中考数学 圆的综合 综合题含答案解析

一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图1，已知扇形MON 的半径为2，∠MON=90°，点B 在弧MN 上移动，联结BM ，作OD ⊥BM ，垂足为点D ，C 为线段OD 上一点，且OC=BM ，联结BC 并延长交半径OM 于点A ，设OA=x ，∠COM 的正切值为y. （1）如图2，当AB ⊥OM 时，求证：AM=AC ； （2）求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域； （3）当△OAC 为等腰三角形时，求x 的值.

【答案】 (1)证明见解析;(2) 2=+y x 02<≤x 142

2

=x . 【解析】

分析：（1）先判断出∠ABM =∠DOM ，进而判断出△OAC ≌△BAM ，即可得出结论； （2）先判断出BD =DM ，进而得出

DM ME BD AE =，进而得出AE =1

22

x （），再判断出2OA OC DM

OE OD OD

==，即可得出结论； （3）分三种情况利用勾股定理或判断出不存在，即可得出结论． 详解：（1）∵OD ⊥BM ，AB ⊥OM ，∴∠ODM =∠BAM =90°． ∵∠ABM +∠M =∠DOM +∠M ，∴∠ABM =∠DOM ． ∵∠OAC =∠BAM ，OC =BM ，∴△OAC ≌△BAM ， ∴AC =AM ．

（2）如图2，过点D 作DE ∥AB ，交OM 于点E ． ∵OB =OM ，OD ⊥BM ，∴BD =DM ． ∵DE ∥AB ，∴DM ME BD AE =，∴AE =EM ．∵OM 2，∴AE =1

22x （）． ∵DE ∥AB ，∴

2OA OC DM OE OD OD

==， ∴22

DM OA y OD OE x =∴=+，02x ≤＜

（3）（i）当OA=OC时．∵

111

222

DM BM OC x

===．在Rt△ODM

中，

222

1

2

4

OD OM DM x

=-=-．

∵

2

1

2

12

2

4

x

DM

y

OD x

x

=∴=

+

-

，

．解得

142

2

x

-

=，或

142

2

x

--

=（舍）．

（ii）当AO=AC时，则∠AOC=∠ACO．∵∠ACO＞∠COB，∠COB=∠AOC，∴∠ACO＞

∠AOC，∴此种情况不存在．

（ⅲ）当CO=CA时，则∠COA=∠CAO=α．∵∠CAO＞∠M，∠M=90°﹣α，∴α＞90°﹣α，∴α＞45°，∴∠BOA=2α＞90°．∵∠BOA≤90°，∴此种情况不存在．

即：当△OAC为等腰三角形时，x的值为

142

2

-

．

点睛：本题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关性质，勾股定理，等腰三角形的性质，建立y关于x的函数关系式是解答本题的关键．

2．四边形ABCD 的对角线交于点E，且AE＝EC，BE＝ED，以AD 为直径的半圆过点E，圆心为O．

（1）如图①，求证：四边形ABCD 为菱形；

（2）如图②，若BC 的延长线与半圆相切于点F，且直径AD＝6，求弧AE 的长．

【答案】（1）见解析；（2）

π

2

【解析】

试题分析：（1）先判断出四边形ABCD是平行四边形，再判断出AC⊥BD即可得出结论；（2）先判断出AD=DC且DE⊥AC，∠ADE=∠CDE，进而得出∠CDA=30°，最后用弧长公式即可得出结论．

试题解析：证明：（1）∵四边形ABCD的对角线交于点E，且AE=EC，BE=ED，∴四边形

ABCD 是平行四边形．∵以AD 为直径的半圆过点E ，∴∠AED =90°，即有AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 是菱形；

（2）由（1）知，四边形ABCD 是菱形，∴△ADC 为等腰三角形，∴AD =DC 且DE ⊥AC ，∠ADE =∠CDE ．如图2，过点C 作CG ⊥AD ，垂足为G ，连接FO ．∵BF 切圆O 于点F ，∴OF ⊥AD ，且1

32

OF AD =

=，易知，四边形CGOF 为矩形，∴CG =OF =3． 在Rt △CDG 中，CD =AD =6，sin ∠ADC =

CG CD =1

2

，∴∠CDA =30°，∴∠ADE =15°． 连接OE ，则∠AOE =2×∠ADE =30°，∴3031802

AE ππ

??=

=．

点睛：本题主要考查菱形的判定即矩形的判定与性质、切线的性质，熟练掌握其判定与性质并结合题意加以灵活运用是解题的关键．

3．等腰Rt △ABC 和⊙O 如图放置，已知AB=BC=1，∠ABC=90°，⊙O 的半径为1，圆心O 与直线AB 的距离为5．

（1）若△ABC 以每秒2个单位的速度向右移动，⊙O 不动，则经过多少时间△ABC 的边与圆第一次相切？

（2）若两个图形同时向右移动，△ABC 的速度为每秒2个单位，⊙O 的速度为每秒1个单位，则经过多少时间△ABC 的边与圆第一次相切？

（3）若两个图形同时向右移动，△ABC 的速度为每秒2个单位，⊙O 的速度为每秒1个单位，同时△ABC 的边长AB 、BC 都以每秒0.5个单位沿BA 、BC 方向增大．△ABC 的边与圆第一次相切时，点B 运动了多少距离？

【答案】（152

-；（2） 52；（32042-

【解析】

分析：（1）分析易得，第一次相切时，与斜边相切，假设此时，△ABC 移至△A′B′C′处，A′C′与⊙O 切于点E ，连OE 并延长，交B′C′于F ．由切线长定理易得CC′的长，进而由三角形运动的速度可得答案；

（2）设运动的时间为t 秒，根据题意得：CC′=2t ，DD′=t ，则C′D′=CD+DD′-CC′=4+t -2t=4-t ，

由第（1）的结论列式得出结果；

（3）求出相切的时间，进而得出B 点移动的距离． 详解：（1）假设第一次相切时，△ABC 移至△A′B′C′处， 如图1，A′C′与⊙O 切于点E ，连接OE 并延长，交B′C′于F ，

设⊙O 与直线l 切于点D ，连接OD ，则OE ⊥A′C′，OD ⊥直线l ， 由切线长定理可知C′E=C′D ， 设C′D=x ，则C′E=x ， ∵△ABC 是等腰直角三角形， ∴∠A=∠ACB=45°， ∴∠A′C′B′=∠ACB=45°， ∴△EFC′是等腰直角三角形， ∴C′F=2x ，∠OFD=45°， ∴△OFD 也是等腰直角三角形， ∴OD=DF ， ∴

2x+x=1，则x=2-1，

∴CC′=BD -BC-C′D=5-1-（2-1）=5-2， ∴点C 运动的时间为52

2

-； 则经过

52

-秒，△ABC 的边与圆第一次相切； （2）如图2，设经过t 秒△ABC 的边与圆第一次相切，△ABC 移至△A′B′C′处，⊙O 与BC 所在直线的切点D 移至D′处，

A′C′与⊙O 切于点E ，连OE 并延长，交B′C′于F ， ∵CC′=2t ，DD′=t ，

∴C′D′=CD+DD′-CC′=4+t -2t=4-t ，

由切线长定理得C′E=C′D′=4-t ， 由（1）得：

4-t=2-1， 解得：

t=5-2，

答：经过5-2秒△ABC 的边与圆第一次相切； （3）由（2）得CC′=（2+0.5）t=2.5t ，DD′=t ， 则C′D′=CD+DD′-CC′=4+t -2.5t=4-1.5t ， 由切线长定理得C′E=C′D′=4-1.5t ， 由（1）得：4-1.5t=2-1， 解得：t=

1022

3

-， ∴点B 运动的距离为2×

10223-=2042

3

-．

点睛：本题要求学生熟练掌握圆与直线的位置关系，并结合动点问题进行综合分析，比较复杂，难度较大，考查了学生数形结合的分析能力．

4．如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC ＝OB ，点D 是AC 上一动点，点E 是CD 中点，连接BD 分别交OC ，OE 于点F ，G ． （1）求∠DGE 的度数； （2）若

CF OF ＝12，求BF

GF

的值； （3）记△CFB ，△DGO 的面积分别为S 1，S 2，若CF

OF

＝k ，求12S S 的值．（用含k 的式子表

示）

【答案】(1)∠DGE ＝60°；(2)7

2；(3)12S S =211

k k k +++.

【解析】 【分析】

（1）根据等边三角形的性质，同弧所对的圆心角和圆周角的关系，可以求得∠DGE 的度数；

（2）过点F 作FH ⊥AB 于点H 设CF ＝1，则OF ＝2，OC ＝OB ＝3,根据勾股定理求出BF 的长度，再证得△FGO ∽△FCB ，进而求得

BF

GF

的值； （3）根据题意，作出合适的辅助线，然后根据三角形相似、勾股定理可以用含k 的式子表示出

1

2

S S 的值． 【详解】

解：(1)∵BC ＝OB ＝OC ， ∴∠COB ＝60°， ∴∠CDB ＝

1

2

∠COB ＝30°， ∵OC ＝OD ，点E 为CD 中点， ∴OE ⊥CD ， ∴∠GED ＝90°， ∴∠DGE ＝60°；

(2)过点F 作FH ⊥AB 于点H 设CF ＝1，则OF ＝2，OC ＝OB ＝3 ∵∠COB ＝60° ∴OH ＝

1

2

OF ＝1， ∴HF

HB ＝OB ﹣OH ＝2， 在Rt △BHF 中，

BF == 由OC ＝OB ，∠COB ＝60°得：∠OCB ＝60°， 又∵∠OGB ＝∠DGE ＝60°， ∴∠OGB ＝∠OCB ， ∵∠OFG ＝∠CFB ， ∴△FGO ∽△FCB ， ∴

OF GF

BF CF

=， ∴

， ∴

BF GF =7

2

. (3)过点F 作FH ⊥AB 于点H ，

设OF ＝1，则CF ＝k ，OB ＝OC ＝k+1， ∵∠COB ＝60°， ∴OH ＝

12OF=12

， ∴HF

＝3

30H =，HB ＝OB ﹣OH ＝k+12，

在Rt △BHF 中，

BF ＝222HB HF k k 1+=

++，

由(2)得：△FGO ∽△FCB ，

∴GO OF CB BF

=，即

211

GO k k k =+++，

∴GO 21

k k =

++，

过点C 作CP ⊥BD 于点P ∵∠CDB ＝30° ∴PC ＝

1

2

CD ， ∵点E 是CD 中点，

∴DE ＝

1

2CD ， ∴PC ＝DE ， ∵DE ⊥OE ，

∴12S S =BF GO =22

111

k k k k k +++++=21

1k k k +++

【点睛】

圆的综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形相似和勾股定理、数形结合的思想解答．

5．已知P 是

O 的直径BA 延长线上的一个动点，∠P 的另一边交O 于点C 、D ，两点位

于AB 的上方，AB ＝6，OP=m ，1sin 3

P ＝，如图所示．另一个半径为6的1O 经过点

C 、

D ，圆心距1OO n ＝． （1）当m=6时，求线段CD 的长；

（2）设圆心O 1在直线AB 上方，试用n 的代数式表示m ；

（3）△POO 1在点P 的运动过程中，是否能成为以OO 1为腰的等腰三角形，如果能，试求出此时n 的值；如果不能，请说明理由．

【答案】(1)CD=25;(2)m=

2381

2n n

- ;(3) n 的值为955或9155 【解析】

分析：（1）过点O 作OH ⊥CD ，垂足为点H ，连接OC ．解Rt △POH ，得到OH 的长．由勾股定理得CH 的长，再由垂径定理即可得到结论； （2）解Rt △POH ，得到Rt 3

m

OH OCH ＝．在和Rt △1O CH 中，由勾股定理即可得到结论；

（3）△1POO 成为等腰三角形可分以下几种情况讨论：① 当圆心1O 、O 在弦CD 异侧时，分1OP OO ＝和11O P OO ＝．②当圆心1O 、O 在弦CD 同侧时，同理可得结论． 详解：（1）过点O 作OH ⊥CD ，垂足为点H ，连接OC ．

在Rt △1

sin 63

POH P PO =中，＝，，∴2OH =． ∵AB ＝6，∴3OC ＝． 由勾股定理得： 5CH = ∵OH ⊥DC ，∴225CD CH ==．

（2）在Rt △1sin 3POH P PO m 中，＝，＝，∴3

m OH ＝

．

在Rt △OCH 中，2

2

93m CH ??- ???

＝． 在Rt △1O CH 中，2

2

363m CH n ??-- ??

?＝． 可得： 22

36933m m n ????--- ? ?????

＝，解得23812n m n -：＝．

（3）△1POO 成为等腰三角形可分以下几种情况： ① 当圆心1O 、O 在弦CD 异侧时

i ）1OP OO ＝，即m n ＝，由2

381

2n n n

-＝，解得9n ：＝．

即圆心距等于

O 、1O 的半径的和，就有O 、1O 外切不合题意舍去．

ii ）11O P OO ＝ n ＝，

解得：23m n ＝，即23n 2381

2n n

-＝，解得n ： ②当圆心1O 、O 在弦CD 同侧时，同理可得： 2

8132n m n

-＝．

∵1POO ∠是钝角，∴只能是m n =，即2

8132n

n n

-＝，解得n ：

综上所述：n 点睛：本题是圆的综合题．考查了圆的有关性质和两圆的位置关系以及解直径三角形．解答（3）的关键是要分类讨论．

6．如图1，是用量角器一个角的操作示意图，量角器的读数从M 点开始（即M 点的读数为0），如图2，把这个量角器与一块30°（∠CAB ＝30°）角的三角板拼在一起，三角板的斜边AB 与量角器所在圆的直径MN 重合，现有射线C 绕点C 从CA 开始沿顺时针方向以每秒2°的速度旋转到与CB ，在旋转过程中，射线CP 与量角器的半圆弧交于E ．连接BE ． （1）当射线CP 经过AB 的中点时，点E 处的读数是 ，此时△BCE 的形状是 ； （2）设旋转x 秒后，点E 处的读数为y ，求y 与x 的函数关系式； （3）当CP 旋转多少秒时，△BCE 是等腰三角形？

【答案】（1）60°，直角三角形；（2）y＝4x（0≤x≤45）；（3）7.5秒或30秒

【解析】

【分析】

（1）根据圆周角定理即可解决问题；

（2）如图2﹣2中，由题意∠ACE＝2x，∠AOE＝y，根据圆周角定理可知∠AOE＝2∠ACE，可得y＝2x（0≤x≤45）；

（3）分两种情形分别讨论求解即可；

【详解】

解：（1）如图2﹣1中，

∵∠ACB＝90°，OA＝OB，

∴OA＝OB＝OC，

∴∠OCA＝∠OAC＝30°，

∴∠AOE＝60°，

∴点E处的读数是60°，

∵∠E＝∠BAC＝30°，OE＝OB，

∴∠OBE＝∠E＝30°，

∴∠EBC＝∠OBE+∠ABC＝90°，

∴△EBC是直角三角形；

故答案为60°，直角三角形；

（2）如图2﹣2中，

∵∠ACE＝2x，∠AOE＝y，

∵∠AOE＝2∠ACE，

∴y＝4x（0≤x≤45）．

（3）①如图2﹣3中，当EB＝EC时，EO垂直平分线段BC，

∵AC⊥BC，

∵EO∥AC，

∴∠AOE＝∠BAC＝30°，

∠AOE＝15°，

∴∠ECA＝1

2

∴x＝7.5．

②若2﹣4中，当BE＝BC时，

易知∠BEC＝∠BAC＝∠BCE＝30°，

∴∠OBE＝∠OBC＝60°，

∵OE＝OB，

∴△OBE是等边三角形，

∴∠BOE＝60°，

∴∠AOB＝120°，

∴∠ACE＝1

2

∠ACB＝60°，

∴x＝30，

综上所述，当CP旋转7.5秒或30秒时，△BCE是等腰三角形；

【点睛】

本题考查几何变换综合题、创新题目、圆周角定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．

7．如图，线段BC所在的直线是以AB为直径的圆的切线，点D为圆上一点，满足BD＝BC，且点C、D位于直径AB的两侧，连接CD交圆于点E. 点F是BD上一点，连接EF，分别交AB、BD于点G、H，且EF＝BD.

(1)求证：EF∥BC；

(2)若EH＝4，HF＝2，求BE的长.

【答案】(1)见解析；(2) 2

3

3

【解析】

【分析】

（1）根据EF＝BD可得EF＝BD，进而得到BE DF，根据“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”即可得出角相等进而可证.

（2）连接DF，根据切线的性质及垂径定理求出GF、GE的长，根据“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”及平行线求出相等的角，利用锐角三角函数求出∠BHG，进而求出∠BDE的度数，确定BE所对的圆心角的度数，根据∠DFH＝90°确定DE为直径，代入弧长公式即可求解.

【详解】

(1)∵EF＝BD，

∴EF＝BD

∴BE DF

∴∠D＝∠DEF

又BD＝BC，

∴∠D＝∠C，

∴∠DEF=∠C

EF∥BC

(2)∵AB是直径，BC为切线，∴AB⊥BC

又EF∥BC，

∴AB⊥EF，弧BF=弧BE,

GF＝GE＝1

2

(HF+EH)=3，HG=1

DB平分∠EDF，

又BF∥CD，

∴∠FBD＝∠FDB＝∠BDE＝∠BFH ∴HB＝HF＝2

∴cos∠BHG＝HG

HB ＝

1

2

，∠BHG＝60°.

∴∠FDB＝∠BDE＝30°

∴∠DFH＝90°，DE为直径，DE＝3BE所对圆心角＝60°.

∴弧BE＝1

63π＝

2

3

3π

【点睛】

本题是圆的综合题，主要考查圆周角、切线、垂径定理、弧长公式等相关知识，掌握圆周角的有关定理，切线的性质，垂径定理及弧长公式是解题关键.

8．如图，已知△ABC，23

BC=，∠B=45°，点D在边BC上，联结AD，以点A 为圆心，AD为半径画圆，与边AC交于点E，点F在圆A上，且AF⊥AD．

（1）设BD为x，点D、F之间的距离为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（2）如果E是DF的中点，求:

BD CD的值；

（3）联结CF，如果四边形ADCF是梯形，求BD的长．

【答案】(1) 2442y x

x (0≤x≤3); (2)

45; (3) BD 的长是1或1+5. 【解析】 【分析】

（1）过点A 作AH ⊥BC ，垂足为点H ．构造直角三角形，利用解直角三角形和勾股定理求得AD 的长度．联结DF ，点D 、F 之间的距离y 即为DF 的长度，在Rt △ADF 中，利用锐角三角形函数的定义求得DF 的长度，易得函数关系式． （2）由勾股定理求得：AC=

22AH DH +．设DF 与AE 相交于点Q ，通过解Rt △DCQ 和

Rt △AHC 推知

1

2

DQ CQ =．故设DQ=k ，CQ=2k ，AQ=DQ=k ，所以再次利用勾股定理推知DC 的长度，结合图形求得线段BD 的长度，易得答案．

（3）如果四边形ADCF 是梯形，则需要分类讨论：①当AF ∥DC 、②当AD ∥FC ．根据相似三角形的判定与性质，结合图形解答． 【详解】

（1）过点A 作AH ⊥BC ，垂足为点H ．

∵∠B =45°，AB 2∴·cos 1BH AH AB B ===． ∵BD 为x ，∴1DH x =-．

在Rt △ADH 中，90AHD ∠=?，∴22222AD AH DH x x =

+=-+．

联结DF ，点D 、F 之间的距离y 即为DF 的长度．

∵点F 在圆A 上，且AF ⊥AD ，∴AD AF =，45ADF ∠=?． 在Rt △ADF 中，90DAF ∠=?，∴2442cos AD

DF x x ADF

==-+∠

∴2442y x x =-+．()03x ≤≤ ;

（2）∵E 是DF 的中点，∴AE DF ⊥，AE 平分DF ．

∵BC=3，∴312HC =-=．∴225AC AH HC =

+=．

设DF 与AE 相交于点Q ，在Rt △DCQ 中，90DQC ∠=?，tan DQ

DCQ CQ

∠=． 在Rt △AHC 中，90AHC ∠=?，1

tan 2

AH ACH HC ∠==． ∵DCQ ACH ∠=∠，∴

1

2

DQ CQ =． 设,2DQ k CQ k ==，AQ DQ k ==， ∵35k =，5k =

，∴22

53DC DQ CQ =+=．

∵43BD BC DC =-=

，∴4

:5

BD CD =． （3）如果四边形ADCF 是梯形

则①当AF ∥DC 时，45AFD FDC ∠=∠=?．

∵45ADF ∠=?，∴AD BC ⊥，即点D 与点H 重合． ∴1BD =． ②当AD ∥FC 时，45ADF CFD ∠=∠=?． ∵45B ∠=?，∴B CFD ∠=∠．

∵B BAD ADF FDC ∠+∠=∠+∠，∴BAD FDC ∠=∠． ∴ABD ?∽DFC ?．∴AB AD

DF DC

=． ∵2DF AD =

，DC BC BD =-．

∴2

AD BC BD =-．即

(

)

2

2

2-23x x

x +=-,

整理得 210x x --=，解得 15

x ±=

（负数舍去）． 综上所述，如果四边形ADCF 是梯形，BD 的长是1或1+5

2

． 【点睛】

此题属于圆的综合题，涉及了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、三角函数值以及勾股定理等知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．

9．如图，是大半圆的直径，

是小半圆的直径，点是大半圆上一点，

与小半

圆交于点，过点作

于点.

（1）求证：是小半圆的切线； （2）若，点在上运动（点不与

两点重合），设

，

.

①求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

②当

时，求

两点之间的距离.

【答案】（1）见解析；（2）①，，②两点之间的距离为

或.

【解析】

【分析】

（1）连接CO、CM，只需证到CD⊥CM．由于CD⊥OP，只需证到CM∥OP，只需证到CM 是△AOP的中位线即可．

（2）①易证△ODC∽△CDP，从而得到CD2=DP?OD，进而得到y与x之间的函数关系式．由于当点P与点A重合时x=0，当点P与点B重合时x=4，点P在大半圆O上运动（点P不与A，B两点重合），因此自变量x的取值范围为0＜x＜4．

②当y=3时，得到-x2+4x=3，求出x．根据x的值可求出CD、PD的值，从而求出∠CPD，运用勾股定理等知识就可求出P，M两点之间的距离．

【详解】

（1）连接，如图1所示

∵是小半圆的直径，

∴即

∵

∴

∵

∴

∴，

∵

∴，

∴

∴.，即

∵经过半径的外端，且

∴直线是小半圆的切线.

（2）①∵，，

∴

∴

∴∽

∴

∴

∵,,，

∴

当点与点重合时，；当点与点重合时，∵点在大半圆上运动（点不与两点重合），∴

∴与之间的函数关系式为，

自变量的取值范围是.

②当时，

解得,

Ⅰ当时，如图2所示

在中，

∵，

∴，

∴

∵，

∴是等边三角形

∵

∴

∴

.

Ⅱ当时，如图3所示，

同理可得

∵

∴

∴

过点作，垂足为，连接，如图3所示

∵，

∴

同理

在中，

∵，

∴

综上所述，当时，两点之间的距离为或.

【点睛】

考查了切线的判定、平行线的判定与性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、特殊角的三角函数值、勾股定理等知识，综合性比较强．

10．如图，AN是⊙M的直径，NB∥x轴，AB交⊙M于点C．

（1）若点A（0，6），N（0，2），∠ABN=30°，求点B的坐标；

（2）若D为线段NB的中点，求证：直线CD是⊙M的切

线．

【答案】(1) B（，2）．(2)证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）在Rt△ABN中，求出AN、AB即可解决问题；

（2）连接MC，NC．只要证明∠MCD=90°即可

试题解析：（1）∵A的坐标为（0，6），N（0，2），∴AN=4，

∵∠ABN=30°，∠ANB=90°，

∴AB=2AN=8，

∴由勾股定理可知：NB=，

∴B（，2）．

（2）连接MC，NC

∵AN是⊙M的直径，

∴∠ACN=90°，

∴∠NCB=90°，

在Rt△NCB中，D为NB的中点，

∴CD=NB=ND，

∴∠CND=∠NCD，

∵MC=MN，

∴∠MCN=∠MNC，

∵∠MNC+∠CND=90°，

∴∠MCN+∠NCD=90°，

即MC⊥CD．

∴直线CD是⊙M的切线．

考点：切线的判定；坐标与图形性质．