第一章 测量误差 数据处理 不确定度的评定..

第一章实验数据处理的基本方法

我们每做一个物理实验，都是先对这个实验中的物理现象进行观察，然后通过相应的测量获得一些实验数据，最后经过对这些数据的处理得到最终的实验结果。除了通过正确的原理和方法进行实验外，用正确的方法对实验数据进行处理，是获得合理的实验结果的关键。本章主要介绍实验数据处理的基本方法。其内容由两部分组成。

第一部的主要内容是有效数字及其运算、实验误差的特点及克服方法、不确定度概念及其初步评定方法等。

第二部的主要内容是列表法、作图法、逐差法等常用的实验数据处理方法。

§1 有效数字及其运算

一、直接测量和间接测量

我们知道，量度物质的属性或描述物质的运动状态所用的各种量值叫做物理量，如长度、速度、热量、功、电流强度等。测量是用实验方法获得物理量量值（测量值）的过程。按照测量值获得方法的不同，测量分为直接测量和间接测量两种。

1.直接测量：

是指不需要对被测量与其它实测量进行函数关系的辅助计算，直接从仪器或量具上得到被测量值的测量。例如：用直尺测量长度；以秒表计时间；用天平称质量；用电流表测电流等。这些用直接测量得到量值的物理量叫做直接测得量。

2.间接测量

是指从一个或几个直接测量结果按一定的函数关系计算出来的的过程。而用间接测量得到量值的物理量叫做间接测得量。例如：在伏安法测电阻的实验中，用电流表直接测量流过待测电阻的电流I，用电压表直接测量待测电阻两端的电压U，然后欧姆定律R=U/I计算电阻的阻值R的过程，就是间接测量。在这里，电流I和电压U是直接测得量，而电阻R是间接间接测得量。

二、有效数字的定义

由于种种原因，用任何实验仪器直接测量的数值都不可避免地含有一定的误差，因此，测得的数据都只能是近似数。由这些近似数通过计算而得到的间接测量值也一定是近似数。显然，几个近似数的运算不可能使运算结果更加准确，而只会使其误差增大。因此近似数的表示和计算都必须遵循一些规则，以便确切地表示和记录运算结果的近似性。这些规则就是有效数字及其运算规则。

从仪器上读出的数字，通常都要尽可能估计到仪器最小刻度的下一位。以如图1-1所示的用米尺测量钢棒的长度为例，我们可以读出4.26cm，4.27cm或4.28cm，前二位“4.2”可以从米

尺上直接读出来，是准确数字，而第三位数“6”，“7”或“8”是测量者估读出来的，估读的结果因

人而异，因此这一位是有疑问的，叫做存疑数字（又叫做不可靠数字）。由于第三位已经存疑，因此已没有必要估计它以后的各位数了。

我们把仪器上直接读出的数字和最后一位估读的存疑数字，全部记录下来，叫做有效数字。也就是说，有效数字包括从仪器上直接读出的准确数字和最后一位存疑数字，即

有效数字 = 准确数字 + 存疑数字

而且也只有最后一位数字是存疑数字。结果用并且只用它的有效数字表示。

上面所说的钢棒长度的测量值4.26 cm ，4.27 cm 或4.28 cm 包含三位有效数字。也就是说，有效数字的位数等于准确数字的位数加上存疑数字的位数（存疑数字的位数只能为1）。在以下的表述中，存疑数字下面标上下滑线。

例：2.365（四位）；0.21008（五位）；0.0024（二位）；0.260（三位）；0.01230（四位）。

三、有效数字的特点

1. 有效数字前面的“0”不是有效数字，而中间和后面的“0”都是有效数字。

例：0.0003576 ，3.005 ，3.000 都是四位有效数字。在上例中的0.01230 和本例中的3.000最右边的“0”是有效位数，不可以省略不写。

注意：实验中的数字与数学上的数字是不一样的。

数学的8.35 = 8.350 = 8.3500 ，

实验的8.35 ≠ 8.350 ≠ 8.3500（小数点后面的0是有意义的）。

2. 单位换算时，有效数字的位数不变。即有效数字的位数与小数点的位置无关。 例：2

3.56 cm = 0.2356 m = 0.0002356 km

为了避免混淆，并使记录和计算方便，在写有效数字时，通常在小数点前一律取一位有效

数字，然后乘上10的幂来表示，即

图1-1

0 cm

2 4

3 1 5

n a A 10?=，且1≤ a ＜10

这样写有效数字的方法，叫做科学记数法。

例：在上例中，我们可以这样写：

23.56 cm = 2.356 × 101 cm = 2.356 × 10-1 m = 2.356 × 10-4

km

例：光速c = 30 km/s 。

不正确的写法：c = 300000 km/s ；c = 30 km/s

正确的写法：c = 3.0×105 km/s = 3.0×108 m/s

3. 有效数字的位数与被测物的大小和测量仪器的精密度有关。

例如在图1-1中测得物体的长度为4.27 cm ，如果改用千分尺来测，其有效数字的位

数有五位。

四、直接测得量有效数字的读取

直接测得量的有效数字来源于测量时所用的仪器。

1. 刻度式仪表（米尺、千分尺、读数显微镜、常用的电流表、电压表等），一般读数应读到最小分度，然后再估读一位，如图1-2所示。

2. 有时读数的估计位，就取在最小分度位。例如，仪器的最小分度值为0.5 ，则0.1 ~ 0.4 ，0.6 ~ 0.9 都是估计的，不必估到下一位，如图1-3所示。

读数：4.7 cm

图1-3

0 cm

2 4

3 1 5

读数：15.84 mm

6 5 3

7

8

9 0.02mm

4 2 1

0 6 5 3 7

4 2 1 0

图1-2

读数：18.907 mm

3. 游标类量具（游标卡尺、分光计度盘、大气压计等），读到游标分度值的整数倍。多数情况下不估读，特殊情况估读到游标分度值的一半。如图1-4所示

4. 数字式仪表及步进读数仪器（电阻箱、电桥、电位差计、数字电压表等），不需估读。直接读取仪表的示值，如图1-5所示。

5. 若测量值恰为整数，必须补零，直接补到存疑位，如图1-6所示。

6. 特殊情况，直读数据的有效数字由仪器的灵敏阈决定。例如在“电表的改装”中，表头串联一个大电阻，改装成电压表时，由于线路灵敏度低，在确定串联电阻时，调节电阻箱上“×1Ω”挡时，表头上的反映已经不太灵敏，尽管最小步进值为“×0.1Ω”，电阻值只记录到“×1Ω”。

五、间接测得量有效数字尾数的舍入规则

如上所述，在对直接测得量进行测量时，必须用有效数字表示其量值。而要通过对有效数字进行运算得到间接得测量时，不可避免地会遇到间接得测量有效数字尾数的舍入问题。根据国家的相关标准，将运算结果中多余的存疑数字舍去时，本课程采用“4舍6入5凑偶”的方法则。

根据这个法则，当要保留n 位有效数字时，如果 1. 第n+1位数字≤4 ，就把它舍掉；

2. 第n+1位数字≥6时，则要向第n 位数字进1 ；

3. 第n+1位数字＝5，并且后面的数字都为0，则第n 位数字若为偶数时就把这个5舍掉；第n 位数字为奇数时就向前进1 ；若第n+1位数字=5且后面还有不为0的任何数字时，无论第n 位数字是奇数或偶数都进1 。

例：保留3位有效位数，则

9.82462 = 9.82（∵ 0.004 ＜ 0.005 。） 7.62671 = 7.63（∵ 0.006 ＞ 0.005 。）

9.82500 = 9.82（5后面的数字都为0，并且它前面的2是偶数。） 3.13500 = 3.14（5后面的数字都为0，并且它前面的3是奇数。） 6.32502 = 6.33（5后面有不为0的数字）

图1-

5

读数：4.20 cm

图1-6

0 cm

2 4

3 1 5

六、有效数字的运算

1. 总的原则：

① 准确数字与准确数字进行四则运算时，其结果仍为准确数字。

② 准确数字与存疑数字以及存疑数字与存疑数字进行四则运算时，其结果均为存疑数字。 ③ 在最后的结果中只保留一位存疑数字，其后多余的存疑数字数字是无意义的，应按有效数字舍入规则截去。

2. 具体规则：

① 两数相加、减时，其结果的有效位数的最后（即最右）一位的位置与两数中最后一位位数高者的相同。例如：

7.481266.481246.32.478≈=+ 9.4578.454.372.49≈=-

② 两数相乘、除时，其结果的有运算结果的有效位数与两数中有效位数少者相同。例如

41099.155.449199.235.834?≈=? 2131467.1135.194.2569≈=÷

③ 乘方、开方运算最后结果的有效数字位数一般取与底数的有效数字位数相同。例如：

66.53)532.7(2≈

37.58.32≈

④ 指数、对数、三角等函数运算结果的有效数字位数由其改变量对应的数位决定。

例如：

在 841567.023.2ln =中2.32的存疑数字为0.02，

那么我们将它的末位数改变1（即 845868.033.2ln =）后比较，看出发生改变的位置在小数点后的第三位（千分位）上，就能得知284.023.2ln ≈。

⑤ 常数π、e 、1/3、2等常数的有效数字位数可以认为是无限的，应取足够的有效位数参与运算，直接根据计算器上的计算结果取用。

⑥ 有效数字位数不能由数学或物理常数来确定。

例如：在公式as 2=υ中，υ的计算结果不能由于“2”的存在而只取一位存疑数字，而要根据a 和s 来决定。

以上这些结论，在一般情况下是成立的，有时会有一位的出入。为了防止数字截尾后运算引入新误差，在中间过程中，参与运算的数据可多取1至2有效数字。

在当今计算机时代，对参与运算的数和中间运算结果都可不作修约，也可比传统方法估计的位数适当多取几位，只在最后结果表示前再作修约，这样可能更有利于实验效率的提高。

§2 测量误差和测量不确定度

一、测量误差的基本概念

物理实验是以测量为基础的，但是测量结果都可能存在误差。可以说任何测量都不可能无限准确。

测量误差的主要来源

（1）仪器、装置引入的误差；操作读数时的视差影响

（2）原理、方法引入的误差；

（3）环境、条件引入的误差；

（4）实验者引入的误差；

误差的定义、分类及简要处理方法

测量误差的定义

测量结果y和被测量真值Yt之差称误差，记作

dy

误差dy＝测量值y－真值Y t

误差被定义为“测量结果与被测量真值之差。一个

量的真值，是在被观测时本身所具有的真实大小，

只有完善（由理想测量得到的值）的测量才能得到

真值，而实际上任何测量都有缺陷，因此真值是一

个理想化的概念。由于其值无法确切地知道，所以

误差也无法准确地知道。

由于真值的不可知，误差实际上很难计算。有时可以用准确度较高的结果作为约定真值来计算误差。

被测值的真值是一个理想的概念，一般说来真值是不知道的。在实际测量中常用准确度高的实际值来作为约定真值，才能计算误差。

误差特性

普遍性, 小量

误差的普遍性要求必须重视对测量结果的误差分析和不确定度评定，完整地表示测量结果。

完整的测量结果应表示为

测量对象，测量对象的量值，测量的不确定度，测量值的单位。（测量的四个要素：1)测量对

象；2)测量方法；3)测量单位；4)测量不确定度）

表示被测对象的真值落在(y - ?, y + ? )范

围内的概率很大， ?的取值与一定的概率相联。 误差主要分为两类：

a)随机误差(可以由统计方法评定)； b)系统误差(则要具体问题具体讨论)

另一类因为读数错误、操作失当等原因造成的明显超出规定条件下预期值的误差，称为粗大误差。测量应避免出现粗大误差. 已被谨慎地确定为含有粗大误差的个别数据要剔除。 随机误差 定义：

重复测量中以不可预知方式变化的测量误差分量。 例如：

电表轴承的摩擦力变动;

螺旋测微计测力在一定范围内随机变化; 操作读数时的视差影响;

数字仪表末位取整数时的随机舍入过程等等， 都会产生一定的随机误差分量。 如何处理随机误差分量？

随机误差分量是测量误差的一部分，其绝对值大小和符号虽然不知道，但在相同条件下对同一量的多次重复测量中，它们的分布常常满足一定的统计规律。 简要处理方法 算术平均值 标准偏差 不确定度 算术平均值

大多数情况下，随机误差具有抵偿性。测量次数足够多时，符号为正的误差和符号为负的误差基本对称，能大致相消。

因此，用多次测得值的算术平均值作为被测量的估计值，能减小随机误差的影响。 设对同一量作了 n 次重复测量，测得值为Yi ，平均值为 ：

标准偏差

随机误差使测得值Yi 有分散性，分散性用实验标准偏差s 表征，s 的值直接体现了随机误差的分布特征。

s 大表示测得值分散，随机误差分布范围宽， 测量精密度低；

s 小表示测得值密集，随机误差分布范围窄， 测量精密度高。

?±=y Y ∑

==n i i y n y 1

1

s 可由贝塞耳公式算出: 系统误差 定义：

重复测量中保持恒定或以可预知方式变化的测量误差分量。

系统误差分类

已定系统误差 未定系统误差

已定系统误差(必须修正)

指符号和绝对值已经确定的误差分量。实验中应尽量消除已定系统误差，或对测量结果进行修正，修正公式为：

测得值(或其平均值)－已定系统误差 例如：

电表、螺旋测微计的零点误差；

伏安法测电阻时，电流表内接、外接， 由于忽略表内阻引起的误差。 已定系统误差的修正

未定系统误差(须估计分布范围)

指符号或绝对值未被确定的系统误差分量。一般只能估计出未定系统误差的限值或分布特征值。

未定系统误差分量大多和B 类不确定度分量的来源有粗略的对应关系。 对实验中的系统误差应如何处理？ 系统误差分析的重要性：

大量的一般测量的实践表明，系统误差分量对测量结果的影响常常显著地大于随机误差分量的影响。因此大学物理实验要重视对系统误差的分析，尽量减小它对测量结果的影响。

g R I U R -=

内接法V

R U I U R -=

外接法

1）对已定系统误差进行修正；

2）合理评定系统误差分量对应的B类不确定度分量；

3）通过方案选择、参数设计、计量器具校准、

环境条件控制、计算方法改进等环节减小系统

误差影响。

把待测物理量直接或间接地与一个被选做标准的同类物理量做比较。

测量结果应包括这种比较操作所得到的比值、单位，还应说明这一结果在什么范围内的置信概率。

1.1 等精度测量；直接测量；间接测量

等精度测量：同一个人、用同一仪器、用同样的方法、在相同条件下多次测量同一物理量（5同）。

实际上，事物总在不断变化，只要这种变化较小，不影响测量结果，就算等精度测量。

其它为不等精度测量。

测量分为直接测量和间接测量

直接测量：被测量直接与标准量相比较而得出测量结果

间接测量：利用被测量与可以直接测量的量的函数关系，通过计算而得出测量

结果

例：

测量铜柱的密度时，我们可以用米尺量出它的高h和直径d，算出体积然后用天平称出它的质量M，算出密度

这里，我们说

铜柱的高h、直径d 和质量M是直接测得量，

体积V和密度ρ是间接测得量。

1.2 真值；最佳估计值

2. 误差的概念及分类 2.1 系统误差

2.1.1 系统误差的特点 2.1.2 产生系统误差的原因 （1）仪器构造上的不完善。 （2）安装调整误差。 （3）个人误差。

（4）方法误差或理论误差。 2.1.3 减少系统误差的方法

（1）从误差来源上消除系统误差 （2）用修正法消除系统误差

（3）应用测量技术消除恒定系统误差

① 换测法。 ②替代法。③异号法。

对修正后的遗漏部分，则应认为具有随机的特性予以估计。 2.2 随机误差

2.2.1 随机误差的特点

2.2.2 减少随机误差的方法

由于误差的存在，使得测量结果具有一定程度的不确定性。为了加强国际间的交流与合作，1996年，中国计量科学研究院在国际权威文件《测量不确定度表达指南》的基础上，制定了我国的《测量不确定度规范》。从此，物理实验的不确定度评定有了国际公认的准则。下面将结合对测量结果的评定对不确定度的概念、分类、合成等问题进行讨论。

1)不确定度的概念

不确定度，表示由于测量误差的存在而对被测量值不能确定的程度。

不确定度，反映了可能存在的误差分布范围，即随机误差分量和未定系统误差分量的联合分布范围。

由于真值的不可知，误差一般是不能计算的，它可

正、可负也可能十分接近零；而不确定度总是不为零的正值，是可以具体评定的。

不确定度理论摈弃了传统的“系统误差”和“随机误差”的分类方法，而是将不确定度按照测量数据的性质分类：

1）用数理统计方法处理， 称为A 类不确定度； 2）用非数理统计方法处理,统称为B 类不确定度。 测量不确定度的理论保留系统误差的概念。

A 类分量— 多次重复测量时与随机误差有关的分量；

B 类分量— 多数与未定系统误差有关的分量。

这两类分量在相同置信概率下用方和根方法合成总不确定度：

22B

A ?+?=?

研究不确定度的意义

科学地反映测量结果的数值和可靠程度.

根据对测量不确定度的要求,确定实验方案,选择仪器和环境.

努力找出和减小系统误差,提高实验精度.

历史上不乏通过对不确定度的研究,获得重大发现的例子.

不确定度是评价测量质量的一个新概念，是表达测量结果具有分散性的一个参数，它是被测量的真值在某个量值范围内的一个评定。不确定度反映了可能存在的误差分布范围，是误差的数字指标。不确定度愈小，测量结果可信赖程度愈高；不确定度愈大，测量结果可信赖程度愈低。在实验和测量工作中，不确定度是作为估计而言的，因为误差是未知的，不可能用指出误差的方法去说明可信赖程度，而只能用误差的某种可能的数值去说明可信赖程度，所以不确定度更能表示测量结果的性质和测量的质量。用不确定度评定实验结果的误差，其中包含了各种来源不同的误差对结果的影响，而它们的计算又反映了这些误差所服从的分布规律，这是更准确地表述了测量结果的可靠程度，因而有必要采用不确定度的概念。

1.2.2 测量结果的表示和合成不确定度

3. 不确定度概念及计算

3.1 不确定度的概念

不确定度是表征被测量量真值所处范围的评定结果，这个范围以一定概率包含着被测量的真值，不确定度越大，这个范围包含真值的置信度（概率）就越高。按其数值评定方法，它们可分为两类：

A类不确定度：用统计方法计算的那些分量（与数据的离散性对应）常用字母s 表示；

B类不确定度：用其他方法估算的那些分量（与仪器的欠准确对应）常用字母u 表示。

注意：A、B不确定度与传统划分的随机误差、系统误差并不存在简单的对应关系。

§3 不确定度的初步评定

测量结果的表述规范：

（1）如果测量结果是最终结果，其不确定度可用一位或二位数字表示。本课程约定，当不确定度的第一位数字为1或2时取二位，其余的取一位。即

如果是作为间接测量的中间结果，其不确定度位数可比正常截断多取一位以免造成截尾误差的累积。

本课程约定，测量结果的相对不确定度一律用二位数的百分数表示。

（2）不确定度数值截尾时，采取“只入不舍”的方法，以保证其置信概率不降低。例如计算得到不确定度为0.2412，截取两位为0.25。

（3）测量结果的有效数字位数由不确定度来确定。测量结果的最末位应与不确定度末位对齐，数据截断时其尾数按本教程采用“4舍6入5凑偶”的方法处理。

例如，某测量数据计算的平均值为1.83549m，其不确定度（P≈95%）计算得0.04347m，则测量结果可表示为

（1.84±0.05）m Ur＝2.7% (P≈95%)

（4）在测量结果后一般用括号注明置信概率的近似值。按本书的计算方法，P≈95%，为方便起见，以后在表示测量结果时，P≈95%不要求注明。

1）总不确定度Δ的有效位数，取1 ～2位

首位>＝3时，一般取1位

首位为1、2时，一般取2位

合成不确定度时也可按此原则处理，最后得到的总不确定度按不确定度的取位规则来取位。

最终结果的有效位数由不确定度决定。

具体为：不确定度的有效位数取1位，测量结果的末位与不确定度末位对齐，即不确定度决定测量结果的有效位数。

4.3 间接测量量有效数字的确定

总不确定度Δ的有效位数，取1 ～2位

首位大于5时，一般取1位；首位为1、2时，一般取2位

例：估算结果Δ=0.548mm时，取为Δ=0.5 mm；

Δ=1.37 Ω时，取为Δ=1.4Ω

3、测量结果的不确定度及有效数字的取法

（1）确定最后结果的有效数字位数的一般原则:由不确定度决定.

（2）不确定度的有效数字一般只取一位。

（3）结果的最后一位要与不确定度的最后一位对齐。

如：测量结果为4.2315,不确定度为0.002,则

4.2315 ±0.002 （错）

4.232 ±0.002 （对）

须要指出的是，对于总合成不确定度，一般只入不舍。

例：u(R)=0.00332m= 0.004m(取一位时)

(3)运算结果一般只保留一位存疑数字.

指针式仪表及其它器具，读数时估读到仪器最小分度的1/4-1/10，

或使估读间隔不大于仪器基本误差限的1/5-1/3。

b)运算：运算过程中的有效位数

C)测量结果最终表达式中的有效位数

2）被测量值有效位数的确定

Y＝y±Δ中，被测量值y的末位要与不确定度Δ的末位对齐(求出y后先多保留几位，求出Δ，由Δ决定y的末位)。

有效数字与不确定度的关系

有效数字的末位是估读数字,存在不确定性.一般情况下不确定度的有效数字只取一位,其数位即是测量结果的存疑数字的位置;有时不确定度需要取两位数字,其最后一个数位才与测量结果的存疑数字的位置对应.

由于有效数字的最后一位是不确定度所在的位置,因此有效数字在一定程度上反映了测量值的不确定度(或误差限值).测量值的有效数字位数越多,测量的相对不确定度越小;有效数字位数越少,相对不确定度就越大.可见,有效数字可以粗略反映测量结果的不确定度.

(

(4)有效数字位数要与不确定度位数综合考虑.

一般情况下,表示最后结果的不确定度的数值只保留1位,而最后结果的有效数字的最后

一位与不确定度所在的位置对齐.如果实验测量中读取的数字没有存疑数字,不确定度通常需要保留两位.

但要注意:具体规则有一定适用范围,在通常情况下,由于近似的原因,如不严格要求可认为是正确的.

§4 数据处理中的常用方法

§5一元线性函数的最小二乘法

§6合成标准不确定度与扩展不确定度的评定

图2-2

读数：16.726 mm

15

5

10

0 15

30 20 25

读数：4.20cm

图1-8

0 cm 2 4 3 1 5

图1-7

图1-4

读数：18.907 mm

图1-7