数值分析(计算方法)总结

第一章 绪论

误差来源：模型误差、观测误差、截断误差（方法误差）、舍入误差

ε(x )=|x −x ∗|是x ∗的绝对误差，e =x ∗−x是x ∗的误差，ε(x )=|x −x ∗|≤ε，ε为x ∗的绝对误差限（或误差限） e r =e

x =

x ∗−x x

为x ∗ 的相对误差，当|e r |较小时，令 e r =e

x ∗=

x ∗−x x ∗

相对误差绝对值得上限称为相对误差限记为：εr 即：|e r |=

|x ∗−x ||x ∗|

≤ε

|x ∗|=εr

绝对误差有量纲，而相对误差无量纲

若近似值x ∗的绝对误差限为某一位上的半个单位，且该位直到x ∗的第一位非零数字共有n 位，则称近似值 x ∗有n 位有效数字，或说 x ∗精确到该位。

例：设x=π=3.1415926…那么x ∗=3,ε1(x )=0.1415926…≤0.5×100,则x ∗有效数字为1位，即个位上的3，或说 x ∗精确到个位。

科学计数法：记x ∗=±0.a 1a 2⋯a n ×10m (其中a 1≠0),若|x −x ∗|≤0.5×10m −n ，则x ∗有n 位有效数字，精确到10m −n 。

由有效数字求相对误差限：设近似值x ∗=±0.a 1a 2⋯a n ×10m （a 1≠0）有n 位有效数字，则其相对误差限为1

2a 1

×101−n

由相对误差限求有效数字：设近似值x ∗=±0.a 1a 2⋯a n ×10m （a 1≠0）的相对误差限为为

1

2（a 1

+1）

×101−n 则它有n 位有效数字

令x ∗、y ∗是x、y 的近似值，且|x ∗−x |≤η(x )、|y ∗−y |≤η(y )

1. x+y 近似值为x ∗+y ∗,且η(x +y )=η(x )+η（y）和的误差（限）等于误差（限）的

和 2. x-y 近似值为x ∗−y ∗,且η(x +y )=η(x )+η（y） 3. xy 近似值为x ∗y ∗,η(xy )≈|x ∗|∗η(y )+|y ∗|∗η(x ) 4. η(x

y )≈

|x ∗|∗η(y )+|y ∗|∗η(x )

|y ∗|2

1．避免两相近数相减

2．避免用绝对值很小的数作除数 3．避免大数吃小数 4．尽量减少计算工作量 第二章 非线性方程求根

1.逐步搜索法

设f (a ) <0, f (b )> 0，有根区间为 (a , b )，从x 0=a 出发， 按某个预定步长(例如h =(b -a )/N )一步一步向右跨，每跨一步进行一次根的搜索，即判别f (x k )=f (a +kh )的符号，若f (x k )>0(而f (x k -1)<0),则有根区间缩小为[x k -1,x k ] (若f (x k )=0，x k 即为所求根), 然后从

x k -1出发，把搜索步长再缩小，重复上面步骤，直到满足精度：|x k -x k -1|< 为止，此时取x *≈(x k +x k -1)/2作为近似根。

2.二分法

设f (x )的有根区间为[a ,b ]= [a 0,b 0], f (a )<0, f (b )>0.将[a 0,b 0]对分，中点x 0= ((a 0+b 0)/2),计算f (x 0)。对于给定精度ε，即

b −a 2

k

<ε，可得所需步数k，k >

[ln (b −a )−ln (ε)

ln2

3.比例法

一般地，设 [a k ,b k ]为有根区间，过(a k , f (a k ))、 (b k , f (b k ))作直线，与x 轴交于一点x k ,则：x =a −

f (a )

f (b )−f (a )

∗

(b −a )

1.试位法每次迭代比二分法多算一次乘法，而且不保证收敛。

2.比例法不是通过使求根区间缩小到0来求根，而是在一定条件下直接构造出一个点列（递推公式），使该点列收敛到方程的根。——这正是迭代法的基本思想。

事先估计:|x ∗−x k |≤L

1−L |x 1−x 0| 事后估计|x ∗−x k |≤

11−L |x k +1−x k |

局部收敛性判定定理：设x ∗为方程x =φ(x )的根，φ(x )′在x ∗的某一邻域连续， 且|φ(x ∗)′|<1，则该迭代局部收敛

局部收敛性定理对迭代函数的要求较弱，但对初始点要求较高，即初始点必须选在精确解的附近

Steffensen 迭代格式：

x ̃k +1=φ(x k ) x ⃗ k +1=φ(x ̃k +1) x k +1

=x k −(x ̃k +1−x k )2x ⃗ k +1k +1k

Newton 法：x k +1=x k −

f (x k )f′(x k )

Newton 下山法：x k +1=x k −λf (x k )f′(x k )

,λ是下山因子

弦割法：x k +1=x k −

f (x k )∗(x k −x k −1)

f (x k )−f (x k −1)

抛物线法：令t =x −x k ,h 0=x k −2−x k ,h 1=x k −1−x k ,可化为y (t )=at 2+bt +c

其中：

a =(f (x k −2)−c )∗h 1−(f (x k −1)−c )∗h 0h 1∗h 02−h 0∗h 1

2

b =

(f (x k −1)−c )∗h 02−(f (x k −2)−c )∗h 12

h 1∗h 02

−h 0∗h 1

2

c =f (x k )

则：

x k +1

={ x k −2c

b +b b >0

x k +2c b +b b ≤0

设迭代 x k +1 = g (x k ) 收敛到g (x ) 的不动点（根） x * 设 e k = x k x *若lim k →∞|e k +1||e k |p

=C ，

则称该迭代为p （不小于1）阶收敛，其中 C (不为0)称为渐进误差常数

第三章 解线性方程组直接法

列主元LU 分解法：计算主元S i =a ik −∑l ir u rk ，i =k ,k +1…n k −1

r =1选主元|S ik |=