金融数学在投资中的应用案例分析

摘要：we study the best-known continuous time model, the Black-SCHOLES MODEL. This model, developed by Fischer Black and Myron Scholes in 1973, describes the value of a European option on an asset with no cash flows. The model has had a huge influence on the way that traders price and hedge options. It has also been pivotal to the growth and success of financial engineering in the 1980s and 1990s. The model requires only five inputs: the asset price, the strike price, the time to maturity, the risk-free rate of interest, and the volatility. The Black-Scholes model has becomes the basic benchmark model for pricing equity options and foreign currency options. It is also sometimes used, in a modified form, to price Eurodollar futures options, Treasury bond options, caps, and floors. We cannot say that we have mastered option pricing theory unless we understand the Black-Scholes formula.

关键字：Black-Scholes model Option pricing Value evaluation

引言：

期权是20世纪70年代中期在美国出现的一种金融创新工具,30多年来,它作为一种防范风险和投 机的有效手段而得到迅猛发展。

1973年,Scholes.M 发表了The pricing of options and Corporate Liabilitics 给出了一个期权定价公式,即Black-Scholes 期权定价模型,推导出基于红利股票的任何一种衍生证券的价格必须满足的微分方程,并成功地求解了该方程,因此而获得诺贝尔经济学奖。这项理论及其以后的多种变形,极大地推动了金融衍生工具市场的发展。 在对套期保值或标的资产支付中间红利的情况下,在B-S 模型的基础上,作进一步的探讨,发现其修改公式对欧式期权的部分衍生产品仍可适用,还可反映红利对期权的影响,加强了此模型在实际中的应用。

正文： 模型假设：

1、期权标的资产为以风险资产股票，其市场价格遵循几何布朗运动。

2、期权有效期内股票不支付红利。

3、市场是有效的。

4、没有交易成本。

5、在期权有效期内，无风险利率是常数。 模型建立：

假设股票价格为s ，在一段时间后，以概率p 上涨到as （或以1-p 降到bs ）即

将],0[t 分成n 等份，即t n

t

n n t n t ,)1(......2,,0-，令n t =?

假设在],[

1

t t i

i -对n i ,...2,1=?服从二叉树模型。

则当∞→n ，s 为对数布朗运动。

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σ

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-?s s s s y i i i i i b a )1()1(,0,1，经过?n 后，股票上涨次数记为m=∑=n

i i

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，股价满足

s s b

a t m

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B

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(为布朗运动。

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a s s B n t

b n b a m σ )1()(,)(p p Var p E y y i

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Var n

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期权定价：

][())

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,,(0

k s e C

t E s rt

t r -+

-=σ 由上述可知：

),(~2

t t N B t σμ

则)1,0(~)

(N t

t

Z B t σμ-=

e

e

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s Z

t t r Z

t ut t

B

t σσσ

+-+===)2

(0

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对欧式看涨期权可得：

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()(k s C t t

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t k rt

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t -=-=-===--->-+

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引理：

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s s

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Z t t r s

s σσσσσ)

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（1）

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σω

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)(][][)2

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Z

t t r c Z S S E s E t

将上述两式的结果代入：

)()()](][[)

(0t k S I kE s E e I

e C rt

rt

t σωω-Φ-Φ=-=--（2）

讨论股票波动率σ，股票价格s t

，无风险利率r ，执行价格K ，到期时间t 对期权定价C

的影响。 当σ，

s t

，r ，t 增加时，（1式的值增加），（2）式的值增加。

当K 都增加时，（2）式的值减小。 所以σ，

s t

，r ，t 和C

有同向的变化。K 和

C

有反向的变化。

例题分析：

设一只股票现价为20，名义利率这位,6%（单位时间为1年），股票的波动率为0.2，求一张三个月到期、执行价格为24元的看涨期权的无套利价格？ 由题目可知：

s t

=20，K =24，r =0.06，t =0.25，σ=0.2

t

k

t rt s σωσ)

log(20

2

-+=

=-1.623

t σω-=-1.723

)()(0t k S e C rt

σωω-Φ-Φ=-=0.047

用matlab编程：

subplot(3,2,1)

k=24;

s=20:0.01:22;

r=0.06;

t=0.25;

o=0.2;

w=((r*t+(o^2*t)/2-log(k./s)))./(o*sqrt(t))

c=s.*normcdf(w)-k*exp(-r*t).*normcdf(w-o*sqrt(t))

plot(s,c,'+')

可得到第一个图，以此类推，可得到下图：

上面各图分别表示股票价格S从20逐渐增加到22，期权价格的变化。如果执行价格K 从24逐渐增加到25，期权价格的变化。名义利率r从0.06逐渐增加到0.1，期权价格的变化。到期日t从三个月逐渐增加到1年，期权价格的变化。波动率 从0.2逐渐增加到2，

期权价格的变化。由图中我们可以得到各变量对C0的影响。

Black-scholes模型的发展

1977年美国学者伽莱利用芝加哥期权交易所上市的股票权的数据，首次对Black-scholes模型进行了检验。此后，不少学者在这一领域内作了有益的探索。综合起来，这些检验得到了如下一些具有普遍性的看法：

1.模型对平值期权的估价令人满意，特别是对剩余有效期限超过两月，且不支付红利者效果尤佳。

2.对于高度增值或减值的期权，模型的估价有较大偏差，会高估减值期权而低估增值期权。

3.对临近到期日的期权的估价存在较大误差。

4.离散度过高或过低的情况下，会低估低离散度的买入期权，高估高离散度的买方期权。但总体而言，Black-scholes模型仍是相当准确的，是具有较强实用价值的定价模型。

对Black-scholes模型的检验着眼于从实际统计数据进行分析，对其表现进行评估。而另外的一些研究则从理论分析入手，提出了Black-scholes模型存在的问题，这集中体现于对模型假设前提合理性的讨论上。不少学者认为，该模型的假设前提过严，影响了其可靠性，具体表现在以下几方面：

首先，对股价分布的假设。Black-scholes模型的一个核心假设就是股票价格波动满足几何维纳过程，从而股价的分布是对数正态分布，这意味着股价是连续的。股价的变动不仅包括对数正态分布的情况，也包括由于重大事件而引起的跳起情形，忽略后一种情况是不全面的。他们用二项分布取代对数正态分布，构建了相应的期权定价模型。

其次，关于连续交易的假设。从理论上讲，投资者可以连续地调整期权与股票间的头寸状况，得到一个无风险的资产组合。但实践中这种调整必然受多方面因素的制约：1.投资者往往难以按同一的无风险利率借入或贷出资金；2.股票的可分性受具体情况制约；3.频繁的调整必然会增加交易成本。因此，现实中常出现非连续交易的情况，此时，投资者的风险偏好必然影响到期权的价格，而布-肖模型并未考虑到这一点。

最后，假定股票价格的离散度不变也与实际情况不符。研究表明，随着股票价格的上升，其方差一般会下降，而并非独立于股价水平。有的学者曾想扩展Black-scholes模型以解决变动的离散度的问题。

参考文献：

奚李峰，乐安波金融数学[期刊论文] 清华大学出版社

刘卫国MA TLA程序设计与应用[期刊论文] 高等教育出版社

SHELDON M.ROSS 数理金融初步[期刊论文] 机械工业出版社