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第十三章（精编）轴对称

《轴对称、线段垂直平分线、、等腰三角形、等边三角形》

轴对称图形

如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，?这个图形就叫做轴对

称图形，这条直线就是它的对称轴．有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条

对称轴．

轴对称

有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，?那么就说这两个图形

关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个

图形关于直线对称也叫做轴对称．

图形轴对称的性质

如果两个图形成轴对称，?那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称

图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．

画一图形关于某条直线的轴对称图形的步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原

图顺序依次连接各点。

轴对称与轴对称图形的区别

轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，?成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图

形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是

全等形，并且成轴对称．

考点一、关于“轴对称图形”与“轴对称”的认识

1 2 3 4

1. 下列几何图形中，○线段○ 角○ 直角三角形○ 半圆，其中一定是轴对称图形的有【

】A． 1 个B． 2 个C． 3 个D． 4 个

2．图中，轴对称图形的个数是【】

A． 4 个B．3个C．2个D．1个

3．正 n 边形有 ___________条对称轴，圆有_____________ 条对称轴

线段的垂直平分线

（ 1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，?叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）．

（ 2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，?与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．因此线段的垂直平分线可以看成与线段

两个端点距离相等的所有点的集合．

考点二、线段垂直平分线的性质

4．如图，△ ABC中，∠ A＝ 90°， BD为∠ ABC平分线， DE⊥ BC， E 是 BC的中点，求∠ C 的度数。

B

E

A D C

5．如图，△ ABC中， AB＝ AC， PB＝ PC，连 AP并延长交BC于D，求证： AD垂直平分BC

A

P

B C

D

6．如图 ,DE 是ABC中 AC边的垂直平分线，若BC＝ 8 厘米， AB＝10 厘米，则EBC 的周长为【】

A.16 厘米

B.18厘米

C.26厘米

D.28厘米

A

D

E

B C

7．如图，∠ BAC＝30°， P 是∠ BAC平分线上一点，PM ∥ AC， PD⊥ AC， PD＝ 30 ,则AM

＝

B

M P

A C

D

轴对称变换

由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．?

成轴对称的两个图形中的任何一个可以看着由另一个图形经过轴对称变换后得到．

轴对称变换的性质

（1）经过轴对称变换得到的图形与原图形的形状、大小完全一样

（2）经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴的对称点．

（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平

分．作一个图形关于某条直线的轴对称图形

（1）作出一些关键点或特殊点的对称点．

（2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图

形．关于坐标轴对称

点 P（ x， y）关于 x 轴对称的点的坐标是（x，－ y）

点P（ x， y）关于 y 轴对称的点的坐标是（－ x， y）

关于原点对称

点P（ x， y）关于原点对称的点的坐标是（－x，－ y）

关于坐标轴夹角平分线对称

点 P（ x， y）关于第一、三象限坐标轴夹角平分线y＝ x 对称的点的坐标是（y， x）

点 P（ x，y）关于第二、四象限坐标轴夹角平分线y＝－ x 对称的点的坐标是（－y，－ x）关于平行于坐标轴的直线对称

点P（ x， y）关于直线 x＝ m对称的点的坐标是（ 2m－ x， y）；

点P（ x， y）关于直线 y＝ n 对称的点的坐标是（ x， 2n－y）；

考点三、轴对称变换及用坐标表示轴对称

8．点 A （-3 ， 2）关于 y 轴对称点的坐标是 ( )

A （ -3 ， -2 ）

B （ 3 ， 2）

C （ -3 ，2）

D （ 2 ， -3 ）

9．点 P（ a， b）关于 x 轴的对称点为P＇（ 1， -6 ），则 A、 B 的值分别为 ( )

A 1 ， 6

B -1 ， -6

C -1 ，6

D 1 ， -6

10. 点 P 关于 x 轴对称点 P＇的坐标为（4， -5 ）, 那么点 P 关于 y 轴对称点 P"的坐标为：

A (-4 ， 5)

B (4 ， -5)

C (-4 ， -5)

D (-5 ， -4)

11. 平面内点 A(-1 ，2) 和点 B(-1 ， 6) 的对称轴是 ( )

A.x 轴

B.y 轴

C. 直线 y=4

D. 直线 x=-1

12. 下列关于直线 x=1 对称的点是 ( )

A 点（ 0 ， -3 ）与点（ -2 ， -3 ）

B 点（ 2 ，3）与点（ -2 ， 3）

C 点（ 2 ， 3）与点（ 0 ， 3）

D 点（ 2 ，3）与点（ 2 ， -3 )

13. 已知 A(-1 ，-2) 和 B(1 ，3），将点 A 向______平移 _______个单位长度后得到的点与点B 关于 y 轴对称．

14. 如下图：若正方形 ABCD 关于 x 轴与 y 轴均成轴对称图形，

点 A 的坐标为（ 2， 1），标出点 B 、 C 、 D 的坐标分别为：

B( ， ) ， C( ， ) ， D( ， ) 。

15. 若 A （ m-1， 2n+3）与 B（ n-1， 2m+1 ）关于 y 轴对称，则 m= ,n=

16. 已知 a＜ 0，那么点 P（ -a2-2 ， 2-a ）关于 x 轴对称的对应点 P' 在第象限

三、解答题

17. 已知点 M（1-a ， 2a+2 ），若点 M 关于 x 轴的对称点在第三象限，求 a 的取值范围？

18.已知点 A 的坐标为（ 2x+y-3 ， x-2y ）。它关于 x 轴对称的点 A' 的坐标为（ x+3 ，y-4 ），求点 A 关于 y 轴对称的点的坐标。

19. 如图，从△ ABC到△ A′ B′C′是进行的平移变换还是轴对称变换，如果是轴对称变换，找出对称轴，如果是平移变换，是怎样平移的？

20.如图，△ ABC，求顶点 A、B、 C 关于 y 轴对称点的坐标并在

坐标系中画出△ ABC关于 x 轴对称的△ EDF。

21.已知两点 A（– 1， 2） B （ 3， 1）

（1） P 点在 X 轴上移动。求 PA+PB的最小值。

（2） Q点在 Y 轴上移动。求 QA+QB的最小值。

（3）并求出 P.Q 的坐标。

考点四、作一个图形关于某条直线的轴对称图形

（1）作出一些关键点或特殊点的对称点．

（2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形

22．如图， Rt △ ABC，∠ C＝ 90°, ∠ B＝ 30° ,BC＝ 8， D 为 AB中点， P 为 BC上一动点，连

接AP、 DP,则 AP＋ DP的最小值是

23．已知等边△ ABC， E在 BC的延长线上， CF平分∠ DCE， P 为射线 BC上一点， Q为 CF上一点，连接AP、 PQ.若 AP＝ PQ，求证∠ APQ是多少度

作点 Q 关于 BE 的对称点 R ，交 BE 于点 H，

从而可得QCH≌RCH, ∠ QCH= ∠ RCH=60度。

A ,C,R 在同一直线上。

易证PCQ≌ΔPCR,从而∠ QPH= ∠ RPH,PR=PQ,∠ PQC=∠ PRC.

又由于 AP=PQ, 从而 AP=PR, 得到∠PRA= ∠ PAR

∴ ∠ BAP+ ∠ PAC= ∠ PQC+ ∠ QPC

∴ ∠ BAP= ∠ QPC

即有：∠BAP+ ∠ B= ∠ QPC+ ∠ APQ

即∠ APQ=60o

等腰三角形

有两条边相等的三角形是等腰三角形．相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边．两腰所

夹的角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角．

等腰三角形的性质

性质 1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）

性质 2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．

特别的：（ 1）等腰三角形是轴对称图形.

（2）等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应相等.

等腰三角形的判定定理

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”

特别的：

）．（1）有一边上的角平分线、中线、高线互相重合的三角形是等腰三角形．

（2）有两边上的角平分线对应相等的三角形是等腰三角形．

（3）有两边上的中线对应相等的三角形是等腰三角形．

（4）有两边上的高线对应相等的三角形是等腰三角

形．考点五、等腰三角形的特征和识别

24．如图，△ ABC 中， AB＝ AC＝8， D 在 BC上，过 D作 DE ∥AB 交 AC于 E，DF∥AC

交 AB 于 F，则四边形AFDE的周长为 ______。

A

E D

F

B C

25．如图，△ ABC中， BD、CD分别平分∠ ABC与∠ ACB， EF 过 D 且 EF∥BC，若 AB ＝

7 ，

BC ＝ 8 ， AC ＝ 6 ，则△ AEF周长为【】

A. 15 B . 14 C. 13 D. 18

26．如图 , 点 B、 D、 F 在 AN上 ,C 、 E 在 AM上，且 AB＝ BC＝ CD＝ ED＝ EF, ∠A＝ 20o, 则∠ FEB

＝________度．

27．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则它的一个底角的度数是_______ 28．如图：在△ABC中， AB＝AC， AD⊥BC， DE⊥AB 于点 E, DF ⊥ AC于点 F。试说明DE＝DF。

A

E F

B D C

29．如图 ,E 在△ ABC的 AC边的延长线上， D 点在 AB边上， DE交 BC于点 F，DF＝ EF， BD ＝ CE.求证：△ ABC是等腰三角形 .

30．已知：如图，△ABC中，∠ ACB的平分线交 AB 于 E，EF∥ BC交 AC于点 F，交∠ ACB的外角平分线于点G．试判断△ EFC的形状，并说明你的理由．

A

E

F

G

B C

D

等边三角形

三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形．

等边三角形的性质

等边三角形的三个内角都相等，?并且每一个内角都等于60°

等边三角形的判定方法

（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；

（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；

（3）有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角

形．考点六、等边三角形的特征和识别

31．下列推理中，错误的是【】

A．∵∠ A＝∠ B＝∠ C，∴△ ABC是等边三角形

B．∵ AB＝ AC，且∠ B＝∠ C，∴△ ABC是等边三角形

C．∵∠ A＝60°，∠ B＝ 60°，∴△ ABC是等边三角形

D．∵ AB＝ AC，∠ B＝ 60°，∴△ ABC是等边三角形

32．如图，等边三角形ABC中， D 是 AC的中点， E 为 BC延长线上一点，且CE＝ CD， DM⊥BC，垂足为M。求证： M是 BE的中点。

33．已知△ ABC是等边三角形，分别在 AC、 BC上取点 E、F，且 AE＝ CF， BE、 AF

交于点 D，则∠ BDF＝ _________ 度

34．如图，D、E、F 分别是等边△ ABC各边上的点，且 AD＝ BE＝CF，则△ DEF?的形状是【】A．等边三角形B．腰和底边不相等的等腰三角形 C ．直角三角形 D ．不等边三角形A

F

D

B E C

角平分线的性质：在角平分线上的点到角的两边的距离相等.

A

M

P

C

O N B

角平分线的判定：到角的两边距离相等的点在角的平分线上.

A

M

P

C

O N B

三角形的角平分线的性质：三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离

相等．

考点七、 30°所对的直角边是斜边的一半

35．如图，是屋架设计图的一部分，点 D 是斜梁 AB 的中点，立柱 BC 、 DE 垂直于横梁

AC ， AB ＝ 8m ，∠ A ＝ 30°，则 DE 等于【 】

A ． 1m

B ． 2mC

．3m

D

． 4m

B

D

A

C

E

36．一张折叠型方桌如图甲，其主视图如图乙，已知 AO ＝ BO ＝ 40cm ，C0＝ D0＝30 cm ，现

将桌子放平，两条桌腿叉开的角度∠

AOB 刚好为 120°，求桌面到地面的距离是多少？

A

B

O

C

D

乙

甲

37．如图， AB ＝ AC ，DE ⊥ AB 于 E ，DF ⊥AC 于 F ，∠ BAC ＝ 120o ， BC ＝ 6，则 DE ＋DF ＝

38．在 △ ABC 中， AB

AC ， A 120 ， AB 的垂直平分线交 BC 于点 F ，交 AB 于

点 E

．如果 EF

1

BC 的长

，求

A

E

B

F

C

39．已知：在△ ABC 中， AB ＝ AC ，∠ BAC ＝ 120°， AB 的垂直平分线交 AB 于 E ，交 BC 于 F. 求证： CF ＝2BF.

作图题专练

1．如图：已知∠ AOB 和 C、D 两点，求作一点 P，使 PC=PD ，且 P 到∠ AOB 两边的距离相

等．

A

C

·

· D

O B

2．已知： A、 B 两点在直线l 的同侧，试分别画出符合条件的点M．

（1）如图，在 l 上求作一点 M，使得｜ AM －BM ｜最小；作

法：

（2）如图，在 l 上求作一点 M，使得｜ AM－ BM｜最大作

法：

（ 3）如图，在l 上求作一点M，使得 AM＋ BM 最小．

（4）如果两点位于直线异侧，请你去解决上述问题

变式练习

1、如图，已知直线MN 与 MN 同侧两点 A 、B 求作：点 P，使点 P 在 MN 上，且∠APM＝∠ BPN 2．如图点 A、B、 C 在直线 l 的同侧，在直线 l 上，求作一点 P，使得四边形 APBC 的周长最小；

3. 如图已知线段 a，点 A、B 在直线 l 的同侧，在直线 l 上，求作两点 P、Q （点 P 在点 Q 的左侧）且 PQ＝ a，四边形 APQB 的周长最小．

4、已知：如图点 M 在锐角∠ AOB 的内部，在 OA 边上求作一点 P，在 OB 边上求作一点Q，使得 PMQ 的周长最小；

5、已知：如图 3－ 14，点 M 在锐角∠ AOB 的内部，在 OB 边上求作一点 P，使得点 P 到点 M 的距离与点 P 到 OA 边的距离之和最小．

6、一条河两岸有A、B 两地，要设计一条道路，并在河上垂直于河岸架一座桥，用来连接A、B 两地，问路线怎样走，桥应架在什么地方，才能使从 A 到 B 所走的路线最短？

轴对称专题训练

一、选择题（每题 3 分，共 24 分）

1、下列图案中，不是轴对称图形的是（）

A B C D

2、（易错易混点）下列长度的三线段,能组成等腰三角形的是（）

A . 1 1 2 B. 2 2 5 C. 3 3 5 D. 3 4 5

3.如图，已知AC∥ BD ， OA=OC，则下列结论不一定成立的是（）

A . ∠ B= ∠ D B. ∠ A= ∠

B C. AD=B

C D. OA=OB

4．（易错易混点）下列说法正确的是( )

A．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合

B．顶角相等的两个等腰三角形全等

C．等腰三角形一边不可以是另一边的二倍

D．等腰三角形的两个底角相等

5、如图，△ABC与△A B C关于直线l 对称，且 A 78°， C48°，则∠B的度

数为（）

A ．48°

B ． 54°C． 74° D ． 78°

6、如图所示，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点 D，C 分别落在 D ′，C′的位置．若∠ EFB

＝ 65°，则∠ AED ′等于

A. 70 °

B. 65 °

C. 50°

D. 25 °

7、已知M（ a,3）和 N（ 4，b）关于 y 轴对称，则(a b)2012的值为（）

A.1 B 、－ 1 C. 72009 D.72009

8、如图 ,∠BAC=110 °若 MP 和 NQ 分别垂直平分AB 和 AC,则∠ PAQ 的度数是 ( )

A.20 °

B. 40 °

C. 50 °

D. 60 °

二、填空题（每题 3 分，共 24 分）

9．轴对称是指____个图形的位置关系;轴对称图形是指____个具有特殊形状的图形.

10、有一条对称轴的三角形是_______三角形 ,有三条对称轴的三角形是______三角形.

11. 如图，在ABC 中， A 900 ， BD 是ABC 的平分线，DE 是BC 的垂直平分线，

则C=____.

12、（易错易混点）在△ ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC 所在的直线相交所得

到锐角为50°，则∠B 等于 _____________ 度．

13、如图，在ABC 中， AB=AC， A 50 0，P是ABC 内一点，且PBC= PCA ，

则BPC =_____.

14、如图，△ ABC 中 ,∠ A=36 °， AB =AC ， BD 平分∠ ABC ,DE ∥ BC ,则图中等腰三角形有

_____________ 个 .

15、如图 ,△ABC 中 ,DE 是 AC 的垂直平分线,AE =3cm,△ABD 的周长为 13cm,则△ ABC 的周长

为 ____________.

16 / 19

段MN 交 OA、OB 于点 E、F ，若△ PEF 的周长是 20cm，则线段 MN 的长是 ___________．

三、解答题（17－20 题每题 10 分， 21 题 12 分）

17、右图（实线部分）补成以虚线L 为对称轴的轴对称图形，你会得到一只美丽蝴蝶的图案

（不用写作法、保留作图痕迹）．请用一句话说明你的画图思路

18、如图，写出△ ABC 的各顶点坐标，并画出△ ABC 关于 Y 轴对称的△ A1 B1C1，写出△ ABC

关于 X 轴对称的△ A2B2C2的各点坐标。

19、如所示，∠BAC ＝∠ ABD,AC＝ BD ，点 O 是 AD、BC 的交点，点 E 是 AB 的中点．判断 OE

和 AB 的位置关系 ,并出明．

20下及明程：

已知：如， D 是△ ABC 中的 BC 上一点， EB=EC，∠ ABE=∠ ACE．

EB EC，求：∠ BAE=∠ CAE．明：在△ AEB 和△ AEC 中，∠ABE∠ACE，

AE AE，∴△ AEB≌△ AEC．?第一步．∴∠BAE=∠CAE．?第二步．

上面的明程是否正确，若正确，写出每一步推理的依据；若不正确，指出

错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程．

21．等边△ ABC 中，点 P 在△ ABC 内，点 Q 在△ ABC 外，且∠ ABP=∠ ACQ，BP=CQ，问△ APQ 是什么形状的三角形？试说明你的结论．