步步高2015届一轮讲义：9.2法拉第电磁感应定律、自感和涡流

第2课时 法拉第电磁感应定律、自感和涡流

考纲解读1.能应用法拉第电磁感应定律E ＝n ΔΦΔt

和导线切割磁感线产生电动势公式E ＝Bl v 计算感应电动势.2.会判断电动势的方向，即导体两端电势的高低.3.理解自感现象、涡流的概念，能分析通电自感和断电自感．

1．[对法拉第电磁感应定律的考查]穿过某闭合回路的磁通量Φ随时间t 变化的图象分别如图1中①～④所示，下列关于该回路中的感应电动势的论述，正确的是( )

图1

A ．图①中，回路中产生的感应电动势恒定不变

B ．图②中，回路中产生的感应电动势一直在变大

C ．图③中，回路中在0～t 1时间内产生的感应电动势小于在t 1～t 2时间内产生的感应电动势

D ．图④中，回路中产生的感应电动势先变小后变大

答案 D

解析 图①中磁通量不变，不能产生感应电动势，图②中均匀变化的磁通量产生恒定的感应电动势，图③中磁通量的变化率为图线斜率的大小，故A 、B 、C 均错，D 正确．

2．[对公式E ＝Blv 的考查]如图2所示，在竖直向下的匀强磁场中，将一水平放置的金属棒ab 以水平初速度v 0抛出，设在整个过程中棒的方向不变且不计空气阻力，则在金属棒在运动过程中产生的感应电动势大小变化情况是( )

图2

A ．越来越大

B ．越来越小

C．保持不变

D．无法判断

答案 C

解析金属棒ab切割磁感线，产生感应电动势而不产生感应电流，没有安培力产生，在重力作用下做平抛运动，垂直于磁感线方向速度不变，始终为v0，由公式E＝Bl v知，感应电动势为Bl v0不变，故A、B、D错误，C正确．

3．[对自感的考查]如图3(a)、(b)所示的电路中，电阻R和自感线圈L的电阻值都很小，且小于灯A的电阻，接通S，电路达到稳定后，灯泡A发光，则()

图3

A．在电路(a)中，断开S，A将渐渐变暗

B．在电路(a)中，断开S，A将先变得更亮，然后渐渐变暗

C．在电路(b)中，断开S，A将渐渐变暗

D．在电路(b)中，断开S，A将先变得更亮，然后渐渐变暗

答案AD

解析在电路(a)中，灯A和线圈L串联，它们的电流相同，断开S时，线圈上产生自感电动势，阻碍原电流的减小，但流过灯A的电流仍逐渐减小，因而灯A只能渐渐变暗．在电路(b)中，电阻R和灯A串联，灯A的电阻大于线圈L的电阻，电流则小于线圈L中的电流，断开S后，电源不再给灯供电，而线圈产生自感电动势阻碍电流的减小，通过R、A形成回路，灯A中电流突然变大，灯A变得更亮，然后渐渐变暗，故

A、D正确．

4．[对涡流的考查]如图4所示为新一代炊具——电磁炉，无烟、无明火、无污染、不产生有害气体、无微波辐射、高效节能等是电磁炉的优势所在．电磁炉是利用电流通过线圈产生磁场，当磁场的磁感线通过含铁质锅底部时，即会产生无数小涡流，使锅体本身自行高速发热，然后再加热锅内食物．下列相关说法中正确的是()

图4

A ．锅体中的涡流是由恒定的磁场产生的

B ．恒定磁场越强，电磁炉的加热效果越好

C ．锅体中的涡流是由变化的磁场产生的

D ．提高磁场变化的频率，可提高电磁炉的加热效果

答案 CD

解析 由电磁感应原理可知，锅体中的涡流是由变化的磁场产生的，提高磁场变化的频率，产生的感应电动势变大，可提高电磁炉的加热效果，故C 、D 正确．

5．[用平均速度计算电动势]如图5所示，垂直纸面向外的匀强磁场的磁感应强度为B ，在垂

直于磁场方向的平面内，有一个长度为L 的金属棒OP 绕垂直于纸面的转动轴O 沿逆时针方向以角速度ω匀速转动，试求金属棒OP 转动时所产生的感应电动势的大小和方向．

图5

答案 见解析

解析 运用公式E ＝Bl v 计算，金属棒OP 切割磁感线时，棒上各点线速度大小不同，从线速度与角速度的关系v ＝ωr 可看出，各点的线速度与转动半径成正比，因而，其

平均切割速度为v ＝v O ＋v P 2＝ωL 2，故E ＝BL v ＝12

BL 2ω，方向由O 指向P .

一、法拉第电磁感应定律

1．感应电动势

(1)感应电动势：在电磁感应现象中产生的电动势．产生感应电动势的那部分导体就相当于电源，导体的电阻相当于电源内阻．

(2)感应电流与感应电动势的关系：遵循闭合电路欧姆定律，即I ＝E R ＋r

. 2．法拉第电磁感应定律

(1)内容：闭合电路中感应电动势的大小，跟穿过这一电路的磁通量的变化率成正比．

(2)公式：E ＝n ΔΦΔt

. 3．导体切割磁感线的情形

(1)一般情况：运动速度v 和磁感线方向夹角为θ，则E ＝Bl v sin_θ.

(2)常用情况：运动速度v 和磁感线方向垂直，则E ＝Bl v .

二、自感与涡流

1．自感现象

(1)概念：由于导体本身的电流变化而产生的电磁感应现象称为自感，由于自感而产生的感应电动势叫做自感电动势．

(2)表达式：E ＝L ΔI Δt

. (3)自感系数L 的影响因素：与线圈的大小、形状、匝数以及是否有铁芯有关．

2．涡流

当线圈中的电流发生变化时，在它附近的任何导体中都会产生感应电流，这种电流像水中的旋涡，所以叫涡流.

考点一 法拉第电磁感应定律的应用

1．感应电动势大小的决定因素

(1)感应电动势的大小由穿过闭合电路的磁通量的变化率ΔΦΔt

和线圈的匝数共同决定，而与磁通量Φ、磁通量的变化量ΔΦ的大小没有必然联系．

(2)当ΔΦ仅由B 引起时，则E ＝n S ΔB Δt ；当ΔΦ仅由S 引起时，则E ＝n B ΔS Δt

；当ΔΦ由B 、S 的变化同时引起，则E ＝n B 2S 2－B 1S 1Δt ≠n ΔB ΔS Δt

. 2．磁通量的变化率ΔΦΔt

是Φ－t 图象上某点切线的斜率． 例1 如图6甲所示，电阻不计，间距为l 的平行长金属导轨置于水平面内，阻值为R 的导

体棒ab 固定连接在导轨左端，另一阻值也为R 的导体棒ef 垂直放置在导轨上，ef 与导轨接触良好，并可在导轨上无摩擦移动．现有一根轻杆一端固定在ef 中点，另一端固定于墙上，轻杆与导轨保持平行，ef 、ab 两棒间距为d .若整个装置处于方向竖直向下的匀强磁场中，且从某一时刻开始，磁感应强度B 随时间t 按图乙所示的方式变化．

图6

(1)求在0～t 0时间内流过导体棒ef 的电流的大小与方向；

(2)求在t 0～2t 0时间内导体棒ef 产生的热量；

(3)1.5t 0时刻杆对导体棒ef 的作用力的大小和方向．

解析 (1)在0～t 0时间内，磁感应强度的变化率ΔB Δt ＝B 0t 0

产生感应电动势的大小E 1＝ΔΦΔt ＝ΔB Δt S ＝ΔB Δt ld ＝B 0ld t 0

流过导体棒ef 的电流大小I 1＝

E 12R ＝B 0ld 2Rt 0 由楞次定律可判断电流方向为e →f

(2)在t 0～2t 0时间内，磁感应强度的变化率ΔB Δt ＝2B 0t 0

产生感应电动势的大小E 2＝ΔΦΔt ＝ΔB Δt S ＝ΔB Δt ld ＝2B 0ld t 0

流过导体棒ef 的电流大小I 2＝E 22R ＝B 0ld Rt 0

该时间内导体棒ef 产生的热量

Q ＝I 22Rt 0＝B 20l 2d 2Rt 0 (3)1.5t 0时刻，磁感应强度B ＝B 0

导体棒ef 受安培力：F ＝B 0I 2l ＝B 20l 2d Rt 0

方向水平向左

根据导体棒ef 受力平衡可知杆对导体棒的作用力为F ′＝－F ＝－B 20l 2d Rt 0

，负号表示方向水平向右．

答案 (1)B 0ld 2Rt 0，方向e →f (2)B 20l 2d 2Rt 0 (3)B 20l 2d Rt 0

，方向水平向右

1．应用法拉第电磁感应定律解题的一般步骤

(1)分析穿过闭合电路的磁场方向及磁通量的变化情况；

(2)利用楞次定律确定感应电流的方向；

(3)灵活选择法拉第电磁感应定律的不同表达形式列方程求解．

2．几点注意

(1)公式E ＝n ΔΦΔt

是求解回路某段时间内平均电动势的最佳选择． (2)用公式E ＝nS ΔB Δt

求感应电动势时，S 为线圈在磁场范围内的有效面积． (3)通过回路截面的电荷量q 仅与n 、ΔΦ和回路总电阻R 总有关，与时间长短无关．推

导如下：q ＝I Δt ＝n ΔΦΔtR 总·Δt ＝n ΔΦR 总

.

突破训练1 如图7甲所示，一个圆形线圈的匝数n ＝100，线圈面积S ＝200 cm 2，线圈的电

阻r ＝1 Ω，线圈外接一个阻值R ＝4 Ω的电阻，把线圈放入一方向垂直线圈平面向里的匀强磁场中，磁感应强度随时间变化规律如图乙所示．下列说法中正确的是( )

图7

A ．线圈中的感应电流方向为顺时针方向

B ．电阻R 两端的电压随时间均匀增大

C ．线圈电阻r 消耗的功率为4×10－

4 W D ．前4 s 内通过R 的电荷量为4×10－

4 C 答案 C

解析 由楞次定律可知，线圈中的感应电流方向为逆时针方向，选项A 错误；由法拉

第电磁感应定律可知，产生的感应电动势为E ＝nS ΔB ＝0.1 V ，电阻R 两端的电压不随时间变化，选项B 错误；回路中电流I ＝E R ＋r

＝0.02 A ，线圈电阻r 消耗的功率为P ＝I 2r ＝4×10－

4 W ，选项C 正确；前4 s 内通过R 的电荷量为q ＝It ＝0.08 C ，选项D 错误． 考点二 导体切割磁感线产生感应电动势的计算

1．公式E ＝Bl v 的使用条件

(1)匀强磁场．

(2)B 、l 、v 三者相互垂直．

(3)如不垂直，用公式E ＝Bl v sin θ求解，θ为B 与v 方向间的夹角．

2．“瞬时性”的理解

若v 为瞬时速度，则E 为瞬时感应电动势．

若v 为平均速度，则E 为平均感应电动势，即E ＝Bl v .

3．切割的“有效长度”

公式中的l 为有效切割长度，即导体在与v 垂直的方向上的投影长度．图8中有效长度分别为：

图8

甲图：l ＝cd sin β；

乙图：沿v 1方向运动时，l ＝MN ；沿v 2方向运动时，l ＝0.

丙图：沿v 1方向运动时，l ＝2R ；沿v 2方向运动时，l ＝0；沿v 3方向运动时，l ＝R .

4．“相对性”的理解

E ＝Bl v 中的速度v 是相对于磁场的速度，若磁场也运动，应注意速度间的相对关系． 例2 两足够长的平行金属导轨间的距离为L ，导轨光滑且电阻不计，导轨所在的平面与水

平面夹角为θ.在导轨所在空间内，分布磁感应强度为B 、方向垂直于导轨所在平面的匀强磁场．把一个质量为m 的导体棒ab 放在金属导轨上，在外力作用下保持静止，导体棒与金属导轨垂直，且接触良好，导体棒与金属导轨接触的两点间的电阻为R 1，完成下列问题：

图9

(1)如图9甲，金属导轨的一端接一个内阻为r 的直流电源．撤去外力后导体棒仍能静止，求直流电源电动势；

(2)如图乙，金属导轨的一端接一个阻值为R 2的定值电阻，撤去外力让导体棒由静止开始下滑，在加速下滑的过程中，当导体棒的速度达到v 时，求此时导体棒的加速度；

(3)求(2)问中导体棒所能达到的最大速度．

审题指导 1.金属导轨接有电源时，如何计算导体棒所受安培力大小？如何判断安培力方向？

2．金属导轨接电阻R 2时，如何计算感应电动势大小？如何计算导体棒所受安培力大小？如何判断电流方向和安培力方向？

解析 (1)回路中的电流为I ＝E R 1＋r

导体棒ab 受到的安培力为F 安＝BIL

对导体棒ab 受力分析知F 安＝mg sin θ

联立上面三式解得：E ＝mg (R 1＋r )sin θBL

(2)当导体棒ab 速度为v 时，感应电动势E ＝BL v ，此时电路中电流

I ＝BL v R 1＋R 2

导体棒ab 受到的安培力为F 安′＝BIL ＝B 2L 2v R 1＋R 2

根据牛顿第二定律，有

ma ＝mg sin θ－F 安′＝mg sin θ－B 2L 2v R 1＋R 2

a ＝g sin θ－B 2L 2v m (R 1＋R 2)

(3)当B 2L 2v R 1＋R 2

＝mg sin θ时，导体棒ab 达到最大速度v m v m ＝mg (R 1＋R 2)sin θB 2L 2

答案 (1)mg (R 1＋r )sin θBL (2)g sin θ－B 2L 2v m (R 1＋R 2)

(3)mg (R 1＋R 2)sin θB 2L 2

公式E ＝n ΔΦΔt

与E ＝Bl v sin θ的区别与联系

突破训练2 如图10所示，足够长的“U ”形光滑金属导轨平面与水平面成θ角(0<θ<90°)，

其中MN 与PQ 平行且间距为L ，导轨平面与磁感应强度大小为B 的匀强磁场垂直，导轨电阻不计．金属棒ab 由静止开始沿导轨下滑，并与两导轨始终保持垂直且接触良好，ab 棒接入电路的部分的电阻为R ，当流过ab 棒某一横截面的电荷量为q 时，棒的速度大小为v ，则金属棒ab 在这一过程中( )

图10

A ．a 点的电势高于b 点的电势

B ．ab 棒中产生的焦耳热小于ab 棒重力势能的减少量

C ．下滑的位移大小为qR BL

D ．受到的最大安培力大小为B 2L 2v R

sin θ 答案 ABC

解析 由右手定则可知a 点相当于电源的正极，b 点相当于电源的负极，故A 正确；由能量守恒可知ab 棒重力势能的减少量等于ab 棒中产生的焦耳热与ab 棒的动能之和，

故B 正确；由q ＝ΔΦR ＝BxL R 可得，下滑的位移大小为x ＝qR BL

，故C 正确；金属棒ab 在这一过程中受到的安培力大小为F ＝BIL ，I 最大为BL v R ，故最大安培力大小为B 2L 2v R

，故D 错误．故选A 、B 、C.

考点三 自感现象的理解

1．自感现象“阻碍”作用的理解

(1)流过线圈的电流增加时，线圈中产生的自感电动势与电流方向相反，阻碍电流的增加，使其缓慢地增加．

(2)流过线圈的电流减小时，线圈中产生的自感电动势与电流方向相同，阻碍电流的减小，使其缓慢地减小．

线圈就相当于电源，它提供的电流从原来的I L 逐渐变小．

2．自感现象的四大特点

(1)自感电动势总是阻碍导体中原电流的变化．

(2)通过线圈中的电流不能发生突变，只能缓慢变化．

(3)电流稳定时，自感线圈就相当于普通导体．

(4)线圈的自感系数越大，自感现象越明显，自感电动势只是延缓了过程的进行，但它不能使过程停止，更不能使过程反向．

3．断电自感中，灯泡是否闪亮问题

(1)通过灯泡的自感电流大于原电流时，灯泡闪亮．

(2)通过灯泡的自感电流小于等于原电流时，灯泡不会闪亮．

例3如图11所示的电路中，L为一个自感系数很大、直流电阻不计的线圈，D1、D2是两个完全相同的灯泡，E是一内阻不计的电源．t＝0时刻，闭合开关S，经过一段时间后，电路达到稳定，t1时刻断开开关S.I1、I2分别表示通过灯泡D1和D2的电流，规定图中箭头所示的方向为电流正方向，以下各图中能定性描述电流I随时间t变化关系的是

()

图11

解析当S闭合时，L的自感作用会阻碍其中的电流变大，电流从D1流过；当L的阻碍作用变小时，L中的电流变大，D1中的电流变小至零；D2中的电流为电路总电流，电流流过D1时，电路总电阻较大，电流较小，当D1中电流为零时，电流流过L与D2，总电阻变小，电流变大至稳定；当S再断开时，D2马上熄灭，D1与L组成回路，由于L的自感作用，D1慢慢熄灭，电流反向且减小；综上所述知选项A、C正确．

答案AC

分析自感现象的两点注意

(1)通过自感线圈中的电流不能发生突变，即通电过程中，电流是逐渐变大，断电过程

中，电流是逐渐变小，此时线圈可等效为“电源”，该“电源”与其他电路元件形成回路．

(2)断电自感现象中灯泡是否“闪亮”问题的判断，在于对电流大小的分析，若断电后

通过灯泡的电流比原来强，则灯泡先闪亮后再慢慢熄灭．

突破训练3如图12所示电路中，L是一电阻可忽略不计的电感线圈，a、b为L的左、右两端点，A、B、C为完全相同的三个灯泡，原来电键K是闭合的，三个灯泡均在发光．某时刻将电键K断开，则下列说法正确的是()

图12

A．a点电势高于b点，A灯闪亮后缓慢熄灭

B ．b 点电势高于a 点，B 、

C 灯闪亮后缓慢熄灭

C ．a 点电势高于b 点，B 、C 灯闪亮后缓慢熄灭

D ．b 点电势高于a 点，B 、C 灯不会闪亮只是缓慢熄灭

答案 B

解析 电键K 闭合稳定时，电感线圈支路的总电阻较B 、C 灯支路电阻小，故流过A 灯的电流I 1大于流过B 、C 灯的电流I 2，且电流方向由a 到b ，a 点电势高于b 点．当电键K 断开，由于与电源断开，电感线圈会产生自感现象，相当于电源，b 点电势高于a 点，阻碍流过A 灯的电流减小，瞬间流过B 、C 灯支路的电流比原来的大，故B 、C 灯闪亮后再缓慢熄灭，故B 正确．

41.应用法拉第电磁感应定律的答题规范

在阅卷过程中，我们看到学生计算题的答题卷面，有时不是因为物理知识不够扣分，而是因为答题不规范而扣分，很是可惜．下面谈一下规范答题的几大要素．

1．文字说明

(1)研究对象个体或系统、过程或状态．

(2)所列方程的依据名称．

(3)题目中的隐含条件、临界条件．

(4)非题设字母，说明符号的物理意义．字母符号书写、使用要规范，题目给了符号最好不要再另设符号．尊重课本常用符号．

(5)规定的正方向、零势点(面)及所建立的坐标系．

(6)结果的物理意义，给出明确答案．

2．必要方程

(1)写出符合题意的原始方程，不能写变形式，如：要写成“???

I ＝Bl v R F ＝BIl ＝B 2l 2v R ”，不

要直接写成“F ＝B 2l 2v R

”． (2)要用字母表述方程，不要写代入数据的方程，方程中等号两边虽然含有相同的物理

量字母，也不能相“约”，如“mgh ＝12

m v 2”． (3)要用原始方程组联立求解，不要用连等式，不要在等式中不断的“续”进一些内容．

(4)方程式有多个时，应分步列，并对各方程式编号，不要合写一式，以免一错全错．

3．数字运用

(1)几何关系只说结果，不必证明．

(2)数字相乘，要用“×”，不用“·”．

(3)卷面上不能打“/”相约．

4．答题模板

解设……(未知量)为……

对……过程由……规律得：

……(具体问题的原始方程)

在……位置由……公式得：

……(具体问题的原始方程)

联立以上各式(或联立①②式)得：

……(由已知量符号表示)

＝……＝“结果”(代入数据得结果，并注意待求量的数值及单位)

例4如图13所示，两根质量同为m、电阻同为R、长度同为l的导体棒a、b，用两条等长的、质量和电阻均可忽略不计的长直导线连接后，放在距地面足够高的光滑绝缘水平桌面上，两根导体棒均与桌边缘平行，一根在桌面上，另一根移动到靠在桌子的光滑绝缘侧面上．整个空间存在水平向右的匀强磁场，磁感应强度为B，开始时两棒静止，自由释放后开始运动．已知两条导线除桌边缘拐弯处外其余部位均处于伸直状态，导线与桌子侧棱间无摩擦．求：

图13

(1)刚释放时，导体棒a、b的加速度大小；

(2)导体棒a、b运动稳定时的速度大小；

(3)若从开始下滑到刚稳定时通过横截面的电荷量为q，求该过程中系统产生的焦耳热．

审题与关联

解析(1)刚释放时，导体棒a、b的加速度大小相同，设导线中拉力为F T

对a 棒：mg －2F T ＝ma

对b 棒：2F T ＝ma

解得：a ＝12

g (2)导体棒运动稳定时，设导线中拉力为F T ′

对b 棒：F T ′＝0

对a 棒：mg ＝F 安

又F 安＝BIl ，I ＝Bl v 2R

解得：v ＝2mgR B 2l 2 (3)从开始下滑到刚稳定，设a 棒下降的高度为h

则通过横截面的电荷量q ＝I ·Δt ＝ΔΦ2R ＝Blh 2R

由能量守恒定律得：系统产生的焦耳热Q ＝mgh －12

×2m v 2 解得：Q ＝2mgqR Bl －4m 3g 2R 2

B 4l 4

答案 (1)12g 12g (2)2mgR B 2l 2 2mgR B 2l 2 (3)2mgqR Bl －4m 3g 2R 2

B 4l 4

高考题组

1．(2013·北京·17)如图14所示，在磁感应强度为B 、方向垂直纸面向里的匀强磁场中，金属

杆MN 在平行金属导轨上以速度v 向右匀速滑动，MN 中产生的感应电动势为E 1；若磁感应强度增为2B ，其他条件不变，MN 中产生的感应电动势变为E 2.则通过电阻R 的电流方向及E 1与E 2之比E 1∶E 2分别为( )

图14

A ．c →a,2∶1

B ．a →c,2∶1

C ．a →c,1∶2

D ．c →a,1∶2

答案 C

解析 用右手定则判断出两次滑动中金属棒MN 中的电流方向均为N →M ，所以电阻R

中的电流方向为a →c .由感应电动势公式E ＝Bl v 可知：E 1E 2＝Bl v 2Bl v ＝12

，故选项C 正确． 2．(2012·课标全国·19)如图15，均匀磁场中有一由半圆弧及其直径构成的导线框，半圆直径

与磁场边缘重合；磁场方向垂直于半圆面(纸面)向里，磁感应强度大小为B 0.使该线框从静止开始绕过圆心O 、垂直于半圆面的轴以角速度ω匀速转动半周，在线框中产生感应电流．现使线框保持图中所示位置，磁感应强度大小随时间线性变化．为了产生与

线框转动半周过程中同样大小的电流，磁感应强度随时间的变化率ΔB Δt

的大小应为(

)

图15

A.4ωB 0π

B.2ωB 0π

C.ωB 0π

D.ωB 02π

答案 C

解析 当线框绕过圆心O 的转动轴以角速度ω匀速转动时，由于面积的变化产生感应

电动势，从而产生感应电流．设半圆的半径为r ，导线框的电阻为R ，即I 1＝E R ＝ΔΦR Δt ＝B 0ΔS R Δt

＝12πr 2B 0R πω

＝B 0r 2ω2R .当线框不动，磁感应强度变化时，I 2＝E R ＝ΔΦR Δt ＝ΔBS R Δt ＝ΔB πr 2

2R Δt ，因I 1＝I 2，可得ΔB Δt ＝ωB 0π

，C 选项正确． 模拟题组

3．如图16所示，A 、B 、C 是三个完全相同的灯泡，L 是一个自感系数较大的线圈(直流电

阻可忽略不计)．则(

)

图16

A ．S 闭合时，A 灯立即亮，然后逐渐熄灭

B ．S 闭合时，B 灯立即亮，然后逐渐熄灭

C ．电路接通稳定后，三个灯亮度相同

D ．电路接通稳定后，S 断开时，C 灯立即熄灭

答案 A

解析 因线圈L 的直流电阻可忽略不计，S 闭合时，A 灯立即亮，然后逐渐熄灭，A 正

确．S 闭合时，B 灯先不太亮，然后亮，B 错误．电路接通稳定后，B 、C 灯亮度相同，A 灯不亮，C 错误．电路接通稳定后，S 断开时，C 灯逐渐熄灭，D 错误．

4．如图17所示，正方形线框的左半侧处在磁感应强度为B 的匀强磁场中，磁场方向与线

框平面垂直，线框的对称轴MN 恰与磁场边缘平齐．若第一次将线框从磁场中以恒定速度v 1向右匀速拉出，第二次以线速度v 2让线框绕轴MN 匀速转过90°，为使两次操作过程中，线框产生的平均感应电动势相等，则( )

图17

A ．v 1∶v 2＝2∶π

B ．v 1∶v 2＝π∶2

C ．v 1∶v 2＝1∶2

D ．v 1∶v 2＝2∶1

答案 A

解析 第一次将线框从磁场中以恒定速度v 1向右匀速拉出，线框中的感应电动势恒定，

有E 1＝E 1＝Bl v 1.第二次以线速度v 2让线框绕轴MN 匀速转过90°，所需时间t ＝πr 2v 2

＝πl 4v 2，线框中的磁通量变化量ΔΦ＝B ·l ·l 2＝12Bl 2，产生的平均电动势E 2＝ΔΦt ＝2Bl v 2π.由题意知E 1＝E 2，可得v 1∶v 2＝2∶π，A 正确．

5．如图18所示，M 、N 为纸面内两平行光滑导轨，间距为L .轻质金属杆ab 可在导轨上左

右无摩擦滑动，杆与导轨接触良好，导轨右端与定值电阻连接．P 、Q 为平行板器件，两板间距为d ，上、下两板分别与定值电阻两端相接．两板正中左端边缘有一粒子源中始终都有速度为v 0的带正电粒子沿平行于极板的方向进入两板之间．整个装置处于垂直于纸面向外的匀强磁场中．已知轻杆和定值电阻的阻值分别为r 和R ，其余电阻不计，带电粒子的重力不计，为使粒子沿原入射方向从板间右端射出，则轻杆应沿什么方向运动？速度多大？

图18

答案 见解析

解析 粒子在电场中运动，电场力F ＝qU d

粒子在磁场中运动，磁场力F ′＝q v 0B

因为粒子沿原入射方向从板间右端射出，所以粒子所受的电场力和洛伦兹力相互平衡，

得qU

d＝q v0B

轻质金属杆ab切割磁感线产生的感应电动势E＝BL v，

R中电流I＝E

R＋r

，PQ间电压U＝IR

联立解得v＝d

RL(R＋r)v0

由右手定则得杆应向右运动．

(限时：45分钟)

?题组1对法拉第电磁感应定律的考查

1．如图1所示，Q是单匝金属线圈，MN是一个螺线管，它的绕线方法没有画出，Q的输出端a、b和MN的输入端c、d之间用导线相连，P是在MN的正下方水平放置的用细导线绕制的软弹簧线圈．若在Q所处的空间加上与环面垂直的变化磁场，发现在t1至t2时间段内弹簧线圈处于收缩状态，则所加磁场的磁感应强度的变化情况可能是()

图1

答案 D

解析在t1至t2时间段内弹簧线圈处于收缩状态，说明此段时间内穿过线圈的磁通量变大，即穿过线圈的磁场的磁感应强度变大，则螺线管中电流变大，单匝金属线圈Q产生的感应电动势变大，所加磁场的磁感应强度的变化率变大，即B－t图线的斜率变大，选项D正确．

2．如图2甲所示，电路的左侧是一个电容为C的电容器，电路的右侧是一个环形导体，环

形导体所围的面积为S .在环形导体中有一垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小随时间变化的规律如图乙所示．则在0～t 0时间内电容器(

)

图2

A ．上极板带正电，所带电荷量为CS (

B 2－B 1)t 0

B ．上极板带正电，所带电荷量为

C (B 2－B 1)t 0

C ．上极板带负电，所带电荷量为CS (B 2－B 1)t 0

D ．上极板带负电，所带电荷量为C (B 2－B 1)t 0

答案 A

解析 由题图乙可知ΔB Δt ＝B 2－B 1t 0

，B 增大，根据楞次定律，感应电流沿逆时针方向，故电容器上极板带正电，E ＝n S ΔB Δt ＝S (B 2－B 1)t 0，Q ＝CE ＝CS (B 2－B 1)t 0

，A 正确． 3．一个由电阻均匀的导线绕制成的闭合线圈放在磁场中，如图3所示，线圈平面与磁场方

向成60°角，磁感应强度随时间均匀变化，下列方法可使感应电流增加一倍的是(

)

图3

A ．把线圈匝数增加一倍

B ．把线圈面积增加一倍

C ．把线圈半径增加一倍

D ．改变线圈与磁场方向的夹角为另一定值

答案 C

解析 设导线的电阻率为ρ，横截面积为S 0，线圈的半径为r ，线圈与磁场方向的夹角

为θ，线圈匝数为n ，则I ＝E R ＝n ΔΦΔt R ＝n πr 2ΔB Δt sin θρn ·2πr S 0

＝S 0r 2ρ·ΔB ·sin θ，可见，将r 增加一倍，I 增加一倍；改变线圈与磁场方向的夹角，sin θ不能变为原来的2倍(因sin θ最大值为

1)；若将线圈的面积增加一倍，半径r 增加(2－1)倍，电流增加(2－1)倍；I 与线圈

匝数无关．综上所述，只有C项正确．

4．如图4甲所示，光滑导轨水平放置在斜向下且与水平方向夹角为60°的匀强磁场中，匀强磁场的磁感应强度B随时间t的变化规律如图乙所示(规定斜向下为正方向)，导体棒ab垂直导轨放置且与导轨接触良好，除电阻R的阻值外，其余电阻不计，导体棒ab在水平外力作用下始终处于静止状态．规定a→b的方向为电流的正方向，水平向右的方向为外力的正方向，则在0～t1时间内，能正确反映流过导体棒ab的电流I和导体棒ab所受水平外力F随时间t变化的图象是()

图4

答案 D

解析由楞次定律可判定回路中的电流始终为b→a方向，由法拉第电磁感应定律可判定回路电流大小恒定，故A、B两项错；由F安＝BIl可得F安随B的变化而变化，在0～t0时间内，F安方向向右，故外力F与F安等值反向，方向向左为负值；在t0～t1时间内，F安方向改变，故外力F方向也改变为正值，综上所述，D项正确．

?题组2对公式E＝Bl v的综合考查

5．如图5所示，空间存在两个磁场，磁感应强度大小均为B，方向相反且垂直纸面，MN、PQ为其边界，OO′为其对称轴．一导线折成边长为L的正方形闭合回路abcd，回路在纸面内以恒定速度v0向右运动，当运动到关于OO′对称的位置时()

图5

A．穿过回路的磁通量为零

B．回路中感应电动势大小为BL v0

C．回路中感应电流的方向为顺时针方向

D．回路中ab边与cd边所受安培力方向相同

答案AD

解析由于两磁场的磁感应强度大小相等，方向相反，且回路此时关于OO′对称，因而此时穿过回路的磁通量为零，A项正确；ab、cd均切割磁感线，相当于两个电源，由右手定则知，回路中感应电流方向为逆时针方向，两电源串联，感应电动势为2BL v0，

B、C项错误；由左手定则知ab、cd所受安培力方向均向左，D项正确．

6．如图6所示，两根足够长的光滑金属导轨水平平行放置，间距为l＝1 m，cd间、de间、cf间分别接阻值为R＝10 Ω的电阻．一阻值为R＝10 Ω的导体棒ab以速度v＝4 m/s匀速向左运动，导体棒与导轨接触良好，导轨所在平面存在磁感应强度大小为B＝0.5 T、方向竖直向下的匀强磁场．下列说法中正确的是()

图6

A．导体棒ab中电流的流向为由b到a

B．cd两端的电压为1 V

C．de两端的电压为1 V

D．fe两端的电压为1 V

答案BD

解析由右手定则可判知A错误；E＝Bl v＝0.5×1×4 V＝2 V，U cd＝R

R＋R

E＝1 V，B 正确；由于de、cf间电阻没有电流流过，故U de＝U cf＝0，所以U fe＝U cd＝1 V，C错误，D正确．

7．如图7所示的区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B.电阻为R、半径为L、圆心角为45°的扇形闭合导线框绕垂直于纸面的O轴以角速度ω匀速转动(O轴位于磁场边界)．则线框内产生的感应电流的有效值为()

图7

A.BL 2ω2R

B.2BL 2ω2R

C.2BL 2ω4R

D.BL 2ω4R

答案 D 解析 导线框进出磁场时产生感应电动势，根据法拉第电磁感应定律知：E ＝BL v ＝12

BL 2ω，导线框转动一周的过程中只有0～T 8和T 2～58

T 时间内有感应电流，设线框内产生的感应电流的有效值为I ，则I 2RT ＝? ??

??12BL 2ωR 2·R ????T 8＋T 8，解得I ＝BL 2ω4R . 8．如图8所示，电阻不计的平行导轨竖直固定，上端接有电阻R ，高度为h 的匀强磁场与

导轨平面垂直．一导体棒从磁场上方的A 位置自由释放，用x 表示导体棒进入磁场后的位移，i 表示导体棒中的感应电流大小，v 表示导体棒的速度大小，E k 表示导体棒的动能，a 表示导体棒的加速度大小，导体棒与导轨垂直并接触良好．以下图象可能正确的是( )

图8

答案 AC

解析 由于导体棒释放时距离磁场上边界有一定高度，所以导体棒到达磁场上边界时获得大小一定的速度v 0，若速度v 0较小，导体棒切割磁感线产生的感应电流较小，导体棒受到的安培力小于其自身的重力，导体棒做加速运动，当速度增大到一定值，满足安培力等于重力时，导体棒做匀速运动，离开磁场后做匀加速运动．

若速度v 0较大，切割磁感线产生的感应电流较大，导体棒受到的安培力大于其自身的重力，导体棒做减速运动，当速度减小到一定值，满足安培力等于重力时，导体棒做匀速运动，离开磁场后做匀加速运动．选项A 符合此种情况；选项B 中的0～h 段不应该是直线，故B 错误；选项D 中到达h 以后，导体棒做匀加速运动，速度增大，D 错误． 若速度v 0刚好满足安培力等于重力，则导体棒做匀速运动，离开磁场后做匀加速运动，