高数(下册)试题库

高等数学下册试题库

一、填空题

1.

平面

01=+++kz y x 与直线

1

12z y x =-=平行的直线方程是___________ 2. 过点

)0,1,4(-M 且与向量)1,2,1(=a 平行的直线方程是________________

3. 设

k i b k j i a λ+=-+=2,4，且b a ⊥，则=λ__________

4. 设

1)(,2||,3||-===a b b a ，则=∧

),(b a ____________

5. 设

平

面

=+++D z By Ax 通过原点，且与平面

526=+-z x 平行，则

__________________,_______,===D B A

6.

设

直

线

)1(2

2

1-=+=-z y m x λ与平面

25363=+++-z y x 垂直，则

___________________,==λm

7.

直线???==0

1

y x ，绕z 轴旋转一周所形成的旋转曲面的方程是_______________

8.

过点

)1,0,2(-M 且平行于向量)1,1,2(-=a 及)4,0,3(b 的平面方程是__________

9. 曲面

222y x z +=与平面5=z 的交线在xoy 面上的投影方程为__________

10. 幂级数

1

2n

n n n x ∞

=∑的收敛半径是____________ 11. 过直线

1 3222x z y --=+=-且平行于直线 1 1 3

023

x y z +-+==

的平面方程是_________________

12. 设

),2ln(),(x

y

x y x f +=则__________)0,1('=y f

13.

设),arctan(xy z =则

____________,__________=??=??y

z x z 14. 设

,),(22y x y x xy f +=+则=),('y x f x ____________________ 15. 设

,y

x

z =

则=dz _____________ 16. 设

,),(32y x y x f =则=-)2,1(|dz ______________ 17. 曲线

t

t z t y t x cos sin ,sin ,cos +===，在对应的

0=t 处的切线与平面0

=-+z By x 平行，则

=B __________

18. 曲面22y x z +=在点)2,1,1(处的法线与平面01=+++z By Ax 垂直，则==B A ________,______________

19. 设}2,0,1{-=a

，}1,1,3{-=b ，则b a ?=________， b a ?=____________

20. 求通过点)4,1,2(0-M 和

z 轴的平面方程为________________

21. 求过点)0,1,0(0M 且垂直于平面023=+-y x

的直线方程为_______________

22.

向量d 垂直于向量]1,3,2[-=a 和]3,2,1[-=b ，且与]1,1,2[-=c

的数量积为6-，则向量d =___________________

23.

向量b a 57-分别与b a 27-垂直于向量b a 3+与b a 4-，则向量a 与b

的夹角为_______________

24. 球面

9222=++z y x 与平面1=+z x 的交线在xOy 面上投影的方程为______________

25. 点)1,`

1,2(0-M 到直线l

：?

??=+-+=-+-0320

12z y x z y x 的距离d 是_________________

26. 一直线

l 过点)0,2,1(0M 且平行于平面π

：

042=-+-z y x ，又与直线l ：

1

2

2112-=

-=-x y x 相交，则直线l 的方程是__________________

27.

设____________b 3a 2则,3πb a 2,b 5,a =-=???

? ???==∧

28.

设知量b ,a 满足{}1,11,b a 3,

b a -=?=?

，则____________b ,a =???

? ?

?∧

29. 已知两直线方程13z 02y 11x :

L 1

--=-=-，1

z

11y 22x L :2=-=+，则过1L 且平行2L 的平面方程是__________________

30. 若

2=b a ，π

()2

=

a,b ，则=?b a 2 ，=?b a ____________ 31.

=??=x

z

,x z y 则

______________.

y z ??=_________________

32. 设 ()()()____________2,1z ,

x y x,sin x 11y z

x 32='++-=则

33. 设 ()1ylnx x lny y x ,u

-+= 则 ______________________du =

34. 由方程2

z y x xyz 222=+++

确定()y x ,z z

=在点()1,0,1-全微分=dz ______

35.

()

2

22y x f y z -+= ，其中()u f

可微，则 ___________y

z x

z y =??+??

36.

曲线?

??=+=1,

222z y x z 在xOy 平面上的投影曲线方程为 _________________

37. 过原点且垂直于平面022=+-z y

的直线为__________________

38. 过点)2,1,3(--和)5,0,3(且平行于

x 轴的平面方程为 _________________

39. 与平面

062=-+-z y x 垂直的单位向量为______________

40.

)y

x (

x z 2

?=,(u)?可微，则 ____________y z y x z 2=??+?? 41. 已知

2

2ln y x z +=，则在点)1,2(处的全微分_________________=dz

42. 曲面

32=+-xy e z z 在点)0,2,1(处的切平面方程为___________________

43. 设

()y x z z .= 由方程02=+--z xy e z e ，求

x

z

??=________________ 44. 设

()()xy x g y x f z ,2+-=，其中()t f 二阶可导，()

v u g ,具有二阶连续偏导数 有y

x z

2???=___________________

45.

已知方程y z ln z x = 定义了()y x z z .=，求22x

z

??=_____________ 46. 设

()z y x f u ..=，()0..2

=Φz e x y

，x y sin =，其中

f ，Φ都具有一阶连续偏导数，且0z

≠???

，求

dx

dz

=______________________ 47. 交换积分次序

=?

?-221

),(y y

dx y x f dy _______________________________

48. 交换积分次序

dx y x f dy dx y x f dy y y

??

??-+2

1

20

100

),(),(=___________________

49.

_________==??dxdy xe I D

xy 其中}1

0,10),({≤≤≤≤=y x y x D 50.

=I ________)23(=+??dxdy y x D

，其中D 是由两坐标轴及直线2=+y x 所围

51.

=I ________11

2

2=++??

dxdy y x D

，其中D 是由42

2≤+y x 所确定的圆域 52.

=I ___________222=--??

dxdy y x a D

，其中D ：222a y x ≤+

53.

=I ________)6(=+??dxdy y x D

，其中D 是由1,5,===x x y x y 所围成的区域

54.

??

-2

2

02

x y dy e dx ＝ _____________________

55.

___________)(22

1

2

21

=+?

?-

x x dy y x dx

56. 设L 为

92

2

=+y x ，则→

→

→-+-=j x x i y xy F )4()22(2

按L 的逆时针方向运动一周所作的功为.___________

57. 曲线()??

?+==1,2,7y

3x z 2x

y 2

2在点处切线方程为______________________

58.

曲面22

y 2

x z +=在（2，1，3）处的法线方程为_____________________ 59.

∑∞

=1

1

n p

n

，当p 满足条件 时收敛

60. 级数

()

∑

∞

=---1

2

2

1n n

n n 的敛散性是__________

61.

n

n n

x

a

∑∞

=1

在x=-3时收敛，则

n n n

x a

∑∞

=1

在3

62. 若

()

∑∞=1

ln n n

a 收敛，则a 的取值围是_________

63. 级数

)2

1

)1(1(

1

n n n n -+∑∞

=的和为

64.

求出级数的和()()∑∞

=+-112121

n n n =___________

65. 级数∑

∞

=0

2)3(ln n n n

的和为 _____

66. 已知级数

∑∞

=1

n n u

的前n 项和1

+=

n n

s n

，则该级数为____________

67.

幂级数n

n n x n ∑∞

=1

2的收敛区间为

68.

∑∞

=--11

21

2n n n x 的收敛区间为 ，和函数)(x s 为 69.

幂级数∑∞

=≤<0)10(n p

n

p n

x 的收敛区间为 70. 级数

∑∞

=+011n n a

当a 满足条件 时收敛

71. 级数

()

21

24

n

n

n x n ∞

=-∑

的收敛域为 ______

72. 设幂级数

n

n

n a x

∞

=∑的收敛半径为3，则幂级数

1

1

(1)

n n

n na x ∞

+=-∑的收敛区间为 _____

73.

2

31

)(2++=

x x x f 展开成x+4的幂级数为 ，收敛域为

74. 设函数

)21ln()(2x x x f --=关于x 的幂级数展开式为 __________，该幂级数的收敛区间为 ________

75.

已知 1ln ln ln =++x z z y y x ，则=????????z

y

y x x z ______

76. 设

xy

y x z )1(22++= y

,那么

=??x

z

_____________，=??y z _____________ 77. 设

D 是由2=xy 及3=+y x 所围成的闭区域，则=??D

dxdy _______________

78. 设

D 是由1||=+y x 及1||=-y x 所围成的闭区域，则=??D

dxdy _______________

79.

=+?

C

ds y x )(2

2________________,其中C 为圆周)20(sin ,cos π≤≤==t t a y t a x 80.

=-?L

dx y x )(2

2

________________,其中L 是抛物线2

x

y =上从点

()0,0到点()4,2的一段弧。

二、选择题

1.

已知a 与

b 都是非零向量，且满足b a b a +=-，则必有（ ）

(A)0=-b a ； (B)0=+b a ； (C)0=?b a (D)0=?b a

2.

当a 与b 满足（ ）时，有b a b a +=+；

(A)⊥a b ； (B)λ=a b (λ为常数)； (C)a ∥b ； (D)?=a b a b

．

3.

下列平面方程中，方程( )过

y 轴；

(A)

1=++z y x ； (B) 0=++z y x ； (C) 0=+z x ； (D) 1=+z x ．

4.

在空间直角坐标系中，方程2221y x z

--=所表示的曲面是( )；

(A) 椭球面； (B) 椭圆抛物面； (C) 椭圆柱面； (D) 单叶双曲面

5.

直线1

1

121-+=

=-z y x 与平面1=+-z y x 的位置关系是( )． (A) 垂直； (B) 平行； (C) 夹角为π4； (D) 夹角为π

4

-．

6. 若直线(2a +5)x +(a -2)y +4=0与直线(2-a )x +(a +3) y -1=0互相垂直，则（ ）： (A). a =2 (B). a =-2 (C). a =2或a =-2 (D). a =±2或a =0

7.

空间曲线???=-+=5

,222z y x z 在xOy 面上的投影方程为( )

(A)72

2

=+y x ； (B)??

?==+57

22z y x ； (C) ??

?==+0722z y x ；(D)???=-+=0

222z y x z

8. 设

()21cos ,01,02

x

x x f x x -?≠??=??=??，则关于()f x 在0点的6阶导数()

()60f 是（ ）

(A)．不存在 (B)．16!-

(C)．156- (D)．1

56

9. 设

),(y x z z =由方程0),(=--bz y az x F 所确定，其中),(v u F 可微，b a ,为常数，则必有（ ）

(A) 1=??+??y z b x z a

(B) 1=??+??y z a x z b (C) 1=??-??y z b x z a

(D) 1=??-??y

z a x z b 10. 设函数

()()()

()()

??

?

??

=≠+=0,0,00,0,1sin ,2

2y x y x y x xy y x f ，则函

()y x f ,在()0,0处（ ）(A)．不连续 (B)．连续但不可微

(C)．可微 (D)．偏导数不存在 11. 设函数

()y x f ,在点()00,y x 处偏导数存在，则()y x f ,在点()00,y x 处 ( )

(A).有极限 (B).连续 (C).可微 (D).以上都不成立

12. 设

()dt e x y

x t ?

-=22

0?，则

=??x

?

( )

(A).e -x 4y 2

(B).e -x 4y 2

2xy (C).e -x 4y 2 (-2t) (D).e -x 4y

2

(-2x 2

y)

13. 已知()y x f ,在()b a ,处偏导数存在，则 ()()()=--+→h

b h a f b h a f h ,,lim 0

(A).0 (B).

()b a f x ,2' (C).()b a f x ,' (D).()b a f x ,2'

14. 设

?????=+≠++=0,

00,),(22222

2y x y x y

x xy

y x f ，则在)0,0(点关于),(y x f 叙述正确的是（ ） (A) 连续但偏导也存在 (B) 不连续但偏导存在 (C) 连续但偏导不存在 (D) 不连续偏导也不存在

15.

函数()()

()0,00

y x 0

y x 0x y y 4x y x,f 22222

2

4

42在=+≠+??

???+=极限( )

(A).0 (B).不存在 (C).无法确定 (D).以上都不成立

16. 设

??? ??

+=4arctan πxy z ，则(

)=??x z

(A)

)

4

(1π

+

+xy xy

(B)

2

)4

(11π

+

++xy x

(C)

2

2)4

(1)

4

(sec π

π

+

++

xy xy xy (D)

2

)4

(1π

+

+xy y

17. 关于x 的方程

2

1x k x -=+有两个相异实根的充要条件是( )

(A).-

2

(C).1

18. 函数

()()()

()()

??

?

??

=≠+=0,0,00,0,1sin ,2

2y x y x y x xy y x f ，则函

()y x f ,在()0,0处（ ）

(A).不连续 (B)．连续但不可微 (C).可微 (D).偏导数不存在

19. 设

??

?

??x y x f ,= 22

sin y x xy x + ，则 ?f(x,y)

?x

= ( )

(A).22sin y x xy ++22cos y x xy x +(

)

(

)

2

2

22

2y x x y y +-? (B)．

2

1sin

y y

x +

(C).2

1sin

y y + (D).

2

1cos

y y x +

20. 函数 2

2y x z

+=在点

()0,0处 ( )

(A).不连续 (B)．连续且偏导数存在 (C).取极小值 (D).无极值

21.

设 ????

?

?+=y x xy z ln ,则 y x z ???2 = ( )

(A).0 (B)．1 (C).

x

1

(D).12+y y

22. 设

()

2

2z x yf z x -=+则

z ?z ?x + y ?z

?y

= ( ) (A).

x (B)．y

(C).

z (D).()

2

2z x yf -

23. 若函数

()y x f ,在点()00,y x 处取极大值，则 ( )

(A).

()0,00='y x f x ,()0,00='y x f y

(B)．若

()00,y x 是D 唯一极值点，则必为最大值点

(C).

()[]

()()()0,,0,,,0000002

<''<''?''-''y x f y x f y x f y x f xx yy xx

xy

且 D 、以上结论都不正确 24. 判断极限()=+→→y

x x

y x 0

0lim

(A).0 (B)．1 (C).不存在 (D).无法确定

25.

判断极限()=+→→2220

0lim

y x y

x y x

(A).0 (B)．1 (C).不存在 (D).无法确定 26. 设

()y x f ,可微，()43,x x x f =，则()(

)='3,1x f

(A).1 (B)．-1 (C).2 (D).-2 27. 设

()x e yz z y x f 2,,=，其中()y x g z ,=是由方程0=+++xyz z y x 确定的隐函数，则

()(

)=-'1,1,0x f

(A).0 (B)．-1 (C).1 (D).-2 28. 设

()z y x f ,,是k 次齐次函数，即()()z y x f t tz ty tx f k ,,,,=，其中k 为某常数，则下列结论正确的是（ ）

(A)

()z y x f k z f z y f y x f x

t ,,=??+??+?? (B)．()z y x f t z f z y f y x f x k ,,=??+??+?? (C).

()z y x kf z f z y f y x f x

,,=??+??+?? (D).()z y x f z

f

z y f y x f x ,,=??+??+?? 29. 已知

()

σd x y I D

??+=22sin cos ，其中D 是正方形域：10,10≤≤≤≤y x ，则( )

(A).

21≤≤I B ．21≤≤I (C).20≤≤I (D).20≤≤I

30. 设

()()dudv v u yf xy y x f D

??+=,4,2，其中D 是由,0,==x x y 以及1y =围成在，则()()=''y x f xy

,

(A).x 4 (B)．y 4 (C).x 8 (D).y 8

31. 设(){}

,|,222≥≤+=y a y x y x D ，(){}

,0,|,2221

≥≥≤+=x y a y x y x D ，则下列命题不对的是：（ ）

(A).

????=1

222D D

yd x yd x σσ (B)．

????=1

2

22D D

d xy yd x σσ

(C).????=1

222D D

d xy d xy σσ (D).

02=??D

d xy σ 32. 设

()y x f ,是连续函数，当0→t 时，

()()

2

2

22,t o dxdy y x f t y x =??

≤+，则

()()=0,0f

(A).2 (B)．1 (C).0 (D).

2

1 33. 累次积分

()rdr r r f d ?

?

θπ

θθθcos 0

20

sin ,cos 可写成（ ）

(A).

()dx y x f dy y y ?

?-20

1

, (B)．()dx y x f dy y ?

?-210

1

0,

(C).

()dy y x f dx ??1

10

, (D).()dy y x f dx x x ?

?-20

1

,

34. 函数

()()224,y x y x y x f ---=的极值为（ ）

(A).极大值为8 (B)．极小值为0 (C).极小值为8 (D).极大值为0 35. 函数

xy z =在附加条件1=+y x 下的极大值为（ ）

(A).

21 (B)．2

1- (C).41 D ．1 36.

()=??+σd e D

y x ，其中D 由1≤+y x 所确定的闭区域。

(A).1

-+e e (B)．1

--e

e (C).2

--e

e (D).0

37.

????+=+=D

D

dxdy y x I dxdy y x I 2231)()(与，其中2)1()2(22≤-+-y x D ：

的大小关系为:（ ）。 (A). 21I I = (B). 21I I > (C). 21I I < (D). 无法判断

38. 设

),(y x f 连续,且??+=D

dudv v u f xy y x f ),(),(,其中D 由1,,02===x x y y 所围成,则)(

),(=y x f

(A).

xy (B). xy 2 (C). 1+xy (D). 8

1+

xy 39.

σ

d y x y x ??

≤++1

5

2222的值是( )

(A)

3

5π (B)

6

5π (C)

710π (D) 11

10π

40. 设

D 是

1≤+y x 所围成区域, 1D 是由直线1=+y x 和x 轴, y 轴所围成的区域，则 ()(

)=++??dxdy y x D

1

(A) ()dxdy y x D ??++1

14

(B) 0 (C)()dxdy y x D ??++1

12 (D) 2

41. 半径为a 均匀球壳)1(=ρ对于球心的转动惯量为（ ）

(A) 0 (B)42

a π (C) 44a π (D) 46a π

42.

设椭圆L ：

13

42

2=+y x 的周长为l ，则?=+L ds y x 2)23(（ ） (A) l

(B) l 3 (C) l 4 (D) l 12 43. 下列级数中收敛的是（ ）

（A ）∑∞

=+1

884n n

n

n

（B ）∑∞

=-1848n n n

n （C ）∑

∞

=+1

842n n n

n (D)∑

∞

=?1

842n n n

n

44. 下列级数中不收敛的是（ ）

（A ）)11(ln 1

n n +∑∞

= （B ）

∑

∞

=131n n

（C ）

∑∞

=+1)

2(1n n n （D ）∑∞

=-+14)1(3n n n n

45. 下列级数中收敛的是（ ）

（A ）∑∞

=11

n n n

n （B ）∑∞

=++1)2(1

n n n n （C ）∑∞

=?123n n n n （D ）

∑∞

=+-1)

3)(1(4

n n n

46.

∑∞

=1

n n u

为正项级数，下列命题中错误的是（ ）

(A)如果1lim

1

<=+∞→ρn n n u u ，则∑∞

=1n n u 收敛。 (B) 1lim

1

>=+∞→ρn

n n u u ，则∑∞

=1n n u 发散

(C) 如果

11

<+n n u u ，则∑∞=1

n n u 收敛。 (D)如果

11

>+n n u u ，则∑∞=1

n n u 发散

47. 下列级数中条件收敛的是（ ）

（A ）

n n n 1

)

1(11

∑∞

=+- （B ）21

1

)

1(n n n

∑∞

=- (C ）1)1(1+-∑∞

=n n n n

（D ）)1(1)1(1

+-∑∞

=n n n n

48. 下列级数中绝对收敛的是（ ）

（A ）n n n

1

)1(1

∑∞

=- （B ）∑

∞

=+-21ln )1(n n n （C ）

∑

∞

=+-1

1

)1(n n n n （D ）∑∞

=+-21

ln )1(n n n

n

49. 当

)(1∑∞

=+n n n

b a

收敛时，∑∞

=1

n n

a 与

∑∞

=1

n n b

（ ）

（A ）必同时收敛 （B ）必同时发散 （C ）可能不同时收敛 (D)不可能同时收敛

50. 级数

∑∞

=1

2n n

a

收敛是级数

∑∞

=1

4n n

a

收敛的（ ）

（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件

51.

∑∞

=1

n n a

为任意项级数，若

+n a 且0lim

=∞

→n n a ，则该级数（ ）

（A ）条件收敛 （B ）绝对收敛 （C ）发散 （D ）敛散性不确定 52. 下列结论中，正确的为（ ）

（A ）若∑∞=1

n n u 发散，则∑

∞

=11

n n u 发散)0(≠n

u ； （B ）若∑∞

=1

n n

u 收敛，则

∑∞

=11

n n

u 发散)0(≠n

u

（C ）若

∑∞

=1n n

u 收敛，则

∑∞

=+

1

100)10

1

(n n u 收敛； （D ）若

∑∞

=1

n n

u 与∑∞

=1

n n v

发散，则

∑∞

=+1

)(n n n

v u

发散

53. 函数

x

x f +=

11)(的麦克劳林展开式前三项的和为（ ）

（A ）24321x x +-

； （B ）24321x x ++； （C ）28321x x +-； （D ）28321x x ++ 54.

设||2n n n a a p +=，||,1,2,3,2

n n n a a q n -==???，则下列命题正确的是（ ）

． （A ）若

1n n a

∞

=∑条件收敛，则

1n

n p ∞=∑与1n n q

∞

=∑都收敛；

（B ）若

1n n a

∞

=∑绝对收敛，则

1n

n p ∞

=∑与1n n q

∞

=∑都收敛；

（C ）若

1n n a

∞

=∑条件收敛，则

1n

n p ∞

=∑与1n n q

∞

=∑的敛散性都不定；

（D ）若

1

n n a

∞

=∑绝对收敛，则

1

n

n p ∞

=∑与1

n n q

∞

=∑的敛散性都不定.

55. 设 , 则（ ）

(A) 与 都收敛. (B) 与 都发散. (C) 收敛, 而 发散. (D) 发散, 收敛 56. 75、 若 在 处收敛, 则此级数在 处（ ）

(A) 条件收敛, (B) 绝对收敛, (C) 发散, (D) 收敛性不确定 57. 设幂级数 的收敛半径为3, 则幂级数 的必定收敛的区间为 （ ）

(A) (－2, 4) (B) [－2, 4] (C) (－3, 3) (D) (－4, 2)

58. 若幂级数

n

n n

x

a

∑∞

=1

的收敛半径为

R ，则幂级数()

n

n n x a 21

-∑∞

=的收敛开区间为（ ）（A ）

()R R ,- （B ）()R R +-1,1 （C ）

()∞+∞-,

（D ）()R R +-2,2

59. 级数

∑

∞

=--1

)5(n n

n

x 的收敛区间（ ）

（A ）（4，6） （B ）

[)6,4 （C ）(]6,4 （D ）[4，6]

60.

若级数∑∞

=--1

12)2(n n

n a x 的收敛域为

[)4,3，则常数a =（ ）

（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）以上都不对

61. 若幂级数

()

n

n n x a 11

-∑∞

=在

1-=x 处收敛，则该级数在2=x 处（ ）

（A ）条件收敛 （B ）绝对收敛 （C ）发散 （D ）敛散性不能确定 62. 函数

2

)(x

e x

f -=展开成x 的幂级数为（ ）

（A ）

∑

∞

=0

2!

n n n x （B ）∑

∞

=?-0

2!)1(n n

n n x （C ）∑

∞=0!

n n

n x （D ）∑

∞

=?-0

!)1(n n

n n x

63. 函数

()24

1x x x f -=

展开成x 的幂级数是（ ）

（A ）

n

n x

21

∑

∞

= （B ）

n

n n

x

21

)

1(∑∞

=- （C ）

n

n x

22

∑

∞

= （D ）

n n n

x 22

)

1(∑∞

=-

64．下列各组角中，可以作为向量的方向角的是（ ）

（A ）3π，4π，3

2π

（B ）3π-，4π，3π

（C ）6π，π，6π

（D ）32π，3π，3

π

65．向量()z y x a a a a ,,=与x 轴垂直，则（ ）

（A ）0=x

a （B ） 0=y a （C ）0=z a （D ） 0==x y a a

66．设

()()1,1,1,1,1,1--=-=，则有（ ）

（A ）b a // （B ）b a ⊥ （C ）3,π=???? ??∧b a （D ）3

2,π

=???

? ??∧b a

67．直线?

?

?=+=+1212z y y x 与直线11

011--=

-=z y x 关系是( )． (A) 垂直； (B) 平行； (C) 重合； (D) 既不平行也不垂直． 68．柱面02=+z x 的母线平行于（ ）

（A ）

y 轴 （B ）x 轴 （C ） z 轴 （D ）zox 面

69．设c b a c a b

a ,,,?=?均为非零向量，则（ ）

（A ） c b = （B ）)//(c b a - （C ） )(c b a -⊥ （D ）c b =

70．函数

()x y ln =z 的定义域为（ ）

（A ）

0,0≥≥y x （B ） 0,00,0≤≤≥≥y x y x 或 （C ）

0,0<>y x 或0,0<

71．

()2

2,y x xy

y x f +=

，则

()=??

? ??1,x y f

（A ）

2

2y x xy + （B ）

xy y x 2

2+ （C ） 1

2

+x x

（D ）

421x x +

72．下列各点中，是二元函数

()x y x y x y x f 933,233-+--=的极值点的是（ ）

（A ）

()1,3-- （B ） ()1,3 （C ）()1,1-． （D ）()1,1--

73．

=--?

?-dy y x dx x 210

221

1（ ）

（A ）

2

3π

（B ）

3

2π （C ）

34π （D ）6

π

74．设

D 是由2=x ，

1=y 所围成的闭区域，则=??dxdy xy D

2（ ）

（A ）

34 （B ） 38 （C ） 3

16 （D ）0 75．设D 是由π≤≤≤≤y x 0,10所确定的闭区域，则

()=??dxdy xy y D

cos （ ）

（A ） 2 （B ） π

2 （C ）

1+π （D ）0

三、计算题

1、下列函数的偏导数

（1）62456y y x x z +-=；

（2）)ln(222y x x z +=； （3）y

x

xy z +=；

（4）)(cos )sin(2xy xy z

+=；

（5）

)sin (cos e y x y z x

+=；

（6）???

?

??=y x z 2tan ；

（7）

x

y y x z cos sin

?=；

（8）y xy z

)1(+=；

（9）

)ln ln(y x z +=；

（10）

xy

y x z -+=1arctan ；

（11）)

(222e

z y x x u ++=；

（12）z

y

x

u

=

(13)2

2

2

1z

y x u ++=

；

（14）z

y

x

u =；

（15）∑==n

i i

i x a u

1

（i a 为常数）；

（16）ji ij n

j i j i ij

a a y x a

u

==

∑=,1

,且为常数。

（17）t y t x e z y x ===-,

sin ,

2 t y t x e z y x ===-,

sin ,

2；求

t

z d d

2．设

2

2),(y x y x y x f +-+=，求

)4,3(x f 及)4,3(y f 。

3．设

2

e y

x

z =，验证02=??+??y

z y x z x

。 4．求下列函数在指定点的全微分： （1）223),(xy y x y x f -=，在点)2,1(； （2）)1ln(),(22y x y x f ++=，在点)4,2(； （3）

2sin ),(y x y x f =，在点)1,0(和??

?

??2,4π。

5．求下列函数的全微分：

（1）x y z =；

（2）xy xy z

e =； （3）y

x y

x z -+=

；

（4）2

2

y

x y

z +=

；

（5）2

22z y x u

++=；

（6）)ln(222z y x u

++=。

6．验证函数

??

???

=+≠++=0,0,0,),(222222

y x y x y x xy y x f 在原点)0,0(连续且可偏导，但它在该点不可微。

7．验证函数

??

???=+≠+++=0,0,0,1sin )(),(222

22222y x y x y x y x y x f 的偏导函数),(),,(y x f y x f y x 在原点（0，0）不连续，但它在该点可微。

8．计算下列函数的高阶导数：

（1）x y z arctan =，求2222

2,,y

z

y x z x z ???????；

（2）)cos()sin(y x y y x x z +++=，求2222

2,,y z

y x z x z ???????；

（3）xy

x z e =，求2

323,

y x z

y x z ??????；

（4）)ln(cz by ax u ++=，求2244

4,y

x z

x u ?????；

（5）q

p

b y a x z )()(--=，求

q

p q p y x z

???+；

（6）

t y t

x y x t z ==-+=,

1

),

23tan(2

2，求r

q p r q p z

y x u

????++。

（7）

x a y sin =，求u 3d ；

9. 计算下列重积分: （1） ,其中是矩形闭区域: , （2） ,其中是矩形闭区域: ,

（3） ,其中是顶点分别为 (0,0), 和 的三角形闭区域. （4） ,其中是由两条抛物线 ,所围成的闭区域. （5）,其中是由 所确定的闭区域. （6） 改换下列二次积分的积分次序 ① ② ③ （7） （8）

（9） ,其中是由圆周 所围成的区域.

（10）,其中是由圆周 及坐标轴所围成的在第一象限的闭区域. （11）,其中 是由直线 , 及曲线 所围成的闭区域

（12） ,其中 是由圆周 及坐标轴所围成的在第一象限的闭区域. （13） ,其中 是由直线, , , 所围成的闭区域. （14）,其中 是圆环形闭区域:

（15） ,其中 是平行四边形闭区域,它的四个顶点是 , , 和 . （16） ,其中 是由两条双曲线 和 ,直线 和 所围成的在第一象限的闭区域. （17） ,其中 是由 轴, 轴和直线 所围成的闭区域 （18） ,其中 为椭圆形闭区域

（19） 化三重积分 为三次积分,其中积分区域分别是 (1) 由曲面 及平面 所围成的闭区域在一卦限的闭区域。 (2) 由曲面 (c>0), , 所围成的在第一卦限的闭区域. （20）计算 ,其中 为平面 , , , 所围成的四面体.

（21）计算 ,其中 是由平面 , , ,以及抛物柱面 所围成的闭区域. （22）计算 ,其中 是由锥面 与平面所围成的闭区域. （23）利用柱面坐标计算下列三重积分

(1) ,其中 是由曲面 及

所围成的闭区域

(2),其中是由曲面

及平面所围成的闭区域

（24）利用球面坐标计算下列三重积分

(1),其中是由球面所围成的闭区域.

(2),其中闭区域由不等式 , 所确定.

25.选用适当的坐标计算下列三重积分

(1),其中为柱面及平面

,,所围成的在第一卦限的闭区域

(2),其中是由球面

所围成的闭区域

(3),其中是由曲面

及平面所围成的闭区域.

(4),其中闭区域由不等式

,所确定.

26.利用三重积分计算下列由曲面所围成的立体的体积

(1)及

(含有轴的部分).

(2)及

二.曲线积分

1．计算下列对弧长的曲线积分

(1),其中为圆周,

(2),其中为连接(1,0)及(0,1)两点的直线段

(3),其中为由直线及抛物线所围成的区域的整个边界.

(4),其中为圆周,直线及轴在第一象限所围成的扇形的整个边界.

(5),其中为曲线,,上相应于从0变到2的这段弧.

(6),其中为折线,这里,,,依次为点(0,0,0),(0,0,2), (1,0,2),(1,3,2).

(7),其中为摆线的一拱,

(8),其中为曲线 ,

2．计算下列对坐标的曲线积分

(1),其中是抛物线上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧

(2),其中为圆周及轴所围成的在第一象限的区域的整个边界(按逆时针方向绕行).

(3),其中为圆周(按逆时针方向绕行).

(4),其中为曲线,,上对应从0到的一段弧.

(5),其中是从点(1,1,1)到点(2,3,4)的一段直线

(6),其中是抛物线上从点到点(1,1)的一段弧.

3.计算,其中是

(1)抛物线上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧.

(2)从点(1,1)到点(4,2)的直线段

(3)先沿直线从点(1,1)到点(1,2),然后再沿直线到点(4,2)的折线.

(4)曲线,上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧.

4.把对坐标的曲线积分划成对弧长的曲线积分,其中为

(1)在面沿直线从点(0,0)到点(1,1)

(2)沿抛物线从点(0,0)到点(1,1)

(3)沿上半圆周从点(0,0)到点(1,1)

5.计算下列曲线积分,并验证格林公式的正确性.

(1),其中是由抛物面和所围成的区域的正向边界曲线.

(2),其中是四

个顶点分别为(0,0),(2,0),(0,2)和(2,2)的正方形区域的正向

边界.

6.利用曲线积分,求下列曲线所围成的图形的面积

(1)星形线 ,

(2)椭圆

7.证明下列曲线积分在整个面与路径无关,并计算积分值

(1)

(2)

8.利用格林公式,计算下列曲线积分

(1),其中为三顶点分别为(0,0),(3,0),(3,2)的三角形正向边界

(2),其中为正向星形线

(3),其中为在抛物面上由点(0,0)到的一段弧

(4),其中是在圆周上由点(0,0)到点(1,1)的一段弧

9.验证下列在整个平面是某一函数的全微分,并求这样的一个

(1)

(2)

(3)

第三部分级数

1. 判别下列级数的收敛性

(1)

(2)

(3)

(4)

2. 用比较审敛法或极限审敛法判别下列级数的收敛性

(1)

(2)

(3)

(4)

3. 用比值审敛法判别下列级数的收敛性

（1）

（2）

（3）

4．用根值审敛法判别下列级数的收敛性

(1)

(2)

(3),其中,,,均为

正数.

5.判别下列级数的收敛性

(1)

(2)

(3)

(4)

6.判别下列级数是否收敛?如果是收敛的,是绝对收敛还是条件收敛?

(1)

(2)

(3)

(4)

7.求下列幂级数的收敛区间

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

8.利用逐项求导或逐项积分,求下列级数的和函数.

(1)

(2)

(3)

9.将下列函数展开成的幂级数,并求展开式成立的区间.

(1)

(2)

(3)

(4)

10.将展开成的幂级数,并求展开式成立的区间.

11.将函数展开成的幂级数.

12.将函数展开成的幂级数.

13.将函数展开成的幂级数.

14.利用函数的幂级数展开式求下列各数的近似值.

(1)(误差不超过0.0001);

(2)(误差不超过0.00001)

(3)(误差不超过0.0001)

15.利用被积函数的幂级数展开式求下列定积分的近似值.

(1)(误差不超过0.0001)

16.将函数展开成的幂级数

17.下列周期函数的周期为,试将展开成傅里叶级数,

如果在上的表达式为

(1)

(2)

(3) (为常数,且

)

18.将下列函数展开成傅里叶级数 (1) (2)

19.将函数 展开成傅里叶级数.

20.设 是周期为 的周期函数,它在 上的表达式为

将 展开成傅里叶级数. 21.将函数 展开成正弦函数

22.将函数 分别展开成正弦技术和余弦级数

23.将下列各周期函数展开成傅里叶级数(下面给出函数在一个周期的表达式) (1) (2) (3)

24.将下列函数分别展开成正弦级数和余弦级数 (1) (2)

25.设 是周期为2的周期函数,它在 上的表达式为 , 试将 展开成复数形式的傅里叶级数.

26．设 是周期为 的周期函数,已知它的傅里叶级数的复数形式为

试写出的傅里叶级数的实数形式(即三角形式)

四、 证明题

1．三角形的三条 垂线交于一点。（提示：用向量方法） 2．设其中

),(22y x yf z +=f

是导数存在的一元函数，证明函数z 满足方程

2

11y

z

y z y x z x -=??-??。

3．证明

y

x y

x y x +-→→lim

不存在。 4．设,,12

22z y x r r u ++==证明

.02

22222=??+??+??z u y u x u 5．证明：曲面1=xyz

的任一切平面与坐标面形成的四面体体积为常数。

6．设

22

2222

221000(x y )sin ,x y x y f (x,y ),x y ?++≠?+=??+=?

，

证明：

）偏导数存在

，在原点（00),(y x f 但不连续。

7．证明不等式

2210101D

(sin y cos x )dxdy D :x ,y ≤+≤≤≤≤≤??其中正方形域：。

8．证明曲线积分dy y x dx xy x I L

)()2(422

+++=?与路径无关，其中L 是由点

（0，0）

到（1，1）的曲线

x y 2

sin

π

=，并计算I

的值。

9．若级数

)0(1

≥∑∞

=n n n

a a

收敛，证明2

1

∑∞

=n n

a 收敛。

10. 已知级数

21

∑∞

=n n

a

和

21

∑∞

=n n

b

都收敛，证明级数

n

n n b

a ∑∞

=1

绝对收敛。

五、 应用题

1． 求曲线

32,,t z t y t x =-==与平面42=++z y x 平行的切线。

2． 用对称式方程及参数方程表示直线??

?=++-=+++0

4320

1z y x z y x

3． 曲面

32=+-xy e z z 在点（1，2，0）处的切平面方程和法线方程。 4． 求曲面

22y x z +=及222y x z +=所围成的立体的体积。 5． 求由曲面

2222a z y x =++及ax y x =+22所围成图形的体积。

6．求位于两圆

4)2(22=-+y x 和1)1(22=-+y x 之间的均匀薄片的重心位置。

7．试分解已知正数a 为三个正数之和，而使它们的倒数之积最小。

8．在第一卦限作椭球

12

2

2222=++c z b y a x 的切平面，使得切平面与三坐标面围成的体积最小，求切点的坐标。

9．设生产某种产品必须投放入两种要素，1x 和

2x 分别为两要素的投入量，Q 为产出量，若生产函数122a b Q x x =，其中a,b 为正常数，且1a b ,

+=假设两种要素的价格分别为

,,21p p 试问，当产出量为12时，两要素各投入多少可以使得投入总费用最小。

10．某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为

2

1,p p ，销售量分别为

,

,21q q 需求函数及总成本函数分别为

)(4035,05.010,2.024212211q q C p q p q ++=-=-=，试问厂家如何确定两个市场的售价，能使其获得的总利润最大？最大总利润

为多少？

11．求级数

∑∞

=1

2

n n

n

的和。

12．计算积分

dx x e x

?1

1.0的近似值。