4.1几类可降阶的高阶微分方程

第
第第
第4章
章章
章微分方程与差分方程
微分方程与差分方程微分方程与差分方程
微分方程与差分方程上一页
上一页上一页
上一页下一页
下一页下一页
下一页返回首页
返回首页返回首页
返回首页
湘潭大学数学与计算科学学院
1第
第第
第4章
章章
章微分方程与差分方程
微分方程与差分方程微分方程与差分方程
微分方程与差分方程在科学技术和经济管理等许多实际问题中
在科学技术和经济管理等许多实际问题中在科学技术和经济管理等许多实际问题中
在科学技术和经济管理等许多实际问题中，
，，
，
系统中的变量间往往可以表示成一个
系统中的变量间往往可以表示成一个系统中的变量间往往可以表示成一个
系统中的变量间往往可以表示成一个（
（（
（组
组组
组）
））
）微分方程
微分方程微分方程
微分方程
或
或或
或差分方程
差分方程差分方程
差分方程，
，，
，它们是两类不同的方程
它们是两类不同的方程它们是两类不同的方程
它们是两类不同的方程，
，，
，前者处理的量
前者处理的量前者处理的量
前者处理的量
动态
动态动态
动态上一页
上一页上一页
上一页下一页
下一页下一页
下一页返回首页
返回首页返回首页
返回首页
湘潭大学数学与计算科学学院
2的离散变量
的离散变量的离散变量
的离散变量，
，，
，
间隔时间周期作为统计的
间隔时间周期作为统计的间隔时间周期作为统计的
间隔时间周期作为统计的.
是连续变量
是连续变量是连续变量
是连续变量；
；；
；而后者处理的量则是依次取非负整数值
而后者处理的量则是依次取非负整数值而后者处理的量则是依次取非负整数值
而后者处理的量则是依次取非负整数值
例如在经济变量的数据中就有很多以
例如在经济变量的数据中就有很多以例如在经济变量的数据中就有很多以
例如在经济变量的数据中就有很多以4.1几类可降阶的高阶微分方程
几类可降阶的高阶微分方程几类可降阶的高阶微分方程
几类可降阶的高阶微分方程
一
一一
一、
、、
、型的微分方程
型的微分方程型的微分方程
型的微分方程
二
二二
二、
、、
、型的微分方程
型的微分方程型的微分方程
型的微分方程上一页
上一页上一页
上一页下一页
下一页下一页
下一页返回首页
返回首页返回首页
返回首页
湘潭大学数学与计算科学学院
3四
四四
四、
、、
、小结
小结小结
小结
二
二二
二、
、、
、型的微分方程
型的微分

方程型的微分方程
型的微分方程
三
三三
三、
、、
、型的微分方程
型的微分方程型的微分方程
型的微分方程二阶和二阶以上的微分方程统称为
二阶和二阶以上的微分方程统称为二阶和二阶以上的微分方程统称为
二阶和二阶以上的微分方程统称为高阶
高阶高阶
高阶微分方程
微分方程微分方程
微分方程.
有些高阶微分方程
有些高阶微分方程有些高阶微分方程
有些高阶微分方程，
，，
，可以通过自变量或未知函数
可以通过自变量或未知函数可以通过自变量或未知函数
可以通过自变量或未知函数的
的的
的
代换
代换代换
代换降低阶数
降低阶数降低阶数
降低阶数，
，，
，从而求出解来
从而求出解来从而求出解来
从而求出解来.
..
.上一页
上一页上一页
上一页下一页
下一页下一页
下一页返回首页
返回首页返回首页
返回首页
湘潭大学数学与计算科学学院
4下面介绍三类可降阶的高阶微分方程的解法
下面介绍三类可降阶的高阶微分方程的解法下面介绍三类可降阶的高阶微分方程的解法
下面介绍三类可降阶的高阶微分方程的解法.
..
.一
一一
一、
、、
、()()nyfx=
==
=令
令令
令(1),nzy?
??
?=
==
=因此
因此因此
因此1()dzfxxC=+
=+=+
=+
∫
∫∫
∫，
，，
，即
即即
即
型的微分方程
型的微分方程型的微分方程
型的微分方程
变量代换
变量代换变量代换
变量代换
则
则则
则上一页
上一页上一页
上一页下一页
下一页下一页
下一页返回首页
返回首页返回首页
返回首页
湘潭大学数学与计算科学学院
5即
即即
即
同理可得
同理可得同理可得
同理可得
[
[[
[]
]]
](2)
2 dnyxC?
??
?=+
=+=+
=+∫
∫∫
∫[
[[
[]
]]
] dx=
==
=
∫
∫∫
∫依次通过
依次通过依次通过
依次通过n次积分
次积分次积分
次积分,
, ,
, 可得含
可得含可得含
可得含n 个任意常数的通解
个任意常数的通解个任意常数的通解
个任意常数的通解.
..
.
12.
CxC++
++++
++例
例例
例1
解
解解
解(
((
()
))
)2
1cosxyexdxC
′′′
′′′′′′
′′′
=?+
=?+=?+
=?+
∫
∫∫
∫2
11
sin,
2
xexC
′
′′
′
=?+
=?+=?+
=?+
21
(sin)
xyexCdx
′′
′′′′
′′
=?+
=?+=?+
=?+
∫
∫∫
∫2cos.xyex
′′′
′′′′′′
′′′
=?
=?=?
=?求解上一页
上一页上一页
上一页下一页
下一页下一页
下一页返回首页
返回首页返回首页
返回首页
湘潭大学数学与计算

科学学院
61(sin)
2
yexCdx
′′
′′′′
′′
=?+
=?+=?+
=?+
∫
∫∫
∫21
8
xye=
==
=sinx+
++
+2
1Cx
+
++
+
23CxC
++
++++
++cosx+
++
+12,CxC
′
′′
′
++
++++
++（
（（
（此处
此处此处
此处21
4xe
=
==
=.12+
++
+=
==
=
′
′′
′′
′′
′′
′′
′
xy31
,
3
yxxC
′′
′′′′
′′
=++
=++=++
=++42
211
,
122
yxxCxC
′
′′
′
=+++
=+++=+++
=+++例
例例
例2解微分方程
解微分方程解微分方程
解微分方程.解
解解
解对方程两边积分得
对方程两边积分得对方程两边积分得
对方程两边积分得：
：：
：
再对以上二阶方程积分得
再对以上二阶方程积分得再对以上二阶方程积分得
再对以上二阶方程积分得上一页
上一页上一页
上一页下一页
下一页下一页
下一页返回首页
返回首页返回首页
返回首页
湘潭大学数学与计算科学学院
7122532
23111
6062
yxxCxCxC=++++
=++++=++++
=++++最后对以上一阶方程积分
最后对以上一阶方程积分最后对以上一阶方程积分
最后对以上一阶方程积分，
，，
，得通解为
得通解为得通解为
得通解为532
12311
.
606
xxCxCxC=++++
=++++=++++
=++++(,)yfxy
′′′
′′′′′′
′′′
=
==
=型的微分方程
型的微分方程型的微分方程
型的微分方程
设
设设
设
(),ypx
′
′′
′
=
==
=原方程化为一阶方程
原方程化为一阶方程原方程化为一阶方程
原方程化为一阶方程
设其通解为
设其通解为设其通解为
设其通解为1(,),
pxC?
??
?=
==
=则得
则得则得
则得
二、
则
则则
则
变量代换
变量代换变量代换
变量代换上一页
上一页上一页
上一页下一页
下一页下一页
下一页返回首页
返回首页返回首页
返回首页
湘潭大学数学与计算科学学院
81(,).
yxC?
??
?′
′′
′
=
==
=再一次积分
再一次积分再一次积分
再一次积分,
, ,
, 得原方程的通解
得原方程的通解得原方程的通解
得原方程的通解
12(,)d.
yxCxC?
??
?=+
=+=+
=+∫
∫∫
∫例
例例
例3求解
求解求解
求解2(1)2,xyxy
′′′
′′′′′′
′′′
+=
+=+=
+=
01,xy=
==
==
==
=0 3.xy=
==
=
′
′′
′
=
==
=解
解解
解令
令令
令
代入方程
代入方程代入方程
代入方程，
，，
，得
得得
得2(1)2
xpxp
′
′′
′
+=
+=+=
+=分离变量
分离变量分离变量
分离变量积分得
积分得积分得
积分得2
1
lnln(1)ln,pxC=++
=++=++
=++则
则则
则上一页
上一页上一页
上一页

下一页
下一页下一页
下一页返回首页
返回首页返回首页
返回首页
湘潭大学数学与计算科学学院
910
3,xy=
==
=
′
′′
′
=
==
=利用
利用利用
利用13,C=
==
=得
得得
得于是有
于是有于是有
于是有2
3(1).yx
′
′′
′
=+
=+=+
=+两端再积分得
两端再积分得两端再积分得
两端再积分得3
2
3.yxxC=++
=++=++
=++利用
利用利用
利用
01,xy=
==
==
==
=
21,
C=
==
=得
得得
得331.yxx=++
=++=++
=++因此所求特解为
因此所求特解为因此所求特解为
因此所求特解为三
三三
三、
、、
、
(,)yfyy
′′′
′′′′′′
′′′
=
==
=型的微分方程
型的微分方程型的微分方程
型的微分方程
令
令令
令),
(ypy=
==
=
′
′′
′
d
d
p
y
x
′′
′′′′
′′
=
==
=
dd
dd
py
yx
=?
=?=?
=?故方程化为
故方程化为故方程化为
故方程化为
设其通解为
设其通解为设其通解为
设其通解为
即得
即得即得
即得
变量代换
变量代换变量代换
变量代换
则
则则
则(,),
pyC
?
??
?=
==
=上一页
上一页上一页
上一页下一页
下一页下一页
下一页返回首页
返回首页返回首页
返回首页
湘潭大学数学与计算科学学院
10设其通解为
设其通解为设其通解为
设其通解为
即得
即得即得
即得
分离变量后积分
分离变量后积分分离变量后积分
分离变量后积分,
, ,
, 得原方程的通解
得原方程的通解得原方程的通解
得原方程的通解1(,),
pyC
?
??
?=
==
=代入方程得
代入方程得代入方程得
代入方程得
两端积分得
两端积分得两端积分得
两端积分得
lnlnln,pyC=+
=+=+
=+,pCy=
==
=即
即即
即解
解解
解设
设设
设d
d
p
y
x
′′
′′′′
′′
=
==
=dd
dd
py
yx
=
==
=
d
.
d
p
p
y
=
==
=则
则则
则
例
例例
例4求解
求解求解
求解
.0)(2=
==
=
′
′′
′
?
??
?
′
′′
′′
′′
′
yyy上一页
上一页上一页
上一页下一页
下一页下一页
下一页返回首页
返回首页返回首页
返回首页
湘潭大学数学与计算科学学院
11两端积分得
两端积分得两端积分得
两端积分得1
lnlnln,pyC=+
=+=+
=+1,pCy=
==
=即
即即
即(
((
(一阶线性齐次方程
一阶线性齐次方程一阶线性齐次方程
一阶线性齐次方程)
))
)
故所求通解为
故所求通解为故所求通解为
故所求通解为解
解解
解令
令令
令?
??
?
?
??
?
?
??
?20,yye
′′
′′′′
′′
?=
?=?=
?=
00,xy=
==
==

==
=01.xy=
==
=′
′′
′
=
==
=(),
ypy
′
′′
′
=
==
=d
,
d
p
yp
y
′′
′′′′
′′
=
==
=代入方程
代入方程代入方程
代入方程，
，，
，得
得得
得则
则则
则
例
例例
例5 解初值问题
解初值问题解初值问题
解初值问题上一页
上一页上一页
上一页下一页
下一页下一页
下一页返回首页
返回首页返回首页
返回首页
湘潭大学数学与计算科学学院
12积分得
积分得积分得
积分得
利用初始条件
利用初始条件利用初始条件
利用初始条件,
,,
,10,
C=
==
=得
得得
得22
111
.
22ypeC
=+
=+=+
=+2,yexC?
??
??=+
?=+?=+
?=+积分得
积分得积分得
积分得d
.
d
yy
pe
x
==
====
==得
得得
得00
10,yxpy==
====
==′
′′
′
==>
==>==>
==>根据
根据根据
根据上一页
上一页上一页
上一页下一页
下一页下一页
下一页返回首页
返回首页返回首页
返回首页
湘潭大学数学与计算科学学院
13
1.yex?
??
?
?=
?=?=
?=21.
C=?
=?=?
=?得
得得
得00,xy=
==
==
==
=再
再再
再由
由由
由故所求特解为
故所求特解为故所求特解为
故所求特解为2四
四四
四、
、、
、小结
小结小结
小结
可降阶微分方程的解法
可降阶微分方程的解法可降阶微分方程的解法
可降阶微分方程的解法——降阶法
降阶法降阶法
降阶法
逐次积分
逐次积分逐次积分
逐次积分上一页
上一页上一页
上一页下一页
下一页下一页
下一页返回首页
返回首页返回首页
返回首页
湘潭大学数学与计算科学学院
14令(),
ypx
′
′′
′
=
==
=令
令令
令
(),ypy
′
′′
′
=
==
=则
则则
则
则
则则
则思考与练习
思考与练习思考与练习
思考与练习
1. 方程
方程方程
方程如何代换求解
如何代换求解如何代换求解
如何代换求解?
答
答答
答:
: :
: 令
令令
令
或
或或
或
一般说
一般说一般说
一般说,
, ,
, 用前者方便些
用前者方便些用前者方便些
用前者方便些.
..
.
均可
均可均可
均可.
. .
.
有时用后者方便
有时用后者方便有时用后者方便
有时用后者方便.
..
.
例如
例如例如
例如,
,,
,上一页
上一页上一页
上一页下一页
下一页下一页
下一页返回首页
返回首页返回首页
返回首页
湘潭大学数学与计算科学学院
152.
解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题
解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题
解二

阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题?
答
答答
答: (1)一般情况
一般情况一般情况
一般情况,
, ,
, 边解边定常数计算简便
边解边定常数计算简便边解边定常数计算简便
边解边定常数计算简便.
..
.
(2) 遇到开平方时
遇到开平方时遇到开平方时
遇到开平方时,
, ,
, 要根据题意确定正负号
要根据题意确定正负号要根据题意确定正负号
要根据题意确定正负号.
..
.
例
例例
例5一
一一
一、
、、
、求下列各微分方程的通解
求下列各微分方程的通解求下列各微分方程的通解
求下列各微分方程的通解:
::
:


1、
、、
、xxe
y=
==
=
′
′′
′′
′′
′′
′′
′；
；；
；

2、
、、
、21yy
′
′′
′
+
++
+=
==
=
′
′′
′′
′′
′；
；；
；


3、
、、
、y
yy
′
′′
′
+
++
+
′
′′
′
=
==
=
′
′′
′′
′′
′3)
(；
；；
；

4、
、、
、0
1
22=
==
=
′
′′
′
?
??
?
+
++
+
′
′′
′′
′′
′
y
y
y.
..
.


二
二二
二、
、、
、求下列各微分方程满足所给初始条件的特解
求下列各微分方程满足所给初始条件的特解求下列各微分方程满足所给初始条件的特解
求下列各微分方程满足所给初始条件的特解:
::
:


1、
、、
、0
,1,0111
3=
==
=
′
′′
′
=
==
==
==
=+
++
+
′
′′
′′
′′
′=
==
==
==
=xxyyyy；
；；
；

练
练练
练习
习习
习题
题题
题上一页
上一页上一页
上一页下一页
下一页下一页
下一页返回首页
返回首页返回首页
返回首页
湘潭大学数学与计算科学学院
161
、
、、
、0,1,0111=
==
=
′
′′
′
=
==
==
==
=+
++
+
′
′′
′′
′′
′=
==
==
==
=xxyyyy；
；；
；


2、
、、
、1
,0,000
2?
??
?=
==
=
′
′′
′
=
==
==
==
=
′
′′
′
?
??
?
′
′′
′′
′′
′=
==
==
==
=xxyyyay；
；；
；


3、
、、
、2
,1,300=
==
=
′
′′
′
=
==
==
==
=
′
′′
′′
′′
′=
==
==
==
=xxyyyy.
..
.


三
三三
三、
、、
、试求
试求试求
试求yx
′′
′′′′
′′
=
==
=的经过点
的经过点的经过点
的经过点(0,1)M且在此点与直线
且在此点与直线且在此点与直线
且在此点与直线1
2
x
y=+
=+=+
=+相切的积分

曲线
相切的积分曲线相切的积分曲线
相切的积分曲线

.
..
.

练习题答案
练习题答案练习题答案
练习题答案一
一一
一、
、、
、1
11
1、
、、
、32
12
3CxCx
C
exeyx
x+
++
++
++
++
++
+?
??
?=
==
=；
；；
；


2
22
2、
、、
、2
1)cos(lnCCxy+
++
++
++
+?
??
?=
==
=；
；；
；


3
33
3、
、、
、1
2)arcsin(CeCyx+
++
+=
==
=；
；；
；


4
44
4、
、、
、x
CxC
y
1
1
+
++
+
?
??
?=
==
=.
..
.上一页
上一页上一页
上一页下一页
下一页下一页
下一页返回首页
返回首页返回首页
返回首页
湘潭大学数学与计算科学学院
17

4
44
4、
、、
、xCxC
y2
11
+
++
+
?
??
?=
==
=.
..
.
二
二二
二、
、、
、1
11
1、
、、
、22
xxy?
??
?=
==
=；
；；
；



2
22
2、
、、
、)1ln(
1
+
++
+?
??
?=
==
=ax
a
y；
；；
；


3
33
3、
、、
、4)
1
2
1
(+
++
+=
==
=xy.
..
.
三
三三
三、
、、
、1
2
1
6
13+
++
++
++
+=
==
=xxy.
..
.作
作作
作业
业业
业上一页
上一页上一页
上一页下一页
下一页下一页
下一页返回首页
返回首页返回首页
返回首页
湘潭大学数学与计算科学学院
18