平新乔《微观经济学十八讲》课后习题(第9~12讲)【圣才出品】

平新乔《微观经济学十八讲》课后习题

第9讲古诺（Cournot）均衡、Bertrand 与不完全竞争

1．考虑一个由两家企业组成的寡头垄断行业，市场的需求由10p Q =-给出。这两家企业的成本函数分别为

1142C Q =+，2233C Q =+。

（1）若两家企业串通追求共同的利润最大化，总的产量水平是多少？市场价格为多少？各自生产多少？各自利润多大？

（2）若两家企业追求各自的利润最大化，利用古诺模型，各自生产多少？各自利润多大？市场价格多大？并给出各自的反应函数。

（3）若串通是非法的，但收购不违法。企业1会出多少钱收购企业2？

解：（1）若两家企业串通时，它们的目标是追求总利润的最大化，则总利润函数为：

()()()221211221112228277

p Q Q C Q C Q Q Q Q Q Q Q π=+--=-+--+-利润最大化的一阶条件为：

121

2820Q Q Q π?=-+-=?212

2720Q Q Q π?=-+-=?上述两式无解，说明两家企业串通后只由一家企业生产，不存在两家企业同时生产的情况。

根据两家企业的成本函数可得12MC =，23MC =。由于两家企业的边际成本为常数，且企业1的边际成本小于企业2的边际成本，所以串通后所有的产量全部由企业1提供，故20Q =。则总利润函数变为：

21187

Q Q π=-+-利润最大化的一阶条件为：11

d 280d Q Q π=-+=，解得14Q =。因此两家企业串通后，总的产量水平为124Q Q Q =+=；

市场价格为106p Q =-=；

企业1的利润为21118412Q Q π=-+-=；企业2的利润为13π=-。

（2）由已知可得企业1的利润函数为：

()()211112184

pQ C Q Q Q Q π=-=-+--利润最大化的一阶条件为：121

280Q Q Q π?=-+-=?，得企业1的反应函数为：12

40.5Q Q =-类似的方法可以得到企业2的反应函数为：

21

3.50.5Q Q =-联立两企业的反应函数可以解得古诺均衡时每家企业的产量为：13c Q =，22c Q =。此时市场价格为105p Q =-=，两企业的利润分别为15π=，21π=。

（3）企业1对企业2的收购价格不会高于两种情况下的利润差，即1257p ≤-=。

2．一个垄断企业的平均成本和边际成本为5AC MC ==，市场的需求曲线函数为53Q p =-。

（1）计算这个垄断企业利润最大化时的产量和市场价格，以及其最大化的利润。

（2）若又有第二个企业加入该市场，市场的需求不变。第二个企业生产成本和第一个企业相同，在古诺模型下，求各企业的反应曲线、市场价格、各企业的产量和利润。

（3）若有N 个企业加入该市场，市场的需求不变。这N 个企业生产成本和第一个企业都相同，在古诺模型下，求市场价格、各企业的产量和利润。

（4）当N 趋于很大时，市场价格有什么变化趋势？

解：（1）由市场需求函数可得反市场需求函数为53p Q =-，则垄断企业的利润函数为：

()()253548pQ C Q Q Q Q Q Q

π=-=--?=-+利润最大化的一阶条件为：

11

d 2480d Q Q π=-+=解得24Q =，于是5329p Q =-=，利润为248576Q Q π=-+=。

（2）若有第二个完全相同的企业进入市场，并且两个企业进行古诺竞争，那么给定企业2的产量2q ，企业1的利润最大化问题为：

111120

max 535q q q q q ≥??---??目标函数式关于1q 求导，并令导函数等于零，就可以解得企业1的反应函数为：

21242

q q =-类似的方法可以得到企业2的反应函数为：

12242

q q =-均衡时有i i q q =，从而解得1216c c q q ==，市场价格为21，两个企业的利润均为256。

（3）若市场上有（1N +）个相同的企业进行古诺竞争，记第i 个企业的产出为i q ，如果企业i 对其他企业的产量预测为j q ，j i ≠，那么它的利润最大化问题为：

0max 535i i i i j q j i q q q q ≥≠??---∑ ???

根据利润最大化问题的一阶条件解得企业i 的反应函数为（其中1i =，2，…，（1N +））：

1242i j j i q q ≠=-∑①

均衡时，每个企业对其他企业的产量预测都等于其实际产量，即i i q q =，1i =，2，…，N ，又因为所有的企业都完全相同，所以均衡时，它们的产量也是相同的，那么①式就变为：

11

242i i

q q +-=-解得：482C i q N =+，所以市场总需求为()()48112C i N N q N ++=+，市场价格为5582

N N ++，单个企业利润为2482N ?? ?+??。（4）558lim 52

N N N →∞+=+，即当N 趋向于无穷时，市场价格趋向于5，这正好是完全竞争市场的均衡价格。

3．在世界石油市场上，石油的需求1/2160W p -=，非欧佩克的供给为313

S p =

，欧佩克的净需求为D W S =－。（1）试画出世界石油市场上石油的需求曲线、非欧佩克的供给曲线和欧佩克的需求曲线。为简单起见，设欧佩克的生产成本为零。在图中指出欧佩克的最优价格、欧佩克的最优产量，以及非欧佩克的产量。

（2）若非欧佩克国家石油储量资源开始枯竭，生产成本开始上升，各条曲线会如何移动？

（3）若石油消费国联合起来，形成买方垄断势力，这会对世界石油价格造成怎样的冲击？

答：（1）这是一个价格领导模型，这里欧佩克是价格领导者，非欧佩克的产油国是价格追随者，对于欧佩克而言，它面临的实际需求为世界总的石油需求减去非欧佩克产油国的供应量，即：

1212311603D P p -=-①

所以欧佩克的利润最大化问题为：

()max p

pD p

即：

123231max1603

p p p -解得市场油价为16031opec p =，从而全世界对石油的需求为16070.43opec

W p ==，非欧佩克的产量为

123123.483opec

S p ==，所以欧佩克的产量为46.95opec S W S =-=。如图9-1所示，其中A 点是石油市场的价格，B 点是非欧佩克的产量，C 点是欧佩克的产量，D 点是总产量。

图9-1石油市场的供给和需求

（2）以价格为纵坐标，若非欧佩克国家的石油储量资源开始枯竭，那么它们的生产成本开始上升，于是非欧佩克国家供给曲线左移，由于世界石油需求不变，所以欧佩克面临的需求曲线右移。

（3）若石油消费国联合起来，形成买方垄断势力，油价会降低。理由如下：如图9-2所示，当买方垄断形成后，双方可以通过谈判来确定石油价格和产量，这时不需要再区分欧佩克和非欧佩克的产油国，因为它们共同作为石油的供应方和需求方谈判。为了方便分析问题，可以假设欧佩克和非欧佩克的产油国的生产成本相同，都是常数。这样，当石油消费国没有联合起来的时候，垄断者选择生产1Q 的产量，此时的价格为1P ，消费者和生产者的剩

余分别为1ABP 和1P BDE ，消费者和生产者的总剩余为

ABDE 。当买方联合起来后，双方可以通过谈判，先使得消费者和生产者的总剩余最大化，即产油国生产2Q 的产量，然后双方

再划分总剩余ACE ，这时的约束条件是，买方的剩余不能低于1ABP ，卖方的剩余不能低于1P BDE ，所以对卖方最有利的谈判结果是卖方获得剩余1P BCE ，相应的最高油价为梯形1P BCE 的面积除以EC 的长度再加上OE 段的长度。但这个价格肯定要低于垄断时的油价（1OP 的长度）。

图9-2买卖双方的谈判对油价产生的影响

4．一个生产榴莲的卡特尔由四个果园组成。它们的总成本函数分别为

2

11205TC Q =+2

22253TC Q =+2

33154TC Q =+2

44206TC Q =+（1）用列表的形式列出产量在1至5之间各果园的总成本、平均成本、边际成本。

（2）如果该卡特尔将总产量控制为10，而价格定为25，产量在各果园之间应怎样分配？

（3）在b 的产量水平和价格下，是否每个果园都没有欺诈的冲动？若有，哪个果园的欺诈冲动最大？

答：（1）如表9-1所示：

表9-1榴莲生产商的总成本、平均成本和边际成本