正三棱锥与正四面体体积及其计算

三棱锥的一个体积公式及其两条推论

三棱锥的一个体积公式及其两条推论 (李明中国医科大学数学教研室 110001) 摘要:本文利用空间向量这个强有力的数学工具推导出了三棱锥的一个体积公式 1 6 V =a b c 、、为三条侧楞的长度，αβγ、、为它们的相互夹角，即三个侧面顶角)，并由该公式推演出了两条推论. 关键词: 三棱锥体积公式等夹角三棱锥最大体积 0引言我们知道,如果 OAB ?的两条边OA a OB b ==、,其夹角AOB α∠=(显然 (0,)απ∈),则OAB ?的面积1 sin 2 S ab α=(如图1).将此结论类比到空间(如图2),我们便有如下问题:如果三棱锥O ABC -的三条侧棱OA a OB b OC c ===、、,其夹角 AOB BOC COA αβγ∠=∠=∠=、、(显然(0,),(0,2)αβγπαβγπ∈++∈、、),则三棱锥O ABC -的体积V 如何用这些已知的棱长a b c 、、及已知的夹角αβγ、、来表示呢?即体积V 的公式是什么呢? 1 推导体积V 的公式首先,在图2的基础上,以三棱锥O ABC -的顶点O 为坐标原点,以OA 为x 轴正向,以垂直于OAB ?所在的平面的方向为z 轴建立右手空间直角坐标系Oxyz (如图3). 图3 x

在图3中,(,0,0),(cos ,sin ,0),(,,)OA a OB b b OC x y z αα=== (其中x y z 、、为未知数),将这些向量带入如下向量方程组: cos cos OC c OB OC OB OC OA OC OA OC βγ ?=???=???=?? 我们便得到如下关于x y z 、、的代数方程组: 2222cos sin cos cos x y z c x y c x c ααβγ?++=? +=??=? 由此方程组我们可以求得 : z 于是三棱锥的体积为 111 sin 3321 (1) 6 AOB V S z z ab α ?==?= 2 两条推论由体积公式(1),我们可以推演出如下两条推论.其中推论2的证明略微复杂,下文将详细给出证明步骤,而推论1的证明显而易见,不予赘述. 推论1(等夹角三棱锥体积公式)如图4,在三棱锥O ABC -中,如果三条侧棱 OA a OB b OC c ===、、,其夹角AOB BOC COA θ∠=∠=∠=(显然2 (0,)3 θπ∈),则三棱锥O ABC -的体积为 1 (1cos (2)6 V abc θ=- B b O a c 图5 C B b A O a c θ θ θ 图4 C

空间几何体表面积与体积公式大全

空间几何体的表面积与体积公式大全一、全（表）面积（含侧面积） 1、柱体 ①棱柱 ②圆柱 2、锥体 ①棱锥： ②圆锥： 3、台体 ①棱台： ②圆台： 4、球体 ①球： ②球冠：略 ③球缺：略二、体积 1、柱体 ①棱柱 ②圆柱 2、锥体 ①棱锥 ②圆锥

3、台体 ①棱台 ②圆台 4、球体 ①球： ②球冠：略 ③球缺：略说明：棱锥、棱台计算侧面积时使用侧面的斜高计算；而圆锥、圆台的侧面积计算时使用母线计算。三、拓展提高 1、祖暅原理：（祖暅：祖冲之的儿子）夹在两个平行平面间的两个几何体，如果它们在任意高度上的平行截面面积都相等，那么这两个几何体的体积相等。最早推导出球体体积的祖冲之父子便是运用这个原理实现的。 2、阿基米德原理：（圆柱容球）圆柱容球原理：在一个高和底面直径都是的圆柱形容器内装一个最大的球体，则该球体的全面积等于圆柱的侧面积，体积等于圆柱体积的。

分析：圆柱体积：圆柱侧面积：因此：球体体积：球体表面积：通过上述分析，我们可以得到一个很重要的关系（如图） += 即底面直径和高相等的圆柱体积等于与它等底等高的圆锥与同直径的球体积之和 3、台体体积公式公式：证明：如图过台体的上下两底面中心连线的纵切面为梯形。延长两侧棱相交于一点。设台体上底面积为，下底面积为高为。易知：∽，设，则由相似三角形的性质得：

即：(相似比等于面积比的算术平方根) 整理得：又因为台体的体积=大锥体体积—小锥体体积 ∴ 代入：得：即： ∴ 4、球体体积公式推导分析：将半球平行分成相同高度的若干层（），越大，每一层越近似于圆柱，时，每一层都可以看作是一个圆柱。这些圆柱的高为，则：每个圆柱的体积= 半球的体积等于这些圆柱的体积之和。 ……

三棱锥的体积

锥体的体积教学重点和难点三棱锥体积公式及其探求．教学设计过程（一）复习三个问题（学生口答） 1．锥体平行于底面的截面的性质 2．祖暅原理 3．柱体的体积公式及探求思路（二）学生探求锥体体积公式 1．底面积是S，高是h的柱体体积公式的探求思路？构造一个与所给柱体等底面积等高的长方体，由祖暅原理知，它们的体积相等，所以V 柱体 =Sh． 2．等底面积等高的两个锥体的体积之间有什么关系呢？用祖暅原理．设有任意两个锥体，不妨选取一个三棱锥，一个四棱锥，并设它们的底面积都是S，高都是h（如图1）．①把这两个锥体的底面放在同一个平面α上，由于它们的高相等，故它们的顶点必在与α平行的同一个平面β上，即这两个锥体可夹在两个平行平面α，β 之间；②用平行于平面α的任意平面去截这两个锥体，设截面面积分别为S 1，S 2 ，截面和顶点的距离是h 1 ，体积分别由祖暅原理知：V 1=V 2 ．（生叙述师板书）可以叙述为：等底面积等高的两个锥体的体积相等． 3．如何求出锥体的体积？怎样研究三棱锥的体积呢？（板书：三棱锥的体积，并作出一个底面积为S的，高为h 的三棱锥A＇－ABC，（如图2）图1

（1）补成三棱柱，把三棱锥A＇－ABC以底面△ABC为底面，AA＇为侧棱补成个三棱柱ABC －A＇B＇C＇．（2）分割成三个三棱锥．（补形过程及分割过程由学生完成）怎样证明这三个三棱锥1，2，3等体积呢？（学生思考两个锥体等体积的依据——前面定理的条件：（1）等底面积，（2）等高）在三棱锥1，2中，S△ ABA＇=S △B＇A＇B ，又由于它们有相同顶点C，故高也相等，所以V 1 =V 2 ．又在三棱锥2，3中，S △BCB＇=S △B＇C＇C ，它们有相同顶点A＇，故高也相等．所以V 2 =V 3 ，所以V 1 =V 2 =V 3 ．一般锥体的体积又如何呢？（设一般锥体的底面积为S，高为h）构造一个三棱锥，使其底面积为S，高为h，由于等底面积（三）锥体体积公式的简单应用例1、如图7，在正方体ABCD－A＇B＇C＇D＇中，已知棱长为a，求：（1）三棱锥B＇－ABC的体积；（2）这个三棱锥的体积是正方形体积的几分之几；（3）B到平面AB＇C的距离？分析（3）：注意到三棱锥B－AB＇C与三棱锥B＇－ABC是同一个三棱锥． S △AB＇C 也易求，这样h即可求出．巧用了三棱锥的体积，使问题的求解变得十分简捷．这种方法称作顶点转换法，有时也称作等积转换法．

空间几何体的表面积体积公式(大全)

空间几何体的表面积与体积公式大全一、全（表）面积（含侧面积） 1、柱体 ① 棱柱 ② 圆柱 2、锥体 ① 棱锥：h c S ‘ 底棱锥侧2 1= ② 圆锥：l c S 底圆锥侧2 1 = 3、台体 ① 棱台：h c c S ) (2 1 ‘下底上底棱台侧+= ② 圆台：l c c S )(2 1 下底上底棱台侧+= 4、球体 ① 球：r S 24π=球 ② 球冠：略 ③ 球缺：略二、体积 1、柱体 ① 棱柱 ② 圆柱 2、锥体 ① 棱锥 ② 圆锥

3、 ① 棱台 ② 圆台 4、球体 ① 球： r V 33 4 π=球 ② 球冠：略 ③ 球缺：略说明：棱锥、棱台计算侧面积时使用侧面的斜高h ' 计算；而圆锥、圆台的侧面积计算时使用母线l 计算。三、拓展提高 1、祖暅原理：（祖暅：祖冲之的儿子）夹在两个平行平面间的两个几何体，如果它们在任意高度上的平行截面面积都相等，那么这两个几何体的体积相等。最早推导出球体体积的祖冲之父子便是运用这个原理实现的。 2、阿基米德原理：（圆柱容球）圆柱容球原理：在一个高和底面直径都是r 2 的圆柱形容器内装一个最大的球体，则该球体的全面积等于圆柱的侧面积，体积等于圆柱体积的3 2 。

分析：圆柱体积：r r h S V r 3 222)(ππ=?==圆柱圆柱侧面积：r h c S r r 2 42)2(ππ=?==圆柱侧因此：球体体积：r r V 333 423 2ππ=?=球球体表面积：r S 24π=球通过上述分析，我们可以得到一个很重要的关系（如图） + = 即底面直径和高相等的圆柱体积等于与它等底等高的圆锥与同直径的球体积之和 3、台体体积公式公式： )(31 S S S S h V 下下上上台++= 证明：如图过台体的上下两底面中心连线的纵切面为梯形ABCD 。延长两侧棱相交于一点P 。设台体上底面积为S 上，下底面积为S 下高为h 。易知：PDC ?∽PAB ?，设h PE 1=，则h h PF +=1 由相似三角形的性质得：PF PE AB CD =

不规则几何体体积计算中的三钟方法例析

体积计算中的常用方法一、转换法当所给几何体的体积不能直接套用公式或套用公式时某一量（底面积或高）不易求出时，可以转换一下几何体中有关元素的相对位置进行计算求解，该方法尤其适用于求三棱锥的体积．例1 在边长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，M N P ，，分别是棱11111A B A D A A ，，上的点，且满足1111 2 A M A B = ，112A N ND =，113 4 A P A A = （如图1），试求三棱锥1A MNP -的体积．分析：若用公式1 3 V Sh = 直接计算三棱锥1A MNP -的体积，则需要求出MNP △的面积和该三棱锥的高，这两者显然都不易求出，但若将三棱锥 1A MNP -的顶点和底面转换一下，变为求三棱锥1P A MN -的体积，便能很容易的求出其高和底面1A MN △的面积，从而代入公式求解．解： 1113111111111231 3323223424 A MNP P A MN A MN V V S h A M A N A P a a a a --===?=??=△·······．评注：转换顶点和底面是求三棱锥体积的一种常用方法，也是以后学习求点到平面距离的一个理论依据．二、分割法分割法也是体积计算中的一种常用方法，在求一些不规则的几何体的体积以及求两个几何体的体积之比时经常要用到分割法．例2 如图2，在三棱柱111ABC A B C -中，E F ，分别为AB AC ，的中点，平面11EB C F 将三棱柱分成两部分，求这两部分的体积之比．分析：截面11EB C F 将三棱柱分成两部分，一部分是三棱台 111AEF A B C -；另一部分是一个不规则几何体，其体积可以利用棱柱的体积减去棱台的体积求得．解：设棱柱的底面积为S ，高为h ，其体积V Sh =．

三角形体积计算公式

关实际问题. 教学重点：运用公式解决问题. 教学难点：理解计算公式的由来. 教学过程：一、复习准备： 1. 讨论：正方体、长方体的侧面展开图？→ 正方体、长方体的表面积计算公式？ 2. 讨论：圆柱、圆锥的侧面展开图？ → 圆柱的侧面积公式？圆锥的侧面积公式？二、讲授新课： 1. 教学表面积计算公式的推导： ① 讨论：如何求棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积？（展开成平面图形，各面面积和） ② 练习：求各面都是边长为10的等边三角形的正四面体S-ABC 的表面积. 一个三棱柱的底面是正三角形，边长为4，侧棱与底面垂直，侧棱长10,求其表面积. ③ 讨论：如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积？（图→侧→表）圆柱：侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆周长，宽是圆柱的高（母线）， S 圆柱侧=2rl π，S 圆柱表=2()r r l π+，其中为r 圆柱底面半径，l 为母线长。圆锥：侧面展开图为一个扇形，半径是圆锥的母线，弧长等于圆锥底面周长，侧面展开图扇形中心角为0 360r l θ=?，S 圆锥侧=rl π， S 圆锥表=()r r l π+，其中为r 圆锥底面半径，l 为母线长。圆台：侧面展开图是扇环，内弧长等于圆台上底周长，外弧长等于圆台下底周长，侧面展开图扇环中心角为0 360R r l θ-= ?，S 圆台侧=()r R l π+，S 圆台表=22()r rl Rl R π+++. ④ 练习：一个圆台，上、下底面半径分别为10、20，母线与底面的夹角为60°，求圆台的表面积. （变式：求切割之前的圆锥的表面积） 2. 教学表面积公式的实际应用： ① 出示例：一圆台形花盆，盘口直径20cm ，盘底直径15cm ，底部渗水圆孔直径1.5cm ，盘壁长15cm.. 为美化外表而涂油漆，若每平方米用100毫升油漆，涂200个这样的花盘要多少油漆？讨论：油漆位置？→ 如何求花盆外壁表面积？列式 → 计算 → 变式训练：内外涂 ② 练习：粉碎机的上料斗是正四棱台性，它的上、下底面边长分别为80mm 、440mm ，高是200mm, 计算制造这样一个下料斗所需铁板的面积. 3. 小结：表面积公式及推导；实际应用问题三、巩固练习： 1. 已知底面为正方形，侧棱长均是边长为5的正三角形的四棱锥S-ABCD ，求其表面积. 2. 圆台的上下两个底面半径为10、20, 平行于底面的截面把圆台侧面分成的两部分面积之比为1：1，求截面的半径. （变式：r 、R ；比为p:q ） 3. ，求这个圆锥的表面积. *4. 圆锥的底面半径为2cm ，高为4cm ，求圆锥的内接圆柱的侧面积的最大值. 5. 面积为2的菱形，绕其一边旋转一周所得几何体的表面积是多少？ 6. 作业：P30 2、P32 习题1、2题.