数学分析试题库--证明题.doc
数学分析题库（1-22 章）
五．证明题
1．设 A， B 为 R 中的非空数集，且满足下述条件：
（1）对任何a A, b B 有 a
（2）对任何0 ，存在 x
证明： sup A inf B.
2. 设 A， B是非空数集，记S A
b ；
A, y B ，使得
B ，证明：
Y x .
（1）sup S max sup A, supB；
（2）inf S min inf A,inf B
3.按N 定义证明
lim 5n2 n 2 5
n 3n 2 2 3
4. 如何用ε -N 方法给出lim a n a 的正面陈述？并验证| n2 | 和 | ( 1)n | 是发散数列 .
n
5. 用方法验证：
lim
x 2 x 2
3 . x( x 2 3x 2)
x 1
6．用M 方法验证：
lim x 1 .
x x
2
1 x 2
7 . 设lim ( x) a ，在 x0某邻域 U ( x 0 ;
1 ) 内( x) a ，又 lim f ( t) A .证明
x x0 t a
lim f ( ( x)) A .
x x0
8. 设f (x)在点x0 的邻域内有定义 . 试证：若对任何满足下述条件的数列x n，
（1）x n U ( x0 ) ， x n x0，
（2）0 x n 1 x0 x n x0，都有 lim f ( x n ) A ，
n
则 lim f ( x) A .
x x0
9.证明函数
x3 , x为有理数，
f (x)
0, x为无理数
在 x00 处连续，但是在x00 处不连续.
10. 设f ( x)在（ 0，1）内有定义，且函数e x f (x) 与 e f ( x)在（0，1）内是递增的，试证 f (x) 在（ 0， 1）内连续 .
11. 试证函数 y sin x 2 ，在 [0, ) 上是不一致连续的.
12. 设函数 f (x) 在（a,b）内连续，且 lim f ( x) = lim f ( x) =0，证明 f ( x) 在（a,b）内有最
x a x b
大值或最小值 .
13. 证明：若在有限区间（ a,b ）内单调有界函数 f (x) 是连续的，则此函数在（a,b ）内是一致连续的 .
14 . 证明：若 f (x) 在点a处可导，f（x）在点a处可导.
15. 设函数 f (x)在 (a,b) 内可导，在[a,b]上连续，且导函数 f (x) 严格递增，若
f (a) f (b) 证明，对一切 x (a, b) 均有
f (x) < f (a) f (b)
16. 设函数 f ( x) 在 [a, ] 内可导，并且 f (a) < 0 ，试证：若当 x (a, ) 时，有
f (x) > c > 0 则存在唯一的(a, ) 使得 f ( ) 0 ，又若把条件 f ( x) > c 减弱为
f / (x) > 0(a < x <+ ) ，所述结论是否成立？
17.证明不等式
e x 1 x x2 ( x 0)
2
18. 设f为( , ) 上的连续函数，对所有x, f (x) 0 ，且lim f (x) lim f ( x) 0 ，
x x
证明 f (x) 必能取到最大值.
19. 若函数 f ( x) 在 [0,1] 上二阶可导, 且 f (0) 0 ， f (1) 1， f (0) f (1) 0 ，则存在
c (0,1) 使得 | f (c) | 2 .
20.应用函数的单调性证明
2x
sin x x, x (0, );
2
m 1 0
（ m 为实数），
21. 设函数f ( x) x sin x , x
0, x 0
试问：
（1） m 等于何值时， f 在 x 0 连续；
（2） m 等于何值时， f 在 x 0 可导；
（3） m 等于何值时， f 在 x
0 连续；
22. 设 f (x) 在 [0,1] 上具有二阶导数，且满足条件 f (x) a ， f (x) b ，
其中 a, b 都是非负常数， c 是 (0,1) 内的任一点，证明
f (c)
2a
b
2
23. 设函数 f ( x)在[ a, b] 上连续，在（ a,b ）内二阶可导，则存在 (a, b) 使得
f (b) 2 f (
a b
)
f (a)
(b a) 2 f ( )
2
4
24. 若 f (x) 在点 x 0 的某个领域上有 (n 1) 阶连续导函数 , 试由泰勒公式的拉格朗日型余项推导佩亚诺型余项公式 .
25. 用泰勒公式证明 : 设函数 f (x) 在 a,b 上连续 , 在 a, b 内二阶可导 , 则存在
( a, b) ,
使得
f (b)
a b
)
(b a) 2
f ' '
( ) .
2 f (
f ( a)
4
2
26. 设函数 f ( x) 在 0,2 上二阶可导 , 且在 0,2 上 f (x) 1 , f ' ' (x) 1. 证明在 0,2 上成
立
f '' (x)
2 .
27. 设 f 是 开区 间 I 上的凸 函 数 , 则对任 何 ,
I , f 在 ,
上满足利普希茨
(Lipschitz)
条件,即存在 L>0 , 对任何 x ' , x ' '
, ,成立
f ( x ' ) f ( x) '' L x '
x ''
.
28. 设 f (x) 在 [ a, ] (a 0) 上满足 Lipschitz
条件： | f (x) f ( y) | k | x
y |, 证明
f (x) 在 [ a, ] 上一致连续 .
x
29. 试证明方程 x
n
x n 1
x 1在区间 ( 1
,1) 内有唯一实根。
2
30. 设函数 f ( x) 在点 a 具有连续的二阶导数，试证明：
f ( a h) f (a h) 2 f ( a)
f ''
(a)
lim
h
2
h 0
31. 设 f (x) 在 (a,
b) 上可导，且
lim f ( x)
x lim f (x) A
.
x a 0
b 0
求证：存在
(a, b) ，使 f ( ) 0 .
32. 设 f ( x) 在 [ a, b] 上 连 续 ， 在 ( a,
b) 内 有 n 阶 导 数 ， 且 存 在 n 1 个 点
x 1 , x 2 ,
, x n 1 (a, b) 满足：
(1) a x 1
x 2 x
n 1
b
(2) f (a) f (x 1 ) f ( x 2 )
f ( x n 1 )
f (b)
求证：存在
(a, b) ，使 f (n) ( )
0 .
33. 设函数 f 在点 x 0 存在左右导数，试证 f 在点 x 0 连续 .
34. 设函数 f 在 [ a, b] 上可导，证明：存在
( a, b) ，使得
2 [ f (b) f (a)] (b 2 a 2 ) f (
) .
35．应用拉格朗日中值定理证明下列不等式：
b a ln
b
b
a a
，其中 0 a
b .
b
a
36. 证明 : 任何有限数集都没有聚点 .
37. 设 a n ,b n 是一个严格开区间套 , 即满足
a 1 a 2 L a n
b n L b 2
b 1 ,
且 lim b n a n
0 . 证明 : 存在唯一的一点
, 使得 a n
b n , n 1,2,L .
n
38. 设 x n 为单调数列 . 证明 : 若 x n 存在聚点 , 则必是唯一的 , 且为 x n 的确界 .
39. 若函数 f (x) 在闭区间 [ a, b] 上连续 , 证明 f ( x) 在 [ a,b] 上一致连续 . 40. 若函数 f (x) 在闭区间 [ a, b] 上连续 , 证明 f (x) 在 [ a, b] 上有界 .
41. 若函数 f (x) 在闭区间 [ a, b] 上连续 , 证明 f ( x) 在 [ a,b] 上有最大值 .
42. 若函数 f (x) 在闭区间 [ a, b] 上连续且单调增加 ,
1
x
f (t) dt, x (a, b],
F ( x)x a a
f ( a),
x a,
证明 F (x) 为 [a,b] 上的增函数 .
43. 函数 f ( x) 在闭区间 [0,1] 上连续 . 证明
2 f (sin x)dx
2 f (cosx)dx .
44. 若函数 f (x) 在闭区间 [ a, b] 上单调 , 证明 f ( x) 在 [ a,b] 上可积 .
45. 若函数 f (x) 在闭区间 [ a, b] 上连续 , 且 f ( x) 不恒等于零 , 证明
b 2
dx
0 .
a
f (x)
46. 设函数 f (x) 为 (
,
) 上以 p 为周期的连续周期函数
. 证明对任何实数 a , 恒有
a p
p
a f ( x)dx
f (x)dx .
47. 若函数 f (x) 在 [0,
) 上连续 , 且 lim f ( x) A , 证明 lim 1
x
f (t )dt A .
x
x
x
48.
若
函 数
f ( x)
和 g( x)
在
[ a,b]
上
可
积 ,
证 明
b
2
b 2
b 2
f ( x)
.
a dx g( x)
dx f (x) g(x)dx
a
a
若函数 f (x) 在 [ a,a] 上可积 , 且为偶函数 , 证明
a
2 a
f (x)dx .
49. f ( x)dx
a
50. 若函数 f (x) 在 [a, b] 上可积 , 证明函数
( x)
x
[ a,b] 在 [a,b] 上连续 .
f (t) dt , x
a
51. 若函数 f ( x) 在闭区间 [ a,b] 上连续 , 且 f (a)
f (b) . 若 为介于 f (a) 与 f (b) 之间的
任何实数 , 则存在 x 0
[ a, b] , 使得 f ( x 0 ).
若函数 f ( x) 在 [ a,b] 上连续 , 证明函数
(x)
x
[a,b] 在 [a, b] 上处处可
52. f (t )dt , x
a
导, 且
( ) d x
( ) d t f ( ), x
[ , ]
x
dx a f t
x a b
.
53. 若数列
b n 有 lim b n
, 则级数
b
n 1
b
n
发散 .
n
n 1
54. 设
u n 为正项级数 , 且存在常数 q
(0,1) , 使得对一切 n
1, 成立
u n 1
q . 证明级数
n 1
u n
u n 收敛 .
n 1
55. 设
u n 和
v n 为正项级数 , 且对一切 n 1, 成立
u n 1 v
n 1 .
级数
v n 收敛 . 证明级
n 1
n 1
u n
v n
n 1
数 u n 也收敛 .
n 1
56. 设正项级数
u n 收敛 . 证明级数
u n 2 也收敛 . 试问反之是否成立 ?
n 1
n 1
57. 设 a n
0, n 1,2,L , 且 na
有界 , 证明级数
2 收敛 .
n
a n
n 1
58. 设级数
a n 2
收敛 . 证明级数
a n
(a n
0) 也收敛 .
n 1
n
1
n
59. 若 lim a n
k 0,且级数
b n 绝对收敛 , 证明级数
a n 也收敛 . 若上述条件中只知
b n
n
n 1
n 1
道级数
b n 收敛 , 能推得级数
a n 也收敛吗 ?
n 1
n 1
60.
设 a n 0 , 证明级数
a n
收敛 .
n 1
1 a
1
1 a
2 L 1 a n
61.
S n ( x)
x
. 证明在 (
,
) 内 S n ( x)
0 , ( n
) .
1
n 2 x 2
62. 设 数 列 { a n } 单 调 收 敛 于 零 . 试 证 明 : 级 数 a n cosnx 在 区 间 [
, 2
]
(0
) 上一致收敛 .
63. 几何级数
x n 在区间 [ a , a ] (0
a 1) 上一致收敛；但在 ( 1 ,1 ) 内非一致收敛 .
n 0
64. 设 数 列 { a n } 单 调 收 敛 于 零 . 证 明 : 级 数 a n cosnx
在区间 [
, 2
]
(0
) 上一致收敛 .
65. 证明级数
( 1 ) n 1
x 2
在 R 内一致收敛 .
n 1
n
66. 证明函数 f ( x) 2n x n y
y
2y 0, x R .
n! 满足微分方程
n 0
67.
设 f ( x)
sin x , x 0, 证明对
n , f ( n)
(0) 存在并求其值 .
x
1 , x 0.
68. 证明：幂级数
x n 的和函数为
x n
ln(1 x) , x
[ 1, 1) . 并求级数
2n 1
n 1 n
n 1 n
n 1
3n n
和 Leibniz 级数
(
1 ) n 1
n 的和 .
n 1
69. 证明：幂级数
nx n 的和函数为
nx n
x
,
| x | 1. 并利用该幂级数的和函
n 1
n 1
(1 x)2
数求幂级数
nx 2 n
1
的和函数以及数项级数
n
1
的和 .
n 1 3 n
n 1 2 n 1
70. 证明幂级数
(
1 )n x
2 n 1
n
2n 1
的和函数为 arctgx ，并利用该幂级数的和函数求数项级数
( 1) n 的和 .
n 0 2n 1
71. 设 f (x) 是以
2 为周期的分段连续函数
, 又
f (x) 满足
f (x
)
f ( x) .
求证
f (x) 的 Fourier 系数 满足 a 0
0, a 2 n
b 2 n 0, n
1,2, .
72. 设 f (x) 是以 2
为周期的分段连续函数
, 又设
f ( x) 是偶函数，且满足
.
求证： f ( x) 的 Fourier
系数 a 2 n 1
0, n 1,2, .
73．求证函数系 sin x, sin 2x,
,sin nx 是 [ 0, ] 上的正交函数系 .
74．设 f (x) 是以为周期的连续的偶函数。又设
f (x) 关于 x L 对称，试证： f ( x) 的傅立
2
叶系数：
.
75. 设 f (x) 是以
2 为周期的可微周期函数，又设
f ( x) 连续， a 0 ,a n ,b n ( n
1,2, ) 是
f ( x) 的 Fourier 系数 . 求证：
.
76. 证明极限
lim
x
y
不存在。
( x, y ) (0 ,0) x
y
77. 用极限定义证明：
lim
x y
0.
2
2
(x, y) (0 ,0)
x y
78. 证明极限lim
x 2 y 2
2 y 2
不存在 .
( x, y ) (0 ,0)
x (x y)2
79. 设 F (x, y)
80. 证明：如果 r f ( x 0 , y 0 ) , f ( x), f ( x) 在 x 0 连续，证明：对 y 0 f ( x, y) 在 P 0 (x 0 , y 0 ) 连续，且 f (x 0 , y 0 ) ( P 0; ), 对一切 P( x, y) (P 0; ), 有 R, F (x, y) 在 ( x 0 , y 0 ) 连续 .
0 ，则对任意 f ( x, y) r .
81. 证明： f ( x, y) x 2 y 2 在点 (0,0) 处连续且偏导数不存在
.
82. 证明；
在 (0,0) 点连续，且 f x (0,0) 0, f y (0,0) 0 不存在 .
83. 证明
在 点 ( 0,0) 处连续且偏导数存在 .
84. 设 函数 f (x, y) 在 ( x 0 , y 0 ) 的某邻域内存在偏导数，若 ( x, y) 属于该邻域，则存在
x 0
1 ( x x 0 ) 和 y 0
2 ( y y 0 ) ， 0 1 1,0
2 1,使得
。
85. 证明：
,
在点 (0,0) 不可微 .
86. 证明 : 对任意常数
, , 球面 x 2 y 2 z 2
2
与锥面 x 2 y 2 tan 2 z 2 是正交
的.
87. 证明 : 以
为参数的曲线族
x 2
y 2
a
b
是相互正交的 ( 当相交时 ).
1 ( a b)
88. 证明 : 由方程 z y x ( z) 所确定的隐函数 z
z(x, y) 满足
2
z
2
( z)
z
,
x 2
y
y
其中 二阶可导 .
89.
设 F (a)ln 1 2a cos x a 2 dx , 证明
F (a)
0, 若 a 1且 a
0,
ln a 2 ,
若 a
1.
90. 证明含参量反常积分
sin xy dy
y
在
,
上一致收敛
其中 ＞0 ，但在 0,+
内不一致收敛。
91. 证明含参量 a 的反常积分
e ax
cosx
p dx,a 0, p 0 为常数
x
是一致收敛的 .
92. 证明含参量 p 的反常积分
2
sin x
p dx, p
1 x
是一致收敛的 .
93. 若 f (x) 在 (0,
)内可积, 证明
lim
e ax
f ( x) dx
f ( x)dx .
a 0
94. 证明 ( 2x cos y y 2
cos x )dx ( 2y sin x x 2 sin y ) dy 在整个 XY 平面上是某个函数
的全微分 , 并找出这样一个原函数 .
95. 设一力场为 F
( 3x 2 y 8xy 2 ) i + ( x 3 8x 2 y 12 ye y ) j . 证明质点在此力场内移
动时 , 场力所作的功与路径无关 .
96.
证明
?L
ydx zdy
xdz
3 a 2 , 其中 L 是球面 x 2 y 2 z 2 a 2 与平面
x y z
0的交线 (
它是圆周 ) ,
从 X 轴的正向看去 , 此圆周呈逆时针方向 .
97.
证明
?
L
3zdx 5xdy 2 ydz 2 , 其中 L 是圆柱面 x 2 y 2 1与平面 z y 3的交 线( 它是椭圆 ) , 从 X 轴的正向看去 , 此椭圆周呈逆时针方向 .
98. 证明
( y z)dx (z
x)dy ( x y)dz = 2a( h a ) , 其中 L 是圆柱面
L
x
2
y
2
a
2
与平面 x
z 1( a 0 , h 0 ) 的交线 ( 它是椭圆 ) , 从 X 轴的正向看
a h
去 , 此椭圆周呈逆时针方向 .
99. 证明：若
f (x, y) 为有界闭区域 D 上的非负连续函数，且在 D 上不恒为零，
则
f ( x, y)d
0 .
D
100. 证明二重积分
f ( xy) dxdy =
ln 2
D
2 1
f (x)dx
，其中
D {( x, y) |1
y 4, 1 xy 2} .
x
101. 设 f
x 是 a, b 上的正值连续 , D D 0 x a,0 y a , 则
f x
2
D
f
dxdy b a .
y
102. 设 f
x, y 在 y a, x b, y x a
b 所围区域 D 上连续 , 则
b x
f x, y dy
b b
f x, y dx
.
a
dx
dy y
a
a
103. 证明
x
2
y
2
z 2
dxdydz 1 2
2
R 5 , 其中 V 由 z 2
x 2 y 2 ，
V
5
x 2 y 2 z 2 R 2 z 0 所围成的有界闭区域 .
104. 证明 ( x y z)dS
a 3 , 其中 是左半球面 x 2 y 2 z 2 a 2 , y 0 。
105. 证明
(x
2
y 2
) dS = ( 2 1)
,
其中 是区域 { ( x, y, z) | x
2
y 2
z
1}
2
的边界 .
106. 证明
( xy yz zx) dS 64 2 a 4
,
是锥面 z
x 2
y 2 被柱面
15 x 2 y 2 2ax 所截部分 .
107. 证明
( x y)dydz ( y z)dzdx ( z x) dxdy 24h 3 , 其中 是中心在原点 , 边
长为 2h 的立方体 [ h , h ] [
h , h ] [ h , h ] 的边界 .
108. 证明
yzdzdx = 2
abc , 其中
是椭球面 x
2
y 2
z 2 1的上半部分 ,
积分沿
3
a 2
b 2
c 2
外侧 .
数学分析试卷及答案6套
数学分析-1样题(一) 一. (8分)用数列极限的N ε-定义证明1n n n =. 二. (8分)设有复合函数[()]f g x , 满足: (1) lim ()x a g x b →=; (2) 0()x U a ?∈,有0 ()()g x U b ∈ (3) lim ()u b f u A →= 用εδ-定义证明, lim [()]x a f g x A →=. 三. (10分)证明数列{}n x : cos1cos 2 cos 1223 (1) n n x n n = +++ ???+收敛. 四. (12分)证明函数1 ()f x x = 在[,1]a (01)a <<一致连续,在(0,1]不一致连续. 五. (12分)叙述闭区间套定理并以此证明闭区间上连续函数必有界. 六. (10分)证明任一齐次多项式至少存在一个实数零点. 七. (12分)确定,a b 使2 lim (1)0x x x ax b →+∞ -+-=. 八. (14分)求函数32()2912f x x x x =-+在15[,]42 -的最大值与最小值. 九. (14分)设函数()f x 在[,]a b 二阶可导, ()()0f a f b ''==.证明存在(,)a b ξ∈,使 2 4 ()()()() f f b f a b a ζ''≥ --. 数学分析-1样题(二) 一. (10分)设数列{}n a 满足: 1a a =, 1()n n a a a n N +=+ ∈, 其中a 是一给定的正常 数, 证明{}n a 收敛,并求其极限. 二. (10分)设0 lim ()0x x f x b →=≠, 用εδ-定义证明0 11 lim ()x x f x b →=.
数学分析试题库--证明题
数学分析题库（1-22章） 五．证明题 1．设A ，B 为R 中的非空数集，且满足下述条件： （1）对任何B b A a ∈∈,有b a <； （2）对任何0>ε，存在B y A x ∈∈,，使得ε<-x Y . 证明：.inf sup B A = 2.设A ，B 是非空数集，记B A S ?=，证明： （1）{}B A S sup ,sup max sup =； （2）{}B A S inf ,inf min inf = 3. 按N -ε定义证明 3 52325lim 22=--+∞→n n n n 4.如何用ε-N 方法给出a a n n ≠∞ →lim 的正面陈述？并验证|2n |和|n )1(-|是发散数列. 5.用δε-方法验证： 3) 23(2lim 221-=+--+→x x x x x x . 6． 用M -ε方法验证： 2 11lim 2- =-+-∞ →x x x x . 7 . 设a x x x =→)(lim 0 ?，在0x 某邻域);(10δx U ?内a x ≠)(?，又.)(lim A t f a t =→证明 A x f x x =→))((lim 0 ?. 8.设)(x f 在点0x 的邻域内有定义.试证：若对任何满足下述条件的数列{}n x ， （1）)(0x U x n ?∈，0x x n →， （2）0010x x x x n n -<-<+，都有A x f n n =∞ →)(lim ， 则A x f x x =→)(lim 0 . 9. 证明函数 ? ? ?=为无理数为有理数x ， x x x f ,0,)(3 在00=x 处连续，但是在00≠x 处不连续.
数学分析期末考试题
数学分析期末考试题 一、单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题2分， 共20分） 1、 函数)(x f 在[a,b ]上可积的必要条件是（ ） A 连续 B 有界 C 无间断点 D 有原函数 2、函数)(x f 是奇函数，且在[-a,a ]上可积，则（ ） A ?? =-a a a dx x f dx x f 0 )(2)( B 0)(=?-a a dx x f C ?? -=-a a a dx x f dx x f 0 )(2)( D )(2)(a f dx x f a a =?- 3、 下列广义积分中，收敛的积分是（ ） A ? 1 1dx x B ? ∞ +1 1dx x C ? +∞ sin xdx D ?-1 131dx x 4、级数 ∑∞ =1 n n a 收敛是 ∑∞ =1 n n a 部分和有界且0lim =∞ →n n a 的（ ） A 充分条件 B 必要条件 C 充分必要条件 D 无关条件 5、下列说法正确的是（ ） A ∑∞ =1n n a 和 ∑∞ =1 n n b 收敛， ∑∞ =1 n n n b a 也收敛 B ∑∞ =1 n n a 和 ∑∞ =1 n n b 发散， ∑∞ =+1 )(n n n b a 发散 C ∑∞ =1n n a 收敛和 ∑∞ =1 n n b 发散， ∑∞ =+1 )(n n n b a 发散 D ∑∞=1 n n a 收敛和∑∞ =1 n n b 发散， ∑∞ =1 n n n b a 发散 6、 )(1 x a n n ∑∞ =在[a ，b ]收敛于a （x ），且a n （x ）可导，则（ ） A )()('1'x a x a n n =∑∞ = B a （x ）可导 C ?∑? =∞ =b a n b a n dx x a dx x a )()(1 D ∑∞ =1 )(n n x a 一致收敛，则a （x ）必连续 7、下列命题正确的是（ ）
数学分析专题研究试题及参考答案
数学分析专题研究试题及参考答案 一、填空题（每小题3分，共18分） 1．集合X 中的关系R 同时为反身的，对称的，传递的，则该关系R 为 . 2．设E 是非空数集，若存在实数β，满足1）E x ∈?，有β≥x ；2） ，则称β是数集E 的下确界。 3．函数)(x f y =在点0x 的某个邻域内有定义，若 存在，则称函数)(x f 在点 0x 可导。 4．若)(x f y =是对数函数，则)(x f 满足函数方程=)(xy f 。 5．若非零连续函数)(x f 满足方程)()()(y f x f y x f +=+，则函数)(x f 是 函数。 6．设函数)(x f 定义在区间),(b a 上，对于任意的),(,21b a x x ∈，)1,0(∈?α，有 成 立，则称)(x f 在),(b a 上为下凸函数。 二、单项选择题（每小题3分，共18分） 1．设f ：Y X →，X A ??，则A （ ）))((1 A f f - A. = B. ≠ C. ? D. ? 2．已知函数)(x f y =在区间),(b a 上可导，),(b a x ∈?，有1)(0<
数学分析试题库--选择题
数学分析题库（1-22章） 一．选择题 １．函数7 12arcsin 162 -+-= x x y 的定义域为（ ）. （A ）[]3,2； (B)[]4,3-； (C)[)4,3-； (D)()4,3-. ２．函数)1ln(2 ++ =x x x y ()+∞<<∞-x 是( ）. （A ）偶函数; (B)奇函数; (C)非奇非偶函数; (D)不能断定. ３．点0=x 是函数x e y 1 =的（ ）. （A ）连续点; (B)可去间断点; (C)跳跃间断点; (D)第二类间断点. ４．当0→x 时，x 2tan 是（ ）. （A ）比x 5sin 高阶无穷小 ; (B) 比x 5sin 低阶无穷小; (C) 与x 5sin 同阶无穷小; (D) 与x 5sin 等价无穷小. ５．x x x x 2) 1 ( lim -∞ →的值（ ）． （A ）e; (B) e 1; (C)2e ; (D)0. ６．函数f(x)在x=0x 处的导数)(0' x f 可定义 为（ ）． （A ） 0) ()(x x x f x f -- ; (B)x x f x x f x x ?-?+→) ()(lim ; (C) ()()x f x f x ?-→?0lim ; (D)()() x x x f x x f x ??--?+→?2lim 000 . ７．若()() 2 102lim =-→x f x f x ，则()0f '等于（ ）. （A ）4; (B)2; (C) 2 1; (D)4 1, ８．过曲线x e x y +=的点()1,0处的切线方程为（ ）. （A ）()021-=+x y ; (B)12+=x y ; (C)32-=x y ; (D)x y =-1. ９．若在区间()b a ,内，导数()0>'x f ，二阶导数()0>''x f ，则函数()x f 在区间内 是（ ）. （A ）单调减少，曲线是凹的; (B) 单调减少，曲线是凸的; (C) 单调增加，曲线是凹的; (D) 单调增加，曲线是凸的. 10．函数()x x x x f 933 12 3 +-= 在区间[]4,0上的最大值点为（ ）. （A ）4; (B)0; (C)2; (D)3.
数据分析期末试题及答案
数据分析期末试题及答案 一、人口现状.sav数据中是1992年亚洲各国家和地区平均寿命(y)、按购买力计算的人均GDP(x1)、成人识字率(x2)，一岁儿童疫苗接种率(x3)的数据，试用多元回归分析的方法分析各国家和地区平均寿命与人均GDP、成人识字率、一岁儿童疫苗接种率的关系。(25分) 解： 1.通过分别绘制地区平均寿命(y)、按购买力计算的人均GDP(x1)、成人识字率(x2)，一岁儿童疫苗接种率(x3)之间散点图初步分析他们之间的关系 上图是以人均GDP(x1)为横轴，地区平均寿命(y)为纵轴的散点图，由图可知，他们之间没有呈线性关系。尝试多种模型后采用曲线估计，得出 表示地区平均寿命(y)与人均GDP(x1)的对数有线性关系
上图是以成人识字率(x2)为横轴，地区平均寿命(y)为纵轴的散点图，由图可知，他们之间基本呈正线性关系。 上图是以疫苗接种率(x3)为横轴，地区平均寿命(y)为纵轴的散点图，由图可知，他们之间没有呈线性关系 。 x）为横轴，地区平均寿命(y)为纵轴的散点图，上图是以疫苗接种率(x3)的三次方（3 3 由图可知，他们之间呈正线性关系 所以可以采用如下的线性回归方法分析。
2.线性回归 先用强行进入的方式建立如下线性方程 设Y=β0+β1*（Xi1）+β2*Xi2+β3* X+εi i=1.2 (24) 3i 其中εi（i=1.2……22）相互独立，都服从正态分布N（0，σ^2）且假设其等于方差 R值为0.952，大于0.8，表示两变量间有较强的线性关系。且表示平均寿命(y)的95.2%的信息能由人均GDP(x1)、成人识字率(x2)，一岁儿童疫苗接种率(x3)一起表示出来。 建立总体性的假设检验 提出假设检验H0：β1=β2=β3=0，H1,：其中至少有一个非零 得如下方差分析表 上表是方差分析SAS输出结果。由表知，采用的是F分布，F=58.190，对应的检验概率P值是0.000.，小于显著性水平0.05，拒绝原假设，表示总体性假设检验通过了，平均寿命(y)与人均GDP(x1)、成人识字率(x2)，一岁儿童疫苗接种率(x3)之间有高度显著的的线性回归关系。
运城学院数学分析期末试题2-14
运城学院应用数学系 2011—2012学年第二学期期末考试 数学分析2试题（A ） 适用范围：数学与应用数学专业1101\1102班 命题人：常敏慧、王文娟 审核人： 一、判断题（每题2分，共20分） 1、实轴上的任一有界点集至少有一个聚点. ( ) 2、开区间集合1,11,2,1n n ????=?? ?+???? 构成了开区间()0,1的一个无限开覆盖. ( ) 3、初等函数的原函数仍是初等函数. ( ) 4、积分和与达布和都与分割有关. ( ) 5、黎曼函数在[]0,1上可积. ( ) 6、若f 在[],a b 上可积，则f 在[],a b 上可积. ( ) 7、瑕积分 ()b a f x dx ?收敛，则()2b a f x dx ?也收敛. ( ) 8、设n u ∑为收敛的正项级数，则lim 0n n u →∞=. ( ) 9、若函数项级数()n u x ∑在[],a b 上内闭一致收敛，且每一项()n u x 都连续，则()()b b n n a a u x dx u x dx =∑∑?? . ( ) 10、幂级数101n n n a x n ∞+=+∑与幂级数11 n n n na x ∞-=∑有相同的收敛半径. ( ) 二、填空题（每题2分，共20分） 1、设闭区间列[]{},n n a b 满足(i) ，(ii)()lim 0n n n b a →∞-=， 则称[]{} ,n n a b 为闭区间套.
2、()()21f x dx f x '=??+??? . 3、()20ln 1x d t dt dx +=? . 4、光滑曲线:C ()()[],,,x x t y y t t αβ==∈的弧长为 . 5、直线上任一点的曲率为 . 6、无穷积分 1sin p x dx x +∞?当 时条件收敛. 7、级数11p n n ∞=∑当 收敛. 8、幂级数()()1321n n n n x n ∞=+-+∑的收敛半径R = . 9、设函数项级数()n u x ∑定义在数集D 上，n M ∑为收敛的正项级数，若对一切x D ∈，有 ，则称函数项级数()n u x ∑在D 上一致收敛. 10、设幂级数n n x a ∑在0=x 某邻域上的和函数为()x f ，则n a 与()()0n f 之间的关系 是 . 三、求解下列各题（每题5分，共30分） 1、243dx x x ++? . 2、4tan xdx ?. 3 、1 2dx x . 4、112lim p p p p n n n +→∞++ (p 为正整数). 5、讨论无穷积分111x dx x α-+∞ +?的收敛性.
数学分析试题及答案解析
2014 ---2015学年度第二学期 《数学分析2》A 试卷 一. 判断题（每小题3分，共21分）(正确者后面括号内打对勾，否则打叉) 1.若()x f 在[]b a ,连续，则()x f 在[]b a ,上的不定积分()?dx x f 可表为()C dt t f x a +?（ ）. 2.若()()x g x f ,为连续函数，则()()()[]()[]????= dx x g dx x f dx x g x f （ ）. 3. 若()?+∞a dx x f 绝对收敛，()?+∞a dx x g 条件收敛，则()()?+∞ -a dx x g x f ][必然条件收敛（ ）. 4. 若()?+∞ 1dx x f 收敛，则必有级数()∑∞=1 n n f 收敛（ ） 5. 若{}n f 与{}n g 均在区间I 上内闭一致收敛，则{}n n g f +也在区间I 上内闭一致收敛（ ）. 6. 若数项级数∑∞ =1n n a 条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发散 于正无穷大（ ）. 7. 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数，并且逐项求导后得到 的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（ ）. 二. 单项选择题（每小题3分，共15分） 1.若()x f 在[]b a ,上可积，则下限函数()?a x dx x f 在[]b a ,上（ ） A.不连续 B. 连续 C.可微 D.不能确定 2. 若()x g 在[]b a ,上可积，而()x f 在[]b a ,上仅有有限个点处与()x g 不相 等，则（ ）
A. ()x f 在[]b a ,上一定不可积； B. ()x f 在[]b a ,上一定可积,但是()()??≠b a b a dx x g dx x f ； C. ()x f 在[]b a ,上一定可积，并且()()??=b a b a dx x g dx x f ； D. ()x f 在[]b a ,上的可积性不能确定. 3.级数()∑∞=--+12111n n n n A.发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D. 不确定 4.设∑n u 为任一项级数，则下列说法正确的是（ ） A.若0lim =∞→n n u ，则级数∑ n u 一定收敛； B. 若1lim 1<=+∞→ρn n n u u ，则级数∑n u 一定收敛； C. 若1,1<>?+n n u u N n N ，时有当，则级数∑n u 一定收敛； D. 若1,1>>?+n n u u N n N ，时有当，则级数∑n u 一定发散； 5.关于幂级数∑n n x a 的说法正确的是（ ） A. ∑n n x a 在收敛区间上各点是绝对收敛的； B. ∑n n x a 在收敛域上各点是绝对收敛的； C. ∑n n x a 的和函数在收敛域上各点存在各阶导数； D. ∑n n x a 在收敛域上是绝对并且一致收敛的；
数学分析(2)期末试题
数学分析（2）期末试题 课程名称 数学分析（Ⅱ） 适 用 时 间 试卷类别 1 适用专业、年级、班 应用、信息专业 一、单项选择题（每小题3分，3×6＝18分） 1、 下列级数中条件收敛的是（ ）． A ．1(1)n n ∞ =-∑ B ． 1n n ∞ = C ． 21(1)n n n ∞=-∑ D ． 11(1)n n n ∞ =+∑ 2、 若f 是(,)-∞+∞内以2π为周期的按段光滑的函数, 则f 的傅里叶（Fourier ）级数 在 它的间断点x 处 （ ）． A ．收敛于()f x B ．收敛于1 ((0)(0))2f x f x -++ C ． 发散 D ．可能收敛也可能发散 3、函数)(x f 在],[b a 上可积的必要条件是（ ）． A ．有界 B ．连续 C ．单调 D ．存在原函 数 4、设()f x 的一个原函数为ln x ，则()f x '=（ ） A ． 1x B ．ln x x C ． 21 x - D ． x e 5、已知反常积分2 (0)1dx k kx +∞ >+? 收敛于1，则k =（ ） A ． 2π B ．22π C ． 2 D ． 24π 6、231ln (ln )(ln )(1)(ln )n n x x x x --+-+-+L L 收敛，则（ ） A ． x e < B ．x e > C ． x 为任意实数 D ． 1e x e -<<
二、填空题（每小题3分，3×6＝18分） 1、已知幂级数1n n n a x ∞ =∑在2x =处条件收敛，则它的收敛半径为 ． 2、若数项级数1 n n u ∞ =∑的第n 个部分和21 n n S n = +，则其通项n u = ，和S = ． 3、曲线1 y x = 与直线1x =，2x =及x 轴所围成的曲边梯形面积为 ． 4、已知由定积分的换元积分法可得，1 ()()b x x a e f e dx f x dx =??，则a = ，b = ． 5、数集(1) 1, 2 , 3, 1n n n n ?? -=??+?? L 的聚点为 ． 6、函数2 ()x f x e =的麦克劳林（Maclaurin ）展开式为 ． 65
北京理工大学2012-2013学年第一学期工科数学分析期末试题(A卷)试题2012-2(A)
1 北京理工大学2012-2013学年第一学期 工科数学分析期末试题(A 卷) 一. 填空题（每小题2分, 共10分） 1. 设?????<≥++=01arctan 01)(x x x x a x f 是连续函数，则=a ___________. 2. 曲线θρe 2=上0=θ的点处的切线方程为_______________________________. 3. 已知),(cos 4422x o bx ax e x x ++=- 则_,__________=a .______________=b 4. 微分方程1cos 2=+y dx dy x 的通解为=y __________________________________. 5. 质量为m 的质点从液面由静止开始在液体中下降, 假定液体的阻力与速度v 成正比, 则质点下降的速度)(t v v =所满足的微分方程为_______________________________. 二. (9分) 求极限 21 0)sin (cos lim x x x x x +→. 三. (9分) 求不定积分?+dx e x x x x )1arctan (12. 四. (9分) 求322)2()(x x x f -=在区间]3,1[-上的最大值和最小值. 五. (8分) 判断2 12arcsin arctan )(x x x x f ++= )1(≥x 是否恒为常数. 六. (9分) 设)ln(21arctan 22y x x y +=确定函数)(x y y =, 求22,dx y d dx dy . 七. (10分) 求下列反常积分. (1);)1(1 22?--∞+x x dx (2) .1)2(1 0?--x x dx 八. (8分) 一垂直立于水中的等腰梯形闸门, 其上底为3m, 下底为2m, 高为2m, 梯形的上底与水面齐平, 求此闸门所受 到的水压力. (要求画出带有坐标系的图形) 九. (10分) 求微分方程x e x y y y 3)1(96+=+'-''的通解. 十. (10分) 设)(x f 可导, 且满足方程a dt t f x x x f x a +=+?)())((2 ()0(>a , 求)(x f 的表达式. 又若曲线 )(x f y =与直线0,1,0===y x x 所围成的图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为,6 7π 求a 的值. 十一. (8分) 设)(x f 在]2,0[上可导, 且,0)2()0(==f f ,1sin )(1 21 =?xdx x f 证明在)2,0(内存在ξ 使 .1)(='ξf
数学分析试题及答案解析
2014---2015学年度第二学期 《数学分析2》A 试卷 学院班级学号（后两位）姓名 一. 1.若f 2.. . . 二. 1.若()x f 在[]b a ,上可积，则下限函数()?a x dx x f 在[]b a ,上（） A.不连续 B.连续 C.可微 D.不能确定 2.若()x g 在[]b a ,上可积，而()x f 在[]b a ,上仅有有限个点处与()x g 不相等，则（） A.()x f 在[]b a ,上一定不可积；
B.()x f 在[]b a ,上一定可积,但是()()??≠b a b a dx x g dx x f ； C.()x f 在[]b a ,上一定可积，并且()()??=b a b a dx x g dx x f ； D.()x f 在[]b a ,上的可积性不能确定. 3.级数()∑∞ =--+1 21 11n n n n A.发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D.不确定 4. A.B.C.D.5.A.B.C.D.三.1.()()()n n n n n n n +++∞→ 211lim 2.()?dx x x 2cos sin ln 四.判断敛散性（每小题5分，共15分） 1.dx x x x ? ∞ +++-0 2 113
2.∑ ∞ =1 !n n n n 3.()n n n n n 21211 +-∑ ∞ = 五.判别在数集D 上的一致收敛性（每小题5分，共10分） 1.()()+∞∞-=== ,,2,1,sin D n n nx x f n 2. 求七.八.
2014---2015学年度第二学期 《数学分析2》B 卷?答案 学院班级学号（后两位）姓名 一、 二.三. 而n 分 2.解：令t x 2sin =得 ()dx x f x x ? -1=()() t d t f t t 222 2sin sin sin 1sin ? -----------------2分 =tdt t t t t t cos sin 2sin cos sin ? =?tdt t sin 2-----------------------------------4分
数学分析试题集锦
June21,2006 2002 1.(10) lim x→0( sin x1?cos x . 2.(10)a≥0x1=√2+x n n=1,2,... lim n→∞ x n 3.(10)f(x)[a,a+α]x∈[a,a+α]f(x+α)?f(x)= 1 1?x2+arcsin x f′(x). 5.(10)u(x,y)u ?2u ?x?y + ?2u x2+y2dx dy dz,?z=
x2+y2+z2=az(a>0) 8.(10) ∞ n=1ln cos1 ln(1+x2) 2 √ (2).{n . ?x (4). L(e y+x)dx+(xe y?2y)dy.L O(0,0),A(0,1),B(1,2) O B OAB. √ 2.(15)f(x)=3
4. 15 f (x )[0,1] sup 0 (5).e x=1+x+x2 n1 4≤e x+y?2. 5.(12)F(x)= Γf(xyz)dxdydy,f V={(x,y,z)|0≤x≤t,0≤y≤t,0≤z≤t}(t>0), F′(t)=3 a+n √ 2 n(a>0,b>0) (2).lim n→∞ 10x n√ 2 0dx 3 . (5).F(t)= x2+y2+z2=t2f(x,y,z)dS, f(x,y,z)= x2+y2,z≥ x2+y2 第三学期《数学分析》期末试题 一、 选择题：（15分，每小题3分） 1、累次极限存在是重极限存在的（ ） A 充分条件 B 必要条件 C 充分必要条件 D 无关条件 2、 =??),(00|) ,(y x x y x f （ ） A x y x f y y x x f x ?-?+?+→?),(),(lim 00000 ； B x y x x f x ??+→?) ,(lim 000； C x y x x f y y x x f x ??+-?+?+→?),(),(lim 00000 ； D x y x f y x x f x ?-?+→?) ,(),(lim 00000。 3、函数f (x,y )在（x 0,,y 0）可偏导，则（ D ） A f (x,y )在（x 0,,y 0）可微 ； B f (x,y )在（x 0,,y 0）连续； C f (x,y )在（x 0,,y 0）在任何方向的方向导数均存在 ； D 以上全不对。 4、2 222 2) (),(y x y x y x y x f -+=的二重极限和二次极限各为（ B ） A 、0，0，0； B 、不存在，0，0，； C 、0，不存在，0； D 、0，0，不存在。 5、设y x e z =，则=??+??y z y x z x （ A ） A 、0； B 、1； C 、-1； D 、2。 二、计算题（50分，每小题10分） 1、 证明函数?? ? ??=+≠++=0 00),(22222 2y x y x y x xy y x f 在（0，0）点连续且可偏导， 但它在该点不可微； 2、 设 ??'=-x x t x f x f dt d e x f 0) (),(,)(2 求ττ； 3、 设有隐函数,0 x y F z z ??= ???,其中F 的偏导数连续,求z x ??、z y ??； 4、 计算 (cos sin ) x C e ydx ydy -? ，其中C 是任一条以为(0,0)A 起点、(,)B a b 为终点 的光滑曲线； 5、 计算 zdS ∑ ??，其中∑为22 z x y =+在 1 4z ≤ 的部分； 三、验证或解答（满分24分，每小题8分） 数学分析题库（1-22章） 五．证明题 1．设A ，B 为R 中的非空数集，且满足下述条件： （1）对任何B b A a ∈∈,有b a <； （2）对任何0>ε，存在B y A x ∈∈,，使得ε<-x Y . 证明：.inf sup B A = 证 由（1）可得B A inf sup ≤.为了证B A inf sup =，用反证法.若B A inf sup π，设 B y A x A B ∈∈?=-,,sup inf 0ε，使得0ε≥-x y . 2.设A ，B 是非空数集，记B A S ?=，证明： （1）{}B A S sup ,sup max sup =； （2）{}B A S inf ,inf min inf = 证（1）若A ，B 中有一集合无上界，不妨设A 无上界，则S 也是无上界数集，于是+∞=+∞=S A sup ,sup ，结论成立.若A ，B 都是有上界数集，且A B sup sup ≤，现设法证明:sup sup A S = （ⅰ）S x ∈?，无论A x ∈或B x ∈，有;sup A x ≤ （ⅱ）000,,sup ,x A x A εε??∈->>于是,0S x ∈ 0sup .x A > 同理可证（2）. 3. 按N -ε定义证明 3 52325lim 22=--+∞→n n n n 证 3 5 23252 2---+n n n ) 23(34 32-+= n n ≤ 2234n n ? （n>4） n 32=， 取? ?? ???+??????=4,132max εN ，当n>N 时， 3 5 23252 2---+n n n <ε. 注 扩大分式是采用扩大分子或缩小分母的方法.这里先限定n>4，扩大之后的分式 数学分析1 期末考试试卷（A 卷） 一、填空题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分） 1、设 82lim =?? ? ??-+∞→x x a x a x ， 则 =a 。 2、设函数) 2(1 )(--=x x e x f x ，则函数的第一类间断点是 ，第二类间断点 是 。 3、设)1ln(2 x x y ++=，则=dy 。 4、设)(x f 是连续函数，且dt t f x x f )(2)(1 0?+=，则=)(x f 。 5、xdx arctan 1 ?= 。 二、单项选择题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分） 1、设数列n x 与数列n y 满足0lim =∞ →n n n y x ，则下列断言正确的是（ ）。 （A ）若n x 发散，则n y 必发散。 （B ）若n x 无界，则n y 必无界。 （C ）若n x 有界，则n y 必为无穷小。 （D ）若n x 1 为无穷小，则n y 必为无穷小。 2、设函数x x x f =)(，则)0(f '为（ ）。 （A ） 1。 （B ）不存在。 （C ） 0。 （D ） -1。 3、若),() ()(+∞<<-∞=-x x f x f 在)0(，-∞内0)(,0)(<''>'x f x f ，则 )(x f 在),0(+∞内有（ ）。 （A ）0)(,0)(<''>'x f x f 。 （B ）0)(,0)(>''>'x f x f 。 （C ）0)(,0)(<''<'x f x f 。 （D ）0)(,0)(>''<'x f x f 。 4、设)(x f 是连续函数，且? -=dt t f x F x e x )()(，则)(x F '等于（ ） 。 （A ）() )(x f e f e x x ----。 （B ）() )(x f e f e x x +---。 （C ） () )(x f e f e x x --- 。 （D ）() )(x f e f e x x +--。 5、设函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3 π =x 处取得极值，则（ ）。 （A ）)3(,1πf a =是极小值。 （B ）)3 (,1π f a =是极大值。 （C ）)3(,2πf a =是极小值。 （D ）)3 (,2π f a =是极大值。 三、计算题（本题共7个小题，每小题6分，满分42分） 1、求 ) 1ln(sin 1tan 1lim 30x x x x ++-+→ 2、设4lim 221=-++→x x b ax x x ，求 b a 、。 《数学分析Ⅱ》期中考试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1、曲线2x 2 +3y 2 + z 2 =9, z 2 =3x 2 + y 2 在点 ( 1, -1, 2 )的法平面方程是（ 1 ） A 、8x+10y+7z-12=0； B 、8x+10y+7z+12=0； C 、8x -10y+7z-12=0； D 、8x+10y+7z+12=0 2、L 为单位圆周，则 L y ds =? （ 4 ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 3、L 为从( 1, 1, 1 )到( 2, 3, 4 )的直线段，则 L zdx xdz +? = （ 3 ） A 、3 B 、5 C 、7 D 、9 4、 ()1 3x y x y dxdy +≤+?? =（ 2 ） A 、2 B 、4 C 、6 D 、8 5、 02 11(,)y dy f x y dx --? ? ，改变积分顺序得（ 1 ） A 、2 110 (,)x dx f x y dy -?? B 、2 111(,)x dx f x y dy --?? C 、 2 11 (,)x dx f x y dy +? ? D 、2 11 1 (,)x dx f x y dy +-?? 6、V=[-2, 5]?[-3, 3]?[0,1]，则 2()V xy z dv +??? =（ 3 ） A 、1 B 、7 C 、14 D 、21 7、密度为1的均匀单位圆盘对于它的直径的转动惯量为( 4 ) A 、π B 、 π/2 C 、π/3 D 、π/4 8、曲面S 为上半单位球面z =S yzdxdz ?? =（ 2 ） A 、π/2 B 、 π/4 C 、π/6 D 、π/8 9、函数2 3 u x y xz =++的梯度场在（1,1,1）的旋度为（ 2 ） A 、（1,1,1） B 、（0,0,0） C 、（1,0,1） D 、（0,1,1） 10、下面反常积分收敛的有（ 3 ）个。 0cos x e xdx -∞ ? ，10 ? ，3cos ln x dx x +∞?，20?，1+∞? A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 二、填空题（28分，每空4分） 1、区域Ω由1z =与22 z x y =+围成的有界闭区域，则 (,,)f x y z dv Ω ??? 在直角坐标下的三 次积分为 柱坐标下三次积分 2003南开大学年数学分析 一、设),,(x y x y x f w -+=其中),,(z y x f 有二阶连续偏导数，求xy w 解：令u=x+y ,v=x-y ,z=x 则z v u x f f f w ++=； )1()1()1(-++-++-+=zv zu vv vu uv uu xy f f f f f f w 二、设数列}{n a 非负单增且a a n n =∞ →lim ，证明a a a a n n n n n n =+++∞ →1 21 ] [lim 解：因为an 非负单增，故有n n n n n n n n n na a a a a 1 1 21)(][≤ +++≤ 由 a a n n =∞ →lim ；据两边夹定理有极限成立。 三、设? ? ?≤>+=0 ,00),1ln()(2 x x x x x f α试确定α的取值范围，使f(x)分别满足： （1） 极限)(lim 0x f x + →存在 （2） f(x)在x=0连续 （3） f(x)在x=0可导 解：（1）因为 )(lim 0x f x + →=)1ln(lim 20x x x ++ →α=)]()1(2[lim 221420n n n x x o n x x x x +-++--→+ α极限存在则2+α0≥知α2-≥ (2)因为)(lim 0 x f x - →=0=f(0)所以要使f(x)在0连续则2->α （3）0)0(='- f 所以要使f(x)在0可导则1->α 四、设f(x)在R 连续，证明积分ydy xdx y x f l ++?)(22与积分路径无关 解；令U=22 y x +则ydy xdx y x f l ++?)(22=2 1du u f l )(?又f(x)在R 上连续故存在F （u ） 使dF(u)=f(u)du=ydy xdx y x f ++)(22 所以积分与路径无关。 （此题应感谢小毒物提供思路） 五、 设 f(x)在[a,b]上可导， 0)2 (=+b a f 且 M x f ≤')(,证明 2) (4)(a b M dx x f b a -≤? 证：因f(x)在[a,b]可导，则由拉格朗日中值定理，存在 中央财经大学2014—2015学年 数学分析期末模拟考试试卷（A 卷） 姓名： 学号： 学院专业： 联系方式： 一、填空题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分） 1、设 82lim =?? ? ??-+∞→x x a x a x ， 则 =a 。 2、设函数) 2(1 )(--=x x e x f x ，则函数的第一类间断点是 ，第二类间断点 是 。 3、设)1ln(2 x x y ++=，则=dy 。 4、设)(x f 是连续函数，且dt t f x x f )(2)(1 0?+=，则=)(x f 。 5、xdx arctan 1 ?= 。 二、单项选择题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分） 1、设数列n x 与数列n y 满足0lim =∞ →n n n y x ，则下列断言正确的是（ ）。 （A ）若n x 发散，则n y 必发散。 （B ）若n x 无界，则n y 必无界。 （C ）若n x 有界，则n y 必为无穷小。 （D ）若n x 1 为无穷小，则n y 必为无穷小。 2、设函数x x x f =)(，则)0(f '为（ ）。 （A ） 1。 （B ）不存在。 （C ） 0。 （D ） -1。 3、若),() ()(+∞<<-∞=-x x f x f 在)0(，-∞内0)(,0)(<''>'x f x f ，则 )(x f 在),0(+∞内有（ ）。 （A ）0)(,0)(<''>'x f x f 。 （B ）0)(,0)(>''>'x f x f 。 （C ）0)(,0)(<''<'x f x f 。 （D ）0)(,0)(>''<'x f x f 。 4、设)(x f 是连续函数，且? -=dt t f x F x e x )()(，则)(x F '等于（ ） 。 （A ）() )(x f e f e x x ----。 （B ）() )(x f e f e x x +---。 （C ） () )(x f e f e x x --- 。 （D ）() )(x f e f e x x +--。 5、设函数x x a x f 3sin 31sin )(+ =在3 π =x 处取得极值，则（ ） 。 （A ）)3(,1πf a =是极小值。 （B ）)3 (,1π f a =是极大值。 （C ）)3(,2πf a =是极小值。 （D ）)3 (,2π f a =是极大值。 三、计算题（本题共7个小题，每小题6分，满分42分） 1、求 ) 1ln(sin 1tan 1lim 3 x x x x ++-+→ 2、设4lim 221=-++→x x b ax x x ，求 b a 、。 （二十一）数学分析期终考试题 一 叙述题：（每小题5分，共15分） 1 开集和闭集 2 函数项级数的逐项求导定理 3 Riemann 可积的充分必要条件 二 计算题：（每小题7分，共35分） 1、 ? -9 1 31dx x x 2、求)0()(2 2 2 b a b b y x ≤<=-+绕x 轴旋转而成的几何体的体积 3、求幂级数 n n n x n ∑∞ =+1 2)11(的收敛半径和收敛域 4、1 1lim 2 2220 0-+++→→y x y x y x 5、2 2 ),,(yz xy x z y x f ++=，l 为从点P 0(2,-1,2)到点（-1，1，2）的方向， 求f l (P 0) 三 讨论与验证题：（每小题10分，共30分） 1、已知?? ???==≠+++=0 ,0001sin )(),(222 2 2 2y x y x y x y x y x f ，验证函数的偏导数在原点不连续， 但它在该点可微 2、讨论级数∑∞ =-+1 2211 ln n n n 的敛散性。 3、讨论函数项级数]1,1[)1( 1 1 -∈+-∑∞ =+x n x n x n n n 的一致收敛性。 四 证明题：（每小题10分，共20分） 1 若 ? +∞ a dx x f )(收敛，且f （x ）在[a ,+∞）上一致连续函数，则有0)(lim =+∞ →x f x 2 设二元函数),(y x f 在开集2R D ? 内对于变量x 是连续的，对于变量y 满足Lipschitz 条件： ''''''),(),(y y L y x f y x f -≤-其中L D y x y x ,),(),,('''∈为常数证明),(y x f 在D 内连续。 参考答案 一、1、若集合S 中的每个点都是它的内点，则称集合S 为开集；若集合S 中包含了它的所有的聚点，则称集合S 为闭集。 （十四） 《数学分析Ⅱ》考试题 一 填空（共15分，每题5分）： 1 设=∈-=E R x x x E sup ,|][{则 1 , =E inf 0 ; 2 设 =--='→5 ) 5()(lim ,2)5(5 x f x f f x 则54； 3 设?? ?>++≤=0 , )1ln(,0, sin )(x b x x ax x f 在==a x 处可导，则0 1 ， =b 0 。 二 计算下列极限：（共20分，每题5分） 1 n n n 1 )1 31211(lim ++++ ∞→ ; 解: 由于，n n n n 1 1)131211(1≤++++≤ 又，1lim =∞→n n n 故 。1)131211(lim 1 =++++∞→n n n 2 3 )(21lim n n n ++∞→； 解: 由stolz 定理, 3 )(21lim n n n ++∞→33)1()(lim --=∞→n n n n ) 1)1()(1(lim -+-+ -- =∞ →n n n n n n n n ) 1)1(2))(1(() 1(lim --+---+=∞→n n n n n n n n n .3 2)1)11(21 11lim 2=-- +- + =∞ →n n n n 3 a x a x a x --→sin sin lim ； 解: a x a x a x --→sin sin lim a x a x a x a x --+=→2sin 2cos 2lim .cos 2 2sin 2 cos lim a a x a x a x a x =--+=→ 4 x x x 10 ) 21(lim + →。 解: x x x 10 )21(lim +→.)21(lim 2 2 210e x x x =?? ??? ?+=→ 三 计算导数（共15分，每题5分）： 1 );(),1ln(1)(22x f x x x x f '++-+= 求 解: 。 1 11 11 1 1221122)(2 2 2 22 2+-= +- +=++++ - +='x x x x x x x x x x x x f 2 解: 3 设。 求)100(2 ,2sin )23(y x x y -= 解: 由Leibniz 公式 )23()2(sin )23()2(sin )23()2(sin 2)98(2 1002)99(11002)100(0100)100(' '-+'-+-=x x C x x C x x C y 6)2sin(26)2sin(2100)23)(2sin(22 98982991002999922100100?+++?+-+=?πππx x x x x x x x x x 2sin 2297002cos 26002sin )23(298992100?-?--= 。 ]2cos 12002sin )22970812[(2298x x x x --= 四 （12分）设0>a ，}{n x 满足： ,00>x ,2,1,0),(211 =+= +n x a x x n n n ;sin cos 33 表示的函数的二阶导数求由方程???==t a y t a x , tan sin cos 3cos sin 3)cos ()sin (22 33t t t a t t a t a t a dx dy -=-=''=。t t a t t a t dx y d sin cos 3sec )cos (sec 223222='-=数学系第三学期数学分析期末考试题及答案
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