高中数学-频率与概率-教案上课讲义

高中数学-频率与概率

-教案

高中数学频率与概率教案

教学分析

概率是描述随机事件发生可能性大小的量度，它已渗透到人们的日常生活中，例如：彩票的中奖率，产品的合格率，天气预报、台风预报等都离不开概率．概率的准确含义是什么呢？我们用什么样的方法获取随机事件的概率，从而激发学生学习概率的兴趣？本节课通过学生亲自动手试验，让学生体会随机事件发生的随机性和随机性中的规律性，通过试验，观察随机事件发生的频率，可以发现随着试验次数的增加，频率稳定在某个常数附近，然后再给出概率的定义．在这个过程中，体现了试验、观察、探究、归纳和总结的思想方法，是新课标理念的具体实施．

三维目标

1．通过获取数据，归纳总结试验结果，发现规律，正确理解事件A出现的频率的意义；真正做到在探索中学习，在探索中提高．

2．通过数学活动，即自己动手、动脑和亲身试验来理解概率的概念，明确事件A发生的频率f n(A)与事件A发生的概率P(A)的区别与联系，体会数学知识与现实世界的联系．

重点难点

教学重点：1.理解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性．

2．正确理解概率的意义．

教学难点：1.对概率含义的正确理解．

2．理解频率与概率的关系．

课时安排

1课时

教学过程

导入新课

思路 1.日常生活中，有些问题是很难给予准确无误的回答的．例如，掷一次硬币，正面是否朝上？7：20在某公共汽车站候车的人有多少？你购买本期福利彩票中奖的可能性有多大？等等．尽管没有确切的答案，但其结果却呈现某种规律性，这就是下面我们将要学习的随机事件的概率．教师板书课题：随机事件的概率．

思路2.1名数学家＝10个师

在第二次世界大战中，美国曾经宣布：一名优秀数学家的作用超过10个师的兵力．这句话有一个非同寻常的来历．

1943年以前，在大西洋上英美运输船队常常受到德国潜艇的袭击，当时，英美两国限于实力，无力增派更多的护航舰，一时间，德军的“潜艇战”搞得盟军焦头烂额．

为此，有位美国海军将领专门去请教了几位数学家，数学家们运用概率论分析后发现，舰队与敌潜艇相遇是一个随机事件，从数学角度来看这一问题，它具有一定的规律性．一定数量的船(为100艘)编队规模越小，编次就越多(为每次20艘，就要有5个编次)，编次越多，与敌人相遇的概率就越大．美国海军接受了数学家的建议，命令舰队在指定海域集合，再集体通过危险海域，然后各自驶向预定港口．结果奇迹出现了：盟军舰队遭袭被击沉的概率由原来的25%降为1%，大大减少了损失，保证了物资的及时供应．

在自然界和实际生活中，我们会遇到各种各样的现象．如果从结果能否预知的角度来看，可以分为两大类：一类现象的结果总是确定的，即在一定的条件下，它所出现的结果是可以预知的，这类现象称为确定性现象；另一类现象的结果是无法预知的，即在一定的条件下，出现哪种结果是无法预先确定的，这类现象称为随机现象．随机现象是我们研究概率的基础，为此我们学习随机事件的概率．

推进新课

新知探究

提出问题

1．什么是必然事件？请举例说明．

2．什么是不可能事件？请举例说明．

3．什么是确定事件？请举例说明．

4．什么是随机事件？请举例说明．

5．什么是事件A的频数与频率？什么是事件A的概率？

6．频率与概率的区别与联系有哪些？

活动：学生积极思考，教师引导学生考虑问题的思路，结合实际的情形分析研究．(1)导体通电时发热；抛一块石头，石头会落回地面；“如果a＞b，那么a－b＞0”；这三个事件是一定要发生的．但注意到有一定的条件．(2)在常温下，锡熔化；在标准大气压下且温度低于0 ℃时，冰融化；“没有水，种子能发芽”．这三个事件是一定不发生的．但注意到有一定的条件．(3)抛一块石头，石头会落回地面；“如果a＞b，那么a－b＞0”；在标准大气压下且温度低于0 ℃时，冰融化；“没有水，种子能发芽”．这四个事件在一定的条件下是一定要发生的或一定不发生的，是确定的，不是模棱两可的．(4)掷一枚硬币，出现正面；某人射击一次，中靶；从分别标有号数1,2,3,4,5的5张标签中任取一张，得到4号签；“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”．这四个事件在一定的条件下或者发生或者不发生，是模棱两可的．(5)做抛掷一枚硬币的试验，观察它落地时哪一个面朝上．通过学生亲自动手试验，突破学生理解的难点：“随机事件发生的随机性和随机性中的规律性”．通过试验，观察随机事件发生的频率，可以发现随着试验次数的增加，频率稳定在某个常数附近，然后再给出概率的定义．在这个过程中，重视了掌握知识的过程，体现了试验、观察、探究、归纳和总结的思想方法，也体现了新课标的理念．具体如下：

第一步每个人各取一枚硬币，做10次掷硬币试验，记录正面向上的次数

试验结果与其他同学比较，你的结果和他们一致吗？为什么？

与其他小组试验结果比较，正面朝上的比例一致吗？为什么？

通过学生的试验，比较他们的试验结果，让他们发现每个人试验的结果、

组与组之间试验的结果不完全相同，从而说明试验结果的随机性，但组与组之间的差别会比学生与学生之间的差别小，小组的结果一般会比学生的结果更接近0.5.

第三步用横轴为试验结果，仅取两个值：1(正面)和0(反面)，纵轴为试验结果出现的频率，画出你个人和所在小组的条形图，并进行比较，发现什么？

第四步把全班试验结果收集起来，也用条形图表示．

思考

这个条形图有什么特点？

引导学生在每组试验结果的基础上统计全班的试验结果，一般情况下，班级的结果应比多数小组的结果更接近0.5，从而让学生体会随着试验次数的增加，频率会稳定在0.5附近．并把试验结果用条形图表示，这样既直观易懂，又可以与前面《统计》的内容相呼应，达到温故而知新的目的．第五步请同学们找出掷硬币时“正面朝上”这个事件发生的规律性．

思考

如果同学们重复一次上面的试验，全班汇总结果与这一次汇总结果一致吗？为什么？

引导学生寻找掷硬币出现正面朝上的规律，并让学生叙述出现正面朝上的规律性：随着试验次数的增加，正面朝上的频率稳定在0.5附近．由特殊事件转到一般事件，得出下面一般化的结论：随机事件A在每次试验中是否发生是不能预知的，但是在大量重复试验后，随着次数的增加，事件A发生的频率会逐渐稳定在区间[0,1]中的某个常数上，从而得出频率、概率的定义，以及它们的关系．一般情况下重复一次上面的试验，全班汇总结果与这一次汇总结果是不一致的，这更说明随机事件的随机性．

进一步总结事件的频数与频率，概括出概率的概念．(6)通过(5)的概括和总结写出频率与概率的区别与联系．

讨论结果：1.必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫相对于条件S的必然事件(certain event)，简称必然事件．

2．不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S的不可能事件(impossible event)，简称不可能事件．

3．确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件．4．随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S 的随机事件(random event)，简称随机事件；确定事件和随机事件统称为事件，用A，B，C，…表示．

5．频数与频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数n A为事件A出现的频数(frequency)；称

事件A出现的比例f n(A)＝n

A

n

为事件A出现的频率(relative frequency)；对于

给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率f n(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率(probability)．6．频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数n A

与试验总次数n的比值n

A

n

，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且

随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小．我们把这个常数叫做随机

事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小．频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率．

频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率．在实际问题中，通常事件的概率未知，常用频率作为它的估计值．

频率本身是随机的，在试验前不能确定．做同样次数的重复试验得到事件的频率会不同．

概率是一个确定的数，是客观存在的，与每次试验无关．比如，一个硬币是质地均匀的，则掷硬币出现正面朝上的概率就是0.5，与做多少次试验无关．

应用示例

思路1

例 1 判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件．

(1)“在标准大气压下，水在100 ℃沸腾”；

(2)“技术发达后，不需要任何能量的‘永动机’将会出现”；

(3)“一个射击运动员每次射击都击中”；

(4)“太阳从东方升起”；

(5)“北京2月3日下雪”；

(6)“同性电荷相互排斥”；

(7)“某路口单位时间内发生交通事故的次数”；

(8)“购买一张彩票中奖”；

(9)“在一个三角形中，大边对的角小，小边对的角大”；

(10)“冰水混合物的温度是1 ℃”．

分析：学生针对有关概念，思考讨论，教师及时指点，为后续学习打下基础．根据自然界的规律和日常生活的经验积累，根据定义，可判断事件(1)(4)(6)是必然事件；事件(2)(9)(10)是不可能事件；事件(3)(5)(7)(8)是随机事件．

答案：事件(1)(4)(6)是必然事件；事件(2)(9)(10)是不可能事件；事件(3)(5)(7)(8)是随机事件．

点评：紧扣各类事件的定义，结合实际来判断．

(2)这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？

分析：学生回顾所学概念，教师引导学生思考问题的思路，指出事件A出现的频数n A与试验次数n的比值即为事件A的频率，当事件A发生的频率f n(A)稳定在某个常数上时，这个常数即为事件A的概率．

解：(1)表中依次填入的数据为：0.80,0.95,0.88,0.92,0.89,0.91.

(2)由于频率稳定在常数0.89，所以这个射手射击一次，击中靶心的概率约是0.89.

点评：概率实际上是频率的科学抽象，求某事件的概率可以通过求该事件的频率而得之.

变式训练

(1)填写表中男婴出生的频率(结果保留到小数点后第3位)．

(2)这一地区男婴出生的概率约是多少？

答案：(1)0.520 0.517 0.517 0.517

(2)由表中的已知数据及公式f n(A)＝n

A

n

即可求出相应的频率，而各个频率

均稳定在常数0.518上，所以这一地区男婴出生的概率约是0.518.

思路2

例1 做掷一枚骰子的试验，观察试验结果．

(1)试验可能出现的结果有几种？分别把它们写出．

(2)做60次试验，每种结果出现的频数、频率各是多少？

分析：学生先思考或讨论，教师提示学生注意结果的可能情况，因为每一枚骰子有六个面，每个面上的点数分别是1,2,3,4,5,6，所以应出现六种结果，试验结果可列表求之．

解：(1)试验可能出现的结果有六种，分别是出现1点、2点、3点、4点、5点、6点．

(2)根据试验结果列表后求出频数、频率，表略．

例2 某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次中10环，有3次中9环，有4次中8环，有1次未中靶，试计算此人中靶的概率，假设此人射击1次，试问中靶的概率约为多少？中10环的概率约为多少？

分析：学生先思考或讨论，教师提示学生注意结果的可能情况，中靶的频

数为9，试验次数为10，所以中靶的频率为

9

10

＝0.9.所以中靶的概率约为0.9.

解：此人中靶的概率约为0.9；此人射击1次，中靶的概率为0.9；中10环的概率约为0.2.

知能训练

1．指出下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件．

(1)某地1月1日刮西北风；

(2)当x是实数时，x2≥0；

(3)手电筒的电池没电，灯泡发亮；

(4)一个电影院某天的上座率超过50%.

答案：(1)随机事件；(2)必然事件；(3)不可能事件；(4)随机事件．

2．大量重复做掷两枚硬币的试验，汇总试验结果，你会发现什么规律？

解：随机事件在每次试验中是否发生是不能预知的，但是在大量重复试验后，随着次数的增加，事件发生的频率会逐渐稳定在区间[0,1]中的某个常数

上，从而获取随机事件的概率．

点评：让学生再一次体会了试验、观察、探究、归纳和总结的思想方法．拓展提升

1．将一枚硬币向上抛掷10次，其中正面向上恰有5次是( )．

A．必然事件B．随机事件C．不可能事件D．无法确定

答案：B

提示：正面向上恰有5次的事件可能发生，也可能不发生，即该事件为随机事件．

2．下列说法正确的是( )．

A．任一事件的概率总在(0,1)内B．不可能事件的概率不一定为0

C．必然事件的概率一定为1 D．以上均不对

答案：C

提示：任一事件的概率总在[0,1]内，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1.

3．下表是某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果表，请完成表格并回答

(2)该油菜籽发芽的概率约是多少？

解：(1)填入表中的数据依次为1,0.8,0.9,0.857,0.892,0.910,0.913,0.893,0.903，0.905.(2)该油菜籽发芽的概率约为0.897.

(2)这位运动员投篮一次，进球的概率约为多少？

解：(1)填入表中的数据依次为0.75,0.8,0.8,0.83,0.8,0.8,0.76.(2)由于上述频率接近0.80，因此，进球的概率约为0.80.

课堂小结

本节研究的是那些在相同条件下，可以进行大量重复试验的随机事件，它们都具有频率稳定性，即随机事件A在每次试验中是否发生是不能预知的，但是在大量重复试验后，随着试验次数的增加，事件A发生的频率逐渐稳定在区

间[0,1]内的某个常数上(即事件A的概率)，这个常数越接近于1，事件A发生的概率就越大，也就是事件A发生的可能性就越大．反之，概率越接近于0，事件A发生的可能性就越小．因此说，概率就是用来度量某事件发生的可能性大小的量．

作业

完成课本本节练习．