待定系数法求递推数列通项公式

待定系数法求递推数列

通项公式

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用待定系数法求递推数列通项公式初探

摘要: 本文通过用待定系数法分析求解9个递推数列的例题，得出适用待定系数法求其通项公式的七种类型的递推数列，用于解决像观察法、公式法、迭乘法、迭加法、裂项相消法和公式法等不能解决的数列的通项问题。关键词:变形对应系数待定递推数列

数列在高中数学中占有重要的地位，推导通项公式是学习数列必由之路，特别是根据递推公式推导出通项公式，对教师的教学和学生的学习来说都是一大难点，递推公式千奇百怪，推导方法却各不相同，灵活多变。对学生的观察、分析能力要求较高，解题的关键在于如何变形。常见的方法有观察法、公式法、迭乘法、迭加法、裂项相消法和公式法。但是对比较复杂的递推公式，用上述方法难以完成，用待定系数法将递推公式进行变形，变成新的数列等差数列或等比数列。下面就分类型谈谈如何利用待定系数法求解几类数列的递推公式。

一、1n n a pa q +=+ 型（p q 、为常数，且0,1pq p ≠≠）例题1.在数列{}n a 中，11a =,121n n a a +=+,试求其通项公式。

分析：显然，这不是等差或等比数列，但如果在121n n a a +=+的两边同时加上1，整理为

112(1)n n a a ++=+，此时，把11n a ++和1n a +看作一个整体，或者换元，令111n n b a ++=+，那么1n n b a =+，即12n n b b +=，1112b a =+=，因此，数列{}1n a +或{}n b 就是以2为首项，以2为公比的等比数列

12n n a +=，或者2n n b =，进一步求出21n n

a =-。

启示：在这个问题中，容易看出在左右两边加上1就构成了新的等比数列{}1n a +，那不易看出在左右两边该加几后构成新的等比数列时，该怎么办呢

其实，已知121n n a a +=+，可变形为12()n n a a λλ++=+的形式，然后展开括号、移项后再与121n n a a +=+相比较，利用待定系数法可得21,1λλλ-==。

这样，对于形如1n n a pa q +=+（其中p q 、为常数，且0,1pq p ≠≠）的递推数列，先变为1()n n a p a λλ++=+的形式，展开、移项，利用待定系数法有 (1)p q λ-=，1

q p λ=

- 即 1()11

n n q q a p a p p ++

=+-- 则数列1n q a p ??

+??-?

?首项为1

,p 1q a p +-公比为的等比数列因此，形如1n n a pa q +=+这一类型的数列，都可以利用待定系数法来求解。那么，若q 变为()f n ,()f n 是关于n 非零多项式时，该怎么办呢是否也能运用待定系数法呢

二 (0,1)1a pa qn r pq p n n

=++≠≠+且型

例题2.在数列{}n a 中，11a =,1231n n a a n +=++,试求其通项公式。

分析：按照例题1的思路，在两边既要加上某一常数同时也要加上n 的倍数，才能使新的数列有一致的形式。先变为1(1)2()1n n a n a n λλλ+++-=++，展开比较得3,λ=即进一步

则数列{}34n a n ++是11314831482a a +?+=+?+=首项为公比为的等比数列，所以 1234822n n n a n -+++=?=，2234n n a n +=--

同样，形如1

pa qn r n n

=+++的递推数列，设1(1)()n n a x n y p a xn y ++++=++展

开、移项、整理，比较对应系数相等，列出方程(1)(1)p x q

p y x r -=??--=?

解得 2

11(1)1q x p x r q r y p p p ?

=?-?

?+?==+?---?

即122

(1)1(1)11(1)1n n q q r q q r a n p a n p p p p p p +??

+++=+++??------??

则数列2

1(1)1n q q r a n p p p ??

+++??---??是以121(1)1q q r a p p p +++---为首项，以p 为公比的等比数列。于是就可以进一步求出{}n a 的通项。

同理，若()1a pa f n n n =++其中()f n 是关于n 的多项式时，也可以构造新的等比数

列，利用待定系数法求出其通项。比如当2()f n qn rn s =++=时，可设展开根据对应系数分别相等求解方程即可。

()f n 为n 的三次、四次、五次等多项式时也能用同样的思路和方法进行求解。而如果当()f n 是n 的指数式，即()n f n q r =+时，递推公式又将如何变形呢三 (0,1,1,)1n a pa rq s pqr p q p q n n

=++≠≠≠≠+型且

例题3.在数列{}n a 中，11a =,132n n n a a +=+,试求其通项n a 。

分析1：由于132n n n a a +=+与例题1的区别在于2n 是指数式，可以用上面的思路进行变形，在两边同时加上22n ?变为112332n n n n a a +++=+?即

则数列{}2n n a +是首项为3，公比为3的等比数列23n n n a +=，则分析2：如果将指数式先变为常数，两边同除12n + 就回到了我们的类型一。进一步也可求出32n n n a =-。

例题4.在数列{}n a 中，13a =,13524n n n a a +=+?+,试求{}n a 的通项n a 。分析：若按例题3的思路2，在两边同时除以12n +，虽然产生了11

n n a ++、2n

n a ，但是又增加了

n +，与原式并没有大的变化。所以只能运用思路1，在两边同时加上102n ?整理

进一步

则数列{}522n n a +?+是首项为15，公比为3的等比数列即 5(32)2n n n a =--

启示：已知数列{}n a 的首项，1(01,1,)n n n a pa rq s pqr p q q p +=++≠≠≠≠且

1）当0s =,即1n n n a pa rq +=+由例题3知，有两种思路进行变换，利用待定系数法构造首项和公比已知或可求的等比数列。

思路一：在两边同时除以1n q +，将不含1n n a a +和的项变为常数，即

为前面的类型一，再用类型一的待定系数法思想可得数列1n n r a q p q q ?

?????

+????

-????

最终求解出{}n a 的通项。

思路二：在两边同时加上n q 的倍数，最终能变形为11()n n n n a xq p a xq +++=+ 对应系数相等得 ()p q x r -=，即r

x p q

- 即 11()n n n n r r a q p a q p q p q

+++

?=+?-- 求出数列n n r

a q p q ??+

???-??的通项，进一步求出{}n a 的通项。 2）当0s ≠时，即1n n n a pa rq s +=++

由例4可知只能在选择思路二，两边既要加n q 的倍数，也要加常数，最终能变形为

11()n n n n a xq y p a xq y ++++=++

比较得x ，y 的方程组于是 11()11

n n n n r s r s a q p a q p q p p q p +++

?+=+?+---- 求出数列1n n r s a q p q p ??

+?+??--?

?的通项，进一步求出{}n a 的通项。四：2112()(,n n n a pa qa f n a a ++=++型已知其中()f n 可以为常数、n 的多项式或指数式）以()f n =0为例。

例题5.在数列{}n a 中，122121

1,2,33

n n n a a a a a ++===+,试求{}n a 的通项。

分析：这是三项之间递推数列，根据前面的思路，可以把1n a +看做常数进行处理，可变

为2111

()3n n n n a a a a +++-=--，先求出数列{}1n n a a +-的通项

然后利用累加法即可进一步求出{}n a 的通项n a 。

对于形如21n n n a pa qa ++=+的递推数列，可以设211()n n n n a xa y a xa ++++=+展开，利用

对应系数相等，列方程x y p

xy q

-=??

于是数列{}1n n a xa ++就是以21a xa +为首项，y 为公比的等比数列，不难求出

{}1n n a xa ++的通项进一步利用相关即可求出n a 。

同理，21()n n n a pa qa f n ++=++当()f n 为非零多项式或者是指数式时，也可结合前面的思路进行处理。问题的关键在于先变形

然后把1n n a xa ++看做一个整体就变为了前面的类型。

五：1(10,1)r n n a p a p p R r r ++=?≠∈≠≠且，型，{}n a 为正项数列例题6.在数列{}n a 中，2111,2n n a a a +==，试求其通项n a 。

分析：此题和前面的几种类型没有相同之处，左边是一次式，而右边是二次式，关键在于通过变形，使两边次数相同，由于0n a >，所以可联想到对数的相关性质，对

212n n a a +=两边取对数，即就是前面的类型一了，即

变形得 1

n n a --=

对于类似1(10,1)r n n a p a p p R r r ++=?≠∈≠≠且，的递推数列，由于两边次数不一致，又是正项数列，所以可以利用对数性质，两边同时取对数，得

然后就是前面的类型一了，就可以利用待定系数法进一步构造数列1lg lg 1n p a r +?

?+??-??为已

知首项和公比的等比数列了。求出1lg lg 1n p a r +?

?+??-??最终就可以得出{}n a 的通项。

同样，如果将1(10,1)r n n a p a p p R r r ++=?≠∈≠≠且，中的p 换为指数式n q 时，同样可以利用相同的方法。即：1(10,1)n r n n a q a q q R r r ++=?≠∈≠≠且，两边取对数 1lg lg()lg lg n r n n n a q a r a n q +=?=+ 变为类型二 1lg (1)(lg )n n a x n y r a xn y ++++=++ 即可进一步得出{}n a 的通项。

以上是一些整式型的递推数列通项公式的求解，接下来再看看比较复杂的分式型递推数列。六：1(0)n n n ra s

a pr pa q

++=

≠+型

例题7.在数列{}n a 中，111,32

n n a a a a +==

+，试求其通项n a 。

分析：这是一个分式型数列，如果去分母变为11320n n n n a a a a +++-=后就无法进行处理了。两边同时取倒数就是前面的类型一了。

1323n n a a +??+=+ ???

所以数列13n a ??+????

是首项为11

34a +=，公比为2的等比数列，不难求出

例题8.在数列{}n a 中，112

1,32

n n n a a a a ++==

+，试求其通项n a 。

分析：此题比例题7的区别多了常数项，两边取倒

左右两边

11n a +与12

n a +并不一致。但可以对照例题7的思路，取倒数之后分母会具有一致的结构，根据等式和分式的性质，我们可在两边同时加上某一常数，整理：此时如果

2231x x x +=+，那么递推式左边和右边分母就一致了。解方程得122

,13

x x =-= 因此 12123332

n n n a a a +?

?-- ???

-=+

此时可选择其中一个递推式按照例题7的方式进行处理，这里选择1141132

n n n a a a ++++=+（）

，

两边取倒

回到了类型一

3113

()15415

n n a a +-=--++

根据类型一的方法易求出：现在我们将两式相比：

则数列231n n a a ??-??

??+????是我已知首项和公比的等比数列，进一步化简求出n a 。

通过以上两个例题可知，形如1(0)n n n ra s

a pr pa q

++=≠+这一类型的递推数列，对学生

的综合能力要求较高。

1、如果右边分子缺常数项，即0s =，那么直接对两边取倒数即可得：此时，若

1q r =，那就是我们熟悉的等差数列，若1q

≠，那就是前面的类型一——用待定系数法求解。

2、若0s ≠，就需要先变形，使左边和右边分子结构一致。两边同时加上某一个常数(x ) 然后令

s qx

x r px

+=+，解出x 的值。

而另一种思路是直接设1n n n ra s

a pa q

++=

+变形之后为

然后展开，根据对应项系数相等得二元方程组求出,x y 。

两种思路都是解x 的一元二次方程，设其解为12,x x 。

若12x x =时，那就只能利用例题7的方法，两边取倒数，部分分式整理即可转变为类型一。最终求出n a 。

当12x x ≠时，可以选择其中的一个按照上面的方式进行求解，但是此时计算量颇大，于是直接将两式相比得：

所以数列12n n a x a x ??+??+??

是首项为1112a x a x ++，公比为12y

y 的等比数列。进一步求出n a 。

七：221(0,2,40)n n n ra s

a pr p r q rs pa q

++=≠=+>+型

例题9.在数列{}n a 中，2113

2,22

n n n a a a a ++==+，试求其通项n a 。

分析：本题属于分式非线性递推式，与类型五又有相似之处，所以我们可以结合类型五、六的思路，进行变换：

两边同时加上某个常数，设最终变为：与原式比较，对应系数相等，得解方程得 121,3x x =-= 即有：

对单个式子进行处理，无从下手，两式相比得然后，两边取对数得：

则数列3lg 1n n a a ??+??

-??

是首项为113

lg lg51a a +=-，公比为2的等比数列。进一步解得 1

22253415

n n n n a ---+=

显然，按照例题9的思路，形如21(0)n n n ra s

a pr pa q ++=≠+这一类型的参数p q r s

、、、必须满足一定的条件，所得方程应有两个不相等的实根。现在来探讨应该满足哪些条件

设22

1()n n n n n ra s r a x a x x pa q pa q ++++=+=

++，即：所以 2222n n n n ra xpa xq s ra rxa rx +++=++ 对应系数相等得 22,0p r rx qx s =--= 方程20rx qx s --=要满足240q rs ?=+> 设方程的两根为12,x x 则有两式相比得

111122n n n n a x a x a x a x ++??

++= ?++??

两边取对数得 111122

2lg n n n n a x a x

a x a x ++++=++

数列12lg n n a x a x ??+??+??

是首项为111lg 2a x

a x ++，公比为2的等比数列。

求出12lg n n a x a x ??

+??+??

的通项再整理一下就得出了{}n a 的通项，问题就得以解决了。

本文主要是通过例题的分析讲解，并进行归纳总结概括而形成的，是我在平时的学习中，通过平时自己的一些积累和参考其他作者的思路，对用待定系数法求解递推数列的初步探讨和认识。例题的深度层层深入，前面的类型是后面的基础，特别是第一种类

型，是学习其他几种类型的充分依据，其他的类型最终都会转变为第一种类型之后再进行求解。

参考文献

[1]李春雷用不动点法探究递推数列的通项公式[J].中学数学研究期

[2]用待定系数法求解递推数列的通项公式[J].中学数学研究期

[3]例析待定系数法求解递推数列的通项公式[J].中学数学研究期

求递推数列的通项公式的十一种方法

求递推数列的通项公式的十一种方法利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值.自从二十世纪八十年代以来，这一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一. 一、作差求和法例1 在数列{n a }中，31=a ,) 1(1 1++=+n n a a n n ，求通项公式n a . 解：原递推式可化为：1111+- + =+n n a a n n 则,211112-+=a a 3 1 2123-+=a a 413134-+=a a ，……，n n a a n n 1111--+=-逐项相加得：n a a n 111-+=.故n a n 1 4-=. 二、作商求和法例2 设数列{n a }是首项为1的正项数列，且0)1(12 2 1=+-+++n n n n a a na a n （n=1,2,3…），则它的通项公式是n a =▁▁▁（2000年高考15题）解：原递推式可化为： )]()1[(11n n n n a a na a n +-+++=0 ∵ n n a a ++1＞0， 1 1+=+n n a a n n 则 ,43,32,21342312===a a a a a a ……，n n a a n n 11-=- 逐项相乘得：n a a n 11=，即n a =n 1 . 三、换元法例3 已知数列{n a }，其中913,3421== a a ，且当n ≥3时，)(3 1 211----=-n n n n a a a a ，求通项公式n a （1986年高考文科第八题改编）. 解：设11---=n n n a a b ，原递推式可化为： }{,3121n n n b b b --=是一个等比数列，9134913121=-=-=a a b ，公比为31 .故 n n n n b b )31()31(91)31(2211==?=---.故n n n a a )31(1=--.由逐差法可得：n n a )3 1 (2123-=. 例4已知数列{n a }，其中2,121==a a ，且当n ≥3时，1221=+---n n n a a a ，求通项公式n a 。解由1221=+---n n n a a a 得：1)()(211=------n n n n a a a a ，令11---=n n n a a b ，则上式为 121=---n n b b ，因此}{n b 是一个等差数列，1121=-=a a b ，公差为1.故n b n =.。由于112312121-=-++-+-=+++--n n n n a a a a a a a b b b 又2 ) 1(121-=+++-n n b b b n 所以)1(211-= -n n a n ，即)2(2 1 2+-=n n a n

九类常见递推数列求通项公式方法

递推数列通项求解方法举隅类型一：1n n a pa q +=+（1p ≠）思路1（递推法）：()123()n n n n a pa q p pa q q p p pa q q q ---??=+=++=+++=?? ……121(1n p a q p p -=++++…211)11n n q q p a p p p --??+=+ ?+ ? --??。思路2（构造法）：设()1n n a p a μμ++=+，即()1p q μ-=得1 q p μ= -，数列{}n a μ+是以1a μ+为首项、p 为公比的等比数列，则1 111n n q q a a p p p -??+ =+ ?--?? ，即1111n n q q a a p p p -??=++ ? --?? 。例1 已知数列{}n a 满足123n n a a -=+且11a =，求数列{}n a 的通项公式。解：方法1（递推法）： ()123232(23)3222333n n n n a a a a ---??=+=++=+++=??…… 1223(122n -=++++ (211) 332)12232112n n n --+??+=+?+=- ? --?? 。方法2（构造法）：设()12n n a a μμ++=+，即3μ=，∴数列{}3n a +是以134a +=为首项、2为公比的等比数列，则1 1342 2n n n a -++=?=，即123n n a +=-。类型二：1()n n a a f n +=+ 思路1（递推法）： 123(1)(2)(1)(3)(2)(1)n n n n a a f n a f n f n a f n f n f n ---=+-=+-+-=+-+-+-= …1 11 ()n i a f n -==+ ∑。

(完整版)已知数列递推公式求通项公式的几种方法

求数列通项公式的方法一、公式法例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。解：1232n n n a a +=+?两边除以12n +，得 113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2 n n a 是以1222 a 1 1==为首项，以23 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222 n n a n =-。评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+?转化为 11 3 222 n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22 n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。二、累加法例2 已知数列{}n a 满足1121 1n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 11232211 2 ()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1 2[(1)(2)21](1)1 (1)2(1)1 2 (1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++=L L L 所以数列{}n a 的通项公式为2 n a n =。评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-++-+-+L ，即得数列{}n a 的通项公式。

常见递推数列通项公式的求法

数列复习课（3）———常见递推数列通项公式的求法主备人：刘莉苹组长：李英时间：2013-9-16 教学目标： 1.通过求出数列前几项，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据特殊的递推公式求出数列的通项公式. 2.掌握把一些简单的数列变形转化为等差数列、等比数列的方法，体验解决数列问题的基本方法及理解运用的过程. 教学重点：处理递推关系的基本方法. 教学难点：通过变形转化成等差、等比数列的有关问题. 研讨互助问题生成引入新课：由递推公式求数列的通项公式的类型：（1）（2）（3）（4）()n f pa a n n +=+1型数列（p 为常数）（5）n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。（6）递推公式为n S 与n a 的关系式()n n S f a = 即n a 与n s 的关系11(1)(2)n n n s n a s s n -=?=?-≥? （7）r n n pa a =+1)0,0(>>n a p （8）) ()()(1n h a n g a n f a n n n +=+ （9）周期型思考：各类型通项公式的求法？合作探究问题解决类型1 )(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。例1. 在数列{}n a 中,112,21,.n n n a a a n a +==+-求 1() n n a a f n +=+1() n n a a f n +=?1(0,1) n n a pa q p p +=+≠≠

变式: 1. 已知数列{}n a 满足211=a ，112 n n a a +=+，求n a . 2.若数列{}n b 满足11b =，112n n n b b +??-= ???(1)n ≥，求数列{}n b 的通项公式. 3.已知数列{}n a 满足211= a ，n n a a n n ++=+211，求n a 类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为 )(1n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例2:已知数列{}n a 满足321= a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。变式： 1. 已知31=a ，132n n a a += ，求n a 。 2.已知31=a ，n n a n n a 23131 +-=+ )1(≥n ，求n a 。

九类常见递推数列求通项公式方法

递推数列通项求解方法类型一：1n n a pa q += +（1p ≠）思路1（递推法）：()123()n n n n a pa q p pa q q p p pa q q q ---??=+=++=+++=?? ......121(1n p a q p p -=++++ (2) 1 1)11n n q q p a p p p --??+=+?+ ? --?? 。思路2（构造法）：设()1n n a p a μμ++=+，即()1p q μ-=得1 q p μ= -，数列 {}n a μ+是以1a μ+为首项、p 为公比的等比数列，则1 111n n q q a a p p p -??+ =+ ?--??，即1111n n q q a a p p p -??=++ ? --?? 。例1 已知数列{}n a 满足123n n a a -=+且11a =，求数列{}n a 的通项公式。解：方法1（递推法）： ()123232(23)3222333n n n n a a a a ---??=+=++=+++=?? (1) 22 3(122n -=++++ (2) 11 332 )12232112n n n --+??+=+?+=- ? --? ?。方法2（构造法）：设()12n n a a μμ++=+，即3μ=，∴数列{}3n a +是以134 a +=为首项、2为公比的等比数列，则113422n n n a -++=?=，即1 23n n a +=-。

1n n +思路1（递推法）： 123(1)(2)(1)(3)(2)(1)n n n n a a f n a f n f n a f n f n f n ---=+-=+-+-=+-+-+-= …1 11 ()n i a f n -==+∑。思路2（叠加法）：1(1)n n a a f n --=-，依次类推有：12(2)n n a a f n ---=-、 23(3)n n a a f n ---=-、…、21(1)a a f -=，将各式叠加并整理得1 11 ()n n i a a f n -=-= ∑ ，即 1 11 ()n n i a a f n -==+ ∑ 。例2 已知11a =，1n n a a n -=+，求n a 。解：方法1（递推法）：123(1)(2)(1)n n n n a a n a n n a n n n ---=+=+-+=+-+-+= ......1[23a =+++ (1) (1)(2)(1)]2 n i n n n n n n =++-+-+= = ∑ 。方法2（叠加法）：1n n a a n --=，依次类推有：121n n a a n ---=-、232n n a a n ---=-、…、 212a a -=，将各式叠加并整理得12 n n i a a n =-= ∑ ，12 1 (1)2 n n n i i n n a a n n ==+=+ = = ∑ ∑ 。

专题由递推关系求数列的通项公式(含答案)

专题由递推关系求数列的通项公式一、目标要求通过具体的例题，掌握由递推关系求数列通项的常用方法：二、知识梳理求递推数列通项公式是数列知识的一个重点，也是一个难点，高考也往往通过考查递推数列来考查学生对知识的探索能力，求递推数列的通项公式一般是将递推公式变形，推得原数列是一种特殊的数列或原数列的项的某种组合是一种特殊数列，把一些较难处理的数列问题化为熟悉的等差或等比数列。三、典例精析 1、公式法：利用熟知的公式求通项公式的方法称为公式法。常用的公式有???≥???????-=????????????????=-21 11n S S n S a n n n 及等差数列和等比数列的通项公式。例1 已知数列{n a }中12a =，2 +2n s n =，求数列{n a }的通项公式评注在运用1n n n a s s -=-时要注意条件2n ≥，对n=1要验证。 2、累加法：利用恒等式()()1211+......+n n n a a a a a a -=+--求通项公式的方法叫累加法。它是求型如 ()1+f n n n a a +=的递推数列的方法（其中数列(){}f n 的前n 项和可求）。例2 已知数列{n a }中112a =，121 ++32 n n a a n n +=+，求数列{n a }的通项公式评注此类问题关键累加可消中间项，而(f n ）可求和则易得n a 3、.累乘法：利用恒等式3 21121 n n n a a a a a a a a -=? ???????()0n a ≠求通项公式的方法叫累乘法。它是求型如()1n n a g n a +=的递推数列的方法(){}() g n n 数列可求前项积

已知数列递推公式求通项公式的几种方法

已知数列递推公式求通项公式的几种方法 Revised on November 25, 2020

求数列通项公式的方法一、公式法例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。解：1232n n n a a +=+?两边除以12n +，得 113222n n n n a a ++=+，则11 3 222 n n n n a a ++-=，故数列{}2n n a 是以1222 a 1 1==为首项，以23 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222n n a n =-。评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+?转化为 11 3 222 n n n n a a ++-=，说明数列{}2 n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出3 1(1) 22n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。二、累加法例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为 121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-+ +-+-+，即得数列{}n a 的通项公式。例3 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。解：由1231n n n a a +=+?+得1231n n n a a +-=?+则所以3 1.n n a n =+-

常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题

常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题【典型例题】 [例1] b ka a n n +=+1型。（1）1=k 时，}{1n n n a b a a ?=-+是等差数列，)(1b a n b a n -+?= （2）1≠k 时，设)(1m a k m a n n +=++ ∴ m km ka a n n -+=+1 比较系数：b m km =- ∴ 1-= k b m ∴ }1{-+ k b a n 是等比数列，公比为k ，首项为11-+k b a ∴ 11)1(1-?-+=-+ n n k k b a k b a ∴ 1)1(11--?-+=-k b k k b a a n n [例2] )(1n f ka a n n +=+型。（1）1=k 时，)(1n f a a n n =-+，若)(n f 可求和，则可用累加消项的方法。例：已知}{n a 满足11=a ，)1(1 1+= -+n n a a n n 求}{n a 的通项公式。解： ∵ 11 1)1(11+- =+= -+n n n n a a n n ∴ n n a a n n 1111--= -- 112121---=---n n a a n n 21 3132-- -=---n n a a n n …… 312123-= -a a 2 1112-=-a a

对这（1-n ）个式子求和得： n a a n 111- =- ∴ n a n 1 2- = （2）1≠k 时，当b an n f +=)(则可设)()1(1B An a k B n A a n n ++=++++ ∴ A B k An k ka a n n --+-+=+)1()1(1 ∴ ???=--=-b A B k a A k )1()1( 解得： 1-= k a A ，2)1(1-+-=k a k b B ∴ }{B An a n ++是以B A a ++1为首项，k 为公比的等比数列 ∴ 1 1)(-?++=++n n k B A a B An a ∴ B An k B A a a n n --?++=-11)( 将A 、B 代入即可（3）n q n f =)(（≠q 0，1）等式两边同时除以1 +n q 得q q a q k q a n n n n 1 11+?=++ 令 n n n q a C = 则q C q k C n n 1 1+ =+ ∴ }{n C 可归为b ka a n n +=+1型 [例3] n n a n f a ?=+)(1型。（1）若)(n f 是常数时，可归为等比数列。（2）若)(n f 可求积，可用累积约项的方法化简求通项。例：已知： 311= a ，1 121 2-+-=n n a n n a （2≥n ）求数列}{n a 的通项。解：123537532521232121212233 2211+= ?--?--?+-=???-----n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n ΛΛ ∴ 1 211231+= +? =n n a a n

考点20 递推公式求通项(第2课时)——2021年高考数学专题复习真题练习

考点20 递推公式求通项（第二课时）【题组一构造等差数列】 1．在数列中，若，，则。 {}n a 12a =()*121 n n n a a n a += ∈+N n a = 2．若数列中，，则这个数列的。 {}n a 11113n n n a a a a ，+== +n a = 3．已知数列满足，则数列的通项公式_______． {}n a ()* 112,222,n n n a a a n n N -==+≥ò{}n a n a =

4．在数列中，，且满足，则＝________ {}n a 13 2a = 11 3(2)32n n n a a n a --=≥+n a 【题组二构造等比数列】 1．已知数列中，，则数列通项公式为_____． {}n a () * 111,34,2n n a a a n N n -==+∈≥且{}n a

2.在数列{a n}中，a1＝3，且点P n(a n，a n＋1)(n∈N*)在直线4x－y＋1＝0上，则数列{a n}的通项公式为________． 3．在数列{a n}中，a1＝3，a n+1＝2a n﹣1（n∈N*），则数列{a n}的通项公式为。

4．已知数列满足，，则等于。 {}n a 1a 1=n 1n a 3a 4+=+n a 【题组三周期数列】 1．已知数列中，， ()，则等于。 {}n a 12a =11 1n n a a -=- 2n ≥2018a

2．已知数列满足，且，则。 {}n a 1(1)1n n a a +?-=11 2a =- 2020a = 3．设数列满足:,,则______. {}n a 112a = ()1 111n n n a a n a ++=≥-2016a = 4．数列中，，，（），则______. {}n a 11a =25a =21n n n a a a ++=-N n *∈2012a =

常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题

1 【典型例题】 [例 1] a n 1 (1)k (2) k 比较系数: {a n a n [例 2] a n 1 (1)k 例: 已知解: a n a n a 3 a n 常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题 ka n b 型。 1 时，a n 1 1时，设a n km m ka n 1 时, a n ｝是等比数列, (a i f (n) 型。 a n 1 a n {a n }满足a i a n a n a n a 2 对这（n b ｛a n ｝是等差数列, a n b n 佝 b) k(a n m) a n 1 ka n km 公比为 1) k ”1 f(n) k ，首项为 a n 1 a n a i a n (a 1 k n1 f （n ）可求和, 则可用累加消项的方法。 n （n 1）求｛a n ｝的通项公式。 1 n(n 1 ) a 2 a n 1 a n a 1 1 个式子求和得: a n a 1 a n 2 - n

(2) k1时, 当f(n) an b则可设a n A(n 1) B k(a n An B) a n 1 ka n (k 1)A n (k 1)B A (k (k 1)A 1)B 解得: a 2 (k 1) ,? {a n An B｝是以 a1 B为首项, k为公比的等比数列 a n An (a1 B) k n1 a n (a1 B) k n1An B将A、B代入即可 (3) f(n) 0, 1) 等式两边同时除以 a n 1 1 c n 1 得q a n n q C n 令C n 1 {C n}可归为a n 1 ka n b型 [例3] a n f(n) a n型。 (1)f(n)是常数时, 可归为等比数列。 f(n)可求积，可用累积约项的方法化简求通项。例：已知: a1 2n 1 a n 1 2n 1 2)求数列｛a n｝的通项。解: a n a n a n 1 a n 1 a n 2 a n a 1 a n 2 a n 3 k m a n 1 m a n 1 型。a3 a2 a2 a1 2n 1 2n 2n 1 2n 3 2n 5 5 3 3 2n 1 2n 3 7 5 2n 1 [例4]

常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题

.. . 常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题【典型例题】 [例1] b ka a n n +=+1型。（1）1=k 时，}{1n n n a b a a ?=-+是等差数列，)(1b a n b a n -+?= （2）1≠k 时，设)(1m a k m a n n +=++ ∴ m km ka a n n -+=+1 比较系数：b m km =- ∴ 1-= k b m ∴ }1{-+ k b a n 是等比数列，公比为k ，首项为11-+k b a ∴ 11)1(1-?-+=-+ n n k k b a k b a ∴ 1)1(11--?-+=-k b k k b a a n n [例2] )(1n f ka a n n +=+型。（1）1=k 时，)(1n f a a n n =-+，若)(n f 可求和，则可用累加消项的方法。例：已知}{n a 满足11=a ，)1(1 1+= -+n n a a n n 求}{n a 的通项公式。解： ∵ 11 1)1(11+- =+= -+n n n n a a n n ∴ n n a a n n 1111--= -- 112121---=---n n a a n n 21 3132-- -= ---n n a a n n ……

.. . 312123-= -a a 21112-=-a a 对这（1-n ）个式子求和得： n a a n 111- =- ∴ n a n 1 2- = （2）1≠k 时，当b an n f +=)(则可设)()1(1B An a k B n A a n n ++=++++ ∴ A B k An k ka a n n --+-+=+)1()1(1 ∴ ???=--=-b A B k a A k )1()1( 解得： 1-= k a A ，2)1(1-+-=k a k b B ∴ }{B An a n ++是以B A a ++1为首项，k 为公比的等比数列 ∴ 1 1)(-?++=++n n k B A a B An a ∴ B An k B A a a n n --?++=-1 1)( 将A 、B 代入即可（3）n q n f =)(（≠q 0，1）等式两边同时除以1 +n q 得q q a q k q a n n n n 1 11+?=++ 令 n n n q a C = 则q C q k C n n 1 1+ =+ ∴ }{n C 可归为b ka a n n +=+1型 [例3] n n a n f a ?=+)(1型。（1）若)(n f 是常数时，可归为等比数列。（2）若)(n f 可求积，可用累积约项的方法化简求通项。例：已知： 311= a ，1121 2-+-=n n a n n a （2≥n ）求数列}{n a 的通项。解：123537532521232121212233 2211+= ?--?--?+-=???-----n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n

递推公式求通项公式的几种方

由递推公式求通项公式的常用方法由数列的递推公式求通项公式是高中数学的重点问题，也是难点问题，它是历年高考命题的热点题。对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。方法一：累加法形如a n +1－a n ＝f (n )（n ＝2,3,4,…）,且f (1)＋f (2)＋…＋f (n -1)可求，则用累加法求a n 。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后利用这种方法求解。例1：（07年北京理工农医类）已知数列{a n }中，a 1＝2,a n ＋1＝a n ＋cn (c 是常数，n ＝1,2,3,…)且a 1,a 2,a 3成公比不为1的等比数列（1）求c 的值（2）求{a n }的通项公式解：（1）a1,a2,a3成公比不为1的等比数列 2 022)2(2)() ,3,2,1(111113 12 2===++?=+∴=+=?=∴+c c a c c a a c a n cn a a a a a n n 因此（舍去）或解得又（2）由（1）知n a a n a a n n n n 2,211=-+=++即，将n ＝1,2, …,n －1,分别代入 ) 1(2322 2121342312-=-?=-?=-?=--n a a a a a a a a n n 将上面n －1个式子相加得a n －a 1＝2(1＋2＋3＋…＋n －1)＝n 2 －n 又a 1＝2,a n ＝n 2 －n ＋2 方法二：累乘法形如 a n +1 a n ＝g (n )（n ＝2,3,4…），且f (1)f(2)…f (n －1)可求，则用累乘法求a n .有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。

备战2020数学高考三大类递推数列通项公式的求法

三大类递推数列通项公式的求法湖北省竹溪县第一高级中学徐鸿一、一阶线性递推数列求通项问题一阶线性递推数列主要有如下几种形式： 1. 这类递推数列可通过累加法而求得其通项公式(数列{f(n)}可求前n项和). 当为常数时，通过累加法可求得等差数列的通项公式．而当为等差数列时，则为二阶等差数列，其通项公式应当为形式，注意与等差数列求和公式一般形式的区别，后者是，其常数项一定为０． 2. 这类递推数列可通过累乘法而求得其通项公式(数列{g(n)}可求前n项积). 当为常数时，用累乘法可求得等比数列的通项公式． 3.；这类数列通常可转化为，或消去常数转化为二阶递推式 . 例１已知数列中，,求的通项公式．解析：解法一：转化为型递推数列． ∵∴又，故数列｛｝是首项为２，公比为２的等比数列．∴，即．解法二：转化为型递推数列． ∵=2x n-1+1(n≥2) ①∴=2x n+1 ② ②－①，得(n≥2)，故｛｝是首项为x 2-x 1 =2，公比为２的等比数列，即，再用累加法得．解法三：用迭代法．当然,此题也可用归纳猜想法求之，但要用数学归纳法证明．

例２已知函数的反函数为求数列的通项公式. 解析：由已知得，则．令=,则.比较系数，得. 即有．∴数列｛｝是以为首项，为公比的等比数列，∴，故．评析：此题亦可采用归纳猜想得出通项公式，而后用数学归纳法证明之．（4）若取倒数,得，令，从而转化为（1）型而求之. （5）；这类数列可变换成，令，则转化为(1)型一阶线性递推公式. 例３设数列求数列的通项公式．解析：∵，两边同除以，得．令，则有．于是，得，∴数列是以首项为，公比为的等比数列，故，即，从而．例４设求数列的通项公式．解析：设用代入，可解出．

求数列通项公式的十种方法-例题答案详解

< 求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细）总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法：累加法、累乘法、待定系数法、阶差法（逐差法）、迭代法、对数变换法、 ~ 倒数变换法、换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、数学归纳法、不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、特征根法二。四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。三．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。 ] 五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。一、累加法 1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。 2．若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则 21321(1) (2) () n n a a f a a f a a f n +-=-=-=

两边分别相加得 111 ()n n k a a f n +=-= ∑ 例1 已知数列{}n a 满足1121 1n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则！所以数列{}n a 的通项公式为2 n a n =。例2 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。解法一：由1231n n n a a +=+?+得1231n n n a a +-=?+则 11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)3 2(3333)(1)3 3(13)2(1)3 13 331331 n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=?++?+++?++?++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+- 所以3 1.n n a n =+- 解法二：13231n n n a a +=+?+两边除以1 3n +，得 111 21 3333n n n n n a a +++=++ ，则 11121 3333 n n n n n a a +++-=+，故因此1 1(13) 2(1)2113133133223 n n n n n a n n ---=++=+--?，则211 33.322 n n n a n = ??+?- < 评注：已知a a =1,) (1n f a a n n =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项 n a .

常见递推数列通项公式求法(教案)

问题 1:已知数列{a } ， a 1 = 1 ， a n +1 = n + 2 ，求{a n }的通项公式。 2 常见递推数列通项公式的求法一、课题：常见递推数列通项公式的求法二、教学目标 (1)会根据递推公式求出数列中的项，并能运用叠加法、叠乘法、待定系数法求数列的通项公式。 (2) 根据等差数列通项公式的推导总结出叠加法的基本题型，引导学生分组合作并讨论完成叠乘法及待定系数法的基本题型。 (3)通过互助合作、自主探究培养学生细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯，以及积极交流的主体意识。三、教学重点：根据数列的递推关系式求通项公式。四、教学难点：解题过程中方法的正确选择。五、教学课时： 1 课时六、教学手段：黑板，粉笔七、教学方法：激励——讨论——发现——归纳——总结八、教学过程（一）复习回顾： 1、通项公式的定义及其重要作用 2、区别递推公式与通项公式，从而引入课题（二）新知探究： a n 变式：已知数列 {a n } ， a 1 = 1 ， a n +1 = a n + 2n ，求{a n }的通项公式。活动 1：通过分析发现形式类似等差数列，故想到用叠加法去求解。教师引导学生细致讲解整个解题过程。解：由条件知： a n +1 - a = 2n n 分别令 n = 1,2,3,? ? ? ? ??,(n - 1) ，代入上式得 (n - 1) 个等式叠加之，即 (a 2 - a 1 ) + (a 3 - a 2 ) + (a 4 - a 3 ) + ? ? ? ? ? ? +(a n - a n -1 ) = 2 + 2 ? 2 + 2 ? 3 + 2 ? (n - 2) + 2 ? (n - 1) 所以 a - a = (n - 1)[2 + 2 ? (n - 1)] n 1 a = 1,∴ a = n 2 - n + 1 1 n

递推数列通项公式求法(教案)

由递推数列求通项公式马鞍中学 --- 李群花一、课题：由递推数列求通项公式二、教学目标 1、知识与技能：会根据递推公式求出数列中的项，并能运用累加、累乘、待定系数等方法求数列的通项公式。 2、过程与方法： ①复习回顾所学过的通项公式的求法，对比递推公式与通项公式区别认识到由递推公式求通项公式的重要性，引出课题。 ②对比等差数列的推导总结出叠加法的试用题型。 ③学生分组讨论完成叠乘法及待定系数法的相关题型。 3、情感态度与价值观： ①通过对数列的递推公式的分析和探究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神； ②通过对数列递推公式问题的分析和探究，使学生养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯； ③通过互助合作、自主探究等课堂教学方式培养学生认真参与、积极交流的主体意识。三、教学重点：根据数列的递推关系式求通项公式。四、教学难点：解题过程中方法的正确选择。五、教学课型，课时：复习课 1课时六、教学手段：多媒体课件，黑板，粉笔七、教学方法：激励——讨论——发现——归纳——总结八、教学过程（一）复习回顾：

1、通项公式的定义及其重要作用 2、学过的通项公式的几种求法 3、区别递推公式与通项公式，从而引入课题（二）新知探究：问题1: 在数列{a n }中 a 1=1，a n -a n-1=2n-1（n ≥ 2），求数列{a n } 的通项公式。活动：通过分析发现形式类似等差数列，故想到用叠加法去求解。教师引导学生细致讲解整个解题过程。总结：类型1：)(1n f a a n n =-+，利用叠加法(逐差相加法)求解。问题2：例2在数列{a n }中 a 1 =1，（n ≥ 2），求数列{a n } 的通项公式。方法归纳：利用叠乘法求数列通项活动：类比类型1推导过程，让学生分组讨论研究相关解题方案。练习2设{a n }是首项为1的正项数列，且(n+1)a n 2 +1 –na n 2 +a n+1a n =0, （n=1,2,3…），求它的通项公式a n 。总结：类型2型如用叠乘法求解 n n n a a 21 =-) (1n f a a n n ?=+

题型最全的递推数列求通项公式的习题

高考递推数列题型分类归纳解析各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。我现在总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。类型1 )(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。例1. 已知数列{}n a 满足211= a ，n n a a n n ++=+211，求n a 。变式: 已知数列1}{1=a a n 中，且a 2k =a 2k －1+(－1)K , a 2k+1=a 2k +3k , 其中k=1,2,3,……. （I ）求a 3, a 5；（II ）求{ a n }的通项公式. 类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为)(1 n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例1:已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。例2:已知31=a ，n n a n n a 2 3131 +-=+ )1(≥n ，求n a 。变式:（2004，全国I,理15．）已知数列{a n }，满足a 1=1，1321)1(32--+???+++=n n a n a a a a (n ≥2)，则{a n }的通项1 ___ n a ?=?? 12n n =≥ 类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中p q t -=1，再利用换元法转化为等比数列求解。例:已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a . 变式:（2006，重庆,文,14）在数列{}n a 中，若111,23(1)n n a a a n +==+≥，则该数列的通项n a =_______________ 变式:（2006. 福建.理22.本小题满分14分）已知数列{}n a 满足* 111,21().n n a a a n N +==+∈ （I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）若数列{b n }滿足12111 *444(1)(),n n b b b b n a n N ---=+∈L 证明：数列{b n }是等差数列；（Ⅲ）证明： *122311...().232 n n a a a n n n N a a a +-<+++<∈ 类型4 n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。（或1n n n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数）。解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以1 +n q ，得： q q a q p q a n n n n 111+?=++引入辅助数列{}n b （其中n n n q a b =），得：q b q p b n n 1 1+=+再待定系数法解决。例:已知数列{}n a 中，651= a ,1 1)2 1(31+++=n n n a a ，求n a 。变式:（2006，全国I,理22,本小题满分12分）

求递推数列通项公式和求和的常用方法

求递推数列通项公式和求和的常用方法求递推数列通项公式是数列知识的一个重点，也是一个难点，高考也往往通过考查递推数列来考查学生对知识的探索能力，求递推数列的通项公式一般是将递推公式变形，推得原数列是一种特殊的数列或原数列的项的某种组合是一种特殊数列，把一些较难处理的数列问题化为中学中所研究的等差或等比数列，下面就求递推数列通向公式的常用方法举例一二，供参考：一公式法：利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法，常用的公式有1n n n a S S -=-(2)n ≥，等差数列或等比数列的通项公式。例一已知无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，并且*1()n n a S n N +=∈，求{}n a 的通项公式？【解析】： 1n n S a =-，∴ 111n n n n n a S S a a +++=-=-，∴ 112n n a a +=，又112a =， ∴ 12n n a ??= ??? . 反思：利用相关数列{}n a 与{}n S 的关系：11a S =,1n n n a S S -=-(2)n ≥与提设条件，建立递推关系，是本题求解的关键. 跟踪训练1.已知数列{}n a 的前n 项和n S ，满足关系()1lg n S n +=(1,2)n =???.试证数列{}n a 是等比数列. 二归纳法：由数列前几项用不完全归纳猜测出数列的通项公式，再利用数学归纳法证明其正确性，这种方法叫归纳法. 例二已知数列{}n a 中，11a =，121(2)n n a a n -=+≥，求数列{}n a 的通项公式. 【解析】：11a =，121(2)n n a a n -=+≥，∴2121a a =+3=，3221a a =+7=???? 猜测21n n a =-*()n N ∈，再用数学归纳法证明.（略）反思：用归纳法求递推数列，首先要熟悉一般数列的通项公式，再就是一定要用数学归纳法证明其正确性. 跟踪训练2.设{}n a 是正数组成的数列，其前n 项和为n S ，并且对于所有自然数n ，n a 与1的等差中项等于n S 与1的等比中项，求数列{}n a 的通项公式. 三累加法：利用1211()()n n n a a a a a a -=+-+???-求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如1()n n a a f n +=+的递推数列通项公式的基本方法（()f n 可求前n 项和）. 例三已知无穷数列{}n a 的的通项公式是12n n a ??= ??? ，若数列{}n b 满足11b =，(1)n ≥，求数列{}n b 的通项公式. 【解析】：11b =,112n n n b b +??-= ??? (1)n ≥,∴1211()()n n n b b b b b b -=+-+???-=1+12+??+