数的图象和性质。 【分析】由已知，设点A （x ，4x ），∵OC=13OD ，∴B （3x ，k 3x

）。 ∴

4k

=x 3x

，解得k=12。故选B 。 （2012辽宁沈阳4分）已知点A 为双曲线y=k x

图象上的点，点O 为坐标原点过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，连接OA.若△AOB 的面积为5，则k 的值为 ▲ . 【答案】10或－10。

【考点】反比例函数系数k 的几何意义，曲线上点的坐标与方程的关系。 【分析】∵点A 为双曲线y= k

x 图象上的点，∴设点A 的坐标为（x ， k x

）。

又∵△AOB 的面积为5，∴AOB 1k

S x =52x

?=

??，即|k|=10，解得，k=10或k=－10。

（2012黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西3分）如图，点A在双曲线y=1

x

上，点B

在双曲线

y=3

x

上，且AB∥x轴，点C、D在x轴上，若四边形ABDC为矩形，则它的面积为▲

【答案】2。

【考点】反比例函数系数k的几何意义。【分析】过A点作AE⊥y轴，垂足为E，

∵点A在双曲线y=1

x

上，∴四边形AEOD的面积为1。

∵点B在双曲线y=3

x

上，且AB∥x轴，

∴四边形BEOC的面积为3。

∴四边形ABCD为矩形，则它的面积为3－1=2。

（2013年聊城莘县模拟）如图，点A是反比例函数（x＜0）的图象上的一点，过点A 作平行四边形ABCD，使点B、C在x轴上，点D在y轴上，则平行四边形ABCD的面积为( )

A.1

B.3

C.6

D.12

答案：C

如图，若点M是x轴正半轴上任意一点，过点M作PQ∥y轴，分别交函数y=（x＞0）和y=（x＞0）的图象于点P和Q，连接OP和OQ．则下列结论正确的是（▲）

A．∠POQ不可能等于90°B ．=

C．这两个函数的图象一定关于x轴对称;D．△POQ的面积是（|k1|+|k2|）答案：D

如图，已知矩形OABC的面积为25，它的对角线OB与双曲线

k

y

x =（

k＞0）相交于点G，

且OG：GB=3：2，则k的值为【A】

A. 9 B．15

C．

2

9

D.

15

2

如图，一次函数3

y x

=+的图象与x轴、y轴交于A、B两点，与反比例函数

4

y

x

=的图象相交于C、D两点，分别过C、D两点作y轴，x轴的垂线，垂足分别为E、F，连接CF、DE．有下列四个结论：①△CEF与△DEF的面积相等；

②△AOB∽△FOE；③△DCE≌△CDF；④AC BD

=．其中正确的结论是.

答案：①②④

如图，Rt△ABC的直角边BC在x轴正半轴上，斜边AC上的中线BD的反向延长线交y轴

负半轴于点E,双曲线

x

k

y=(x＞0)的图像经过点A，若8

=

?EBC

S则k=_____________（原创）

第2题图

1A 2A 3B

2B

1B

3C

2C 1C

O

x

y

3A

图7

答案：16

（2013年广西钦州市四模）如图7所示，点1A 、2A 、3A 在x 轴上，且11223OA A A A A ==，分别过点1A 、2A 、3A 作y 轴的平行线，与反比例函数()8

0y x x

=

>的图象分别交于点1B 、2B 、3B ，分别过点1B ，2B ，3B 作x 轴的平行线，分别与y 轴交于点1C ，2C ，3C ，连接1OB ，

2OB ，3OB ，那么图中阴影部分的面积之和为___________. 答案：

49

9

如图，一次函数y=x+3的图象与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，与反比例函数4

y=

x

的图象相交于C ，D 两点，分别过C ，D 两点作y 轴，x 轴的垂线，垂足为E ，F ，连接CF ，DE ．有下列四个结论：

①△CEF 与△DEF 的面积相等；②△AOB ∽△FOE ；③△DCE ≌△CDF ；④AC=BD ． 其中正确的结论是【 】

A ．①②

B ． ①②③

C ．①②③④

D ． ②③④ 【答案】C 。

【考点】反比例函数和一次函数交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰直角三角形

A

y

x

O B C

D

E

的判定和性质，平行的判定和性质，相似三角形的判定，勾股定理，全等三角形的判定，平行四边形的判定和性质。

【分析】∵一次函数y=x+3的图象与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，∴A （0，－3），B （3，0）。 联立y=x+3和4

y=

x

可得C （－4，－1），D （1，4），∴E （0，－1），F （1，0）。 ∴OA=OB=3，OE=OF=1，即△ABO 和△EFO 都是等腰直角三角形。∴∠BAO=∠EFO=450。∴AB ∥EF 。

∴△CEF 与△DEF 是同底等高的三角形。∴△CEF 与△DEF 的面积相等。所以结论①正确。

又由AB ∥EF ，得△AOB ∽△FOE 。所以结论②正确。

由各点坐标，

得CE=4，DF=4，

∴CE=DF ，CF=DE 。

又∵CD=DC ，∴△DCE ≌△CDF （SSS ）。所以结论③正确。

由AF=CE=4和AF ∥CE 得，四边形ACEF 是平行四边形。∴AC=FE 。 由BE=DF=4和BE ∥DF 得，四边形DBEF 是平行四边形。∴BD=EF 。 ∴AC=BD 。所以结论④正确。因此，正确的结论是①②③④。故选C 。

(2013年河北三摸)函数y ＝4x 和y ＝1x 在第一象限内的图象如图，点P 是y ＝4x 的图象上一动点，

PC ⊥x 轴于点C ，交y ＝1x 的图象于点A . PD ⊥y 轴于点D ，交y ＝1

x 的图象于点B 。.下面

结论：①△ODB 与△OCA 的面积相等；②P A 与PB 始终相等；③四边形P AOB 的面积大小不会发生变化；④CA = 1

3AP . 其中正确结论是

A.①②③

B. ①②④

C.①③④

D.②③④ 答案：C

2y x

=

x

y O

P 1

P 2

P 3 P 4 1

2

3

4

y

O

（17题图）

x

C

A (1，2)

B (m ，n )

（2008福州）如图，在反比例函数2

y x

=

（0x >）的图象上，有点1234P P P P ，，，，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，图中所构成的阴影

部分的面积从左到右依次为123S S S ，，，则123S S S ++= ．

17．（2008遵义）如图，在平面直角坐标系中，函数k

y x

=

（0x >，常数0k >）的图象经过点(12)A ，，()B m n ，，（1m >），过点B 作y 轴的垂线，垂足为C ．若ABC △的面积为2，则点B 的坐标为 ．

18．（2008咸宁）两个反比例函数k y x =

和1

y x

=在第一象限内的图象如图所示，点P 在k y x =的图象上，PC ⊥x 轴于点C ，交1y x =的图象于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交1

y x

=的图

象于点B ，当点P 在k

y x

=的图象上运动时，以下结论：

①△ODB 与△OCA 的面积相等；

②四边形P AOB 的面积不会发生变化；③P A 与PB 始终相等； ④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点．

其中一定正确的是 （把你认为正确结论的序号都填上，少填或错填不给分）

三、解答题：（共47分）

19.（7分）如图，已知一次函数)0(≠+=k b kx y 的图象与反比例函数x

y 8

-=的图象交于A 、B 两点，且点A 的横坐标与B 点的纵坐标都是-2。 （1）求一次函数的表达式； （2）求△AOB 的面积。

k y x

=

1y x

=

20、（8分）如图，Rt △ABO 的顶点A 是双曲线x

k

y =与直线)1(+--=k x y 在第二象限的交点，

AB ⊥x 轴于B 且S △ABO =

2

3 （1）求这两个函数的解析式

（2）求直线与双曲线的两个交点A ，C 的坐标和△AOC 的面积。

21 ( 2008 杭州) （8分）为了预防流感，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒．已

知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比；

药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为t a y =（a 为常数）

，如图所示．据图中提供的信息，解答下列问题：

（1） 写出从药物释放开始，y 与t 之间的两个函数关系式及相应的自变量的取值范围； （2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那

么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室?

22．（8分）如图，已知一次函数)0(≠+=k b kx y 的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，

且与反比例函数)0(≠=

m x

m

y 的图象在第一象限交于点C ，CD 垂直于x 轴，垂足为O

y

x B A

C

D ．若OA ＝OB ＝OD ＝1． （1）求点A 、B 、D 的坐标；

（2）一次函数和反比例函数的解析式．

23．(2008年内江市) （8分） 如图，一次函数y kx b =+的图象经过第一、二、三象限，且与反比例函数图象相交于A B ，两点，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点D ，

5OB =B 横坐标是点B 纵坐标的2倍．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）设点A 横坐标为m ，ABO △面积为S ，求S 与m 的函数关系式，并求出自变量的取值范围．

24．（8分）如图,正方形OABC 的面积为9,点O 为坐标原点,点B 在函数(0,0)k

y k x x

=>>的图象上,点(,)P m n 是函数(0,0)k

y k x x

=

>>的图象上任意一点,边点P 分别作x 轴、y 轴的垂线,垂足分别为E 、F ,并设矩形OEPF 和正方形OABC 不重合部分的面积为S.(提示:考虑点P 在点B 的左侧或右侧两种情况) ⑴求B 点的坐标和k 的值；

⑵当9

2

S =时，求P 点的坐标；

O

y A C

D B

⑶写出S 关于m 的函数关系式.

2、如图已知点A 是一次函数y ＝x 的图像与反比例函数

x

y 2

=

的图像在第一象限内的交点，点B 在x 轴的负半轴上，且OA ＝OB ，那么△AOB 的面积为（ ）

A 、2

B 、

2

2

C 、2

D 、22 3、如图，矩形AOCB 的两边OC 、OA 分别位于x 轴、y 轴上，点B 的坐标为 B （－

3

20

，5），D 是AB 边上的一点，将△ADO 沿直线OD 翻折，使A 点恰好落 在对角线OB 上的点E 处，若点E 在一反比例函数的图像上，求该函数的解析式.

、如图,直线l 和双曲线(0)k

y k x

=

>交于A 、B 亮点,P 是线段AB 上的点（不与A 、B 重合）,过点A 、B 、P 分别向x 轴作垂线,垂足分别是C 、D 、E,连接OA 、OB 、OP,设△AOC 面积是S 1、△B OD 面积是S 2、△P OE 面积是S 3、则（ ）

A 、 S 1＜S 2＜S 3

B 、 S 1>S 2>S 3

C 、 S 1=S 2>S 3

D 、 S 1=S 2

D

B

A

y

x

O

C

.如图，点A、B是双曲线

3

y

x

=上的点，分别经过

A、B两点向x轴、y轴作垂线段，若1

S=

阴影

，则

12

S S

+=

y x

=与

4

y

x

=的图象交于A、B两点，过点A作AC垂直

于y轴，垂足为C，则ABC

△的面积为．

、如图，已知双曲线(0)

k

y k

x

=<经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB 相交于点C．若点A的坐标为（6

-，4），则△AOC的面积为（）

A．12 B．9 C．6 D．4

．如图，点A、B是双曲线y＝

3

x上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线．若S 阴影＝1，则S1＋S2＝________.

4．如图，反比例函数与正比例函数的图象交于A、B两点，过点A作AC⊥x轴于点C.若△ABC的面积是4，则这个反比例函数的关系式是()

A．y＝

2

x B．y＝

4

x C．y＝

8

x D．y＝

16

x

5．如图，矩形ABCD 的对角线BD 经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C

在反比例函数y ＝2k ＋1

x

的图象上，若点A 的坐标为(－2，－2)，则k 的值为( )

A.12

B.32 C ．－12 D ．－32

9.双曲线y 1＝1x ，y 2＝3

x

在第一象限的图象如图，过y 2上的任意一点A 作x 轴的平行线交

y 1于B ，交y 轴于C ，过A 作x 轴的垂线交y 1于D ，交x 轴于E ，连结BD 、CE ，则BD

CE

＝________.

8.如图所示，平行四边形AOBC 中，对角线交于点E ，双曲线y ＝k

x

(k ＞0)经过A 、E 两

点．若平行四边形AOBC 的面积为18，则k ＝________.