高三数学一轮复习精品教案8：2.1 函数及其表示教学设计

2.1 函数及其表示

目标定位

1. 了解映射的概念,在此基础上加深对函数概念的理解。

2．能根据函数的二要素判断两个函数是否为同一函数。

3．理解分段函数的意义。

4．掌握函数的三种表示方法。

知识梳理

1. 设集合A是一个非空的数集，对A内任意数x，按照确定的法则f，都有，则这种对应关系叫做集合A的一个函数。记作：。

2．确定一个函数只需两个要素：。

3．设A、B是两个非空的集合，如果按照某种对应法则f，对A内任意一个元素x，在B 内，则称f是集合A到集合B的映射。

4．函数的三种表示方法是：。

课堂互动

知识点1 函数的概念

函数的定义有各种不同的形式，不管哪种形式其中最核心的内容都是“对于任意的一个数x，按照确定的法则f，都有惟一确定的数值y与它对应”，“惟一”是其中的关键字。在处理有关函数的概念的问题时，必须切实把握“惟一”二字。

『例题1』下列各图象不能表示函数图象的是

『分析』根据函数的定义，对于任意的一个数x，按照确定的法则f，都有惟一确定的数值y与它对应，而在D中对于的x可能有两个y值与它对应，所以D不能表示函数图象。『答案』D

『点评』在解决考查函数的概念的题目时，必须把握两点：一是定义域非空数集（当然值域也非空数集）；二是对于任意的一个数x，按照确定的法则f，都有惟一确定的数值y与它对应（必须是惟一的）。

巩固练习 以下四组函数中，表示同一函数的是

A ．2)(|,|)(t t g x x f ==

B ．22)()(,)(x x g x x f ==

C ．1)(,1

1

)(2+=--=

x x g x x x f D ．1)(,11)(2-=-?+=x x g x x x f 知识点2 函数的表示法

函数的表示方法是函数的外在表现形式，在三种形式中最重要的是解析法、图象法（这两种表示方法必须既要能读懂，又要能用它们熟练地表示函数），列表法在以前的考查中主要是能读懂列表法表示的函数和列表法画函数图象，一般不要求学生用列表的方法表示函数。 『例题2』矩形ABCD 的长8AB =，宽5AD =，动点E 、F 分别在BC 、CD 上，且

CE CF x ==，

（1）将AEF ?的面积S 表示为x 的函数()f x ，求函数()S f x =的解析式；（2）求S 的最大值．

『分析』AEF ?的面积可从矩形ABCD 中减去其余三个在个三角形. 『答案』(1)

2111

()408(5)5(8)222

ABCD CEF ABE ADF

S f x S

S S S x x x ???==---=--??--??- 22113113169

()22228

x x x =-+=--+． ∵CE CB CD ≤≤，∴05x <≤，

∴函数()S f x =的解析式：2113169

()()(05)228

S f x x x ==-

-+<≤；

（2）∵()f x 在(]0,5x ∈上单调递增，∴max (5)20S f ==，即S 的最大值为20．

『点评』对于函数问题,一般要借助于解析式或图象利用函数的性质去研究. 巩固练习．某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定：

（1） 乘坐汽车5公里以内，票价2元；

（2） 5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按5公里计算）． 已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1公里，如果沿途（包括起点站和终点站）设20个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象． 『例题3』己知函数f(x)=x 2,g (x)是一次函数，且是增函数，若f 『g(x)』=4x 2-20x+25,求g(x)的表达式。

『分析』待定系数法。

『答案』『解析』因为g(x)是一次函数，且是增函数，设g(x)=ax+b(a>0),由f 『g(x)』=4x 2-20x+25，

可得（ax+b ）2=4x 2-20x+25,解得,a=2,b=-5.所以g(x)=2x -5. 『点评』使用待定系数法设出含参的解析式,由己知条件建立参数的方程,解出参数.

巩固练习 己知2

2

1()12,[()](0)x g x x f g x x x -=-=≠，则1()2

f = A ．1 B ．3 C ．15 D ．30

『例题4』设f （x ）为定义在R 上的偶函数，当x ≤－1时，y ＝f （x ）的图象是经过点（－2，0），斜率为1的射线，又在y ＝f （x ）的图象中有一部分是顶点在（0，2），且过点（－1，1）的一段抛物线.试写出函数f （x ）的表达式，并作出其图象. 『分析』借助于偶函数这一条件,分段考虑.

『答案』当x ≤－1时，设f （x ）＝x ＋b ，则由0＝－2＋b ，即b ＝2，得f （x ）＝x ＋2；

当－1＜x ＜1时，设f （x ）＝ax 2＋2，

则由1＝a （－1）2＋2，即a ＝－1，得f （x ）＝－x 2＋2； 当x ≥1时，f （x ）＝－x ＋2．

故f （x ）＝??

???≥+-<<---≤+1 .211 ,21

,22

x x x x x x

『点评』充分利用对称性和待定系数法是本题解题的关键. 巩固练习 二次函数y=ax 2+bx+c(x ∈R )的部分对应值如下表：

则不等式ax 2+bx+c>0的解集是_______________________. 知识点3 映射的概念

x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y

6

-4

-6

-6

-4

6

与函数的概念类似，映射的概念中的核心是“按照某种对应法则f ，对A 内任意一个元素x ，在B 内有且有一个且仅有一个元素y 与x 对应”，“有一个且仅有一个”是其中的关键词。与函数不同的是映射的两个集合只需非空即可，而函数中的定义域A （也包括值域）必须是数集。

『例题5』（1）A R =，{|0}B y y =>，:||f x y x →=； （2）*

{|2,}A x x x N =≥∈，{}|0,B y y y N =≥∈，2

:22f x y x x →=-+；

（3）{|0}A x x =>，{|}B y y R =∈，:f x y x →=±．

上述三个对应中 是A 到B 的映射．

『分析』对于（1），A 中的元素0没有与这对应的象；对于（3），A 中元素的象不惟一；只有（2）符合映射的定义。 『答案』（2）

『点评』在解决考查映射的概念的题目时，必须把握两点：一是A 、B 为非空集合（不一定是数集）；二是对于任意的一个数x ，按照确定的法则f ，都有惟一确定的数值y 与它对应，必须是惟一的，即A 到B 只是一对一或多对一，不能出现一对多。

巩固练习 已知集合{}(,)|1M x y x y =+=，映射:f M N →，在f 作用下点(,)x y 的象

是(2,2)x

y

，则集合N =

()A {}(,)|2,0,0x y x y x y +=>> ()B {}(,)|1,0,0x y xy x y =>>

()C {}(,)|2,0,0x y xy x y =<<

()D {}(,)|2,0,0x y xy x y =>>

『例题6』 设集合{1,0,1}M =-，{2,1,0,1,2}N =--，如果从M 到N 的映射f 满足条

件：对M 中的每个元素x 与它在N 中的象()f x 的和都为奇数，则映射f 的个数是

()A 8个 ()B 12个 ()C 16个 ()D 18个

『分析』∵()x f x +为奇数，∴当x 为奇数1-、1时，它们在N 中的象只能为偶数2-、0或2，由分步计数原理和对应方法有2

39=种；而当0x =时，它在N 中的象为奇数1-或1，共有2种对应方法．故映射f 的个数是9218?=． 『答案』D

『点评』映射个数问题既要使集合A 中的元素都有象,又要结合限制条件运用排列组合知识

求解.

巩固练习己知集合A={1,2,3,4,5},集合B={2,3,5,6},则从A到B的映射有个?

小试身手

『考题再现』

1. （02年全国）据新华社2002年3月12日电，1985年到2000年间，我国农村人均居住面积如图2—5所示，其中从_____年到_____年的五年间增长最快.

2．(01年上海）根据报道，我国目前已成为世界上受荒漠化危害最严重的国家之一．图2—6中（1）表示我国土地沙化总面积在上个世纪五六十年代、七八十年代、九十年代的变化情况．由图中的相关信息，可将上述有关年代中，我国年平均土地沙化面积在图2—6中（2）中图示为：

3. (04年全国卷)某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？

4．( 06年重庆)如图所示，单位圆中弧AB的长为x,f(x)表示弧AB与弦AB

所围成的弓形面积的２倍，则函数y=f(x)的图象是

5. （06年江西卷）某地一年的气温Q （t ）（单位：oc ）与时间t （月份）之间的关系如图（1）所示，已知该年的平均气温为10oc ，令G （t ）表示时间段〔0,t 〕的平均气温，G （t ）与t 之间的函数关系用下列图象表示，则正确的应该是

『模拟训练』

1．（06年山东实验中学一模）已知集合{}5,4,3,2,1=A ，对应法则1)3(:2

+-→x x f

，

A B

C

D

设集合B 为A 中的元素在f 作用下的像集合，则B = . 2. (06年黄冈摸拟) 如图所示四个图象：

与下列所给3件事吻合最好的图象顺序为

（ ）

①我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学 ②我骑着车以常速行驶，在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间 ③我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速

A ．（1）（2）（3）

B ．（2）（3）（4）

C ．（3）（4）（1）

D ．（4）（1）（2）

3. (06年山西实验中学模拟) 已知集合A=A A f R y x y x →∈:},,|),{(是从A 到A 的映射.

),(y x 在映射f 下的象为)2

,2(2y

x y x -+，则（－2，5）在f 下的原象为 . 教考链接

函数与映射都是从一个集合A 到另一个集合B 的对应，函数可以看作是一种特殊的映射，那么函数值域与映射的集合B 有什么关系？

根据定义可知函数的值域是由所有的象f(x)（即函数值）构成的集合，所以函数的值域中的元素都有原象，也就是说函数的值域中没有多余的元素，可以说从映射的角度看函数的值域是“象”的集合；而映射中的集合B 却仅仅是满足“按照某种对应法则f ，对A 内任意一个元素x ，在B 内有一个且仅有一个元素y 与x 对应。”也就是说映射中的集合B 一定含有所有的“象”，但不一定仅含有“象”，还可能含有不是“象”的元素，即映射中的集合B 中可能有“多余”的元素。综合上述分析，可以看出从映射的角度看函数时函数的值域应是映射中集合B 的子集。

——★ 参 考 答 案 ★—— 知识梳理

1. 惟一确定的数值y 与它对应 y=f(x),x ∈A

2. 定义域和对应法则

3. 有且有一个且仅有一个元素y 与x 对应

4. 列表法、图象法、解析法 例题1巩固练习

『解析』逐个考查四组函数的定义域和对应法则（因为函数值域由定义域和对应法则惟一确定，所以也可以考查函数的定义域和值域），只有A 组中的两个函数的定义域和对应法则完全相同。所以应该选A 。 例题2 巩固练习

『解析』设票价为y 元，里程为x 公里，同根据题意，

如果某空调汽车运行路线中设20个汽车站（包括起点站和终点站），那么汽车行驶的里程约为19公里，所以自变量x 的取值范围是{x ∈N *| x≤19}．

由空调汽车票价制定的规定，可得到以下函数解析式：

???????=543

2y 19

1515101055

0≤<≤<≤<≤

N x ∈)

根据这个函数解析式，可画出函数图象，如下图所示：

例题3巩固练习

『解析』令2

21

1()111412,,()151242()4

x x f --=∴=∴=

= ，所以选C. O

x y 543215101519

例题4巩固练习

『解析』根据二次函数特点，找到函数的零值点，可得x ∈),3()2,(+∞--∞ 例题5巩固练习

『解析』因为1x y +=，所以222

2x

y

x y

+?==。所以选D.

例题6 巩固练习

『解析』因为没限制条件,所以只需使A 中的元素都有象即可,应为5×4=20个 .

考题再现

1． 『解析』从图中的数据可观察到：从1995年到2000年的五年间居住面积增长最快.应填1995，2000.

如果从增长的速度思考，应填1985，1990.

本题考查了考生读图识图能力以及用数学方法解决问题的能力.由于题设中没有对增长量或增长速度做明确要求. 所以答案为：1995，2000（或1985，1990）（只填一个即可）

2．『解析』由图中的沙化面积可以利用年代

总面积

＝平均面积．因为题中是分了五六十

年代、六七十年代、九十年代三段．

所以可分别求出三段的平均面积2010)1.2503.253(2

?-＝16，

2010)3.2535.257(2?-＝21，10

10)5.257260(2

?-＝25

3．设矩形温室的左侧边长为a m ，后侧边长为b m ，则

.800=ab 蔬菜的种植面积 )2)(4(--=b a S

).

2(2808824b a a b ab +-=+--=

图2—18

所以).(648248082

m ab S =-≤

当).(648,)(20),(40,22m S m b m a b a ==--最大值时即 答：当矩形温室的左侧边长为40m ，后侧边长为20m 时

4.只需分析始末两个位置即可,在这两个位置,随着x 的增加面积虽然在增加,但变化的幅度并不大 ,所以选D.

5．结合平均数的定义可知应选A. 模拟训练

1. 『解析』将1，2，3，4，5分别代入2

(3)1x -+可求得B={}5,2,1

2. 『解析』结合图象分析可知选D

3. 『解析』由22,522

x y x y

+-=-=，得32x =-或，138y =--或，所原象为（－3，－13） （2，－8）。