求数列前N项和的方法

求数列前N 项和的方法

1. 公式法

等差数列前n 项和：

11()(1)

22

n n n a a n n S na d ++=

=+ 特别的，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+，即前n 项和为中间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算。 等比数列前n 项和： q=1时，1n S na =

(

)1111n n a q q S q

-≠=

-，，特别要注意对公比的讨论。

其他公式：

1、)1(211+==∑=n n k S n

k n 2、)12)(1(611

2

++==∑=n n n k S n

k n

3、21

3)]1(21[+==

∑=n n k S n

k n [例1] 已知3

log 1log 23-=

x ，求???++???+++n

x x x x 32的前n 项和. 解：由2

1

2log log 3log 1log 3323=?-=?-=

x x x

由等比数列求和公式得 n

n x x x x S +???+++=32 （利

用常用公式）

＝x x x n

--1)1(＝

2

11)

211(21--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1

)32()(++=

n n

S n S n f 的最大值.

解：由等差数列求和公式得 )1(21+=

n n S n ， )2)(1(2

1

1++=+n n S n （利用常用公式）

∴ 1)32()(++=

n n S n S n f ＝64

342++n n n

＝

n

n 64341+

+＝

50

)8(12+-

n

n 50

1≤

∴ 当 8

8-

n ，即n ＝8时，501)(max =n f

2. 错位相减法

这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.

[例3] 求和：1

32)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………①

解：由题可知，{1

)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1

-n x

}的通

项之积

设n

n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=………………………. ② （设制

错位）

①－②得 n

n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=--

（错位相减）

再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1

----?

+=-- ∴ 2

1)1()

1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+

[例4] 求数列

??????,2

2,,26,24,2232n n

前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 2

1

}的通项之积

设n n n

S 2226242232+???+++=

…………………………………① 14322

226242221++???+++=n n n

S ………………………………② （设制错位）

①

－

②

得

14322

22222222222)211(+-+???++++=-n n n n

S

（错位相减）

1

1

2

221

2+--

-

=n n n

∴ 12

2

4-+-=n n n S

练习：

求：S n =1+5x+9x 2+·+(4n-3)x n-1

解：S n =1+5x+9x 2+·+(4n-3)x n-1 ①

①两边同乘以x ，得

x S n =x+5 x 2+9x 3+·+(4n-3)x n ② ①-②得，（1-x ）S n =1+4（x+ x 2+x 3+·+

n x ）-（4n-3）x n

当x=1时，S n =1+5+9+·+（4n-3）=2n 2-n 当x ≠1时，S n =

1

1-x [ 4x(1-x n )

1-x

+1-（4n-3）x n ] 3. 反序相加法求和

这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.

[例5] 求

89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 2

2

2

2

2++???+++的值

解：设

89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 2

2

2

2

2

++???+++=S …………. ①

将①式右边反序得

1

sin 2sin 3sin 88sin 89sin 2

2

2

2

2

+++???++=S …………..②

（反序）

又因为 1cos sin ),90cos(sin 2

2

=+-=x x x x

①+②得

（反序相加）

)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++???++++=S ＝89

∴ S ＝44.5

4. 分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例6] 求数列的前n 项和：231

,,71,41,

1112-+???+++-n a a a n ，… 解：设)231

()71()41()11(12-++???++++++=-n a

a a S n n

将其每一项拆开再重新组合得

)23741()1

111(12-+???+++++???+++

=-n a

a a S n n

（分组）

当a ＝1时，2)13(n n n S n -+

=＝2

)13(n

n + （分组求和）

当1≠a 时，2)13(1111n n a

a S n n -+--

=＝2)13(11n n a a a n -+---

[例7] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.

解：设k k k k k k a k ++=++=2

332)12)(1(

∴ ∑=++=

n k n k k k S 1

)12)(1(＝)32(23

1

k k k

n

k ++∑=

将其每一项拆开再重新组合得

S n

＝

k k k n

k n

k n

k ∑∑∑===++1

2

1

3

1

32

（分组）

＝)21()21(3)21(22

2

2

3

3

3

n n n +???++++???++++???++

＝

2

)

1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n （分组求和）

＝2

)

2()1(2++n n n

练习：求数列???+???),21(,,813,412,211n

n 的前n 项和。 解： n n n n n n n n S 2

1

1)1(21)

2

1

212121()321()

2

1

(81341221132-++=+???+++++???+++=++???+++= 5. 裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：

（1）)()1(n f n f a n -+= （2）

n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （3）1

1

1)1(1+-=+=n n n n a n （4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=

n n n n n a n

（5）])

2)(1(1

)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n

(6)

n

n n n n n n n S n n n n n n n n n a 2

)1(1

1,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-?=?+-+=?++=

-则 [例9] 求数列

???++???++,1

1,

,3

21,

2

11n n 的前n 项和.

解：

设

n n n n a n -+=++=

11

1

（裂项）

则

1

13

212

11+++

???+++

+=

n n S n

（裂项求和）

＝)1()23()12(n n -++???+-+- ＝11-+n [例10] 在数列{a n }中，1

1211++

???++++=n n

n n a n ，又12+?=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.

解： ∵ 2

11211n

n n n n a n =++???++++=

∴

)11

1(82

122+-=+?=

n n n n b n

（裂项）

∴ 数列{b n }的前n 项和

)]1

11(

)4131()3121()211[(8+-+???+-+-+-=n n S n （裂项求和）

＝)1

11(8+-

n ＝

18+n n

[例11] 求证：

1sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+???++

解：设

89

cos 88cos 1

2cos 1cos 11cos 0cos 1+???++=

S ∵

n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+

（裂项）

∴

89cos 88cos 1

2cos 1cos 11cos 0cos 1+

???++=

S （裂项求和）

＝

]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1

sin 1

-+-+-+- ＝)0tan 89(tan 1sin 1 -＝

1cot 1

sin 1?＝ 1sin 1cos 2 ∴ 原等式成立

练习：求 1

3， 1

1 5， 1

3 5， 1

63

之和。

解：9

4)911(21)9171()7151()5131()311(21)9171(21)7151(21)5131(21)311(21971

75153131163135115131=-=??????-+-+-+-=-+-+-+-=?+

?+?+?=+++

6. 合并法求和

针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .

[例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+·+ cos178°+ cos179°的值.

解：设S n ＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+·+ cos178°+ cos179°

∵ )180cos(cos

n n --= （找特

殊性质项）

∴S n ＝ （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+·

+（cos89°+ cos91°）+ cos90° （合

并求和）

＝ 0

[例13] 数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，求S 2002. 解：设S 2002＝2002321a a a a +???+++

由n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1可得

,2,3,1654-=-=-=a a a

,2,3,1,2,3,1121110987-=-=-====a a a a a a

……

2,3,1,2,3,1665646362616-=-=-====++++++k k k k k k a a a a a a

∵ 0665646362616=+++++++++++k k k k k k a a a a a a （找特

殊性质项）

∴

S 2002

＝

2002321a a a a +???+++

（合并求和）

＝

)()()(66261612876321++++???+++???+???+++???+++k k k a a a a a a a a a a

2002200120001999199819941993)(a a a a a a a +++++???+++???+

＝2002200120001999a a a a +++ ＝46362616+++++++k k k k a a a a ＝5

[例14] 在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +???++=求的值.

解：设1032313log log log a a a S n +???++=

由等比数列的性质 q p n m a a a a q p n m =?+=+ （找特

殊性质项）

和对数的运算性质 N M N M a a a ?=+log log log 得

)

log (log )log (log )log (log 6353932310313a a a a a a S n ++???++++=

（合并求和）

＝)(log )(log )(log 6539231013a a a a a a ?+???+?+? ＝9log 9log 9log 333+???++ ＝10

7. 利用数列的通项求和

先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项

揭示的规律来求数列的前n 项和，是一个重要的方法.

[例15] 求

1

1111111111个n ???+???+++之和. 解：由于)110(9199999111111

1

-=????=???k

k k

个个 （找通项及特征）

∴

1

1111111111个n ???+???+++ ＝

)110(9

1

)110(91)110(91)110(91321-+???+-+-+-n （分组求和）

＝

)1111(91

)10101010(911

321 个n n +???+++-+???+++ ＝9

110)110(1091n

n ---?

＝

)91010(81

1

1n n --+

[例16] 已知数列{a n }：∑∞

=+-+++=

1

1))(1(,)3)(1(8

n n n n a a n n n a 求的值. 解：∵ ])

4)(2(1

)3)(1(1)[

1(8))(1(1++-+++=-++n n n n n a a n n n （找通

项及特征）

＝])

4)(3(1

)4)(2(1[

8+++++?n n n n

（设制分组）

＝

)4

1

31(8)4121(

4+-+++-+?n n n n

（裂项）

∴ ∑∑∑∞

=∞

=∞

=++-+++-+=-+1111)41

3

1(8)4121(

4))(1(n n n n n n n n n a a n （分组、裂项求和）

＝4

18)4131(4?++

? ＝

3

13 练习：求5，55，555，…，的前n 项和。

解：∵a n = 5

9(10n -1)

∴S n = 5

9(10-1)+ 5

9(102-1) + 5

9(103-1) + … + 5

9(10n -1)

= 5

9[（10+102+103+……+10n ）-n] =

815（10n ＋1-9n-10）

以上一个7种方法虽然各有其特点，但总的原则是要善于改变原数列的形式结构，使其能进行消项处理或能使用等差数列或等比数列的求和公式以及其它已知的基本求和公式来解决，只要很好地把握这一规律，就能使数列求和化难为易，迎刃而解。

求数列通项公式的八种方法

一、公式法（定义法）

根据等差数列、等比数列的定义求通项 二、累加、累乘法

1、累加法 适用于：1()n n a a f n +=+

若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则

21321(1)

(2) ()

n n a a f a a f a a f n +-=-=-=

两边分别相加得 111

()n

n k a a f n +=-=

∑

例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则

11232211

2

()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1

2[(1)(2)21](1)1(1)2(1)1

2

(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-++

+?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++=

所以数列{}n a 的通项公式为2

n a n =。

例2 已知数列{}n a 满足112313n

n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。

解法一：由1231n n n a a +=+?+得1231n

n n a a +-=?+则

11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)3

2(3333)(1)3

3(13)2(1)3

13

331331

n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=?++?+++?++?++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+-

所以3 1.n

n a n =+-

解法二：13231n n n a a +=+?+两边除以1

3n +，得

111

21

3333n n n n n a a +++=++

， 则

11121

3333

n n n n n a a +++-=+，故 11223211

2232

111122122()()()(

)33333

333

212121213

()()()()3333333332(1)11111()1

333333

n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a n --------------=-+-+-++-+=+++++++++-=+++++++

因此1

1(13)

2(1)2113133133223

n n n n n

a n n ---=++=+--?， 则211

33.322

n n n a n =

??+?- 2、累乘法 适用于： 1()n n a f n a +=

若

1()n n a f n a +=，则31212(1)(2)()n n

a a

a

f f f n a a a +===，，， 两边分别相乘得，1

11

1()n

n k a a f k a +==?∏ 例3 已知数列{}n a 满足112(1)53n

n n a n a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：因为112(1)53n

n n a n a a +=+?=，，所以0n a ≠，则

1

2(1)5n n n

a n a +=+，故1

32

112

21

12211(1)(2)21

(1)1

2

[2(11)5][2(21)5][2(21)5][2(11)5]32[(1)32]53

32

5

!

n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n -------+-+++--=

???

??=-+-+??+?+??=-?????=???

所以数列{}n a 的通项公式为(1)1

2

32

5

!.n n n n a n --=???

三、待定系数法 适用于1()n n a qa f n +=+

分析：通过凑配可转化为1121()[()]n n a f n a f n λλλ++=+; 解题基本步骤： 1、确定()f n

2、设等比数列{}1()n a f n λ+，公比为2λ

3、列出关系式1121()[()]n n a f n a f n λλλ++=+

4、比较系数求1λ，2λ

5、解得数列{}1()n a f n λ+的通项公式

6、解得数列{}n a 的通项公式

例4 已知数列{}n a 中，111,21(2)n n a a a n -==+≥，求数列{}n a 的通项公式。 解法一：

121(2),n n a a n -=+≥

112(1)n n a a -∴+=+ 又

{}112,1n a a +=∴+是首项为2，公比为2的等比数列

12n n a ∴+=，即21n

n a =-

解法二：

121(2),n n a a n -=+≥

121n n a a +∴=+

两式相减得112()(2)n n n n a a a a n +--=-≥，故数列{}1n n a a +-是首项为2，公比

为2的等比数列，再用累加法的……

例5 已知数列{}n a 满足1

112431n n n a a a -+=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。

解法一：设1

1123(3n n n n a a λλλ-++=+?)，比较系数得124,2λλ=-=，

则数列{}

143n n a --?是首项为11

143

5a --?=-，公比为2的等比数列，

所以114352n n n a ---?=-?，即11

4352n n n a --=?-?

解法二： 两边同时除以1

3

n +得：

11

224

3333

n n n n a a ++=?+，下面解法略 注意：例6 已知数列{}n a 满足2

1123451n n a a n n a +=+++=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：设22

1(1)(1)2()n n a x n y n z a xn yn z ++++++=+++

比较系数得3,10,18x y z ===，

所以22

13(1)10(1)182(31018)n n a n n a n n ++++++=+++

由2

13110118131320a +?+?+=+=≠，得2310180n a n n +++≠

则212

3(1)10(1)18231018

n n a n n a n n ++++++=+++，故数列2{31018}n a n n +++为以21311011813132a +?+?+=+=为首项，以2为公比的等比数列，因此2131018322n n a n n -+++=?，则42231018n n a n n +=---。

注意：形如21 n n n a pa qa ++=+时将n a 作为()f n 求解

分析：原递推式可化为211()() n n n n a a p a a λλλ++++=++的形式，比较系数可求得λ，数列{}1n n a a λ++为等比数列。

例7 已知数列{}n a 满足211256,1,2n n n a a a a a ++=-=-=，求数列{}n a 的通项公式。 解：设211(5)()n n n n a a a a λλλ++++=++

比较系数得3λ=-或2λ=-，不妨取2λ=-，

则21123(2)n n n n a a a a +++-=-，则{}12n n a a +-是首项为4，公比为3的等比数列

11243n n n a a -+∴-=?，所以114352n n n a --=?-?

四、迭代法

例8 已知数列{}n a 满足3(1)2115n

n n n

a a

a ++==，，求数列{}n a 的通项公式。

解：因为3(1)2

1n

n n n a a ++=，所以

1

21

2(2)(1)

3

2

(2)(1)

3

(3)(2)(1)

1

12(3)(32

3(1)2

323(1)2

1

2

2

3(2)2

3(1)23

3(2)(1)23

323

(2)(1)21[] [] n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a ----+---+--+-+--++

+-+?-??-??----?-??---?-??-?-??=======2)(1)

(1)

12

3!21

n n n n n a

-+---??=

又15a =，所以数列{}n a 的通项公式为(1)12

3!2

5

n n n n n a --??=。

注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。

五、变性转化法

1、对数变换法 适用于指数关系的递推公式

例9 已知数列{}n a 满足5

123n n n a a +=??，17a =，求数列{}n a 的通项公式。

解：因为5

11237n n n a a a +=??=，，所以100n n a a +>>，。

两边取常用对数得1lg 5lg lg3lg 2n n a a n +=++

设1lg (1)5(lg )n n a x n y a xn y ++++=++ （同类型四）

比较系数得， lg3lg3lg 2

,4164

x y ==+

由

1lg3lg3lg 2lg3lg3lg 2lg 1lg 71041644164

a +

?++=+?++≠，

得

lg3lg3lg 2lg 04164

n a n +++≠，

所以数列lg3lg3lg 2

{lg }4164

n a n +

++是以lg3lg3lg 2lg 74164+

++为首项，以5为公比的等比数列，则1

lg3lg3lg 2lg3lg3lg 2lg (lg 7)541644164

n n a n -+++=+++，因此

111111111

16

164

4

44

1111

15

1616

444

4

541515116

4

lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2lg (lg 7)54164464

[lg(7332)]5lg(332)

lg(7332)lg(332)lg(73

2

)

n n n n n n n n n n a n --------=+

++---=???-??=???-??=??

则11

54151516

4

732

n n n n n a -----=??。

2、倒数变换法 适用于分式关系的递推公式，分子只有一项

例10 已知数列{}n a 满足112,12

n

n n a a a a +=

=+，求数列{}n a 的通项公式。 解：求倒数得

11111111111,,22n n n n n n a a a a a a +++??

=+∴-=∴-????

为等差数列，首项111a =，公

差为

1

2

，112(1),21n n n a a n ∴=+∴=+ 3、换元法 适用于含根式的递推关系 例11 已知数列{}n a

满足111

(14116

n n a a a +=

++=，，

求数列{}n a 的通项公式。

解：令n b =2

1(1)24

n n a b =-

代入11

(1416

n n a a +=

++得 22

1111(1)[14(1)]241624

n n n b b b +-=+-+ 即2214(3)n n b b +=+

因为0n b =≥， 则123n n b b +=+，即11322

n n b b +=+， 可化为11

3(3)2

n n b b +-=

-， 所以{3}n b -

是以13332b -==为首项，以2

1

为公比的等比数列，因此1

21132()

()2

2n n n b ---==，则21()32n n b -=+

21

()32

n -=+，得 2111

()()3423

n n n a =++。

六、数学归纳法 通过首项和递推关系式求出数列的前n 项，猜出数列的通项公式，再用

数学归纳法加以证明。

例12 已知数列{}n a 满足11

228(1)8

(21)(23)9

n n n a a a n n ++=+

=++，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由122

8(1)(21)(23)n n n a a n n ++=+

++及189

a =，得 2122

322243228(11)88224

(211)(213)992525

8(21)248348

(221)(223)25254949

8(31)488480

(231)(233)49498181a a a a a a +?=+

=+=?+?+?+?=+=+=?+?+?+?=+=+=

?+?+?

由此可猜测22(21)1

(21)n n a n +-=+，下面用数学归纳法证明这个结论。

（1）当1n =时，212(211)18

(211)9

a ?+-=

=?+，所以等式成立。 （2）假设当n k =时等式成立，即22

(21)1

(21)k k a k +-=+，则当1n k =+时，

122

2222222

222222

8(1)(21)(23)[(21)1](23)8(1) (21)(23)(21)(23)(21) (21)(23)(23)1 (23)[2(1)1]1 [2(1)1]k k k a a k k k k k k k k k k k k k k k k ++=+

+++-+++=

++++-+=

+++-=

+++-=

++

由此可知，当1n k =+时等式也成立。

根据（1），（2）可知，等式对任何*

n N ∈都成立。 七、阶差法

1、递推公式中既有n S ，又有n a

分析：把已知关系通过11,1

,2

n n n S n a S S n -=?=?-≥?转化为数列{}n a 或n S 的递推关系，然后采

用相应的方法求解。

例13 已知数列{}n a 的各项均为正数，且前n 项和n S 满足1

(1)(2)6

n n n S a a =

++，且249,,a a a 成等比数列，求数列{}n a 的通项公式。

解：∵对任意n N +

∈有1

(1)(2)6

n n n S a a =

++ ⑴ ∴当n=1时，11111

(1)(2)6

S a a a ==++，解得11a =或12a = 当n ≥2时，1111

(1)(2)6

n n n S a a ---=

++ ⑵ ⑴-⑵整理得：11()(3)0n n n n a a a a --+--= ∵{}n a 各项均为正数，∴13n n a a --=

当11a =时，32n a n =-，此时2

429a a a =成立

当12a =时，31n a n =-，此时2

429a a a =不成立，故12a =舍去

所以32n a n =- 2、对无穷递推数列

例14 已知数列{}n a 满足112311

23(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥，，求{}n a 的

通项公式。

解：因为123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥

①

所以1123123(1)n n n a a a a n a na +-=+++

+-+

②

用②式－①式得1.n n n a a na +-= 则1(1)(2)n n a n a n +=+≥

故

1

1(2)n n

a n n a +=+≥ 所以1

3

22212

2

!

[(1)43].2

n n n n n a a a n a a n n a a a a a ---=

???

?=-???=

③