高中物理生活中的圆周运动解题技巧(超强)及练习题(含答案)

高中物理生活中的圆周运动解题技巧(超强)及练习题(含答案)

一、高中物理精讲专题测试生活中的圆周运动

1．如图，在竖直平面内，一半径为R 的光滑圆弧轨道ABC 和水平轨道PA 在A 点相切．BC 为圆弧轨道的直径．O 为圆心，OA 和OB 之间的夹角为α，sinα=

3

5

，一质量为m 的小球沿水平轨道向右运动，经A 点沿圆弧轨道通过C 点，落至水平轨道；在整个过程中，除受到重力及轨道作用力外，小球还一直受到一水平恒力的作用，已知小球在C 点所受合力的方向指向圆心，且此时小球对轨道的压力恰好为零．重力加速度大小为g ．求：

（1）水平恒力的大小和小球到达C 点时速度的大小； （2）小球到达A 点时动量的大小； （3）小球从C 点落至水平轨道所用的时间． 【答案】（15gR

（223m gR （3355R g 【解析】

试题分析 本题考查小球在竖直面内的圆周运动、受力分析、动量、斜下抛运动及其相关的知识点，意在考查考生灵活运用相关知识解决问题的的能力．

解析（1）设水平恒力的大小为F 0，小球到达C 点时所受合力的大小为F ．由力的合成法则有

tan F mg

α=① 2220()F mg F =+②

设小球到达C 点时的速度大小为v ，由牛顿第二定律得

2

v F m R

=③

由①②③式和题给数据得

03

4

F mg =④

5gR

v =

（2）设小球到达A 点的速度大小为1v ，作CD PA ⊥，交PA 于D 点，由几何关系得 sin DA R α=⑥

(1cos CD R α=+）⑦

由动能定理有

220111

22

mg CD F DA mv mv -?-?=-⑧

由④⑤⑥⑦⑧式和题给数据得，小球在A 点的动量大小为 1232

m gR p mv ==

⑨ （3）小球离开C 点后在竖直方向上做初速度不为零的匀加速运动，加速度大小为g ．设小球在竖直方向的初速度为v ⊥，从C 点落至水平轨道上所用时间为t ．由运动学公式有

2

12

v t gt CD ⊥+

=⑩ sin v v α⊥=

由⑤⑦⑩

式和题给数据得

355R t g

=

点睛 小球在竖直面内的圆周运动是常见经典模型，此题将小球在竖直面内的圆周运动、受力分析、动量、斜下抛运动有机结合，经典创新．

2．光滑水平面AB 与竖直面内的圆形导轨在B 点连接，导轨半径R ＝0.5 m ，一个质量m ＝2 kg 的小球在A 处压缩一轻质弹簧，弹簧与小球不拴接．用手挡住小球不动，此时弹簧弹性势能Ep ＝49 J ，如图所示．放手后小球向右运动脱离弹簧，沿圆形轨道向上运动恰能通过最高点C ，g 取10 m/s 2．求：

(1)小球脱离弹簧时的速度大小； (2)小球从B 到C 克服阻力做的功；

(3)小球离开C 点后落回水平面时的动能大小． 【答案】（1）7/m s （2）24J （3）25J 【解析】 【分析】 【详解】

(1)根据机械能守恒定律 E p ＝211m ?2

v ① v 12Ep

m

＝7m/s ②

(2)由动能定理得－mg ·2R －W f ＝

22

211122

mv mv - ③ 小球恰能通过最高点，故22

v mg m R

= ④ 由②③④得W f ＝24 J

(3)根据动能定理：

2

2122

k mg R E mv =-

解得：25k E J =

故本题答案是：（1）7/m s （2）24J （3）25J 【点睛】

(1)在小球脱离弹簧的过程中只有弹簧弹力做功,根据弹力做功与弹性势能变化的关系和动能定理可以求出小球的脱离弹簧时的速度v;

(2)小球从B 到C 的过程中只有重力和阻力做功,根据小球恰好能通过最高点的条件得到小球在最高点时的速度,从而根据动能定理求解从B 至C 过程中小球克服阻力做的功; (3)小球离开C 点后做平抛运动,只有重力做功,根据动能定理求小球落地时的动能大小

3．如图所示，在水平桌面上离桌面右边缘3.2m 处放着一质量为0.1kg 的小铁球（可看作质点），铁球与水平桌面间的动摩擦因数μ=0.2．现用水平向右推力F =1.0N 作用于铁球，作用一段时间后撤去。铁球继续运动，到达水平桌面边缘A 点飞出，恰好落到竖直圆弧轨道BCD 的B 端沿切线进入圆弧轨道，碰撞过程速度不变，且铁球恰好能通过圆弧轨道的最高点D ．已知∠BOC =37°，A 、B 、C 、D 四点在同一竖直平面内，水平桌面离B 端的竖直高度H =0.45m ，圆弧轨道半径R =0.5m ，C 点为圆弧轨道的最低点，求：（取sin37°=0.6，cos37°=0.8）

(1)铁球运动到圆弧轨道最高点D 点时的速度大小v D ；

(2)若铁球以v C =5.15m/s 的速度经过圆弧轨道最低点C ，求此时铁球对圆弧轨道的压力大小F C ；（计算结果保留两位有效数字） (3)铁球运动到B 点时的速度大小v B ； (4)水平推力F 作用的时间t 。

【答案】(1)铁球运动到圆弧轨道最高点D 5；

(2)若铁球以v C =5.15m/s 的速度经过圆弧轨道最低点C ，求此时铁球对圆弧轨道的压力大小为6.3N ；

(3)铁球运动到B 点时的速度大小是5m/s ； (4)水平推力F 作用的时间是0.6s 。

【解析】 【详解】

(1)小球恰好通过D 点时，重力提供向心力，由牛顿第二定律可得：2D

mv mg R

=

可得：D 5m /s v =

(2)小球在C 点受到的支持力与重力的合力提供向心力，则：2C

mv F mg R

-=

代入数据可得：F =6.3N

由牛顿第三定律可知，小球对轨道的压力：F C =F =6.3N

(3)小球从A 点到B 点的过程中做平抛运动，根据平抛运动规律有：2

y 2gh v = 得：v y =3m/s

小球沿切线进入圆弧轨道，则：3

5m/s 370.6

y B v v sin =

=

=?

(4)小球从A 点到B 点的过程中做平抛运动，水平方向的分速度不变，可得：

3750.84/A B v v cos m s =?=?=

小球在水平面上做加速运动时：1F mg ma μ-=

可得：2

18/a m s =

小球做减速运动时：2mg ma μ=

可得：2

22/a m s =-

由运动学的公式可知最大速度：1m v a t =；22A m v v a t -= 又：222

m m A v v v

x t t +=

?+? 联立可得：0.6t s =

4．如图所示，在竖直平面内有一绝缘“?”型杆放在水平向右的匀强电场中，其中AB 、CD 水平且足够长，光滑半圆半径为R ，质量为m 、电量为+q 的带电小球穿在杆上，从距B 点x=5.75R 处以某初速v 0开始向左运动．已知小球运动中电量不变，小球与AB 、CD 间动摩擦因数分别为μ1=0.25、μ2=0.80，电场力Eq=3mg/4，重力加速度为g ，sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：

（1）若小球初速度v 0gR B 点时受到的支持力为多大；

（2）小球初速度v 0满足什么条件可以运动过C 点；

（3）若小球初速度v=4gR ，初始位置变为x=4R ，则小球在杆上静止时通过的路程为多大．

【答案】（1）5.5mg （2）04v gR >（3）()44R π+ 【解析】 【分析】 【详解】

（1）加速到B 点：221011-22

mgx qEx mv mv μ-=

- 在B 点：2

v N mg m R

-=

解得N=5.5mg

（2）在物理最高点F ：tan qE mg

α=

解得α=370；过F 点的临界条件：v F =0

从开始到F 点：2101-(sin )(cos )02

mgx qE x R mg R R mv μαα-+-+=- 解得04v gR =

可见要过C 点的条件为：04v gR >

（3）由于x=4R<5.75R ，从开始到F 点克服摩擦力、克服电场力做功均小于（2）问，到F 点时速度不为零，假设过C 点后前进x 1速度变为零，在CD 杆上由于电场力小于摩擦力，小球速度减为零后不会返回，则：

2

121101--(-)202mgx mgx qE x x mg R mv μμ--?=-

1s x R x π=++

解得：(44)s R π=+

5．如图所示，水平转盘可绕竖直中心轴转动，盘上放着A 、B 两个物块，转盘中心O 处固定一力传感器，它们之间用细线连接．已知1kg A B m m ==两组线长均为

0.25m L =．细线能承受的最大拉力均为8m F N =．A 与转盘间的动摩擦因数为

10.5μ=，B 与转盘间的动摩擦因数为20.1μ=，且可认为最大静摩擦力等于滑动摩擦

力，两物块和力传感器均视为质点，转盘静止时细线刚好伸直，传感器的读数为零．当转

盘以不同的角速度勾速转动时，传感器上就会显示相应的读数F ，g 取2

10m/s ．求：

（1）当AB 间细线的拉力为零时，物块B 能随转盘做匀速转动的最大角速度； （2）随着转盘角速度增加，OA 间细线刚好产生张力时转盘的角速度；

（3）试通过计算写出传感器读数F 随转盘角速度ω变化的函数关系式，并在图乙的坐标系中作出2F ω-图象．

【答案】（1）12/rad s ω= （2）222/rad s ω= （3）22

52/m rad s ω=

【解析】

对于B ，由B 与转盘表面间最大静摩擦力提供向心力，由向心力公式有：

2212B B m g m L μω=

代入数据计算得出：12/rad s ω=

（2）随着转盘角速度增加，OA 间细线中刚好产生张力时，设AB 间细线产生的张力为

T ，有：

212A A m g T m L μω-=

2222B B T m g m L μω+=

代入数据计算得出：222/rad s ω=

（3）①当2228/rad s ω≤时，0F =

②当2228/rad s ω≥，且AB 细线未拉断时，有：

21A A F m g T m L μω+-= 222B B T m g m L μω+=

8T N ≤

所以：2

364

F ω=

-；222228/18/rad s rad s ω≤≤ ③当218ω>时，细线AB 断了，此时A 受到的静摩擦力提供A 所需的向心力，则有：

21A A m g m w L μ≥

所以：2222218/20/rad s rad s ω<≤时，0F =

当22220/rad s ω>时，有2

1A A F m g m L μω+=

8F N ≤

所以：2

154

F ω=

-；2222220/52/rad s rad s ω<≤ 若8m F F N ==时，角速度为：222

52/m rad s ω=

做出2F ω-的图象如图所示；

点睛：此题是水平转盘的圆周运动问题，解决本题的关键正确地确定研究对象，搞清向心力的来源，结合临界条件，通过牛顿第二定律进行求解．

6．如图所示，在竖直平面内固定有两个很靠近的同心圆形轨道，外圆ABCD 光滑，内圆的上半部分B′C′D′粗糙，下半部分B′A′D′光滑．一质量m=0.2kg 的小球从轨道的最低点A 处以初速度v 0向右运动，球的直径略小于两圆间距，球运动的轨道半径R=0.2m ，取g=10m/s 2．

（1）若要使小球始终紧贴着外圆做完整的圆周运动，初速度v 0至少为多少？ （2）若v 0=3m/s ，经过一段时间小球到达最高点，内轨道对小球的支持力F C =2N ，则小球在这段时间内克服摩擦力做的功是多少？

（3）若v 0=3.1m/s ，经过足够长的时间后，小球经过最低点A 时受到的支持力为多少？小球在整个运动过程中减少的机械能是多少？（保留三位有效数字） 【答案】（1）0v 10m/s （2）0.1J （3）6N ；0.56J 【解析】 【详解】

（1）在最高点重力恰好充当向心力

2C

mv mg R

= 从到机械能守恒

220112-22

C mgR mv mv =

解得

010m/s v =

（2）最高点

'2

-C

C mv mg F R

= 从A 到C 用动能定理

'22011-2--22

f C mgR W mv mv =

得=0.1J f W

（3）由0=3.1m/s<10m/s v 于，在上半圆周运动过程的某阶段，小球将对内圆轨道间有弹力，由于摩擦作用，机械能将减小．经足够长时间后，小球将仅在半圆轨道内做往复运动．设此时小球经过最低点的速度为A v ，受到的支持力为A F

2

12

A mgR mv =

2-A

A mv F mg R

= 得=6N A F

整个运动过程中小球减小的机械能

2

01-2

E mv mgR ?=

得=0.56J E ?

7．如图所示，ABCD 是一个地面和轨道均光滑的过山车轨道模型，现对静止在A 处的滑块施加一个水平向右的推力F ，使它从A 点开始做匀加速直线运动，当它水平滑行2.5 m 时到达B 点，此时撤去推力F 、滑块滑入半径为0.5 m 且内壁光滑的竖直固定圆轨道，并恰好通过最高点C ，当滑块滑过水平BD 部分后，又滑上静止在D 处，且与ABD 等高的长木板上，已知滑块与长木板的质量分别为0.2 kg 、0.1 kg ，滑块与长木板、长木板与水平地面间的动摩擦因数分别为0.3、 ，它们之间的最大静摩擦力均等于各自滑动摩擦力，取

g ＝10 m/s 2，求：

(1)水平推力F 的大小； (2)滑块到达D 点的速度大小；

(3)木板至少为多长时，滑块才能不从木板上掉下来？在该情况下，木板在水平地面上最终滑行的总位移为多少？ 【答案】（1）1N （2） （3）t ＝1 s ;

【解析】 【分析】 【详解】

(1)由于滑块恰好过C 点，则有：

m 1g ＝m 1

从A 到C 由动能定理得：

Fx －m 1g ·2R ＝m 1v C 2－0

代入数据联立解得：

F ＝1 N

(2)从A 到D 由动能定理得：

Fx ＝m 1v D 2

代入数据解得：

v D＝5 m/s

(3)滑块滑到木板上时，对滑块：

μ1m1g＝m1a1，

解得：

a1＝μ1g＝3 m/s2

对木板有：

μ1m1g－μ2(m1＋m2)g＝m2a2，

代入数据解得：

a2＝2 m/s2

滑块恰好不从木板上滑下，此时滑块滑到木板的右端时恰好与木板速度相同，

有：

v共＝v D－a1t

v共＝a2t，

代入数据解得：

t＝1 s

此时滑块的位移为：

x1＝v D t－a1t2，

木板的位移为：

x2＝a2t2，L＝x1－x2，

代入数据解得：

L＝2.5 m

v共＝2 m/s

x2＝1 m

达到共同速度后木板又滑行x′，则有：

v共2＝2μ2gx′，

代入数据解得：

x′＝1.5 m

木板在水平地面上最终滑行的总位移为：

x木＝x2＋x′＝2.5 m

点睛：本题考查了动能定理和牛顿第二定律、运动学公式的综合运用，解决本题的关键理清滑块和木板在整个过程中的运动规律，选择合适的规律进行求解．

8．如图所示，A、B两球质量均为m，用一长为l的轻绳相连，A球中间有孔套在光滑的足够长的水平横杆上，两球处于静止状态．现给B球水平向右的初速度v0，经一段时间后B 球第一次到达最高点，此时小球位于水平横杆下方l/2处．（忽略轻绳形变）求：

(1)B 球刚开始运动时，绳子对小球B 的拉力大小T ； (2)B 球第一次到达最高点时，A 球的速度大小v 1；

(3)从开始到B 球第一次到达最高点的过程中，轻绳对B 球做的功W ．

【答案】（1）mg+m 20v l （2）2012

v gl v -=（3）204mgl mv - 【解析】 【详解】

（1）B 球刚开始运动时，A 球静止，所以B 球做圆周运动

对B 球：T-mg =m 2

v l

得：T =mg +m 20

v l

（2）B 球第一次到达最高点时，A 、B 速度大小、方向均相同，均为v 1

以A 、B 系统为研究对象，以水平横杆为零势能参考平面，从开始到B 球第一次到达最高点，根据机械能守恒定律，

2220111112222

l mv mgl mv mv mg -=+- 得：2

012

v gl v -=

（3）从开始到B 球第一次到达最高点的过程，对B 球应用动能定理 W -mg

221011222

l mv mv =- 得：W =20

4

mgl mv -

9．如图所示的水平地面上有a 、b 、O 三点．将一条轨道固定在竖直平面内，粗糙的ab 段水平，bcde 段光滑，cde 是以O 为圆心，R 为半径的一段圆弧，可视为质点的物块A 和B 紧靠在一起，中间夹有少量炸药，静止于b 处，A 的质量是B 的2倍．某时刻炸药爆炸,两物块突然分离，分别向左、右沿轨道运动．B 到最高点d 时速度沿水平方向，此时轨道对B 的支持力大小等于B 所受重力的3/4，A 与ab 段的动摩擦因数为μ，重力加速度g ，求：

（1）物块B 在d 点的速度大小； （2）物块A 滑行的距离s ；

（3）试确定物块B 脱离轨道时离地面的高度； （4）从脱离轨道后到落到水平地面所用的时间．

【答案】（12

Rg

2）516R μ（3）56R （415(8311)66R g 【解析】

（1）设物块A 和B 的质量分别为m A 和m B

23

4d B B B

v m g m g m R

-= 解得2

d Rg

v =

（2）设A 、B 分开时的速度分别为v 1、v 2， 系统动量守恒 120A B m v m v -= B 由位置b 运动到d 的过程中， 机械能守恒

2

221122

B B B d m v m gR m v =+ 225

2

v gR =

A 在滑行过程中，由动能定理211

02

A A m v m gs μ-=- 联立得516R

s μ

=

（3）设物块脱离轨道时速度为v ，F N =0

向心力公式 2

cos v mg m R

θ= 而

()2211

1cos 22

d mv mgR mv θ+-= 解得 5cos 6θ=

， 5

6

v gR = 脱离轨道时离地面的高度5

cos 6

h R R θ== （4）离轨道时后做向下斜抛运动

竖直方向：21cos sin 2

h R v t gt θθ==?+ 解得：(

)

15831166R t g

=

-

点睛：本题考查牛顿第二定律、动能定理以及动量守恒定律的应用，解题时关键是认真分析物理过程，挖掘问题的隐含条件，例如物体脱离轨道时F N =0；能选择合适的物理规律列出方程即可解答．

10．过山车是游乐场中常见的设施．下图是一种过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内的三个圆形轨道组成，B 、C 、D 分别是三个圆形轨道的最低点，B 、C 间距与C 、D 间距相等，半径1 2.0m R =、2 1.4m R =．一个质量为 1.0m =kg 的小球（视为质点），从轨道的左侧A 点以012.0m/s v =的初速度沿轨道向右运动，A 、B 间距

1 6.0L =m ．小球与水平轨道间的动摩擦因数0.2μ=，圆形轨道是光滑的．假设水平轨道

足够长，圆形轨道间不相互重叠，如果小球恰能通过第二圆形轨道．如果要使小球不能脱离轨道，试求在第三个圆形轨道的设计中，半径3R 应满足的条件．（重力加速度取

210m/s g =，计算结果保留小数点后一位数字．）

【答案】300.4R m <≤或 31.027.9m R m ≤≤ 【解析】 【分析】 【详解】

设小球在第二个圆轨道的最高点的速度为v 2，由题意

22

2

v mg m R = ①

()22

122011222

mg L L mgR mv mv μ-+-=

- ② 由①②得 12.5L m = ③

要保证小球不脱离轨道，可分两种情况进行讨论：

I ．轨道半径较小时，小球恰能通过第三个圆轨道，设在最高点的速度为v 3，应满足

23

3

v mg m R = ④

()22

1330112222

mg L L mgR mv mv μ-+-=

- ⑤ 由④⑤得30.4R m = ⑥

II ．轨道半径较大时，小球上升的最大高度为R 3，根据动能定理

()2

13012202

mg L L mgR mv μ-+-=- ⑦

解得 3 1.0R m = ⑧

为了保证圆轨道不重叠，R 3最大值应满足

()

()

2

2

22332R R L R R +=+- ⑨

解得：R 3=27.9m ⑩

综合I 、II ，要使小球不脱离轨道，则第三个圆轨道的半径须满足下面的条件

300.4R m <≤或 31.027.9m R m ≤≤ ⑾

【点睛】

本题为力学综合题，要注意正确选取研究过程，运用动能定理解题．动能定理的优点在于适用任何运动包括曲线运动．知道小球恰能通过圆形轨道的含义以及要使小球不能脱离轨道的含义.