三角形、角平分线及练习.

三角形单元复习与巩固

知识网络

目标认知

学习目标

1.了解三角形的边、高、中线、角平分线的定义及性质；

2.掌握三角形的内角和及多边形的内角和公式；

3.通过三角形的内角和来确定三角形的外角和以及多边形的外角和；

4.会利用多边形的内角和公式求多边形的边数、角度数、外角度数等；

5.掌握多边形内角和性质的应用.

重点

三角形的三边关系,以及三角形内角和定理的综合应用.

难点

本章的难点是镶嵌问题，它综合运用到多边形内角和以及正多边形等知识.

知识要点梳理

知识点一：三角形的有关的概念

1.三角形定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边上的公共点叫做三角形的顶点，相邻两边所组

成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角.

注意：通过三角形的定义可知，三角形的特征有：①三条线段；②不在同一条直线上；

③首尾顺次连接. 这是判定是否是三角形的标准.

2.三角形的表示方法：“三角形”用符号“△”表示，顶点是A，B，C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”.

3.三角形的分类

4.三角形的三边关系

①三边关系性质：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，三角形的三边关系反应了任意三角形边的限制关系.

②三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形. 当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围.

注意：①这里的“两边”指的是任意的两边. 对于“两边之差”它可能是正数，也可能是负数，一般地取“差”的绝对值；②三角形的三边关系是“两点之间，线段最短”的具体应用.

知识点二：三角形的高、中线、角平分线

1.三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高.

注意：

①三角形的高线是一条线段；

②锐角三角形的三条高都在三角形内，三条高的交点也在三角形内部；钝角三角形有两条高落在三角形的外部，一条在三角形内部，三条高所在直线交于三角形外一点；直角三角形有两条高恰好是三角形的两条直角边，另一条在三角形的内部，它们的交点是直角的顶点.

③三角形的三条高交于一点，这一点叫做三角形的垂心.

2.三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线.

注意：

①三角形的中线是一条线段；

②三角形的每一条中线将三角形分成两个面积相等的三角形；

③三角形三条中线交于三角形内一点，这一点叫做三角形的重心.

3.三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的平分线和对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.

注意：

①三角形的角平分线是一条线段；

②三角形的三条角平分线交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心.

知识点三：三角形的内角与外角

1.三角形的内角：

（1）定义：三角形中相邻两边组成的角，叫做三角形的内角.

（2）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.

（3）三角形内角和定理的作用：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角度数；③求一个三角形中各角之间的关系.

2.三角形的外角

（1）定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. 三角形的外角和为360°.

（2）特点：①外角的顶点在三角形的一个顶点上；

②外角的一条边是三角形的一边；

③外角的另一条边是三角形某条边的延长线.

（3）性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.

②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.

知识点四：多边形

1.多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. 各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.

注意：各个角都相等、各条边都相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角都相等的四边形才是正方形.

2.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.

从边形的一个顶点出发，可以画条对角线，边形一共有条对角线.

3.多边形的内角和公式：边形的内角和为.

内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；

②已知多边形内角和，求其边数.

4.多边形的外角和定理：多边形的外角和等于360°.

外角和定理的应用：①已知外角度数，求正多边形边数；

②已知正多边形边数，求外角度数.

知识点五：镶嵌

1.平面镶嵌的定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做多边形覆盖平面（或平面镶嵌）.

2.镶嵌的条件：当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就能拼成一个平面图形.

规律方法指导

三角形是最简单的多边形，是研究复杂图形的基础，在解决多边形的内角和问题时，通常转化为与三角形相关的角来解决.三角形有很多重要性质，如稳定性，三角形内角和等于180°等，这些在生产和生活中有广泛的应用. 通过本章学习可以进一步丰富对图形的认识和感受，提高同学们的思考和说服能力. 在运用多边形的内角和公式与外角的性质求值时，常与方程思想相结合. 数形结合思想和转化思想在本章中体现较为明显，如三角形的三边关系、内角和、外角和的语言表述与符号、数字之间的互化；多边形问题通过连接对角线转化为三角形问题等. 本章内容是中考的必考内容，主要考查三角形的三边关系、三角形内角和、多边形内角和、平面镶嵌及其简单的应用，常以填空题、选择题的形式命题.

三角形单元测评

一．选择题(每小题3分，共30分)

1．图中三角形的个数是( )

A. 8 B．9 C．10 D．11

2．若一个三角形的三条高的交点正好是三角形的某个顶点，则这个三角形是( )．

A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．以上都不对

3．已知三角形的三边长分别为4，5，x，则x不可能是( )．

A．3 B．5 C．7 D．9

4．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，连接AB1，AC，B1C，则△AB1C的形状一定是( ).

A．钝角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形

5．已知α、β是两个钝角，计算的值，甲、乙、丙、丁四位同学算出了四

种不同的答案，

其中只有一个答案是正确的，则正确的是( ).

A．86°B．76°C．48°D．24°

6．三角形的三个内角中，至少有一个角的度数不会大于( ).

A．30°B．40°C．50°D．60°

7．将一副直角三角尺如图所示放置，已知AE∥BC，则∠AFD的度数是( ).

A．45°B．50°C．60°D．75°

8．小明家装修房屋，用同样的正多边形瓷砖铺地，顶点对着顶点，为铺满地面而不重叠，瓷砖的形状

可能有( ).

A．正三角形、正方形、正六边形B．正三角形、正方形、正五边形

C．正方形、正五边形D．正三角形、正方形、正五边形、正六边形

9．若一个n边形有n条对角线，则n为( ).

A．4 B．5 C．6 D．7

10．如图所示，AB∥CD，则x的大小为( ).

A．35°B．45°C．75°D．85°

二．填空题(每小题3分，共30分)

11．直角三角形的两锐角的平分线的交角的度数为_____________.

12．一个三角形的两边长分别为3和7，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最小值是________.

13．如图，△ABC中，AD、CE是△ABC的两条高，BC＝5cm，AD＝3cm，CE＝4cm，则AB的长为________.

14．如图，在△ABC中，∠A＝42°，∠ABC和∠ACB的三等分线分别交于点D、E，则∠BDC的度数是____.

15．如图，已知AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，EG平分∠BEF交CD 于点G，如果∠1＝50°，那么∠2的度数是_____________.

16．已知在正方形网络中，每个小方格都是边长为1的正方形，A、B两点在正方形网络的交叉点上，位置如图所示，点C也在此网络的交叉点上，且以A、B、C为顶点的三角形的面积为1平方单位，则点C的个数为_____________，请在图中标示出来.

17．把一张长方形的纸片按图所示的方式折叠，EM、FM为折痕，折叠后的C点落在MB′的延长线上,那么∠EMF的度数是_____________.

18．(1)在凸多边形中，锐角最多能有_____________个；

(2)在凸多边形中，小于108°的内角最多有_____________个.

19．在一个顶点处有一个正十边形和一个正三角形，则还要有一个正_____边形，才能进行平面镶嵌.

20．如图所示，一样大小的立方体木块堆放在房间一角，一共垒了10层，这10层中从正面看不见的木块有_____________个.

三．解答题(共60分)

21．(6分)a，b，c是三角形的三条边长，

化简：|a＋b＋c| －|a－b－c|－|a－b＋c|－|a＋b－c|.

22．(6分)已知n边形的每个内角与其外角的差为90°，求内角的度数与边数n.

23．(8分)如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，且SΔABC ＝4cm2，求阴影面积SΔEBF.

24．(8分)如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180°形成的，若∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，求α的度数.

25．(10分)如图所示，五个半径为2的圆，圆心分别是A、B、C、D、E，求图中阴影部分的面积和是多少？

26．(10分)如图，已知△ABC三个内角的平分线相交于点O，OG⊥AB，垂足为G，∠1＝∠AOE，∠2＝∠BOG，试说明∠1＝∠2.

27．(12分)如图所示，在△ABC中，∠1＝∠2，∠C＞∠B，E为AD上一点，且EF⊥BC于F.

(1)试探索∠DEF与∠B、∠C的等量关系；

(2)如图所示，当点E在AD的延长线上时，其他条件都不变，你在(1)中探索得到的结论是否还成立？并说明理由.

答案与解析

一．选择题

1.B.

2.A.(提示：直角三角形三条高相交于直角顶点上.)

3.D.(提示：根据三角形三边关系)

4.D.(提示：△AB1C的三边分别是正方形的对角线.)

5.C.(提示：将选项分别代入，使180°＜α＋β＜360°的值为正确的答案.＝

6.D.(提示：假设三角形的三个内角都大于60°，则三角形的内角和就大于180°，所以三角形三个内角中至少有一个角的度数不会大于60°.)

7.D.(提示：因为AE∥BC，所以∠EDC＝∠E＝45°，又因为∠C＝30°，

所以∠AFD＝∠FDC+∠C＝45°+30°＝75°.)

8.A

9.B.(提示：由题意知，把选项分别代入此方程，当n＝5时，方程成立.)

10.C.(提示：五边形的内角和是(5－2)×180°＝540°.由AB∥CD可得∠B＝180°－60°＝120°，所以x＝540°－135°－120°－60°－150°，所以x＝75°.)

二．填空题

11.45°或135°.(提示：两条平分线相交成4个角，有两组对顶角，所以有两个不相同的度数.)

12.15.(提示：由三角形三边关系知x可以取5，6，7，8，9，所以三角形的周长最小值为15.)

13..(提示：在△ABC中，2S△ABC＝BC×AD＝AB×CE)

14.88°.(提示：因为DB、EB三等分∠ABC，DC、EC三等分∠ACB，所以∠DBC＋

∠DCB＝(∠ABC＋∠ACB)＝(180°－∠A)＝92°，所以∠BDC＝180°－92°＝

88°。)

15.65°.(提示：因为AB∥CD，所以∠BEF＝180°－∠1＝180°－50°＝130°，又因为EG平分∠BEF，所以∠GEF＝65°，所以∠2＝180°－∠1－∠GEF＝180°－50°－65°＝65°.)

16.4.(提示：因为SΔABC＝×底边×高，所以底边为1个单位，高为两个单位可使三

角形的面积为1个平方单位. 如图所标示的C的位置，都可以使△ABC的面积为1平方单位.

17.90°.(提示：把折叠图形展开，再由折痕得出EM平分∠BMB′，MF平分∠B′MC，而∠BMB′与∠B′MC互补，所以EM⊥MF，即∠EMF＝90°.)

18.(1)由于多边形的外角和是360°，由360°÷90°＝4可知，一个多边形最多只能有

三个外角是钝角，从而一个多边形的内角中最多只能有3个锐角；

(2)当一个内角小于108°时，与其相邻的外角大于72°，而多边形的外角和是360°，所以这样的外角必定少于5个，最多有4个.

19.十五.(提示：由一个顶点处的各内角之和为360°，

知第三个多边形的内角为360°－＝156°，

故其外角为180°－156°＝24°，所以第三个正多边形的边数为).

20.165.(提示：由于木块是大小一样的立方体，实际上它每一层的表面都是正方形的镶嵌，且每一层表面呈等腰直角三角形，因此每一层去掉斜边上的正方形的个数，余下的正方形的个数就是看不见的木块的个数. 把立方体垒的每一层的表面看成是正方形镶嵌，因而看不见的正方形分布如图所示：

…

累加计算，得0+(0+1)+(1+2)+…+(1+2+…+8+9)＝0+1+3+6+…+45＝165(个).)

三．解答题

21.解：根据三角形的三边的关系有：a－b＜c，a＋c＞b，a＋b＞c，

则a－b－c＜0，a－b＋c＞0，

所以，原式＝a＋b－c＞0(a＋b＋c)＋(a－b－c)－(a－b＋c)－(a＋b－c)＝0

22.解：设内角度数为，外角度数为y，则

解得。所以n＝＝8.

23.解：在ΔABD中，E为AD的中点，所以SΔEBD＝SΔABD，同理SΔEDC＝SΔADC，

所以SΔEBD＋SΔEDC＝SΔABD＋SΔADC＝SΔABC，

即SΔEBC＝SΔABC＝2cm2。在ΔEBC中，点F为EC中点，所以SΔEBF＝SΔ

＝1cm2.

EBC

24.解：由∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，设∠1＝28k，∠2＝5k，∠3＝3k，

∴∠1+∠2+∠3＝36k＝180°，∴k＝5°. 即∠2＝25°，∠3＝15°.

∠a＝2(∠2+∠3)＝2×(25°+15°)＝80°.

25.解：五边形ABCDE的内角和为(5－2)×180°＝540°，540°÷360°＝.所以五

个阴影部分(五个扇形)的面积和是个圆的面积. 因此，阴影部分的面积为×π×22＝6π.(解答本题的关键是在图中抽象出五边形，然后利用五边形的内角和求出阴影部分中圆的个数.)

26.如图，

∵AF、CE、BD分别是三角形各角的平分线，

∴∠3＝∠CAB，∠4＝∠ACB，∠5＝∠ABC，

又∵∠ACB+∠ABC+∠CAB＝180°，∴∠3+∠4+∠5＝90°，

又∵OG⊥AB，∴∠OGB＝90°，∴∠2+∠5＝90°，∴∠2＝∠3+∠4，

又∵∠1＝∠3+∠4，∴∠1＝∠2.

27.思路分析：本题的关键是寻找∠DEF与∠B、∠C之间的联系，由三角形的内角、外角定理，可通过∠1(或∠2)、∠EDF做为桥梁解决.

(1)∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠BAC。∵∠BAC＝180°－(∠B＋∠C)

∴∠1＝[180°－(∠B＋∠C)]＝90°－(∠B＋∠C)

∴∠EDF＝∠B＋∠1＝∠B＋90°－(∠B＋∠C)＝90°＋(∠B－∠C)

又∵EF⊥BC，∴∠EFD＝90°，

∴∠DEF＝90°－∠EDF＝90°－

(2)当点E在AD的延长线上时，其余条件都不变，

(1)中所得的结论仍成立，理由同(1).

角平分线的性质

一、目标认知

学习目标：

1．使学生掌握角平分线性质定理及逆定理，并能用定理进行推理论证。

2．在通过：观察——猜想——实践——探究的获取知识的过程中，培养逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力。

3．通过图形变换及证明题的推理论证，渗透事物间相互转化的思想，培养严谨的学习态度。

重点：

角平分线性质定理及逆定理的应用。

难点：

熟悉图形变换，能将复杂图形分解成简单的基本图形

二、知识要点梳理

知识点一：

角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等。

要点诠释：

图形表示：

若CD平分∠ADB,点P是CD上一点PE⊥AD于点E，

PF⊥BD于点F，则PE=PF。

知识点二：

角平分线的判定：到角两边距离相等的点在角的平分线上。

要点诠释：

图形表示：

若PE⊥AD于点E，PF⊥BD

于点F，PE=PF，则PD平分∠ADB

知识点三：

角平分线的尺规作图

要点诠释：

（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E。

（2）分别以D、E为圆心，大于1/2DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C。

（3）画射线OC。射线OC即为所求。

知识点四：

三角形三个内角平分线的性质

要点诠释：

三角形三条内角平分线交于一点，且这一点到三角形三边的距离相等。

三、规律方法指导

1．角的平分线是射线，三角形的角平分线是线段。

2．证明线段相等的方法：1）三角形全等；2）角的平分线的性质。

3．证明角相等的方法：1）三角形全等；2）角的平分线的判定。

学习成果测评

基础达标：

1.已知，点P是△ABC的角平分线AD上一点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F，则PE=________,AE=_________.点Q在△ABC内，QM⊥BC于点M，QN⊥BA于点N，QM=QN，则点Q在___________________________.

2.到一个角两边距离相等的点在_______;在角平分线上的点到这个角两边的_____相等。

3.如果三角形内一点到三条边的距离相等，那么这点是三角形三条_________线的交点。

4.角平分线可以看做是_____________相等的所有点的集合

5.已知如图点D是△ABC的两外角平分线的交点，下列说法

（1）AD=CD(2)D到AB、BC的距离相等

（3）D到△ABC的三边的距离相等（4）点D在∠B的平分线上

其中正确的说法的序号是_____________________.

6.已知△ABC的三条内角平分线AD、BE、CF下列说法：

（1）△ABC的内角平分线上的点到三边的距离相等；

（2）三角形的三条内角平分线交于一点；

（3）三角形的内角平分线位于三角形的内部；

（4）三角形的任一条内角平分线将三角形分成面积相等的两部分

其中正确的说法的个数是（）

A.4

B.3

C.2

D.1

7.已知△ABC中，AB=AC,AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，下列说法：

（1）AD上任意一点到点C、点B的距离相等；

（2）AD上任意一点到AB、AC的距离相等；

（3）BD=CD,AD⊥BC

（4）∠BDE=∠CDF

其中，正确说法的个数是（）

A.4

B.3

C.2

D.1

8.到三角形三边距离相等的点是（）

A.三角形三条高线的交点。B。三角形三条中线的交点。

C．三角形三边垂直平分线的交点。D。三角形三条内角平分线的交点

9.在△ABC中∠B=90°，CD是△ABC的角平分线，DE⊥AC于点E，E到AB、CD 的距离相等，则∠A的度数是（）

A.30°

B.45°

C.60°

D.75°

10.已知，如图AD、BE是△ABC的两条高线，AD与BE交于点O，AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，下列结论：

（1）CD=BD, (2)AE=CE (3)OA=OB=OD=OE (4)AE+BD=AB

其中正确结论的个数是（）

A.1

B.2

C.3

D.4

11.已知：直线a、b相交于点O,l是不过点O的任意一条直线，若l上有到a、b的距离相等的点，则这样的点最多可能有（）

A.1个B．2个C．3个D．4个

12．已知，如图AD是△ABC的角平分线，∠B=90°,BC=48,BD:CD=5:7 求：点D到AC的距离

13．已知，如图△ABC中，AB=AC，D是BC的中点。

求证：D到AB、AC的距离相等。

14．已知，如图AF、CF是△ABC的外角∠DAC、∠ACE的平分线

求证：点F必在∠B的平分线上。

15．已知，如图直线L1,L2,L3,表示相互交叉的公路，现在需要建设一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，请你确定货物中转站的位置。

16．已知，如图，BD是△ABC的角平分线，∠A=90°,AB=AC,DE⊥BC于E。

求证：△CDE的周长等于BC。

17．已知，如图，∠C=∠D=90°,E是CD上一点，AE、BE分别平分∠DAB、∠ABC。

求证：E是CD的中点。

18．已知，如图CD是△ABC的角平分线，E是BC上的点，∠B=60°,∠ACE=∠CAE=20°.

求：∠CDE的度数

答案与解析：

1．PF,AF,∠B的平分线

2．这个角的平分线上；距离

3．内角平分。

4．到这个角两边距离相等

5．(2)(3)(4)

6．C

7．A

8．D

9．A

10. C

11. B

12. 20.提示过点D作DE⊥AC于点E

13. 提示：连接AD,证△ABD△ACD,得∠BAD=∠CAD

14. 提示：过F分别作AC、AD、CE的垂线段，并证明这三条垂线段相等

15. 有四处，即△ABC的内外角平分线的交点

16. 证AD=DE,AB=BE即可

17. 提示：过E作EF⊥AB于点F，证DE=EF，EF=CE即可

18. 提示：过D作DF⊥AC于点F，DG⊥AE于点G，DH⊥BC于点H，由角平分线的性质可得DF=DH,三角形的全等可得DF=DG，所以有DF=DG=DH,可证DE是∠AEB的角平分线，所以易得∠CDE=10°

能力提升：

如图所示：在△ABC中，AB=AC，∠A=100°，BD平分∠ABC。

求证：AD+BD=BC

答案与解析：

提示：在BC上截取BE=AB，可得AD=DE，在BC上再截取BF=BD，可得∠DEF=∠DFE,有DE=DF。

通过∠A=100°，BD平分∠ABC，可得∠FCD=∠FDC=40°，所以有DF=FC，结论得证。