风险投资组合的线性规划模型(优秀论文)

1998年A题

风险投资组合的线性规划模型1

摘要

对市场上的多种风险资产和一种无风险资产（存银行）进行组合投资策略的设计需要考虑两个目标：总体收益尽可能大和总体风险尽可能小，而这两个目标在一定意义上是对立的。

本文给出组合投资方案设计的一个线性规划模型。主要思路是通过线性加权综合两个设计目标；假设在投资规模相当大的基础上，将交易费函数近似线性化；通过决策变量的选取化解风险函数的非线性。

模型的最大优点是：计算过程稳定性好，速度快。我们对各种加权因子，求得了最优化决策方案，从而得到问题的有效投资曲线。根据有效投资曲线，投资者可以由自己的主观偏好，直观地选择自己的投资方向。

最后通过非线性规划，说明线性规划的结果对于交易费收取的阈值有一定的容忍度。

一. 问题的提出

在风险市场的投资问题中，风险与收益始终是一对矛盾。一般来说想要追求高收益，风险也大; 若想风险小，收益也会相应减少。研究表明，大部分的投资者具有以下的行为偏好：对于收益来说，总是越多越好；从风险的角度来说，大部分人都属于风险回避者。我们可以通过选取适当的组合投资方案，在取得良好收益的同时使总体风险减少。

设某公司有一笔数额相当大的资金，投资购买若干种风险资产或存银行生息。风险资产收益高但风险大，存银行生息无风险但收益低。公司财务人员对多种资产进行了评估，估算出在这一时期内各种资产的平均收益率和风险损失率，并考虑购买时需付一定的交易费（不买当然无须付费，购买额不超过阈值时，交易费按阈值计算）。现在需要设计一种投资组合方案，以利用好这笔资金使得净收益尽可能大，而总风险尽可能小。

二. 模型的基本假设及符号说明

(一)基本假设

H1: 只考虑给定时间内的收益和风险，且银行存款利率在给定时间内保持不变;

H2: 公司用于投资的资金数额相当大，且无贷款或透支;

H3: 各种资产投资风险相互独立。

H4: 总体风险可用所投资的资产中最大的一个风险来度量。

1本文发表于《数学的实践与认识》1999. No1. p39-42.

(二)符号说明

S i : 第i 种资产 (i=1，2，...，n ，n+1)， 其中S n+1表示存入银行; r i : S i 的平均收益率; q i : S i 的风险损失率; p i : S i 的交易费率 ; u i : S i 购买额阈值; M: 资金总额;

X i: 投资S i 占总额的比重(不含交易费) ， 以下简称投资; Y i: 投资S i 的交易费占总额的比重， 以下简称交易费; f 1: 净收益; f 2: 总体风险; λ: 权因子;

三. 模型的建立

(一) 基本模型

我们的目标是对各种资产投资以后，不仅收益尽可能大，同时总体风险还要尽可能小。所以我们的目标函数应为收益和风险两个函数。且由于在一段时间内的各种资产的平均收益率和风险损失率均已由财务人员分析了出来，因此我们可以建立以下数学模型：

目标1 max f 1=

()∑+=-1

1n i i i

i Y X

r

目标2 min f 2=()i i n

i X q ≤≤1max

s.t. ()∑+=+11n i i i Y X =1 其中 ????

?????

≥<<==M u X p X M u X p M

u

X Y i

i i i i i i i i i 0 0

这是一个多目标非线性数学规划模型 ， 且f 1不是x i 的连续函数 ， 优化求解困难 。

下面我们将它转化为一个线性规划模型。

(二) 线性规划模型 1 目标函数的确定

多目标规划有多种方法化为单目标问题解决。 我们使用线性加权法 。 总目标函数 min f=λf 2 +(1-λ) (-f 1) λ反映了风险投资中投资者的主观因素， λ越小表示投资越冒险。 特别地λ=0表示只顾收益不顾风险，这样的人有可能取得最大收益; λ=1表示只顾风险而不顾收益，这样的人会将所有资金存入银行。

2 交易费函数的线性化近似

本题难点之一是Y i 不是X i 的连续函数。现将Y i 近似为X i 的线性函数。

Y i =p i X i

对阈值以下有一定误差(见下图)。 但当投资规模充分大时， 对优化结果不会有明显影响。 一方面， 对于i=1，2，...，n ， 若S i 的投资很小，会白白浪费交易费，对优化不利，最优解一般不会出现小X i ; 另一方面当投资总额很大时， 不足购买费阈值的追加费用对目标函数影响不大。

i

3 风险函数的转化

令X n+2=f 2， 那么必有 q i X i ≤X n+2 (i=1，2，...n)。由于目标函数优化f ， 从而最优解必可使()i i n

i X q ≤≤1max 达到X n+2。 这样得到线性规划模型:

min f=(1-λ)

()∑+=+-1

1

n i i

i

i

X

r p λX n+2

s.t. ()???

????+=≥=≤-=+++=∑2,...2,1 0,...2,1

1121

1

n i X n i X X q X p i n i i n i i i

四. 模型的求解

(一) 求解方法

本文采用MATLAB 优化工具箱中的线性规划函数 lp 求解。 它优化下列线性规划模型: min C T X s.t. AX ()=≤或 b

其使用格式为:

X=lp(C，A，b，vlb，vub，X0，N)

其中vlb，vub分别是上下界，X0为初始值，N表示约束条件中前N个约束为等式约束。

（二）计算步骤

1 输入数据，选取权因子λ;

2 生成矩阵C，A，b;

3 根据需要取vlb，vub，X0，N (本问题vlb 取零向量，N取1，vub和X0无特

殊要求，置为空集)

4 使用MA TLAB 函数lp求解;

（三）计算结果及分析:

1 投资问题一

使用上述方法分别求解当λ=0。1，0。2，...，1时的最优决策及风险和收益如下(M函数dxz1_1. m)

2 投资问题二

使用上述方法分别求解λ=0.1，0.2，...，1的最优决策及风险和收益如下(M函数dxz1_2.m)

3 投资方案分析

（1）.从上面结果得到问题一的四个典型最优组合，问题二有7个典型最优组合。对于不同风险承受能力，选择该风险水平下的最优投资组合。例如：对问题一，若风险承受水平是0.02，那么取λ=0.2时的决策方案.

（2）.净收益和风险都是λ的单调下降函数（见下图）.说明谨慎程度越强，风险越小但受益也越小.具有明确的实际意义。

λ=0 ~1 内300等分点，求得最优投资组合集及它们形成的有效投资曲线。这条曲线上的任一点都表示

该风险水平的最大可能收益和该收益要求的最小风险。实际上在我们计算精度内，问题一只有5个最优方案， 问题二只有13个最优方案。其中问题一风险0.0059(即λ=0.9)的决策(0.2376,0.3960,0.1080,0.2284,0)和问题二风险0.0995(即λ=0.3)的决策(0,0,0.1658,0,0,0,0.0.1463,0,0.1867,0.2487,0,0,0.2163,0,0,0)具有特别重要的意义，因为它们对应在风险增长较慢情形下最大的收益，可认为是一般意义上的最优解。

4 适用性分析 当0

M

u i

， 线性规划模型可能不是最优解。也就是结果的正确性与M 有关，M> (

i i x u ) 时必最优.但M < (i

i x u

) 时结果不一定可靠. 比如对问题二，当 λ=0.3 时，这个临界值为2581；对问题一，λ=0.9 时，这个临界值为500.

五. 模型的验证与改进

(一) 非线性规划模型

当投资规模较小时，线性规划模型中交易费函数的线性化近似可能造成吸引小投资(低于阈值)，从而使优化结果失去最优性.但由于交易费函数的不连续性，会造成非线性优化算法的不稳定，将交易函数作如下处理

Y x p X u M u p u M x u M X p X u M i i i i i i i i i i i i i i =

????

?

?

??100001001 ..

Y i

可使Y i 变成连续函数，这样做的前提假设是

H5 : 极少的投资是不可能出现的(所有投资要超过阈值的1%)， 从而得到下列非线性规划模型:

min λX n+2 -(1-λ)

()r X

Y i i

i i n -=+∑1

1

s.t. ()???

????+=>=≤-=+++=∑2... ,2 ,1 0... ,2 ,1

121

1

n i X n i X X q Y X i n i i n i i i

(二)计算结果分析

我们使用MA TLAB 的最优化函数Constr 计算(M 文件dxz2_1.m 和dxz2_2.m ， 它的调用函数dxz2f.m)， 计算结果发现在线性规划模型M 的临界值上方，结果总与线性规划一致.即使对临界值下方线性规划的结果还有相当大的容度(如问题一λ=0.9, M=100, 问题二λ=0.3, M=2000). 对于相当小的M ，非线性规划的计算结果出现不稳定，表现出对初值的依赖性.这时，线性规划结果为次优解，而非线性规划结果为局部最优结果.

参考文献

[1]运筹学，清华大学出版社，北京，1990.

[2]赵锡军等，金融投资学，中国人民大学出版社，北京，1996

[3]施阳，MA TLAB 语言工具箱，西北工业大学出版社，西安，1998

附录：程序清单(在MATLAB4.2运行)

%M脚本dxz1_1.m

clear;close;

n=4;

r=[28 21 23 25 5]'/100;

q=[2.5 1.5 5.5 2.6 0]'/100;

p=[1 2 4.5 6.5 0]'/100;

u=[103 198 52 40 100]';

lemda=0;

for i=1:11

c=[(1-lemda)*(p-r);lemda];

A1=[(1+p)', 0];

A2=[diag(q(1:n)),zeros(n,1),-ones(n,1)];

A=[A1;A2];

b=[1;zeros(n,1)];

vlb=zeros(n+2,1);

x=lp(c,A,b,vlb,[],[],1);

y=-(p-r)'*x(1:(n+1));

goal=[y x(n+2)];

lemda=lemda+0.1;

s(:,i)=[x(1:(n+1));goal'];

end

s

plot(0:0.1:1,s(n+2,:),'w-',0:0.1:1,s(n+3,:),'w*');hold on;

plot(0:0.1:1,s(n+2,:),'w-',0:0.1:1,s(n+3,:),'w:');

title('投资目标曲线(n=4)');

xlabel('谨慎程度');ylabel('最佳目标');

legend('-w','收益 ','*w','风险');

%M脚本dxz1_2.m

clear;close;

n=15;

r=[9.6 18.5 49.4 23.9 8.1 14 40.7 31.2 33.6 36.8 11.8 9 35 9.4 15 5]'/100; q=[42 54 60 42 1.2 39 68 33.4 53.3 40 31 5.5 46 5.3 23 0]'/100;

p=[2.1 3.2 6 1.5 7.6 3.4 5.6 3.1 2.7 2.9 5.1 5.7 2.7 4.5 7.6 0]'/100; u=[181 407 428 549 270 397 178 220 475 248 195 320 267 328 131 0]'; lemda=0;

for i=1:11

c=[(1-lemda)*(p-r);lemda];

A1=[(1+p)', 0];

A2=[diag(q(1:n)),zeros(n,1),-ones(n,1)];

A=[A1;A2];

b=[1;zeros(n,1)];

vlb=zeros(n+2,1);

x=lp(c,A,b,vlb,[],[],1);

y=-(p-r)'*x(1:(n+1));

goal=[y x(n+2)];

lemda=lemda+0.1;

s(:,i)=[x(1:(n+1));goal'];

end

s

plot(0:0.1:1,s(n+2,:),'w-',0:0.1:1,s(n+3,:),'w*');hold on;

plot(0:0.1:1,s(n+2,:),'w-',0:0.1:1,s(n+3,:),'w:');

title('投资目标曲线(n=15)');

xlabel('谨慎程度');ylabel('最佳目标');

legend('-w','收益','*w','风险');hold off;

%M脚本dxz1_1p.m

clear;close;

n=4;

r=[28 21 23 25 5]'/100;

q=[2.5 1.5 5.5 2.6 0]'/100;

p=[1 2 4.5 6.5 0]'/100;

u=[103 198 52 40 100]';

for lemda=linspace(0,1,300)

c=[(1-lemda)*(p-r);lemda];

A1=[(1+p)', 0];

A2=[diag(q(1:n)),zeros(n,1),-ones(n,1)];

A=[A1;A2];

b=[1;zeros(n,1)];

vlb=zeros(n+2,1);

x=lp(c,A,b,vlb,[],[],1);

y=-(p-r)'*x(1:(n+1));

goal=[y x(n+2)];

plot(goal(2),goal(1),'ow');hold on;

end

title('有效投资曲线(n=4)');

xlabel('风险');ylabel('收益');

%M脚本dxz1_2p.m

clear;close;

n=15;

r=[9.6 18.5 49.4 23.9 8.1 14 40.7 31.2 33.6 36.8 11.8 9 35 9.4 15 5]'/100; q=[42 54 60 42 1.2 39 68 33.4 53.3 40 31 5.5 46 5.3 23 0]'/100;

p=[2.1 3.2 6 1.5 7.6 3.4 5.6 3.1 2.7 2.9 5.1 5.7 2.7 4.5 7.6 0]'/100; u=[181 407 428 549 270 397 178 220 475 248 195 320 267 328 131 0]';

for lemda=linspace(0,1,300)

c=[(1-lemda)*(p-r);lemda];

A1=[(1+p)', 0];

A2=[diag(q(1:n)),zeros(n,1),-ones(n,1)];

A=[A1;A2];

b=[1;zeros(n,1)];

vlb=zeros(n+2,1);

x=lp(c,A,b,vlb,[],[],1);

y=-(p-r)'*x(1:(n+1));

goal=[y x(n+2)];

plot(goal(2),goal(1),'ow');hold on;

lemda=lemda+0.1;

end

title('有效投资曲线(n=15)');

xlabel('风险');ylabel('收益');

%M脚本dxz2_1.m

clear;global M r q p u g lemda;

M=100;lemda=0.9;

r=[28 21 23 25 5]'/100;

q=[2.5 1.5 5.5 2.6 0]'/100;

p=[1 2 4.5 6.5 0]'/100;

u=[103 198 52 40 1]'/100;

x0=0.5*ones(length(r)+1,1)/6;

vlb=zeros(6,1);

[x options]=constr('dxz2f',x0,[],vlb,[])

%M脚本dxz2_2.m

clear;global M r q p u g lemda;

M=2000;

lemda=0.3;

r=[9.6 18.5 49.4 23.9 8.1 14 40.7 31.2 33.6 36.8 11.8 9 35 9.4 15 5]'/100; q=[42 54 60 42 1.2 39 68 33.4 53.3 40 31 5.5 46 5.3 23 0]'/100;

p=[2.1 3.2 6 1.5 7.6 3.4 5.6 3.1 2.7 2.9 5.1 5.7 2.7 4.5 7.6 0]'/100; u=[181 407 428 549 270 397 178 220 475 248 195 320 267 328 131 0]'; x0=0.5*ones(length(r)+1,1)/(length(r)+1);

vlb=zeros(length(r)+1,1);

[x options]=constr('dxz2f',x0,[],vlb,[])

%M函数dxz2f.m

function [f,g]=fun(xx)

global M r q p u lemda;

xx=xx(:);len=length(xx);x=xx(1:(len-1));

y=(x>100*eps).*(x=u/M/100).*max(x,u/M);

y=y.*p;

f=lemda*xx(len)-(1-lemda)*sum(r.*x-y);

g(1)=sum(x+y)-1;

g(2:(len-1))=q(1:(len-2)).*x(1:(len-2))-xx(len);g=g(:);