第二十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷(小高组a卷)

2017年第二十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组A卷）一、填空题（每小题10分，共80分）

1．（10分）用[x]表示不超过x的最大整数，例如[3.14]＝3，则

[]+[]+[]+[]+[]+[]的值

为．

2．（10分）从4个整数中任意选出3个，求出它们的平均值．然后再求这个平均值和余下1个数的和，这样可以得到4个数：8、12、10和9，则原来给定的4个整数的和为．

3．（10分）在3×3的网格中（每个格子是个1×1的正方形）放两枚相同的棋子，每个格子中最多放一枚棋子，共有种不同的摆放方法．（如果两种放法能够由旋转而重合，则把它们视为同一种摆放方法）．

4．（10分）甲从A地出发去找乙，走了80千米后到达B地，此时，乙已于半小时前离开B地去了C地，甲已离开A地2小时，于是，甲以原来的速度的2倍去C地．又经过了2小时后，甲乙两人同时到达C地，则乙的速度是千米/小时．

5．（10分）某校开设了书法和朗诵两个兴趣小组．已知两个小组都参加的人数是只参加书法小组人数的，是只参加朗诵小组人数的，那么书法小组与朗诵小组的人数比是．

6．（10分）如图，△ABC的面积为100平方厘米，△ABD的面积为72平方厘米．M为CD边的中点，∠MHB＝90°，已知AB＝20厘米，则MH的长度为

厘米．

7．（10分）一列数a1、a2…，a n…，记S（a i）为a i的所有数字之和，如S （22）＝2+2＝4，若a1＝2017，a2＝22，a n＝S（a n﹣1）+S（a n﹣2），那么a2017等于．

8．（10分）如图，六边形的六个顶点分别标志为A，B，C，D，E，F．开始的时候“华罗庚金杯赛”六个汉字分别位于A，B，C，D，E，F顶点处．将六个汉字在顶点处任意摆放，最终结果是每个顶点处仍各有一个汉字，每个字在开始位置的相邻顶点处，则不同的摆放方法共有种．

二、解答题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）

9．（10分）平面上有5条不同的直线，这5条直线共形成n个交点，则n 有多少个不同的数值？

10．（10分）某校给学生提供苹果、香蕉和梨三种水果，用作课间加餐．每名学生至少选择一种，也可以多选．统计结果显示：70%的学生选择苹果，40%的学生选择了香蕉．30%的学生选了梨，那么三种水果都选的学生数占学生总数至多是百分之几？

11．（10分）箱子里面有两种珠子，一种每个19克，另一种每个17克，所有珠子的重量为2017克，求两种珠子的数量和所有可能的值．

12．（10分）使不为最简分数的三位数n之和等于多少．

三、解答题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）

13．（15分）班上共有60位同学，生日记为某月某号，问每个同学两个同样的问题：班上有几个人与你生日的月份相同？班上有几个人与你生日的号数相同（比如生日为1月12日与12月I2日的号数相同的）．结果发现，在所得到的回答中包含了由0到14的所有整数，那么，该班至少有多少个同字生日相同？

14．（15分）将1至9填入图的网格中．要求每个格子填一个整数，不同格子填的数字不同，且每个格子周围的格子（即与该格子有公共边的格子）所填数字之和是该格子中所填数字的整数倍．已知左右格子已经填有数字4和5，问：标有字母x的格子所填的数字最大是多少？

2017年第二十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组A卷）参考答案与试题解析

一、填空题（每小题10分，共80分）

1．（10分）用[x]表示不超过x的最大整数，例如[3.14]＝3，则

[]+[]+[]+[]+[]+[]的值为6048 ．

【分析】可以先将原式化简，将每项化成带分数的形式，然后取整数部分，即可得出和．

【解答】解：根据分析，原式为：

[]+[]+[]+[]+[]+[]

＝[]+[]+[]+[]+[]+[]

＝550+733+916+1100+1283+1466

＝6048．

故答案是6048．

2．（10分）从4个整数中任意选出3个，求出它们的平均值．然后再求这个平均值和余下1个数的和，这样可以得到4个数：8、12、10和9，则原来给定的4个整数的和为20 ．

【分析】根据题意，设原来给定的4个整数分别是a、b、c、d，则+d ＝8（1），+c＝12（2），+b＝10（3），+a＝9（4），据此求出原来给定的4个整数的和是多少即可．

【解答】解：设原来给定的4个整数分别是a、b、c、d，

+d＝8（1），

+c＝12（2），

+b＝10（3），

+a＝9（4），

（1）+（2）+（3）+（4），可得

2（a+b+c+d）＝8+12+10+9，

所以a+b+c+d＝20，

所以原来给定的4个整数的和为20．

故答案为：20．

3．（10分）在3×3的网格中（每个格子是个1×1的正方形）放两枚相同的棋子，每个格子中最多放一枚棋子，共有10 种不同的摆放方法．（如果两种放法能够由旋转而重合，则把它们视为同一种摆放方法）．

【分析】可以分情况讨论，四个顶点的位值一样，正中间的一个方格一个位值，剩下的四个方格位值相同，故可以分次三种情况分别计算不同的摆放方法．

【解答】解：根据分析，份三种情况：

①当正中间即E处放一颗棋子，然后另一颗棋子放在外围任意一个位置，除去对称性因素，有2种不同的摆放方法，即AE、BE；

②当两颗棋子都不在正中间E处时，而其中有一颗在顶点处时，有4种不同摆法，即AB、AF、AH、AD；

③当两颗棋子都在顶点处时，有2种不同摆法，即AC、AI；

④当两颗棋子都在除顶点和正中间之外的4个方格中，有2种不同摆法，即BD、BH．

综上，共有：2+4+2+2＝10种不同摆放方法．

4．（10分）甲从A地出发去找乙，走了80千米后到达B地，此时，乙已于半小时前离开B地去了C地，甲已离开A地2小时，于是，甲以原来的速度的2倍去C地．又经过了2小时后，甲乙两人同时到达C地，则乙的速度是64 千米/小时．

【分析】首先知道甲在2小时的路程是80千米，那么甲现在的速度和后来的速度都是可求的，再根据甲的时间和速度可求从B到C的路程，用路程除以乙的时间即是速度．

【解答】解：甲在2小时走80千米，甲速为：80÷2＝40（千米/时）；甲速度加速变成40×2＝80（千米/时）；

甲再经过2小时路程为：2×80＝160（千米/时）

乙路程共是160千米，时间是2.5小时，乙速为：160÷2.5＝64（千米/时）

故答案为：64

5．（10分）某校开设了书法和朗诵两个兴趣小组．已知两个小组都参加的人数是只参加书法小组人数的，是只参加朗诵小组人数的，那么书法小组与朗诵小组的人数比是3：4 ．

【分析】把两个小组都参加的人数看作单位“1”，则只参加书法小组人数的分率是1÷＝，只参加朗诵小组人数的分率是1÷＝5，则参加书法

小组人数的分率是1+＝，参加朗诵小组人数的分率是1+5＝6，然后根据比的意义解答即可．

【解答】解：把两个小组都参加的人数看作单位“1”，

（1+1÷）：（1+1÷）

＝：6

＝3：4

答：书法小组与朗诵小组的人数比是3：4．

故答案为：3：4．

6．（10分）如图，△ABC的面积为100平方厘米，△ABD的面积为72平方厘米．M为CD边的中点，∠MHB＝90°，已知AB＝20厘米，则MH的长度为

8.6 厘米．

【分析】可以利用面积公式分别求出△ABC、△ABD的高，而已知AB＝20厘米，再利用MH的中位线性质求出MH的长度．

【解答】解：根据分析，过D，C分别作DE⊥AB交AB于E，CF⊥AB交AB 于F，如图：

△ABD的面积＝72＝，∴DE＝7.2厘米，

△ABC的面积＝100＝，∴CF＝10厘米；

又∵MH＝＝×（7.2+10）＝8.6厘米．

故答案是：8.6．

7．（10分）一列数a1、a2…，a n…，记S（a i）为a i的所有数字之和，如S （22）＝2+2＝4，若a1＝2017，a2＝22，a n＝S（a n﹣1）+S（a n﹣2），那么a2017等于10 ．

【分析】首先要分析清楚S（a i）的含义，即a i是一个自然数，S（a i）表示a i的数字和，再根据a n的递推式列出数据并找出规律．

【解答】解：S（a i）表示自然数a i的数字和，又a n＝S（a n﹣1）+S（a n﹣2），在下表中列出n＝1，2，3，4，…时的a n和S（a n），

n a n S（a n）

1 2017 10

2 22 4

3 1

4 5

4 9 9

5 14 5

6 14 5

7 10 1

8 6 6

9 7 7

10 13 4

11 11 2

12 6 6

13 8 8

14 14 5

15 13 4

16 9 9

17 13 4

18 13 4

19 8 8

20 12 3

21 11 2

22 5 5

23 7 7

24 12 3

25 10 1

26 4 4

27 5 5

28 9 9

29 14 5

30 14 5

31 10 1

32 6 6 由上表可以得出：

a4＝a28＝9，S（a4）＝S（a28）＝9；

a5＝a29＝14，S（a5）＝S（a29）＝5；

…

可以得到规律：当i≥4时，a i＝a i+24，S（a i）＝S（a i+24），

2017﹣3＝2014，2014÷24＝83…22，

所以：a2017＝a3+22＝a25＝10．

8．（10分）如图，六边形的六个顶点分别标志为A，B，C，D，E，F．开始的时候“华罗庚金杯赛”六个汉字分别位于A，B，C，D，E，F顶点处．将六个汉字在顶点处任意摆放，最终结果是每个顶点处仍各有一个汉字，每个字在开始位置的相邻顶点处，则不同的摆放方法共有 4 种．

【分析】显然，只有两种情况，分别讨论，相邻两个字互换，以及顺时针移动一个位值，或逆时针移动一个位值，最后可以求得总的不同的摆放方法．

【解答】解：根据分析，分两类情况：

①按顺序移动一个位置，顺时针移动一个位置，有1种不同摆放方法，逆时针移动一个位置，有1种不同摆放方法；

②相邻两个位置互换，则共有：2种不同的摆放方法．

综上，共有：1+1+2＝4种不同摆放方法．

故答案是：4．

二、解答题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）

9．（10分）平面上有5条不同的直线，这5条直线共形成n个交点，则n 有多少个不同的数值？

【分析】按题意，可以分类讨论，最后确定n的取值．

【解答】解：根据分析，n＝0，即5条直线互相平行；

n＝1，即五条直线交于一点；

n＝2，3，不存在；

n＝4，5，6，7，8，9，10的情况分别如下图：

n的取值共有9种不同的数，故答案是：9．

10．（10分）某校给学生提供苹果、香蕉和梨三种水果，用作课间加餐．每

名学生至少选择一种，也可以多选．统计结果显示：70%的学生选择苹果，40%的学生选择了香蕉．30%的学生选了梨，那么三种水果都选的学生数占学生总数至多是百分之几？

【分析】将所有学生分成四种，即三种水果都选的人数a、同时选苹果和香蕉的人数b、同时选梨和苹果的人数c、同时选香蕉和梨的人数d，再根据选每种水果的人数列关系式，2a+b+c+d＝70+40+30﹣100＝40，再利用各个取值范围求出三种水果都选的人数最大值．

【解答】解：根据分析，设学生总数为100人，故70人的学生选择苹果，40人的学生选择了香蕉．30人的学生选了梨，

三种水果都选的学生人数有a人，同时选了苹果和香蕉的人数有b人，同时选了梨和苹果的人数有c人，

同时选了香蕉和梨的人数有d人，则：2a+b+c+d＝70+40+30﹣100＝40?a ＝，又∵b+c+d≥0，∴a≤＝20，

故当b+c+d＝0时，a取最大值20，即占总数的20%

故答案是20%．

11．（10分）箱子里面有两种珠子，一种每个19克，另一种每个17克，所有珠子的重量为2017克，求两种珠子的数量和所有可能的值．

【分析】按题意，可以设每个重量的数量为未知数，19克的珠子有x个，17克的珠子有y个，再列出关系式，根据正整数的范围逐步取值，最后找出符合题意的值．

【解答】解：根据分析，设有x个19克的珠子，y个17克的珠子，则有：19x+17y＝2017，又∵x，y均为正整数

∴1≤x≤＜106，1≤y≤＜118；

19x+17y＝2017?x＝，由余数定理，要使x为正整数，2017﹣17y 必须能被19整除，

即余数为0，而2017被9除余数为3，故17y被19除余数也为3，在所有被19除余数为3既小于2017又能被17整除的数只有：

①136，即17y＝136?y＝8，x＝＝99，x+y＝99+8＝107；

②459，即17y＝459?y＝27，x＝＝82，x+y＝82+27＝109；

③782，即17y＝782?y＝46，x＝＝65，x+y＝65+46＝111；

④1105，即17y＝1105?y＝65，x＝＝48，x+y＝48+65＝113；

⑤1428，即17y＝1428?y＝84，x＝＝31，x+y＝31+84＝115；

⑥1751，即17y＝1751?y＝103，x＝＝14，x+y＝14+103＝117．综上，两种珠子的数量和即x+y所有可能的值是：107、109、111、113、115、117．

故答案是：107、109、111、113、115、117．

12．（10分）使不为最简分数的三位数n之和等于多少．

【分析】不为最简，表明（5n+1，3n+2）＝a≠1，根据辗转相除原理有1≠a|（5n+1）×3﹣（3n+2）×5即＝1≠a|7，则a只能等于7，我们可以用5n+1尝试来锁定答案，一次尝试可知5n+1＝1或6或11或16或21，因为21＝3×7，所以5n+1＝21时7|5n+1成立，此时n为最小值，且为4，其它值即可顺次找出，只需要将4递加7即可，题中让我们求的是符合条件的三位数，那么最小为102，最大为998，此后利用等差数列求和即可．

【解答】解：不为最简，表明（5n+1，3n+2）＝a≠1，

根据辗转相除原理有1≠a|（5n+1）×3﹣（3n+2）×5即＝1≠a|7，则a

只能等于7，

一次尝试可知5n+1＝1或6或11或16或21，因为21＝3×7，所以5n+1＝21时7|5n+1成立，此时n为最小值，且为4，

将4递加7即可，

符合条件的三位数，那么最小为102，最大为998，

102+109+116+…+998

＝（102+998）×129÷2

＝70950

答：使不为最简分数的三位数n之和等于70950．

三、解答题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）

【分析】同月份和同号数的回答取遍0到14，即同月份和同号数的人数取遍1到15，进而分析求解．

【解答】解：回答中包含了由0到14的所有整数，也就是说每种回答包含的学生数量是1到15．

由于1+2+3+…+15＝120＝2×60，

因此不论是回答同月，还是回答同号，同月份和同号数的人数的数字不会重复（比如说，某一月份生日的人有3个，就不会出现生日号数为某一号的人数有3个），

因此统计同月份或同号数的人数时，1～15这15个数字每个数字都只出现一次．

要使同月同日的人尽量少，则可以使月份情况或者号数情况尽量分散，

例如可以将60拆分成：60＝1+2+3+4+5+7+8+9+10+11这一种分散情况，不妨设这是同月份的人数，

和另一种情况：60＝6+12+13+14+15，这是同号数的人数，

分析最大数字15，将15个同号数的人，分配到上面10个月份中，可知，同月同日最少会有两人．

所以：该班生日相同的人数至少有2人．

【分析】按题意，1至9的数字中，填入4和5之外，只剩下7个数，可以先求出7个数的和，即为36，中间的x只可能是3，6，9，故一一检验，即可得知x的值．

【解答】解：根据分析，1+2+3+6+7+8+9＝36，填入的x是其它五个数的因数，

故x只能是3、6、9，若x＝9，则，不能每个数的周围的数字之和是该格子中所填数字的整数倍；

x＝6时，如图所示，易知x＝6符合题意．

故答案是：6．

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日期：2019/5/7 11:03:00；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@https://www.360docs.net/doc/7610463699.html,；学号：20913800