第九章 曲线、曲面
第九章常见曲线曲面的画法§9-1 螺旋线
§9-2 螺旋面
§9-3 单叶双曲回转面
§9-4 柱状面
§9-5 锥状面
§9-6 双曲抛物面
§9-1 螺旋线
1．圆柱螺旋线的形成
当一个动点沿着一直线等速移动，而该直线同时绕与它平行的一轴线等速旋转时，动点的轨迹就是一根圆柱螺旋线。2．圆柱螺旋线的画法
1．螺旋线的形成
2. 螺旋线的画法
§9-2 正螺旋柱状面
1．正螺旋柱状面的形成
正螺旋柱状面的两条曲导线皆为圆柱螺旋线，连续运动的直母线始终垂直于圆柱轴线。
2．正螺旋柱状面的画法
（1）画出两条曲导线（圆柱螺旋线）；
（2）作出直母线的两面投影；
（3）作出该曲面上各素线的投影。
3．正螺旋柱状面的应用的例子
1．正螺旋柱状面的形成
2．正螺旋柱状面的画法
3．正螺旋柱状面应用的例子
螺旋扶手螺旋楼梯
§9-3 单叶双曲回转面
1．单叶双曲回转面的形成
单叶双曲回转面是由直母线绕与它交叉的轴线旋转而形成。2．单叶双曲回转面的画法
（1）画出回转轴及直导线的两面投影；
（2）作出轮廓线顶圆和底圆的两面投影：
（3）作出若干素线的投影及素线的包络线。
1．单叶双曲回转面的形成
2．单叶双
曲回转面
的画法3
5
3
579
97111111' 7'9' 11'
3' 5'5' 11'9' 7'1' 3'
§9-4 柱状面
1．柱状面的形成
一直母线沿两条曲导线连续运动，同时始终平行于一导平面，这样形成的曲面称为柱状面
2．柱状面的画法
（1）画出两条曲导线的两面投影；
（2）作出直母线的两面投影：
（3）作出该曲面上各素线的投影及素线的包络线。
1．柱状面的形成
曲导线导平面曲导线
2．柱状面的画法
§9-5 锥状面
1．锥状面的形成
一直母线沿一直导线和曲导线连续运动，同时始终平行于一导平面，这样形成的曲面称为锥状面。
2．锥状面的画法
（1）画出一直导线和曲导线的两面投影；
（2）作出直母线的两面投影：
（3）作出该曲面上各素线的投影及素线的包络线。
1．锥状面的形成
直导线导平面曲导线
2．锥状面的画法
§9-6 双曲抛物面
1．双曲抛物面的形成
一直母线沿两交叉直导线连续运动，同时始终平行于一导平面，其运动轨迹称为双曲抛物面。
2．双曲抛物面的画法
（1）画出两条直导线的两面投影；
（2）作出直母线的两面投影：
（3）作出该曲面上各素线的投影及素线的包络线。
3．双曲抛物面的截交线
1．双曲抛物面的形成导平面直导线
直导线直母线
2．双曲抛物面的画法
(完整版)高等数学答案第六章4曲面与曲线
习 题 6—4 1、一动点移动时，与)0,0,4(A 及xOy 面等距离，求该动点的轨迹方程. 解：设在给定的坐标系下，动点),,(z y x M ，所求的轨迹为C ，则 (,,)M x y z C MA z u u u r ∈? = 亦即 z z y x =++-222)4( 0)4(22=+-∴y x 从而所求的轨迹方程为0)4(22=+-y x . 2、 求下列各球面的方程： （1）圆心)3,1,2(-，半径为6=R ； （2）圆心在原点，且经过点)3,2,6(-； （3）一条直径的两端点是)3,1,4()5,32(--与；（4）通过原点与)4,0,0(),0,3,1(),0,0,4(- 解：（1）所求的球面方程为：36)3()1()2(2 2 2 =-+++-z y x （2）由已知，半径73)2(6222=+-+= R ，所以球面方程为49222=++z y x （3）由已知，球面的球心坐标12 3 5,1213,3242=-=-=+-==+=c b a ， 球的半径21)35()31()24(2 1 222=++++-= R ，所以球面方程为： 21)1()1()3(222=-+++-z y x （4）设所求的球面方程为：02222 22=++++++l kz hy gx z y x 因该球面经过点)4,0,0(),0,3,1(),0,0,4(),0,0,0(-，所以???????=-=++=+=08160621008160k h g g l 解之得???? ???=-=-==2210k g h l ∴所求的球面方程为0424222=+--++z y x z y x . 3、求下列旋转曲面的方程： （1）将yOz 坐标面上的抛物线22y z =绕z 旋转一周所生成的旋转曲面； 解：222x y z +=(旋转抛物面) .
自由曲线曲面的基本原理(上)
自由曲线曲面的基本原理（上） 浙江黄岩华日（集团）公司梁建国 浙江大学单岩 1 前言 曲面造型是三维造型中的高级技术，也是逆向造型（三坐标点测绘）的基础。作为一个高水平的三维造型工程师，有必要了解一些自由曲线和曲面的基本常识，主要是因为：（1）可以帮助了解CAD/CAM软件中曲面造型功能选项的意义，以便正确选择使用；（2）可以帮助处理在曲面造型中遇到的一些问题。由于自由曲线和自由曲面涉及的较强的几何知识背景，因此一般造型人员往往无法了解其内在的原理，在使用软件中的曲（线）面造型功能时常常是知其然不知其所以然。从而难以有效提高技术水平。 针对这一问题，本文以直观形象的方式向读者介绍自由曲线（面）的基本原理，并在此基础上对CAD/CAM软件中若干曲面造型功能的使用作一简单说明，使读者初步体会到背景知识对造型技术的促进作用。 2 曲线（面）的参数化表达 一般情况下，我们表达曲线(面)的方式有以下三种： （1）显式表达 曲线的显式表达为y=f(x)，其中x坐标为自变量，y坐标是x坐标的函数。曲面的显式表达为z=f(x,y)。在显式表达中，各个坐标之间的关系非常直观明了。如在曲线表达中，只要确定了自变量x，则y的值可立即得到。如图1所示的直线和正弦曲线的表达式就是显式的。
曲线的隐式表达为f(x,y)=0，曲面的隐式表达为f(x,y,z)=0。显然，这里各个坐标之间的关系并不十分直观。如在曲线的隐式表达中确定其中一个坐标（如x ）的值并不一定能轻易地得到另外一个（如y ）的值。图2所示的圆和椭圆曲线的表达式就是隐式的。 图2 （3） 参数化表达 曲线的参数表达为x=f(t);y=g(t)。曲面的参数表达为x=f(u,v);y=g(u,v);z=g(u,v)。这时各个坐标变量之间的关系更不明显了，它们是通过一个（t ）或几个（u,v ）中间变量来间接地确定其间的关系。这些中间变量就称为参数，它们的取值范围就叫参数域。 显然，所有的显式表达都可以转化为参数表达，如在图1所示的直线表达式中令x=t 则立即可有y=t 。于是完成了显式表达到参数化表达的转换。由此，我 y 2 x 2/a
高等数学答案第六章4 曲面与曲线
习 题 6—4 1、一动点移动时,与)0,0,4(A 及xOy 面等距离，求该动点的轨迹方程. 解：设在给定的坐标系下,动点),,(z y x M ，所求的轨迹为C ，则 (,,)M x y z C MA z ∈?= 亦即 z z y x =++-222)4( 0)4(22=+-∴y x 从而所求的轨迹方程为0)4(22=+-y x ． 2、 求下列各球面的方程： （1)圆心)3,1,2(-,半径为6=R ； (2)圆心在原点,且经过点)3,2,6(-； (3)一条直径的两端点是)3,1,4()5,32(--与;（4)通过原点与)4,0,0(),0,3,1(),0,0,4(- 解:(1）所求的球面方程为:36)3()1()2(2 2 2 =-+++-z y x (2)由已知,半径73)2(6222=+-+= R ,所以球面方程为49222=++z y x (３）由已知,球面的球心坐标12 3 5,1213,3242=-=-=+-==+=c b a , 球的半径21)35()31()24(2 1 222=++++-= R ,所以球面方程为： 21)1()1()3(222=-+++-z y x （4)设所求的球面方程为:02222 22=++++++l kz hy gx z y x 因该球面经过点)4,0,0(),0,3,1(),0,0,4(),0,0,0(-,所以???????=-=++=+=08160621008160k h g g l 解之得???? ???=-=-==2210k g h l ∴所求的球面方程为0424222=+--++z y x z y x . 3、求下列旋转曲面的方程: (１）将yOz 坐标面上的抛物线22y z =绕z 旋转一周所生成的旋转曲面; 解:222x y z +=(旋转抛物面) ．
第4章 自由曲线与曲面建模
CAD/CAM
CAD/CAM
典型机械零件
CAD/CAM技术基础 —第4章 自由曲线与自由曲面建模
天津大学机械工程学院 产品设计与制造技术研究所 陈永亮
曲线曲面
1
曲线曲面
2
CAD/CAM
典型机构
CAD/CAM
圆柱齿轮
曲线曲面
3
曲线曲面
4
CAD/CAM
蜗轮蜗杆
CAD/CAM
锥齿轮
弧齿锥齿轮
摆线锥齿轮
曲线曲面
5
面齿轮
曲线曲面
6
1
CAD/CAM
? ? ? ? 齿轮类零件 涡轮类零件 凸轮类零件 叶轮叶片类零件
离心压缩机叶轮
CAD/CAM
曲线曲面
7
曲线曲面
8
CAD/CAM
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
圆的参数方程
? ? ? ? ? ? ? ?
曲线曲面
9
CAD/CAM
渐开线的参数方程
例1：圆 参数方程文件：Rel.ptd /* 为笛卡儿坐标系输入参数方程 /*根据t (将从0变到1) 对x, y和z /* 例如:对在 x-y平面的一个圆，中心在原点 /* 半径 = 50，参数方程将是: db=100 rb=db/2 x = rb * cos ( t * 360 ) y = rb* sin ( t * 360 ) z=0
例2：渐开线 1）采用直角坐标系 db=100 rb=db/2 u =t* 45 x=rb*cos(u)+rb* sin(u)*u* pi/180 y=rb* sin(u)-rb*cos(u)* u* pi/180 z=0
曲线曲面 10
CAD/CAM
渐开线的参数方程
CAD/CAM
渐开线的参数方程
rb-基圆半径 u=45t t-参数 ,[0,1]
曲线曲面 11
db=100 rb=db/2 u =t* 45 x=rb*cos(u)+rb* sin(u)*u* pi/180 y=rb* sin(u)-rb*cos(u)* u* pi/180 z=0
曲线曲面 12
2
自由曲线及曲面word版
第九章自由曲线及曲面的加工 第一节概述 经数学处理 直线或圆弧 逼近 第二节曲线、曲面加工的基础知识一、基点和节点 基点——零件上各几何元素间的连接点（宏观）节点——被分割的逼近线段间的交点或切点（微观）求节点坐标值：求分割后逼近线段间的交点或切点坐标值，是粗插补的重要组成部分；也是完成精插补运算的依据。精确计算节点坐标值，才能按要求走出预期的轨迹。 [注] 数据采样法中圆弧插补时的分割线段是等长均布的。
二、非圆曲线节点坐标的计算 非圆曲线——除直线和圆弧之外，可以用数学方程 式表达的平面轮廓曲线。 非圆曲线的计算步骤： 1）选择插补形式 直线段逼近——数学处理简单、加工精度较低； 圆弧段逼近——数学处理较复杂、加工精度较高。2）确定编程允许误差 取零件公差的1/5 ~ 1/10 。 3）确定计算方法 即后面将提及的计算方法的确定。 4）画计算机处理流程图 5）用高级语言编写程序，完成计算
下面介绍两种常用的处理平面非轮廓曲线的方法： 1．弦线逼近法 对于弦线逼近曲线而言，弦线越短，则逼近误差越小，但弦线越短，弦线数量则越多；若弦线长度不变，则曲率越大处逼近误差越大。
（1）等插补段法（等步长法） 如上a）图，以确保最大曲率处精度为原则，将各插补段长度取得相等，这使得线段处理上比较简单，但插补工作量较大。 插补工作量增大，意味着成本提高。同时，此法使精度提高，但是，这个提高，是超过要求的提高，这是需要引起设计人员注意的。 （2）等插补误差法 如上b）图，按照规定的精度要求，使各插补段的误差相等，这就使插补段长度不等，显然，插补段数是减少的。 大型零件的插补工作量极大，这时减少插补段数意义重大。 2．圆弧逼近法 先采用弦线逼近法求出节点坐标，再利用节点做圆，使逼近线段不是直线而是圆弧。 此法显然比弦线逼近法具有更高的精度，但线段处理比较复杂。
机械CAD-CAM(第7章)-自由曲线和自由曲面
《机械CAD/CAM》 第七章
自由曲线和自由曲面
机电工程学院CIMS应用研究中心
张宇
Email: zhangyu@https://www.360docs.net/doc/756831963.html,
曲线和曲面的数学表达
? 曲线和曲面的数学表达方法： ? 显式表达：如 y=a0+a1x+a2x2+a3x3 ? 隐式表达：如 a1x3+a2x2y+a3xy2+a4y3=0 ? 参数表达：如 P(t) = [x(t), y(t), z(t)]
P(t) P(u, v)
2011-3-15
昆明理工大学机电工程学院CIMS中心 张宇
2
曲线和曲面的数学表达
? 为什么采用参数方程描述自由曲线和自由曲面？
? 所描述的曲线/曲面形状与坐标系的选取无关。
? 参数方程中，代数、几何相关和无关的变量是完全分 离的，且对变量的个数无限制，便于把低维空间中的 曲线/曲面扩展到高维空间。
? 采用参数求导便于处理斜率无穷大的问题，且采用程 序处理时不会因此而中断计算。
? 规格化的参数变量 t∈[0，1]，使其相应的几何分量是 有界的，不需要另设其他参数来定义其边界。
? 有更大的自由度来控制曲线/曲面的形状。
? 易于用向量和矩阵表示几何分量，简化计算。
2011-3-15
昆明理工大学机电工程学院CIMS中心 张宇
3
几个基本术语
2011-3-15
? 点： ? 构造曲线/曲面的最基本的几何元素。 ? 常用的点有型值点、控制点（特征点）和插值点。
? 插值： ? 函数逼近的重要方法。 ? 插值要求严格通过预先给定的各个型值点。
? 逼近： ? 寻找一个函数，使其最佳逼近各个型值点。 ? 逼近不要求严格通过各型值点，但要求是对所有型 值点的最佳逼近。 ? 最小二乘法是最常用的逼近方法。
昆明理工大学机电工程学院CIMS中心 张宇
4
插值与逼近
f(x) 插值点
给定的型值点
g(x) 给定的型值点
2011-3-15
昆明理工大学机电工程学院CIMS中心 张宇
插值 逼近
5
几个基本术语
? 光顺： ? 使构造的曲线/曲面光滑且无多余的拐点。 ? 相对光顺的条件：曲线具有二阶几何连续、不存在多余的拐点和奇 异点、曲率变化较小。 ? 几何连续性：曲线或曲面在连接处的连接状态。 ? 零阶连续：边界重合。 ? 一阶连续：一阶导数连续，即切线矢量连续。 ? 二阶连续：二阶导数连续，即曲率连续。
? 拟合： ? 在曲线和曲面的设计过程中，用插值或逼近的方法使生成的曲线、 曲面达到某些设计要求，在允许的范围内通过或贴近给定的型值点 或控制点序列，从而使构造的曲线或曲面光滑连续。
2011-3-15
昆明理工大学机电工程学院CIMS中心 张宇
6
1
第二章轨迹与方程
第二章轨迹与方程 学习目标 1．进一步理解曲线和方程的关系，会写出平面曲线的矢量式（坐标式）参数方程，能将曲线的参数方程与普通方程进行互化，认识一些常见平面曲线的方程及形状。 2．理解曲面方程的概念，能根据曲面上点的特征性质来导出曲面的方程。3．初步理解柱面的概念，知道母线平行于坐标轴的柱面方程。 4．理解空间曲线的一般方程、参数方程的概念，会求一些简单的空间曲线的一般方程和参数方程。 A：掌握 1：基本概念：平面曲线的矢量式参数方程，曲面的一般方程和参数方程（坐标式和矢量式），空间曲线的一般方程和参数方程（坐标式和矢量式）。 母线平行于坐标轴的柱面，空间曲线对坐标面的射影柱面及空间曲线在三坐标面上的射影。 2：基本方法 ①根据轨迹条件用矢量方法求平面曲线和空间曲线（圆柱螺旋线、圆锥螺旋 线）的参数方程。 ②根据轨迹条件求曲面的一般方程和用矢量方法求曲面（球面、圆柱面）的 参数方程。 ③将曲线、曲面的参数方程化为一般方程。 ④二次柱面简图的画法。 ⑤求空间曲线对坐标面的射影柱面和它在三坐标面上的射影。 3：基本理论 ①三元二次方程表示球面（包括点球面、虚球面）的充要条件的证明及球心、 半径的求法 ②母线平行于坐标轴的柱面方程的特征及证明 B：理解 将平面曲线和空间曲线的一般方程化为参数方程的常规方法。 教材分析 本章的学习重点是曲面及空间曲线的一般方程和参数方程（坐标式和矢量式）的定义，以及根据轨迹条件建立曲面的一般方程和参数方程、建立空间曲线的参数方程。 本章的学习难点是用矢量方法建立曲线和曲面的矢量式的参数方程。 在本章的学习中建议注意以下几个问题： 1：在学习轨迹与方程的对应关系时，必须弄清楚为什么要满足两个条件。 2：学习空间曲面的一般方程时应指出F（x,y,z）=0未必表示一个曲面，它可以表示多个曲面、空间曲线、空间点虚曲面，例如方程xyz=0表示三个坐标面， 方程表示一直线 方程表示一点（1，-1，2） 方程表示虚曲面
CATIAV5-6R2013中文版曲面设计教程第七章曲线曲面分析
第7章 曲线曲面分析 本章导读： 完成曲面模型之后，进行曲线曲面的分析，便于查找设计中的矛盾和不符合要求的地方。曲线曲面分析包括曲线连续性和曲率分析、距离、截面曲率、反射、曲率、拐点曲线、高亮、环境和斑马线分析这些命令，本章主要对这些内容进行介绍。
196 7.1 曲线分析 曲线分析包括曲线连续性分析和曲线曲率梳分析，在曲线分析当中要经常用到这两种方法。 7.1.1 曲线连续性分析 单击【形状分析】工具栏上的【连接检查器分析】按钮，系统弹出如图7-1所示的【连接检查器】对话框。单击【元素】选项组中的【源】和【目标】文本框，从绘图区中选择分析元素。从【类型】选项组中选择分析类型，分别是【曲线-曲线连接】、【曲面-曲面连接】、【曲面-曲线连接】、【边界】、【投影】。在【快速】选项卡中设置简单分析条件，分别是G0、G1、G2、G3、【交叠缺陷】，在其后的微调框中输入分析的最小数值。 图7-1 【连接检查器】对话框 单击【显示】选项组中的【有限色标】按钮，系统弹出如图7-2所示的【连接检查器分析】对话框。单击【完整色标】按钮，系统弹出如图7-3所示的【连接检查器分析】对话框。 按下【梳】 开关按钮，图形中显示分析结果，如图7-4所示。按下【包络】 开关按钮，图形中显示分析结果，如图7-5所示。在【连接】选项组中【最小间隔】和【最大间隔】微调框中输入分析的范围。在【信息】选项组中设置显示内容，分别是【最大值】、【最小值】、【G1模式下的相切】、【G2模式下的凹面】。在【离散化】选项组中设置显示离散程度，分别是【轻度离散化】、【粗糙离散化】、【中度离散化】、【精细离散化】。在【最大偏差】选项组中显示G0、G1、G2、G3模式下的最大偏差值。
第六章 曲线与曲面
?∑====-∞→∞→t n i i i n n dt dt t dP P P n L c 01 1) (lim )(lim T dt dc dt dp dt dp dt dc dt dp dt dp T dc dp c T dt dp dt dp dt dp if t dc dp T c P dc dp c P t P c P t C r dt dp t r if P t P t t P P c ?=?== =±==?≠→=??=→?=??→???→??=?-?+=?→?对比上两式：对于参数对于一般参数＝单位切矢量，则：为曲线参数，即如选择设弧长为点切线方向的方向为点有切线弦长 ，:1 0:1lim ) ()(C 00)()(0曲线过于平坦 如果切矢量远小于弦长曲线过顶点或回转 倍如果切矢量是弦长的：切矢量：单位切矢量明确概念：??n dt dp dc dp )()()()(0)()(0 c P P t P P t c c t t c c dt t dP dt dc dt dt t dP c t ==?=?=?>=?=?可以用弧长参数表示曲线存在反函数的单调函数是关于参数k dc z d dc y d dc x d k c p dc p d k c p dc dp T dc dT T T T T c T c k T T T T T T T T c T T T c T T c T T T T T c c c 1)()()()()()lim ()lim (lim 1lim ,2/1222222 222''22 '21210002 12 10212121212121=??????++=?==?===???=??=∴=???=???=???=?=?? →?→?→?? →?? ?ρ?????曲率半径：又又：ΘΘ为单位主法线矢量点的法线）与主法线（通过曲率中心的法线平行垂直的平面）法平面（通过该点与在同一平面 点为中心向外辐射），以曲线某点有一束法线（为单位法矢量为法矢量，法矢量的矢量垂直单位切矢量对于空间的参数曲线：为曲率矢量，模为＝＝＝平行的单位矢量记为与垂直 与线的切线方向单位切矢量，方向为曲N R N T R N T N 1 KN N N T :????????????KN K KN dc dT dc dT dc dT dc dT T ρ?? ? ???????=?=?=???=化直平面决定的平面法平面决定的平面密切平面决定的平面通过定点标系，下列关系成立：组成互相垂直的直角坐为单位副法线矢量其中副法线的法线和垂直于设BT NB TN R T B N B N T N T B B N T B N T N T B ,,,,第六章 曲线与曲面 一、 曲线、曲面参数表示的基础知识 1、 参数曲线的定义：切矢量、法矢量、曲率、挠率 §切矢量：坐标变量关于参数的变化率； 弧长：对正则曲线P （t ）参数从0到T 的弧长； §曲率：曲线的弯曲变化率； §法矢量
第二章第二节曲面的参数方程
第二章 曲面论 第二节 曲面的参数方程 一、 曲面的参数方程 设曲面∑是由显式 D y x y x f z ∈=),(),,( 所表示。 设),,(z y x 是曲面∑上的点，记向量),,(z y x r = ，则它们可构成一一对应。 于是曲面∑上的点可以用向量值函数 D y x y x f y x r ∈=),()),,(,,( 来表示， 也可以写为参数形式 ?????===),(, ,y x f z y y x x D y x ∈),(。
一般地，设3),(R v u r r ∈= ，其中参 数?∈),(v u ，这里?是2R 中的一 个区域。 我们称由3),(R v u r r ∈= ， ?∈),(v u ，所构成的3R 中点集∑为一张参数曲面，（即曲面∑，可以表示为参数方程表示的点集。） 记为?∈=∑),(),,(:v u v u r r ，（1） 把（1）用分量表示出来，就是 ?? ???===),(),(),,(v u z z v u y y v u x x ，?∈),(v u （2） 通常，我们称（1）是曲面∑的向量方程，而（2）是曲面∑的参数方程。 显然方程（1）和（2）之间的转换是直截了当的，所以我们可以认为（1）与（2）是一回事。
二、 几个用参数方程表示的常见 曲面 例1 平面的参数方程， 设30000),,(R z y x p ∈= 是一个固定的点， ),,(321a a a a = 与),,(321b b b b = 是自0p 出发的两个不平行的向量。这时，由a 与b 张成的平面可以用向量方程， 20),(,R v u b v a u p r ∈++= 来表示； 写成分量表示为 v b u a x x 110++=， v b u a y y 220++=， v b u a z z 330++=，
第八章 B样条曲线曲面(Ⅱ)
第八章 B样条曲线曲面 （Ⅱ）
第一节 反算B样条插值曲线 的控制顶点 2
3 问题： 设计一条 设计一条k k 次 次B B 样条曲线，插值给定的数据点， 如何确定 如何确定节点矢量、控制顶点的个数和位置 节点矢量、控制顶点的个数和位置？ 解决方案： 一般地，将曲线的首末端点分别与首末数据点对 应起来，为实现这一目的，需要将首末节点都取作 应起来，为实现这一目的，需要将首末节点都取作k ＋ ＋1 1重。另外，将曲线的分段连接点和内数据点（除 首末数据点以外的数据点依次对应，根据上一章节点 矢量的确定方法，曲线分段连接点和定义域内的内部 节点也一一对应起来，所以： 节点也一一对应起来，所以：
分 分 段 段 连 连接 接 点 定 定 义 义 域 域 内 内 节 节 点 内数据点 建立了这种对应关系后，曲线的 段数以及节点矢量的大小就可以 确定了。 确定了。 n,0,1,, i p i n = r L 设有个待插值的数据点 k1 首节点为 ＋重，即： 01 k u u u === L p r 它们与第一个待插值点 对应。 4
5 内部数据点与定义域内的节点一一对应，所以： ,0,1, i k i p u i n + = r L 与节点值 一一对应。 [ ] , k n k u u + 这样，插值曲线的定义域就是 [ ] 1 m 1k B , k m u u + 因为，一般情况下，对于 ＋个控制顶点的 次 样条曲线，它的定义域为： 所以，插值曲线应有n＋k个控制顶点，记作： 011 ,, n k d d d +- r r r L
第二章第一节曲面的概念显式方程和隐式方程表示
第二章曲面的表示与曲面论 第一节曲面的显式方程和 隐式方程 一、由显式方程表示的曲面 设2R D?是有界闭区域，函数 :连续。我们称函数f的图 f→ D R 像 z y R z f x f ∈ = G∈= x : ,( } y ),, ),(), y x (3D {( ) 为一张曲面，它展布在D上，称这 个曲面是由显式方程 , =) z∈ (), , ( y f D y x x 所确定的。 ∑表示一个曲面。 通常用 二、几种常见的曲面 例1 在空间直角坐标系中，中心 a、在xy平面 在坐标原点、半径为 上方的那个半球面（称为上半球面），它的显式方程为
222y x a z --=，D y x ∈),(， 其中 }:),{(222a y x y x D ≤+=，即D 是xy 平面上以原点为中心、半径为a 的圆盘。 显然，下半球面的方程为 222y x a z ---=，D y x ∈),(； 同样可给出左半球面、右半球面的方程式。 例2 点集 }1,0,,:),,{(=++≥z y x z y x z y x 是3R 中的一块等边三角形。这块曲面有显式表达 y x z --=1，D y x ∈),(， 其中}1,0,:),{(≤+≥=y x y x y x D 。 例 3 由方程axy z =，2),(R y x ∈， （常数0>a ），所确定的曲面称为双曲抛物面。 由于这曲面在在xy 平面的上的，第一、第三象限中，在xy 平面的上
方，而在第二、第四象限中是在xy 平面的下方，因此在原点)0,0,0(的近旁，曲面呈鞍的形状，俗称马鞍面。 例4 旋转曲面的方程 1设想在xz 平面上有一条显式曲线)0(),(b x a x f z ≤≤≤=。 如果固定z 轴不动，让xz 平面绕着z 轴旋转 360，那么这一条曲线就扫出一张曲面，称之为旋转曲面∑。 设∑∈),,(z y x ，它在过点),0,0(z 平行于xy 平面的平面上，以),0,0(z 为中心，半径为r 的圆周上（)(r f z =）， 222r y x =+， 于是得这个旋转曲面∑的方程为):(),(222222b y x a D y x f z ≤+≤+=。