初中数学：圆内接四边形练习(含答案)

初中数学：圆内接四边形练习（含答案）

知识点1 圆内接四边形的性质——圆内接四边形 的对角互补

1．2016·丽水如图3－6－1，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形．已知∠BCD ＝110°，则∠BAD ＝________°.

2．已知四边形ABCD 内接于⊙O ，且∠A ∶∠C ＝1∶2，则∠A ＝________°.

3－6－1

3－6－2

3．如图3－6－2，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，且∠ABC ＝115°，那么∠AOC ＝________°.

4．如图3－6－3，AB 是半圆O 的直径，C ，D 是AB ︵

上两点，∠ADC ＝120°，则∠BAC ＝________°.

3－6－3

3－6－4

5．如图3－6－4，点A，B，C，D都在⊙O上，∠B＝90°，AD＝3，CD＝2，则⊙O的直径是________．

6．在圆内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶6，求∠D的度数．

7．如图3－6－5，四边形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，求证：AB＝CD.

图3－6－5

知识点2 圆内接四边形的性质的推论——圆内接四

边形的外角等于其内对角

8．2017·嵊州市模拟如图3－6－6，点A，B，C，D在圆O上，点E在AD的延长线上，若∠ABC＝60°，则∠CDE的度数为( )

A．30°B．45°C．60°D．70°

3－6－6

3－6－7

9．如图3－6－7，四边形ABCD内接于⊙O，点E在BC的延长线上，若∠BOD＝120°，则∠DCE＝________°.

10．如图3－6－8所示，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E.若BC＝BE.

求证：△ADE是等腰三角形．

图3－6－8

11．如图3－6－9，△ABC 内接于⊙O ，∠OBC ＝40°，则∠A 的度数为( ) A ．80° B ．100° C ．110° D ．130°

3－6－9

3－6－10

12．如图3－6－10，在平面直角坐标系中，⊙C 过原点O ，且与两坐标轴分别交于点A ，B ，点A 的坐标为(0，3)，M 是OB ︵

上一点，且在第三象限内．若∠BMO ＝120°，则⊙C 的半径为( )

A ．6

B ．5

C ．3 2

D ．3

13．如图3－6－11，已知四边形ABCD 内接于半径为4的⊙O 中，且∠C ＝2∠A ，则BD ＝________．

图3－6－11

14．如图3－6－12，在圆内接四边形ABCD中，AB＝AD，AC＝1，∠ACD＝60°，求四边形ABCD的面积．

图3－6－12

15．(1)已知：如图3－6－13①，四边形ABCD内接于⊙O，延长BC至点E，则∠A＋∠BCD ＝180°，∠DCE＝∠A.

(2)依已知条件和(1)中的结论：

如图②，若点C在⊙O外，且A，C两点分别在直线BD的两侧．试确定∠A＋∠BCD与180°的大小关系；

如图③，若点C在⊙O内，且A，C两点分别在直线BD的两侧．试确定∠A＋∠BCD与180°的大小关系．

图3－6－13

(3)如图3－6－14，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝130°，连结OC，P是半径OC上任意一点，连结DP，BP，则∠BPD的度数可能为________(写出一个即可)．

图3－6－14

详解详析

1．70

2．60 [解析] ∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠A ＋∠C ＝180°.又∵∠A ∶∠C ＝1∶2，∴∠A ＝60°.

3．130 [解析] ∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，且∠ABC ＝115°，∴∠ADC ＝180°－∠ABC ＝180°－115°＝65°，

∴∠AOC ＝2∠ADC ＝2×65°＝130°. 4．30 5.13

6．解：∵四边形ABCD 是圆内接四边形， ∴∠A ＋∠C ＝180°，∠B ＋∠D ＝180°. ∵∠A ∶∠B ∶∠C ＝2∶3∶6，

设∠A ＝2α，∠B ＝3α，∠C ＝6α，则2α＋6α＝180°， ∴α＝22.5°，∴∠B ＝3α＝67.5°， ∴∠D ＝180°－∠B ＝112.5°. 7．证明：∵AD ∥BC ， ∴∠A ＋∠B ＝180°. ∵四边形ABCD 内接于⊙O ， ∴∠A ＋∠C ＝180°， ∴∠B ＝∠C ，∴AC ︵＝BD ︵，

∴AC ︵－AD ︵＝BD ︵－AD ︵，即AB ︵＝CD ︵， ∴AB ＝CD .

8．C [解析] ∵四边形ABCD 为圆O 的内接四边形， ∴∠ABC ＋∠ADC ＝180°.

∵∠CDE ＋∠ADC ＝180°，∠ABC ＝60°， ∴∠CDE ＝∠ABC ＝60°. 故选C.

9．60 [解析] ∵∠BOD ＝120°，∴∠BAD ＝60°.又∠BAD ＋∠BCD ＝180°，∠DCE ＋∠BCD ＝180°，∴∠DCE ＝∠BAD ＝60°.

10．证明：∵BC ＝BE ，∴∠E ＝∠BCE . ∵四边形ABCD 是圆内接四边形， ∴∠A ＋∠DCB ＝180°. ∵∠BCE ＋∠DCB ＝180°， ∴∠A ＝∠BCE ，则∠A ＝∠E ， ∴AD ＝DE ，

∴△ADE 是等腰三角形． 11．D [解析] 如图，连结OC .

∵OB ＝OC ，

∴∠OCB ＝∠OBC ＝40°，

∴∠BOC ＝100°. ∵∠1＋∠BOC ＝360°， ∴∠1＝260°.

∵∠A ＝1

2∠1，∴∠A ＝130°.故选D.

12．D [解析] ∵四边形ABMO 内接于⊙C ， ∴∠BMO ＋∠BAO ＝180°.∵∠BMO ＝120°， ∴∠BAO ＝60°.又∵AO ⊥BO ，A (0，3)， ∴AB ＝2AO ＝6，∴⊙C 的半径为3.故选D.

13．4 3 [解析] 连结OD ，OB ，过点O 作OF ⊥BD ，垂足为F ，∴DF ＝BF ，∠DOF ＝∠BOF .∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠A ＋∠C ＝180°.∵∠C ＝2∠A ，∴∠A ＝60°，∴∠BOD ＝120°，∴∠BOF ＝60°.∵OB ＝4，∴BF ＝2 3，∴BD ＝2BF ＝4 3.

14．解：如图，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 于点F .

∵∠ADF ＋∠ABC ＝180°(圆内接四边形的对角互补)，∠ABE ＋∠ABC ＝180°， ∴∠ADF ＝∠ABE . 在△AEB 与△AFD 中，

∵???∠ABE ＝∠ADF ，∠AEB ＝∠AFD ，AB ＝AD ，

∴△AEB≌△AFD，

∴四边形ABCD的面积＝四边形AECF的面积，AE＝AF. 又∵∠E＝∠AFC＝90°，AC＝AC，

∴Rt△AEC≌Rt△AFC.

∵∠ACD＝60°，∠AFC＝90°，∴∠CAF＝30°.

∵AC＝1，∴CF＝1

2

，AF＝

3

2

，

∴四边形ABCD的面积＝2S△ACF＝2×1

2

CF×AF＝

3

4

.

15．解：(2)如图①，连结DE.

∵∠A＋∠BED＝180°，∠BED＞∠BCD，

∴∠A＋∠BCD＜180°.

如图②，延长DC交⊙O于点E，连结BE. ∵∠A＋∠E＝180°，∠BCD＞∠E，

∴∠A＋∠BCD＞180°.

(3)答案不唯一，如80°