概率论答案 - 李贤平版 - 第二章
第二章 条件概率与统计独立性
1、字母M ，A ，X ，A ，M 分别写在一张卡片上，充分混合后重新排列，问正好得到顺序MAAM 的概率是多少
2、有三个孩子的家庭中，已知有一个是女孩，求至少有一个男孩的概率。
3、若M 件产品中包含m 件废品，今在其中任取两件，求：（1）已知取出的两件中有一件是废品的条件下，另一件也是废品的条件概率；（2）已知两件中有一件不是废品的条件下，另一件是废品的条件概率；（3）取出的两件中至少有一件是废品的概率。
4、袋中有a 只黑球，b 吸白球，甲乙丙三人依次从袋中取出一球（取后来放回），试分别求出三人各自取得白球的概率（3≥b ）。
5、从{0，1，2，…，9}中随机地取出两个数字，求其和大于10的概率。
6、甲袋中有a 只白球，b 只黑球，乙袋中有α吸白球，β吸黑球，某人从甲袋中任出两球投入乙袋，
然后在乙袋中任取两球，问最后取出的两球全为白球的概率是多少
7、设的N 个袋子，每个袋子中将有a 只黑球，b 只白球，从第一袋中取出一球放入第二袋中，然后从第
二袋中取出一球放入第三袋中，如此下去，问从最后一个袋子中取出黑球的概率是多少
8、投硬币n 回，第一回出正面的概率为c ，第二回后每次出现与前一次相同表面的概率为p ，求第n 回
时出正面的概率，并讨论当∞→n 时的情况。
9、甲乙两袋各将一只白球一只黑球，从两袋中各取出一球相交换放入另一袋中，这样进行了若干次。以
pn ，qn ，rn 分别记在第n 次交换后甲袋中将包含两只白球，一只白球一只黑球，两只黑球的概率。试导出pn+1，qn+1，rn+1用pn ，qn ，rn 表出的关系式，利用它们求pn+1，qn+1，rn+1，并讨论当∞→n 时的情况。
10、设一个家庭中有n 个小孩的概率为 ???
??=--≥=,0,11,
1,n p
ap n ap p n n 这里p p a p /)1(0,10-<<<<。若认为生一个小孩为男孩可女孩是等可能的，求证一个家庭有
)1(≥k k 个男孩的概率为1)2/(2+-k k p ap 。
11、在上题假设下：（1）已知家庭中至少有一个男孩，求此家庭至少有两个男孩的概率；
（2）已知家庭中没有女孩，求正好有一个男孩的概率。
12、已知产品中96%是合格品，现有一种简化的检查方法，它把真正的合格品确认为合格品的概率为，
而误认废品为合格品的概率为，求在简化方法检查下，合格品的一个产品确实是合格品的概率。 13、设A ，B ，C 三事件相互独立，求证B A AB B A -,,Y 皆与C 独立。
14、若A ，B ，C 相互独立，则C B A ,,亦相互独立。 15、证明：事件
n
A A A ,,,21Λ相互独立的充要条件是下列2n 个等式成立：
)?()?()?()???(2121n
n A P A P A P A A A P ΛΛ=， 其中i
A ?取i A 或i A 。 16、若A 与
B 独立，证明},,,{ΩA A φ中任何一个事件与},,,{ΩB B φ中任何一个事件是相互独立的。 17、对同一目标进行三次独立射击，第一，二，三次射击的命中概率分别为，，，试求（1）在这三次射击
中，恰好有一次击中目标的概率；（2）至少有一次命中目标的概率。
18、设n A A A ,,,21Λ相互独立，而k k p A P =)(，试求：（1）所有事件全不发生的概率；（2）诸事件中
至少发生其一的概率；（3）恰好发生其一的概率。
19、当元件k 或元件1k 或2k 都发生故障时电路断开，元件k 发生故障的概率等于，而元件k1，k2发生
故障的概率各为.2，求电路断开的概率。
20、说明“重复独立试验中，小概率事件必然发生”的确切意思。
21、在第一台车床上制造一级品零件的概率等于，而在第二台车床上制造此种零件的概率等于，第一台
车床制造了两个零件，第二台制造了三个零件，求所有零件均为一级品的概率。
22、掷硬币出现正面的概率为p ，掷了n 次，求下列概率：（1）至少出现一次正面；（2）至少出现两次
正面。
23、甲，乙，丙三人进行某项比赛，设三个胜每局的概率相等，比赛规定先胜三局者为整场比赛的优胜
者，若甲胜了第一，三局，乙胜了第二局，问丙成为整场比赛优胜者的概率是多少 24、甲，乙均有n 个硬币，全部掷完后分别计算掷出的正面数相等的概率。
25、在贝努里试验中，事件A 出现的概率为p ，求在n 次独立试验中事件A 出现奇数次的概率。 26、在贝努里试验中，若A 出现的概率为p ，求在出现m 次A 之前出现k 次A 的概率。
27、甲袋中有1-N 只白球和一只黑球，乙袋中有N 只白球，每次从甲，乙两袋中分别取出一只球并交
换放入另一袋中去，这样经过了n 次，问黑球出现在甲袋中的概率是多少并讨论∞→n 时的情况。 28、某交往式计算机有20个终端，这些终端被各单位独立操作，使用率各为，求有10个或更多个终端
同时操作的概率。
29、设每次射击打中目标的概率等于，如果射击5000次，试求打中两弹或两弹以上的概率。
30、假定人在一年365日中的任一日出生的概率是一样的，在50个人的单位中有两面三刀个以上的人生
于元旦的概率是多少
31、一本500页的书，共有500个错字，每个字等可能地出现在每一页上，试求在给定的一页上至少有
三个错字的概率。
32、某疫苗中所含细菌数服从普阿松分布，每1毫升中平均含有一个细菌，把这种疫苗放入5只试管中，
每试管放2毫升，试求：（1）5只试管中都有细菌的概率；（2）至少有3只试管中有细菌的概率。33、通过某交叉路口的汽车可看作普阿松过程，若在一分钟内没有车的概率为，求在2分钟内有多于一
车的概率。
34、若每蚕产n个卵的概率服从普阿松分布，参数为λ，而每个卵变为成虫的概率为p，且各卵是否变
为成虫彼此间没有关系，求每蚕养出k只小蚕的概率。
35、某车间宣称自己产品的合格率超过99%，检验售货员从该车间的10000件产品中抽查了100件，发
现有两件次品，能否据此断定该车间谎报合格率
36、在人群中男人患色盲的占5%，女人患色盲的占%，今任取一人后检查发现是一个色盲患者，问它是
男人的概率有多大
37、四种种子混在一起，所占的比例是甲：乙：丙：丁=15：20：30：35，各种种子不同的发芽率是：2%，
3%，4%，5%，已从这批种子中任送一粒观察,结果未发芽，问它是甲类种子的概率是多少
38、对同一目标由3名射手独立射击的命中率是、,和，求三人同时各射一以子弹而没有一发中靶的概率
39、有两个袋子，每个袋子装有a只黑球，b只白球，从第一个中任取一球放入第二个袋中，然后从第
二个袋中取出一黑球的概率是多少
40、已知产品中96%是合格的，现有一种简单的检查方法，它把真正的合格品确认为合格品的概率为，
而误认废品为合格品的概率为，求此简化法检查下为合格品的一个产品确实是合格品的概率。
A B C三支枪各向靶射一发子弹，假设三支枪中靶的概率分别为0.4,0.3,0.5，结果恰有
41、某射手用,,
两弹中靶，问A枪射中的概率为多少
42、已知产品中96%是合格的，现有一种简化的检查方法，它把真正的合格品确认为合格品的概率为，
而误认废品为合格品的概率为,求此简化法检查下为合格品的一个产品确实是合格品的概率。
43、设第一个盒子中有两个白球和一个黑球，第二个盒中有三个白球和一个黑球，第三个盒子中有两个
白球和两个黑球。此三个盒子外形相同，某人任取一个盒子，再从中任取一个球，求他取得白球的概率。
44、用血清蛋白的方法诊断肝癌，令C=“被检查者患有肝癌”，A=“判断被检查者患有肝癌”。设
===现有一个人诊断患有肝癌，求他确有肝癌的概率。
P C P A C P A C
()0.0004,(/)0.95,(/)0.90,
45、一批零件共100个，次品有10个。每次从其中任取1个零件，菜取3次，取出后不放回。示第3
次才取得合格品的概率。
46、10个零件中有3个次品，7个合格品，每次从其中任取1个零件，共取3次，取后不放回。求：（1）
这3次都抽不到合格品的概率；（2）这3次至少有1次抽到合格品的概率。
47、一批产品中有15%的次品。进行独立重复抽样检查，问取出的20个样品中最大可能的次品数是多少
并求其概率。
48、一电话交换台每分钟的呼唤次数服从参数为4的泊松分布。求（1）每分钟恰有6次呼唤的概率；（2）
每分钟呼唤次数不超过10的概率。
49、有一汽车站有大量汽车通过，设每辆汽车在一天某段时间出事故的概率为。在某天该段时间内有1000
辆汽车通过，求事故次数不少于的概率。
50、某商店出售某种贵重物品，根据以往的经验，每月销售量X 服从参数4λ=的泊松分布。问在月初
进货时，要库存多少件才能以99。2%的概率充分满足顾客的需要 51、从某厂产品中任取200件，检查结果发现其中有4件废品。我们能否认为该产品的废品率不超过 52、若,,A B C 是三个独立的事件，则A B C ..亦是独立的。 53、设P(A)>0，若A 与B 相互独立,则P(B|A )=P(B)。
54、若,,A B C 相互独立，则A B ?和C 及-A B 与C 亦独立。
55、设P(A)>0, P(B)>0， 证明A 和B 相互独立与A 和B 互不相容不能同时成立。 56、求证：如果(|)()P A B P A >，则(|)()P B A P B >。
57、证明：若事件A 与事件B 相互独立，则事件A 与事件B 相互独立。 58、设A ，B ，C 三事件相互独立，求证B A AB B A -,,Y 皆与C 独立。 59、若A ，B ，C 相互独立，则C B A ,,亦相互独立。
60、若A 与B 独立，证明},,,{ΩA A φ中任何一个事件与},,,{ΩB B φ中任何一个事件是相互独立的。
第二章 解答
1、解：自左往右数，排第i 个字母的事件为A i ，则
42)(,52)(121==
A A P A P ，2
1)(,31)(1234123==A A A A P A A A P 1)(12345=A A A A A P 。
所以题中欲求的概率为
()()()()12345123412312154321)()(A A A A A P A A A A P A A A P A A P A P A A A A A P =30
1
121314252=????=
2、解：总场合数为23=8。设A={三个孩子中有一女}，B={三个孩子中至少有一男}，A 的有利场合数为7，
AB 的有利场合为6，所以题中欲求的概率P （B|A ）为
()7
6
8/78/6)()(===
A P A
B P A B P .
3、解：（1）M 件产品中有m 件废品，m M -件正品。设A={两件有一件是废品}，B={两件都是废品}，
显然B A ?，则 ()
2211/)(m m m M m C C C C A P +=- 2
2/)(M m C C B P =，
题中欲求的概率为
)(/)()(/)()|(A P B P A P AB P A B P ==121
/)(/2
21122---=+=-m M m C C C C C C M
m m M m M m . （2）设A={两件中有一件不是废品}，B={两件中恰有一件废品}，显然A B ?，则
()
,/)(2112M m M m m M C C C C A P --+= 2
11/)(M m M m C C C B P -=.
题中欲求的概率为
)(/)()(/)()|(A P B P A P AB P A B P ==1
2/)(/2
1122
11-+=+=---m M m C C C C C C C M m M m m M M
m M m . （3）P{取出的两件中至少有一件废品}=(
)
)
1()
12(/2
2
11---=+-M M m M m C C C C M m m M m .
4、解：A={甲取出一球为白球}，B={甲取出一球后，乙取出一球为白球}，C={甲，乙各取出一球后，丙取
出一球为白球}。则 )
()(b a a
A P +=
甲取出的球可为白球或黑球，利用全概率公式得
)|()()|()()(A B P A P A B P A P B P += b
a b
b a b b a a b a b b a b +=
-+?++-+-?+=
111 甲， 乙取球的情况共有四种，由全概率公式得
)|()()|()()|()()|()()(B A C P B A P B A C P B A P B A C P B A P AB C P AB P C P +++=
21
)1)((22)1)(()1(-+-?-+++-+-?-++-=
b a b b a b a ab b a b b a b a b b
2
)1)(()1(21)1)((-+?-++-+-+-?-+++
b a b
b a b a a a b a b b a b a ab
b
a b
b a b a b a b a b a b +=-+-++-+-+=
)2)(1)(()2)(1(.
5、解：设B={两数之和大于10}，A i ={第一个数取到i}，9,,1,0Λ=i 。则10
1)(=
i A P ， 5,3,2,9/)1()|(,0)|()|(10Λ=-===i i A B P A B P A B P i ;,9/)2()|(-=j A B P j
9,8,7,6=j 。由全概率公式得欲求的概率为
∑===
=9
0356.045
16
)|()()(i i i A B P A P B P .
6、解：设A 1={从甲袋中取出2只白球}，A 2={从甲袋中取出一只白球一只黑球}，A 3={从甲袋中取出2只
黑球}，B={从乙袋中取出2只白球}。则由全概率公式得
)()|()()|()()|()(332211A P A B P A P A B P A P A B P B P ++=
2
2
2222222111222222+++++++++++++=βαβααβαC C C c C C C C c c c C C b a a
b b a b a B A a a .
7、解：A 1={从第一袋中取出一球是黑球}，……，A i ={从第一袋中取一球放入第二袋中，…，再从第1-i 袋中取一球放入第i 袋中，最后从第i 袋中取一球是黑球}，N i ,,1Λ=。则
)
()(,)(11b a b A P b a a A P +=+=
. 一般设)()(b a a A P k +=
，则)
()(b a b
A P k +=，得
)
()()|()()|()(111b a a
A P A A P A P A A P A P k k k k k k k +=
+=+++.
由数学归纳法得 )
()(b a a
A P N +=.
8、解：设A i ={第i 回出正面}，记)(i i A P p =，则由题意利用全概率公式得
)()|()()|()(111i i i i i i i A P A A P A P A A P A P ++++=
)1()12()1)(1(111p p p p p pp -+-=--+=。
已知c p i =，依次令1,,2,1Λ--=n n i 可得递推关系式
),1()12(1p p p P n n -+-=- ,),1()12(21Λp p p P n n -+-=--
).1()12()1()12(12p c p p p p P -+-=-+-=
解得
,)12(])12()12()12(1)[1(122---+-++-+-+-=n n n p c p p p p P Λ
当1≠p 时利用等比数列求和公式得
11)12()12(1)12(1)1(---+-----=n n n p c p p p p .)12()12(2
1
2111---+--=n n p c p （*）
（1）若1=p ，则C p C p n n n =≡∞
→lim ,；
（2）若0=p ，则当12-=k n 时，c p n =；当k n 2=时，c p n -=1。
若21=
c ，则21lim ,21=≡∞→n n n p p 若12
1
≠
c ，则n n p c c ∞→-≠lim ,1不存在。
（3）若10<
.2
1)12()12(2121lim lim 11=??????-+--=--∞→∞→n n n n n p c p p
9、解：令i i i C B A ,,分别表示第i 次交换后，甲袋中有两只白球，一白一黑，两黑球的事件，则由全概
率公式得
)|()()|()()|()()(11111n n n n n n n n n n n C A P C P B A P B P A A P A P A P p +++++++==
n n n n q r q p 4
1
0410=?++?=，
)|()()|()()|()()(11111n n n n n n n n n n n C B P C P B B P B P A B P A P B P q +++++++==
,2
1
1211n n n n n n r q p r q p ++=?++?=，
)|()()|()()|()()(11111n n n n n n n n n n n C C P C P B C P B P A C P A P C P r +++++++==
n n n n q r q p 4
1
0410=?++?=.
这里有11++=n n r p ，又1111=+++++n n n r q p ，所以1121++-=n n p q ，同理有n n p q 21-=，再由
n n q p 411=
+得)21(4
1
1n n p p -=+。所以可得递推关系式为 ?????
-=-==++++1
11121)
21(4
1n n n n n p q p p r ， 初始条件是甲袋一白一黑，乙袋一白一黑，即1,0000===q r p ，由递推关系式得
n n n n p p p r 2141)21(4111-=-=
=++Λ=+-=--=--114
1
8141)2141(2141n n p p ??
? ??--??????????
?
??--=-+-++-=+++++211211412
)1(2)1(21211
1
12232n n n n n p Λ
2
1
12131)1(6
121)1(161+++???
????-+=???????
????
???--=n n n n ，
1
11
12131)1(3221++++??
?
????-+=-=n n n n p q .
.3
2
lim ,61lim lim ===∞→∞→∞→n n n n n n q r p
10、解：设A n ={家庭中有n 个孩子}，n=0,1,2,…，B={家庭中有k 个男孩}。注意到生男孩与生女孩是等可
能的，由二项分布)2
1
(=
p 得 .212121)|(n
k n k
n k
k n n C C A B P ??
? ??=??
? ????? ??=- 由全概率公式得
∑∑∞
=∞
=??? ??==k n n
k n
n k n n n C ap A B P A P B P 21)|()()(∑∞
=++??? ??=0
1
112i k k p C a （其中k n i -=）
∑∞
=+??? ????
? ??=0
111
22i k k p C p a .)
2(22121
`
1+---=?
?? ?
?
-??? ??=k k
k k
p ap p p a
11、解：（1）设A={至少有一男孩}，B={至少有2个男孩}。B AB B A =?,，由1)
2(0<-<
p p
得
,)1)(2()
2(1)2(22)
2(2)(11
p p ap p p p p
p a p ap A P k k k
--=---?-=-=∑∞
=+
2
22
22
21
)1()2()
2(1)2(22)
2(2)(p p ap p p p p p a p ap B P k k k
--=---?-=-=∑∞
=+, p
p
A P
B P A P AB P A B P -===
2)()()()()|(.
（2）C={家中无女孩}={家中无小孩，或家中有n 个小孩且都是男孩，n 是任意正整数}，则
∑∞=??
?
??+--=12111)(a n
n ap p ap C P
)2)(1(322112
12112p p p ap p p ap p ap p ap p ap --+--=
-+--=-
+--= A 1={家中正好有一个男孩}={家中只有一个小孩且是男孩}，则ap ap A P 2
1
21)(1=?=，且C A ?1，
所以在家中没有女孩的条件下，正好有一个男孩的条件概率为
)()()()()|(111C P A P C P C A P C A P ==
)
32(2)
2)(1()
2)(1(32212
2p ap p p p ap p p p ap p ap +----=--+--=.
12、解：设A={产品确为合格品}，B={检查后判为合格品}。已知98.0)|(=A B P ，
96.0)(05.0)|(==A P A B P ，，求)|(B A P 。由贝叶斯公式得
)
|()()|()()
|()()()()|(A B P A P A B P A P A B P A P B P AB P B A P +==
9979.09428
.09408
.005.004.098.096.098.096.0==?+??=
.
13、证：（1）)())((BC AC P C B A P Y I Y =)()()(ABC P BC P AC P -+=
)()()()()()()(C P B P A P C P B P C P A P -+= )()()]()()()[(B A P C P AB P B P A P C P Y =-+=，
∴B A Y 与C 独立。
（2）)()()()()()(C P AB P C P B P A P ABC P == ∴AB 与C 独立。
（3）))(()())((B AC P C B A P C B A P -Ω==-)()(ABC P AC P -= )()()()()(C P B P A P C P A P -=
)()()]()()[(B A P C P AB P A P C P -=-=，
∴B A -与C 独立。
14、证：)(1)()(B A P B A P B A P Y Y -==)])()([1PAB B P A P -+-= ))(1))((1()()()()(1B P A P B P A P B P A P --=+--=
)()(B P A P =， 同理可证 )()()(C P A P C A P =,
)()()(C P B P C B P =.
又有
)(1)()(C B A P C B A P C B A P Y Y Y Y -==
[])()()()()()()(1ABC P BC P AC P AB P C P B P A P +---++-=
++++---=)()()()()()()()()(1C P B P C P A P B P A P C P B P A P
)()()(C P B P A P -
))(1))((1))((1(C P B P A P ---=)()()(C P B P A P =，
所以C B A ,,相互独立。
15、证：必要性。事件n A A A ,,,21Λ相互独立，用归纳法证。不失为一般性，假设总是前连续m 个集i
A ?取i A 的形式。当1=m 时，
)()()()(11221n n n n A A P A A P A A P A A A P ΛΛΛΛ--=
)()()()(12n n A p A P A P A P ΛΛ-=)()()(21n A P A P A P Λ=。
设当k m =时有
)()()()(1111n k k n k k A A P A P A P A A A A P ΛΛΛΛ++=,
则当1+=k m 时
)()()(1121211n k k n k k n k k A A A A P A A A A P A A A A P ΛΛΛΛΛΛ++++-=
)()()()()()()()(1121n k k n k k A P A P A P A P A P A P A P A P ΛΛΛΛ++-=
)()())(1)(()(211n k k k A P A P A P A P A P ΛΛ++-= )()()()()(211n k k k A P A P A P A P A P ΛΛ++=
从而有下列2n 式成立：
)?()?()?()???(2121n
n A P A P A P A A A P ΛΛ=, 其中i
A ?取i A 或i A 。 充分性。设题中条件成立，则
)()()(11n n A P A P A A P ΛΛ=, (1) )()()()(1111n n n n A P A P A P A A A P --=ΛΛ. (2)
∵ φ=--n n n n A A A A A A 1111ΛI Λ,
∴ )()(111111n n n n n A A A A A A P A A P ---=ΛY ΛΛ.
(1)+(2)得 )()()(1111--=n n A P A P A A P ΛΛ。 (3)
同理有
)()()()()(121121n n n n n n A P A P A P A P A A A A P ----=ΛΛ, )()()()()(121121n n n n n n A P A P A P A P A A A A P ----=ΛΛ
两式相加得
)()()()(121121----=n n n n A P A P A P A A A P ΛΛ. （4）
(3)+(4)得
)()()()(22121--=n n A P A P A P A A P ΛΛ。
同类似方法可证得独立性定义中12+-n n
个式子，
∴ n A A ,,1Λ相互独立。
16、证：),()(00)()(φφφφφP P P P =?==
),()(1)(),()(0)(ΩΩ==ΩΩΩ==ΩP P P P P P φφ ),()()()(B P P B P B P Ω==Ω
),()()()(A P P A P A P Ω==Ω )()()(B P A P B A P =
)()()()()()()(B P A P A P AB P A P AB A P B A P -=-=-=
)()())(1)((B P A P B P A P =-=，
同理可得 )()()(B P A P B A P =。证毕。
17、解：P{三次射击恰击中目标一次}7.0)5.01)(4.01()7.01(5.0)4.01()7.01)(5.01(4.0--+--+--=
36.0=
P{至少有一次命中}=1-P{未击中一次}91.0)7.01)(5.01)(4.01(1=----=
18、解：（1）P{所有的事件全不发生}}{1n A A P Λ=∏=-=
=n
k k
n p
A P A P 1
1)1()()(Λ。
（2）P{至少发生其一})(1n A A P Y ΛY =
∏=--=-=n
k n n n p A A P A A P 1
11)1(1)(1)(ΛΛ。
（3）P{恰好发生其一}+---+--=)1()1()1()1()1(32121n n p p p p p p p ΛΛ
n n p p p )1()1(11---++ΛΛ
∑∑
∏=≥>≥=--++-=n
i i j n n
i i n j i i p n p p p 1
1
1
1
)
1(2
Λ。
19、解：本题中认为各元件发生故障是相互独立的。记0A ={元件k 发生故障}，1A ={元件1k 发生故障}，
2A ={元件2k 发生故障}。则
P{电路断开})()()()(210210210A A A P A A P A P A A A P -+==Y
328.02.02.03.02.02.03.0=??-?+=。
20、解：以k A 表事件“A 于第k 次试验中出现”，ε=)(k A P ，由试验的独立性得，前n 次试验中A 都
不出现的概率为
)()()()(2121n n A P A P A P A A A P ΛΛ=n )1(ε-=。
于是前n 次试验中，A 至少发生一次的概率为
)(1)1(1)(121∞→→--=-n A A A P n n εΛ。
这说明当重复试验的次数无限增加时，小概率事件A 至少发生一次的概率可以无限地向1靠近，
从而可看成是必然要发生的。
21、解：我们认为各车床或同一车床制造的各个零件的好坏是相互独立的，由此可得
2509.07.08.0}{23=?=所有零件均为一级品P 。
22、解：利用二项分布得 n
p n P P )1(1}{1}{--=-=次全部出现反面至少出现一次正面。
11
)1()1(1}{-----=n n n p p C p P 至少出现两次正面1)1()1(1-----=n n p np p 。
23、解：（1）设A ，B ，C 分别表示每局比赛中甲，乙丙获胜的事件，这是一个3
1
)()()(=
==C P B P A P 的多项分布。欲丙成为整场比赛的优胜者，则需在未来的三次中，丙获胜三次；或在前三次中，丙获胜两次乙胜一次，而第四次为丙获胜。故本题欲求的概率为
2003313131!0!1!2!3313131!0!0!3!3??
? ????? ????? ??+??? ????? ????? ??=p 。
24、解：利用两个的二项分布，得欲副省长的概率为
∑==n
i i ，i P p 0
}{次正面乙掷出次正面甲掷出
1
1
21212121--=?
?
? ????? ????
??
????? ??=∑n i i n
n i n
i i n
C C ∑=???
??=??
? ??=n
i n
n n
i n
n C C 0
222
221)(21。
25、解：事件A 出现奇数次的概率记为b ，出现偶数次的概率记为a ，则
Λ++=-2
2200n n n n q p C q p C a ，
Λ++=--33311n n n n q p C q p C b 。
利用n
n p q b a q p b a )(,1)(-=-=+=+，可解得事件A 出现奇数次的概率为
[]
n n p q p b )21(2
1
21)(121--=--=
。 顺便得到，事件A 出现偶数次的概率为n p a )21(2
1
21-+=。
26、解：事件“在出现m 次A 之前出现k 次A ”，相当于事件“在前1-+m k 次试验中出现k 次A ，1-m 次A ，而第k m +次出现A ”，故所求的概率为
m k k m k m k k m k q p C q q p C 111-+--+=?
注：对事件“在出现m 次A 之前出现k 次A ”，若允许在出现m 次A 之前也可以出现1+k 次A ，2+k 次A 等，这就说不通。所以，事件“在出现m 次A 之前出现k 次A ”的等价事件，是“在出现m 次
A 之前恰出现k 次A ”
。而对事件“在出现m 次A 之前出现k 次A 之前”（记为B ）就不一样，即使在出现m 次A 之前出现了1+k 次A ，2+k 次A 等，也可以说事件B 发生，所以事件B 是如下诸事件的并事件：“在出现m 次A 之前恰出现i 次A ”，Λ,1,+=k k i 。
27、解：设=n A {经n 次试验后，黑球出现在甲袋中}，=n A {经n 次试验后，黑球出现在乙袋中}，
=n C {第n 次从黑球所在的袋中取出一个白球}。记),(n n A P p = Λ,2,1,0,1)(=-==n p A P c n n n 。当
1≥n 时，由全概率公式可得递推关系式：
)()|(_)()|(1111----=n n n n n n n A P A A P A P A A P p )()|()()|(1111----+=n n n n n n A P A C P A P A C P
N q N N p n n 1111?+-?
=--)1(1
111---+-=
n n p N p N N , 即 )1(1
21≥+-=
-n N
p N N p n n 。
初始条件10=p ，由递推关系式并利用等比级数求和公式得
n
n n N N N N N N N N N p ??
? ??-+?
??
??-++-?+=-2212111
Λ n
n N N N N N N N
?
??
??-+??? ?
?--????
??????? ??--=221211n N N ??? ??-+=22121。 若1=N ，则12+=k n 时0=p ，当k n 2=时1=n p 。
若2=N ，则对任何n 有2
1
=
n p 。 若2>N ，则2
1
lim =
∞
→n n p （N 越大，收敛速度越慢）。
28、解：P={有10个或更多个终端同时操作}=P{有10个或不足10个终端不在操作}
∑=-==10
20209829.0)7.0()3.0(j j j j
C 。
29、解：利用普阿松逼近定理计算5001.05000=?=λ，则打中两弹或两终以上的概率为
001.0)999.0(5000)999.0(149995000?--=p 9596.05155=--≈--e e
30、解：事件“有两个以上的人生于元旦”的对立事件是“生于元旦的人不多于两个”利用365
1
-
p 的二项分布得欲求的概率为
1
502
503651136511-?
?
? ??-??? ??-=∑i i C p
00037.0365
364)492536450364(150
48
2=?+?+-=。 31、解：每个错字出现在每页上的概率为500
1
=
p ，500个错字可看成做500次努里试验，利用普阿松逼近定理计算，1500
1
500=?
=λ，得 P{某页上至少有三个错字}=-11-P{某页上至多有两个错字}
∑=-??
? ??-??
? ??-=2
1
5001500
5001150011i i
C
0803.0)2
1
(1111=++-≈---e e e .
32、解：每一毫升平均含一个细菌，每2毫升含2个，所以每只试管中含有细菌数服从2=λ的普阿松
分布。由此可得
P{5个试管中都有细菌}4833.0)1(5
2=-=-e ；
P{至少有三个试管中有细菌}∑=---=-=
5
2
52215
9800.0)()1(i i i e e C
.
计算时利用了2
1--=e p 的二项分布。
33、解：设一分钟内通过某交叉路口的汽车数服从λ的普阿松分布，则
P{1分钟内无车}20201
.ln ,.e
i -===-λλ611.=
由此得，2分钟内通过的汽车数服从2232.i =?=λλ的普阿松分布，从而2分钟内多于一车的概率为
83102231223223.e .e p ..=?--=--.
34、解：若蚕产i 个卵，则这i 个卵变为成虫数服从概率为i n ,p =的二项分布，所以
P{蚕养出n 只小蚕}k k k i
k
i i
p p C
e i --
∞
=-=
∑1)1(!λλ)k i m -=（令
λλλλ-∞
=+-∑
=
-=
e p k p m k e p k M m m
k k )(!
1
)1(!
!
35、解：假设产品合格率99.0≥p ，不妨设99.0=p 。现从10000件中抽100件，可视为放回抽样。
而100件产品中次品件数服从二项分布，利用普阿松逼近定理得，次品件数不小于两件的概率为
2642.0199.001.0100)99.0(11199100=--≈??--=--e e p
此非小概率事件，所以不能据此断定该车间谎报合格率。（注意，这并不代表可据此断定，该车间没有谎报合格率。）
36、解: 设 A ={任取一人是男性} B ={任取一人是女性} C ={任取一人检查患色盲}
则1
()()2
P A P B ==
(|)0.05 (|)0.0025 P C A P C B == 故所求概率为(|)P A C 由bayes 公式可得()(|)20
(|)()(|)()(|)21
P A P C A P A C P A P C A P B P C B ?=
=+
37、解：设,,,A B C D 分别表示任取一粒种子属于甲、已、丙、丁的事件。
而E 表示任取一粒种子，它不发芽的事件，则
()0.15 ()0.20 ()0.30 ()0.35 P A P B P C P D ====
又 (|)0.02 (|)0.03 (|)0.04 (|)0.05P E A P E B P E C P E D ==== 由Bayes 公式，所求概率
()(|)6
(|)()(|)()(|)73
P A P E A P A E P A P E A P D P E D =
=++L
38、解：记A i ={第i 名射手射中目标}，则P A P A P A ().,().,().123040507===
ΘA A A 123,,相互独立。
∴所求概率P A A A （123104105107009)(.)(.)(.).=---=
39、解：设从第一个袋子摸出黑球A ，从第二个袋中摸出黑球为B ，则
P A a a b ()=
+ P A b a b ()=+ P B A a a b (|)=+++11 P B A a
a b (|)=++1
由全概公式知:
P B P B A P A P B A P A a
a b
()(|)()(|)()=+=
+
40、解： 设A 表示其合格品，设B 表示被认为是合格品, 则
()0.96,()0.04,P A P A == (|)0.98,(|)0.05P B A P B A ==
由贝叶斯公式
(|)()0.980.96
(|)0.9979(|)()(|)()0.980.960.040.05
P B A P A P A B P B A P A P B A P A ?=
==+?+?
41、解：设A ={恰有两弹中靶}，B ={A 击中} 则
()
(|)()P BA P B A P A =
=0403050407050403050405070603052029
...............??+????+??+??=
42、解：设 A ={被检查的产品被认为是合格品} B ={被检查的产品确实是合格品}
则()0.96 P B = ()0.04P B = (|)0.98P A B = (|)0.05P A B =
故 ()(|)
(|)()(|)()(|)
P B P A B P B A P B P A B P B P A B =
+
0.960.98
0.9980.960.980.040.05
?=
=?+?
43、解：3
1
()()(/)i
i
i p B P A p B A ==
∑12
3
2
()3344=++23
36=
44、解：()()()()()()()A P C P C C P A A A P C P P C P C C
=+0.00040.950.00040.950.99960.1?=
?+?0.0038
= 45、解：第3次才取得合格品，意味着前2次取得的是次品。记1A ={第1次取得次品} ，2A ={第2次
取得次品}，3A ={第3次取得合格品}。所求概率论为
12312131210990
()()(|)(|)0.008351009998
p P A A A P A P A A P A A A ===
??≈
46、解：（1）记1A ={第1次取得次品}，2A ={第2次取得次品}，3A ={第3次取得次品}，则
1123121312()()(|)(|)p P A A A P A A A P A A A ==3216
0.00831098720
=
??=≈ （2）“3次至少有1次抽到合格品”的对立事件是“3次都抽不到合格品 ”，故
2110.9917p p =-≈
47、 解：20,0.15n p ==。当()[][]1210.15 3.153i n p =+=?==????
时，i i n i
i n p C p q -=取得最大值。
2
3173200.150.8511400.0033750.0631130.2428p C =??=??=
48、解：（1）设X 为每分钟呼唤次数，则~(4)X P 。故{}64
460.10426!
P X e -==≈ （2）{}4
114101{1}1{11}1!
i i P X P X P X e i ∞
-=≤=->=-≥=-∑
查附表2，得{11}0.00284P X ≥=，故{}1010.002840.99716P X ≤=-=
49、解：0.0001,1000p n ==。设事故次数为X ，则~(1000,0.0001)X B 。因n 较大，p 很小，
0.1np =，X 近似服从泊松分布(0.1)P ，故
{}0.1
20.121{0}{1}!
i i P X e P X P X i ∞
-=≥==-=-=∑0.10.10.110.11 1.10.00468e e e ---=--=-≈
50、解：设每月初库存k 件。依题意大利 4
4{}0,1,2,!
i P X i e
i i -===L
04{}0.992!i k
i
i P X k e i -=≤=≥∑
即要求k ，使得 4
1
40.008!i i k e i ∞
-=+≤∑ 查附表2，当110k +=时，
51、解：若该工厂的废品率不大于，则检查200件产品发现4件废品的概率应该不大于
441002000.0050.995p C =??
用泊松定理作近似计算
2000.0051λ=?=
得 41
10.01534!
e p -≈=。 这一概率很小。根据实际推断原理，这一小概率事件实际上不太会发生，故不能相信该工厂的废品率不超过。
52、证: ΘA B C P AB P A P B ,,,()()()独立∴=?
从而由P B P AB P AB ()()()=+ 得()()()P AB P A P B =?
故A 与B 独立，同理可证,,A B B C A C 与与与独立，也可证A C 与独立。 另一方面: ΘP ABC P A P B P C ()()()()= ∴=-P ABC P BC P ABC ()()()
()()()()P B P C P AC P ABC =-+
()()()()()()P B P C P A P C P AB P ABC =-?+- ()()()P A P B P C =?? 证毕
53、证：,A B Q 独立()()()P AB P A P B ∴=?从而()()()P AB P A P B =?
由条件概率公式 ()()()
(|)()()()
P AB P A P B P B A P B P A P A ?=
==
概率论与数理统计第四版第二章习题答案
概率论与数理统计 第二章习题 1 考虑为期一年的一张保险单，若投保人在投保一年内意外死亡，则公司赔付20万元，若投保人因其它原因死亡，则公司赔付5万元，若投保人在投保期末自下而上，则公司无需传给任何费用。若投保人在一年内因意外死亡的概率为0.0002，因其它原因死亡的概率为0.0010，求公司赔付金额的分崣上。 解 设赔付金额为X ，则X 是一个随机变量，取值为20万，5万，0，其相应的概率为0.0002；0.0010； 2.（1）一袋中装有5只球，编号为1,2，3,4，5。在袋中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律 （2）将一颗骰子抛掷两次，以X 表示两次中得到的小的点数，试求X 的分布律。 解 （1）在袋中同时取3个球，最大的号码是3,4，5。每次取3个球，其总取法： 3554 1021 C ?= =?，若最大号码是3，则有取法只有取到球的编号为1,2，3这一种取法。因而其概率为 2 2335511 {3}10 C P X C C ==== 若最大号码为4，则号码为有1,2，4；1，3,4； 2，3，4共3种取法， 其概率为23335533 {4}10 C P X C C ==== 若最大号码为5，则1，2,5；1,3，5；1，4,5；2,3，5；2,4，5；3,4，5共6种取法 其概率为 25335566 {5}10 C P X C C ==== 一般地 3 5 21 )(C C x X p x -==，其中21-x C 为最大号码是x 的取法种类数，则随机变量X 的分布律为
（2）将一颗骰子抛掷两次，以X表示两次中得到的小的点数，则样本点为S＝｛（1,1），（1,2），（1,3），…，（6,6）｝，共有36个基本事件， X的取值为1,2，3,4，5,6， 最小点数为1，的共有11种，即（1,1，），（1,2），（2,1）…，（1,6），（6,1），11 {1} 36 P X==； 最小点数为2的共有9种，即（2,2），（2,3），（3,2），…，（3,6），（6,3）， 9 {2} 36 P X==； 最小点数为3的共有7种， 7 {3} 36 P X==； 最小点数为4的共有5种， 5 {4} 36 P X==； 最小点数为5的共有3种， 3 {5} 36 P X==； 最小点数为6的共有1种， 1 {6} 36 P X== 于是其分布律为 3 设在15只同类型的产品中有2只次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出的次品的次数， （1）求X的分布律； （2）画出分布律的图形。 解从15只产品中取3次每次任取1只，取到次品的次数为0，1，2。在不放回的情形下， 从15只产品中每次任取一只取3次，其总的取法为：3 15151413 P=??，其概率为 若取到的次品数为0，即3次取到的都是正品，其取法为3 13131211 P=?? 其概率为 13121122 {0} 15141335 p X ?? === ??
概率论第二章练习答案
《概率论》第二章练习答案 一、填空题： ”2x c S 1 1.设随机变量X的密度函数为f(x)= 则用丫表示对X的3次独立重复的 0 其匕 '- 观察中事件(X< -)出现的次数，则P (丫= 2)= ___________________ 。 2 2.设连续型随机变量的概率密度函数为： ax+b 0 4. 设为随机变量，E =3, E 2=11,则 E (4 10) = 4E TO =22 5. 已知X的密度为(x)二ax?"b Y 01 0 . x :: 1 1 1 (x ) =P(X?),则 3 3 6. 7. 1 1 (X〈一)= P ( X〉一)一 1 (ax b)dxjQx b) 联立解得: dx 若f(x)为连续型随机变量X的分布密度，则J［f(x)dx= ________ 1 ——'J 设连续型随机变量汕分布函数F(x)=x2/：, 丨1, x ：： 0 0 岂 x ：：： 1，则 P ( E =0.8 ) = _0_; P(0.2 ：：：： 6) = 0.99 8. 某型号电子管，其寿命(以小时记)为一随机变量，概率密度：(x)二 x _100 x2，某一个电子设备内配有3个这样的电子管，则电子管使用150小时都不0(其他) 需要更换的概率为_____ 厂100 8/27 _________ x> 100 第二章 随机变量及其分布 1、解： 设公司赔付金额为X ，则X 的可能值为； 投保一年内因意外死亡：20万，概率为0.0002 投保一年内因其他原因死亡：5万，概率为0.0010 投保一年内没有死亡：0，概率为1-0.0002-0.0010=0.9988 所以X 2、一袋中有5X 表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律 解：X 可以取值3，4，5，分布律为 10 61)4,3,2,1,5()5(1031)3,2,1,4()4(10 11)2,1,3()3(35 2 435 2 335 2 2=?= === ?==== ?= ==C C P X P C C P X P C C P X P 中任取两球再在号一球为中任取两球再在号一球为号两球为号一球为 也可列为下表 X ： 3， 4，5 P ：10 6, 103,101 3、设在15只同类型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以X 表示取出次品的只数，（1）求X 的分布律，（2）画出分布律的图形。 解：任取三只，其中新含次品个数X 可能为0，1，2个。 35 22 )0(315313= ==C C X P 3512)1(3 15213 12=?==C C C X P 35 1)2(3 15 113 22= ?= =C C C X P 再列为下表 X ： 0， 1， 2 P ： 35 1, 3512,3522 4、进行重复独立实验，设每次成功的概率为p ，失败的概率为q =1－p (0 第二章 随机变量及其分布 I 教学基本要求 1、了解随机变量的概念以及它与事件的联系； 2、理解随机变量的分布函数的概念与性质；理解离散型随机变量的分布列、连续型随机变量的密度函数及它们的性质； 3、掌握几种常用的重要分布：两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布，且能熟练运用； 4、会求简单随机变量函数的分布. II 习题解答 A 组 1、检查两个产品，用T 表示合格品，F 表示不合格品，则样本空间中的四个样本点为 1(,)F F ω=、2(,)T F ω=、3(,)F T ω=、4(,)T T ω= 以X 表示两个产品中的合格品数. (1) 写出X 与样本点之间的对应关系； (2) 若此产品的合格品率为p ，求(1)p X =？ 解：(1) 10ω→、21ω→、31ω→、42ω→； (2) 1 2(1)(1)2(1)p X C p p p p ==-=-. 2、下列函数是否是某个随机变量的分布函数？ (1) 021()2021 x F x x x <-??? =-≤ 求常数A 及(13)p X <≤？ 解：由()1F +∞=和lim (1)x x A e A -→+∞ -=得 1A =； (13)(3)(1)(3)(1)p X p X p X F F <≤=≤-≤=- 3113(1)(1)e e e e ----=---=-. 4、设随机变量X 的分布函数为 2 00()0111 x F x Ax x x ≤??=<≤??>? 求常数A 及(0.50.8)p X <≤？ 解：由(10)(1)F F +=得 1A =； (0.50.8)(0.8)(0.5)(0.8)(0.5)p X p X p X F F <≤=≤-≤=- 220.80.50.39=-=. 5、设随机变量X 的分布列为 ()a p X k N == (1,2,,)k N =L 求常数a ？ 解：由 1 1i i p +∞ ==∑得 1 1N k a N ==∑ 1a ?=. 6、一批产品共有100个，其中有10个次品，求任意取出的5个产品中次品数的分布列？ 解：设X 表示5个产品中的次品数，则X 是离散型随机变量，其所有可能取值为0、1、…、 5，且 0510905100(0)C C p X C ==、1410905100(1)C C p X C ==、2310905100(2)C C p X C ==、321090 5100 (3)C C p X C ==、 4110905100(4)C C p X C ==、50 1090 5100 (5)C C p X C == 于是X 的分布列为 两人各投中两次的概率为： P(A ^ A 2B 1B 2^0.0784O 所以: 作业题解： 2.1掷一颗匀称的骰子两次，以X 表示前后两次出现的点数之和 ，求X 的概率分布，并验 证其满足(222) 式. 解: Q Q Q Q 根据 v P(X = k) =1，得 k =0 故 a 二 e 「1 2.3 甲、乙两人投篮时，命中率分别为0.7和0.4 ,今甲、乙各投篮两次，求下列事件的 概率： (1)两人投中的次数相同；(2) 甲比乙投中的次数多. 解：分别用A ，B j (i =1,2)表示甲乙第一、二次投中，则 P(A) = P(A 2)=0.7,P(A) = P(A 2)=0.3,P(B 1)= P(B 2)=0.4,P(B 1)= P(D) =0.6, 两人两次都未投中的概率为： P(A A 2 B^! B 2) = 0.3 0.3 0.6 0.6二0.0324， 两人各投中一次的概率为： 并且，P(X P(X P(X P(X = 12) = 1 36 =10) 煤 =8) 嗥； =k)=( =2) =P(X =4) =P(X =6) =P(X 2.2 2 P(X =3) =P(X =11)= ； 36 4 P(X =5) =P(X =9)= p (X =7)」。 36 k =2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12) P{X =k}二ae°,k =1,2…，试确定常数 解: k ae ae = 1 ，即 1=1。 k -0 1 - e P(AA2BB2)P(AA2B2B1)P(A2AB1B2)P(AA2B2B1)= 4 0.7 0.3 0.4 0.6 = 0.2016两人各投中两次的概率为：P(A^ A2B1B2^0.0784O所以: 第二章练习题(答案) 一、单项选择题 1. 已知连续型随机变量X 的分布函数为 3.若函数f(x)是某随机变量X 的概率密度函数，则一定成立的是(C ) A. f(x)的定义域是[0, 1] B. f(x)的值域为[0,1] 4.设X - N(l,l),密度函数为f(x),则有(C ) 5.设随机变量X ~ N (/M6), Y ?N 仏25)，记 P1 = P (X “ + 5), 则正确的是 (A)对任意“，均有Pi = p 2 (B)对任意“，均有Pi v p? (c)对任意〃，均有Pl > Pi (D )只对“的个别值有P1 = P2 6.设随机变量x ?N(10^s 2) 9 则随着s 的增加 P{|X- 10|< s} ( C ) F(x) = o, kx+b 、 x<0 0 < x< x> 则常数&和〃分别为 (A) k = —b = 0 龙， (B) k = 0,b 丄 (C) k = —,b = 0 (D) k = 0,b= 1 n In In 2.下列函数哪个是某随机变量的分布函数 (A ) z 7 fl -cosx ； 2 0, f sinx, A. f(x)』沁,xnO C. f (x)= a (a>0); B. f (x) 1, x < 0 [cosx, — - < X < - 1 2 2 D. f (x) 其他 0, 0 < X < 7T 其他 —-< x < - 2 2 其他 C- f(x)非负 D. f (x)在(-叫+00)内连续 A. P {X 概率论与数理统计作业 班级 姓名 学号 任课教师 第二章 随机变量及其分布 教学要求： 一、理解随机变量的概念；理解离散型随机变量及其分布律的定义，理解分布律的性质；掌 握(0-1)分布、二项分布、Poisson 分布的概念、性质；会计算随机变量的分布律. 二、理解分布函数的概念及其性质；理解连续型随机变量的定义、概率密度函数的基本性质， 并熟练掌握有关的计算；会由分布律计算分布函数,会由分布函数计算密度函数,由密度函数计算分布函数. 三、掌握均匀分布、正态分布和指数分布的概念、性质. 一、掌握一维随机变量函数的分布． 重点:二项分布、正态分布，随机变量的概率分布． 难点:正态分布，随机变量函数的分布． 练习一 随机变量、离散型随机变量及其分布律 1．填空、选择 (1)抛一枚质地均匀的硬币，设随机变量?? ?=，，出现正面 ，，出现反面H T X 10 则随机变量X 在区间 ]22 1 ，（上取值的概率为21. (2)一射击运动员对同一目标独立地进行4次射击,以X 表示命中的次数,如果 {}81 80 1= ≥X P ,则{}==1X P 8. (3)设离散型随机变量X 的概率分布为{},,2,1, ===i cp i X P i 其中0>c 是常数， 则（ B ） （A ）11-=c p ； （B ）1 1 +=c p ； （C ）1+=c p ； （D ）0>p 为任意常数 2．一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5.在袋中同时取出3只球,以X 表示取出的3只球中的最大号码,写出随机变量X 的分布律. 解：从1～5中随机取3个共有103 5=C 种取法. 以X 表示3个中的最大值.X 的所有可能取值为;5,4,3 {}3=X 表示取出的3个数以3为最大值,其余两个数是1,2,仅有这一种情况,则 《概率论》第二章 练习答案 一、填空题： 1．设随机变量X 的密度函数为f(x)=?? ?0 2x 其它1???o 则用Y 表示对X 的3次独立重复 的观察中事件(X≤ 2 1 )出现的次数，则P （Y ＝2）＝ 。 ?==≤4120 21)21(xdx X P 64 9 )43()41()2(1223===C Y p 2. 设连续型随机变量的概率密度函数为： ax+b 0 6．若f(x)为连续型随机变量X 的分布密度，则 ? +∞ ∞ -=dx x f )(＿＿1＿＿＿＿。 7. 设连续型随机变量ξ的分布函数?? ???≥<≤<=2,110, 4/0, 0)(2 x x x x x F ，则 P （ξ=0.8）= 0 ；)62.0(<<ξP = 0.99 。 8. 某型号电子管，其寿命（以小时记）为一随机变量，概率密度)(x ?＝ ()?????≥) (0100100 2其他x x ，某一个电子设备内配有3个这样的电子管，则电子管使用150小时都不需要更换的概率为＿＿＿8/27＿＿＿＿＿。 2100 x x≥100 ∴ ?(x)= 0 其它 P （ξ≥150）=1－F(150)=1－??=-+=+=150 10015010023 2 132********x dx x [P(ξ≥150)]3=(32)3=27 8 9. 设随机变量X 服从B （n, p ）分布，已知EX ＝1.6，DX ＝1.28，则参数n ＝___________， P ＝_________________。 EX = np = 1.6 DX = npq = 1.28 ，解之得：n = 8 ，p = 0.2 10. 设随机变量x 服从参数为（2，p ）的二项分布，Y 服从参数为（4，p ）的二项分布，若P （X ≥1）＝9 5 ，则P （Y ≥1）＝＿65/81＿＿＿＿＿＿。 解： 11. 随机变量X ～N （2， σ2） ，且P （2＜X ＜4）=0.3，则P （X ＜0）=＿＿0.2＿＿＿ % 2.8081 65 811614014==-=-=q p C o ) 0(1)1(=-=≥Y P Y p 31,3294)0(94 )1(95)1(2 = =?=∴===??= ≥p q q X p X p X p 第二章 事件与概率 1、字母M ，A ，X ，A ，M 分别写在一张卡片上，充分混合后重新排列，问正好得到顺序MAAM 的概率是多少？ 解：这五个字母自左往右数，排第i 个字母的事件为A i ，则 42)(,52)(121== A A P A P ，2 1)(,31)(1234123==A A A A P A A A P 1)(12345=A A A A A P 。 利用乘法公式，所求的概率为 ()()()() 12345123412312154321)()(A A A A A P A A A A P A A A P A A P A P A A A A A P =30 1 121314252=????= 2、有三个孩子的家庭中，已知有一个是女孩，求至少有一个男孩的概率。 解：有三个孩子的家庭总共有23=8个类型。设A={三个孩子中有一女}，B={三个孩子中至少有一男}，A 的有利场合数为7，AB 的有利场合为6，依题意所求概率为P （B|A ），则 ()7 6 8/78/6)()(=== A P A B P A B P . 3、若M 件产品中包含m 件废品，今在其中任取两件，求：（1）已知取出的两件中有一件是废品的条件下，另一件也是废品的条件概率；（2）已知两件中有一件不是废品的条件下，另一件是废品的条件概率；（3）取出的两件中至少有一件是废品的概率。 3、解：（1）M 件产品中有m 件废品，m M -件正品。设A={两件有一件是废品}，B={两件都是废 品}，显然B A ?，则 () 1122()/m M m m M P A C C C C -=+ 2 2/)(M m C C B P =， 题中欲求的概率为 )(/)()(/)()|(A P B P A P AB P A B P ==1 21 /)(/2 2112 2---=+=-m M m C C C C C C M m m M m M m . （2）设A={两件中有一件不是废品}，B={两件中恰有一件废品}，显然A B ?，则 () ,/)(2112M m M m m M C C C C A P --+= 2 11/)(M m M m C C C B P -=. 题中欲求的概率为 )(/)()(/)()|(A P B P A P AB P A B P ==1 2/)(/2 1122 11-+=+=---m M m C C C C C C C M m M m m M M m M m . （3）P{取出的两件中至少有一件废品}=( ) ) 1() 12(/2 2 11---= +-M M m M m C C C C M m m M m . 概率论与数理统计课后习题答案 第二章 1.一袋中有5 只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X 表示取出的3只 球中的最 大号码，写出随机变量X 的分布律. 【解】 35 35 24 35 3,4,51 (3)0.1C 3(4)0.3C C (5)0.6 C X P X P X P X ====== ==== 2.设在15只同 类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X 表示取出 的次品个数，求： （1） X 的分 布律； （2） X 的分 布函数并作图； (3) — 133{},{1},{1},{12}222 P X P X P X P X ≤<≤≤≤<<. 【解】 31331512213 3151133 150,1,2. C 22 (0). C 35 C C 12(1). C 35 C 1 (2).C 35 X P X P X P X ========== 故X 的分布律为 （2） 当x <0时， F （x ）=P （X ≤x ）=0 当0≤x <1时 ，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)= 2235 当1≤x <2时 ，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)+P (X =1)=3435 当x ≥2时， F （x ）=P （X ≤x ）=1 故X 的分布函 数 0, 022 ,0135 ()34,12351,2x x F x x x 1、考虑为期一年的一张保险单，若投保人在投保一年后因意外死亡，则公司赔付20万元， 若投保人因其他原因死亡，则公司赔付5万元，若投保人在投保期末生存，则公司无需付给任何费用。若投保人在一年内因意外死亡的概率为0.0002，因其他愿意死亡的概率为0.0010，求公司赔付金额的分布律。 解：设X为公司的赔付金额，X=0,5,20 P（X=0）=1-0.0002-0.0010=0.9988 P（X=5）=0.0010 P（X=20）=0.0002 X 0 5 20 P 0.9988 0.0010 0.0002 2.(1) 一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5.在袋中同时取3只球，以X表示取出的三只中的最大号码，写出随机变量的分布律. 解：方法一: 考虑到5个球取3个一共有=10种取法，数量不多可以枚举来解此题。 设样本空间为S S=｛123,124,125,134,135,145,234,235,245,345 ｝ 易得，P｛X=3｝=；P｛X=4｝=；P｛X=5｝=； X 3 4 5 1/10 3/10 6/10 方法二：X的取值为3,4,5 当X=3时，1与2必然存在，P｛X=3｝= =; 当X=4时，1,2,3中必然存在2个，P｛X=4｝= =； 当X=5时，1,2,3,4中必然存在2个，P｛X=5｝= =； X 3 4 5 1/10 3/10 6/10 (2)将一颗骰子抛掷两次，以X表示两次中得到的小的点数，试求X的分布律. 解：P｛X=1｝= P (第一次为1点)+P（第二次为1点）- P（两次都为一点） = =； P｛X=2｝= P (第一次为2点，第二次大于1点)+P（第二次为2点，第一次大于1点）- P（两次都为2点） For personal use only in study and research; not for commercial use 《概率论》第二章 练习答案 螂 一、填空题: "2x 莁 1 .设随机变量X 的密度函数为f(x)=丿 1 的观察中事件(XW —)出现的次数，则 P (Y = 2)= ___________________ 2 P(X J)「￡xdx 二 2 0 2 1 2 3 1 9 袇 P —F (3)2 螃 2.设连续型随机变量的概率密度函数为: -ax+b 0 莇 DX= 12 4.设 为随机变量，E =3, E 2 =11，则E （4： 10） 羀 D (4 10)=16D # =16 E 2 (E )2 32 100 r x -100 、 X ，某一个电子设备内配有 3个这样的电子管，则电子管使用150小时都不 、0（其他） 需要更换的概率为 8/27 二 4E 10 =22 蒇 5.已知X 的密度为（X ）二 ax + b 广 0 c x < 1 其他，且 1 1 P ( X 二)=P(X>-) , r (x ) dx=1 1 ax b ) dx 二 /ax b ) 3 联立解得: dx 肇 6?若f （x ）为连续型随机变量 X 的分布密度，则 J 「f （x ）dx= _1 ~ |*"^0 羆 7.设连续型随机变量旳布函数F （X ）=X 2/； 丨1, x ：： 0 0 乞 x ：：： 1，则 蚄 P ( E =0.8 ) = _; P(0.2 ：： ：： 6) = 0.99 螄 8. 某型号电子管，其寿命（以小时记）为一随机变量，概率密度 （X ）= 一、教学目的与要求 1、掌握随机变量的概念，离散型随机变量的分布列，会用Ch1求事件概率的方法，求随机变量的分布列； 2、熟悉随机变量的数学期望，方差的概念，会应用分布列求数学期望、方差；掌握数学期望，方差的性质； 3、掌握二维随机变量的分布，边际分布的概念，会应用联合分布列求边际分布，会计算二维随机变量的数字特征，会判定随机变量的独立性与相关性。 4、掌握随机变量函数分布的求法，会求随机变量函数的数字特征。 二、教学重点与难点 重点是分布列的求法，期望与方差的计算。 难点是二维随机变量联合分布列的求法，期望与方差性质的应用。 §2.1一维随机变量及分布列 一．随机变量及其分类 1．概念 在Ch1里，我们研究了随机事件及其概率，细心的同学可能会注意到在某些例子中，随机事件与实数之间存在某种客观的联系。例如袋中有五个球（三白两黑）从中任取三球，则取到的黑球数可能为0，1，2本身就是数量且随着随机试验结果的变化而变化的。又如在“n重贝努里试验中，事件A出现k次”这一事件的概率，若记ξ=n重贝努里试验中A出现的次数，则上述“n重贝努里试验中，事件A出现k次”这一事件可以简记为（ξ=k）,从而有 P(ξ=k)= C p q q=1-p 并且ξ的所有可能取值就是事件A可能出现的次数0，1，2，……n，有些初看起来与数值无关的随机现象，也常常能联系数值来描述。 例如抛掷一枚均匀的硬币可能出现正面，也可能出现反面，约定 若试验结果出现正面, 令η=1, 从而{试验结果出现正面}=（η=1）； 若试验结果出现反面, 令η=0, 从而{试验结果出现反面}=（η=0）。 为了计算n次投掷中出现正面数就只需计算其中“1”出现的次数了。 一般地，若A为某个随机事件，则一定可以通过如下示性函数使它与数值发生联系 在上面的例子中，我们遇到了两个随机变量ξ，η，这两个变量取什么值，在每次试验之前是不确定的，因为它的取值依赖于试验的结果，也就是说它的取值是随机的，通常称这种量为随机变量。从上面例子可以发现，有了随机变量，至少使随机事件的表达在形式上简洁得多了。 在上述前两个例子中，对每一个随机试验的结果自然地对应着一个实数，而在后两个例子中，这种对应关系是人为地建立起来，由此可见，无论哪一种性质， 《概率论》第二章 练习答案 一、填空题： 1．设随机变量X 的密度函数为f(x)=? ??02x 其它1???o 则用Y 表示对X 的3次独立重复的观察中事 件(X≤ 2 1 )出现的次数，则P （Y ＝2）＝ 。 2. 设连续型随机变量的概率密度函数为： ax+b 0 第二章 条件概率与统计独立性 1、字母M ，A ，X ，A ，M 分别写在一张卡片上，充分混合后重新排列，问正好得到顺序MAAM 的概率是多少？ 2、有三个孩子的家庭中，已知有一个是女孩，求至少有一个男孩的概率。 3、若M 件产品中包含m 件废品，今在其中任取两件，求：（1）已知取出的两件中有一件是废品的条件下，另一件也是废品的条件概率；（2）已知两件中有一件不是废品的条件下，另一件是废品的条件概率；（3）取出的两件中至少有一件是废品的概率。 4、袋中有a 只黑球，b 吸白球，甲乙丙三人依次从袋中取出一球（取后来放回），试分别求出三人各自取得白球的概率（3≥b ）。 5、从{0，1，2，…，9}中随机地取出两个数字，求其和大于10的概率。 6、甲袋中有a 只白球，b 只黑球，乙袋中有α吸白球，β吸黑球，某人从甲袋中任出两球投入乙袋， 然后在乙袋中任取两球，问最后取出的两球全为白球的概率是多少？ 7、设的N 个袋子，每个袋子中将有a 只黑球，b 只白球，从第一袋中取出一球放入第二袋中，然后从第 二袋中取出一球放入第三袋中，如此下去，问从最后一个袋子中取出黑球的概率是多少？ 8、投硬币n 回，第一回出正面的概率为c ，第二回后每次出现与前一次相同表面的概率为p ，求第n 回 时出正面的概率，并讨论当∞→n 时的情况。 9、甲乙两袋各将一只白球一只黑球，从两袋中各取出一球相交换放入另一袋中，这样进行了若干次。以 pn ，qn ，rn 分别记在第n 次交换后甲袋中将包含两只白球，一只白球一只黑球，两只黑球的概率。试导出pn+1，qn+1，rn+1用pn ，qn ，rn 表出的关系式，利用它们求pn+1，qn+1，rn+1，并讨论当∞→n 时的情况。 10、设一个家庭中有n 个小孩的概率为 ??? ??=--≥=,0,11, 1,n p ap n ap p n n 这里p p a p /)1(0,10-<<<<。若认为生一个小孩为男孩可女孩是等可能的，求证一个家庭有 )1(≥k k 个男孩的概率为1)2/(2+-k k p ap 。 11、在上题假设下：（1）已知家庭中至少有一个男孩，求此家庭至少有两个男孩的概率； （2）已知家庭中没有女孩，求正好有一个男孩的概率。 12、已知产品中96%是合格品，现有一种简化的检查方法，它把真正的合格品确认为合格品的概率为0.98， 而误认废品为合格品的概率为0.05，求在简化方法检查下，合格品的一个产品确实是合格品的概率。 13、设A ，B ，C 三事件相互独立，求证B A AB B A -,,Y 皆与C 独立。 第2章 条件概率与统计独立性 1、字母M ，A ，X ，A ，M 分别写在一张卡片上，充分混合后重新排列，问正好得到顺序MAAM 的概率是多少？ 2、有三个孩子的家庭中，已知有一个是女孩，求至少有一个男孩的概率。 3、若M 件产品中包含m 件废品，今在其中任取两件，求：（1）已知取出的两件中有一件是废品的条件下，另一件也是废品的条件概率；（2）已知两件中有一件不是废品的条件下，另一件是废品的条件概率；（3）取出的两件中至少有一件是废品的概率。 5、袋中有a 只黑球，b 吸白球，甲乙丙三人依次从袋中取出一球（取后来放回），试分别求出三人各自取得白球的概率（3≥b ）。 6、甲袋中有a 只白球，b 只黑球，乙袋中有α吸白球，β吸黑球，某人从甲袋中任出两球投入乙袋，然后在乙袋中任取两球，问最后取出的两球全为白球的概率是多少？ 7、设的N 个袋子，每个袋子中将有a 只黑球，b 只白球，从第一袋中取出一球放入第二袋中，然后从第二袋中取出一球放入第三袋中，如此下去，问从最后一个袋子中取出黑球的概率是多少？ 9、投硬币n 回，第一回出正面的概率为c ，第二回后每次出现与前一次相同表面的概率为p ，求第n 回时出正面的概率，并讨论当∞→n 时的情况。 10、甲乙两袋各将一只白球一只黑球，从两袋中各取出一球相交换放入另一袋中，这样进行了若干次。以pn ，qn ，rn 分别记在第n 次交换后甲袋中将包含两只白球，一只白球一只黑球，两只黑球的概率。试导出pn+1，qn+1，rn+1用pn ，qn ，rn 表出的关系式，利用它们求pn+1，qn+1，rn+1，并讨论当∞→n 时的情况。 11、设一个家庭中有n 个小孩的概率为 ?????=--≥=,0,11,1,n p ap n ap p n n 这里p p a p /)1(0,10-<<<<。若认为生一个小孩为男孩可女孩是等可能的，求证一个家庭有)1(≥k k 个男孩的概率为1)2/(2+-k k p ap 。 12、在上题假设下：（1）已知家庭中至少有一个男孩，求此家庭至少有两个男孩的概率； （2）已知家庭中没有女孩，求正好有一个男孩的概率。 西南财经大学《 概率论与数理统计》第二章单元测试 满分100分 考试时间 120分钟 一、选择题（每题2分，共20分） 1．设F(x) 是随机变量X 的分布函数，则下列结论不正确的是 （A ）若F(a)=0，则对任意x ≤a 有F(x)=0 （B ）若F(a)=1，则对任意x ≥a 有F(x)=1 （C ）若F(a)=1/2，则 P(x ≤a)=1/2 （D ）若F(a)=1/2，则 P(x ≥a)=1/2 2．设随机变量X 的概率密度f(x) 是偶函数，分布函数为F(x)，则 （A ）F(x) 是偶函数 （B ）F(x)是奇函数 （C ）F(x)+F(-x)=1 （D ）2F(x)-F(-x)=1 4．设随机变量X 1, X 2是任意两个独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为f 1 (x)和f 2 (x)，分布函数分别为F 1 (x)和F 2 (x)，则 （A ）f 1 (x) +f 2 (x) 必为某一随机变量的概率密度 （B ）f 1 (x) f 2 (x) 必为某一随机变量的概率密度 （C ）F 1 (x)+F 2 (x) 必为某一随机变量的分布函数 （D ）F 1 (x)F 2 (x) 必为某一随机变量的分布函数 5．设随机变量X 服从正态分布),(211σμN ，Y 服从正态分布),(2 22σμN ，且 )1|(|)1|(|21<-><-μμY P X P ，则必有 （A ）21σσ< （B ）21σσ> （C ）21μμ< （D ）21μμ> 6．设随机变量X 服从正态分布),(2σμN ，则随σ的增大，概率)|(|σμ<-X P （A ）单调增大 （B ）单调减小 （C ）保持不变 （D ）增减不定 9．下列陈述正确的命题是 （A ）若),1()1(≥=≤X P X P 则2 1 )1(= ≤X P （B ）若X~b(n, p), 则P(X=k)=P(X=n-k), k=0,1,2,?,n （C ）若X 服从正态分布,则F(x)=1-F(-x) （D ）1)]()([lim =-++∞ →x F x F x 第2章练习题 1、二手数据的特点是（） A.采集数据的成本低，但搜集比较困难 B. 采集数据的成本低，但搜集比较容易 C.数据缺乏可靠性 D. 不适合自己研究的需要 2、从含有N个元素的总体中，抽取n个元素作为样本，使得总体中的每一个元素都有相同的机会（概率）被抽中，这样的抽样方式称为（） A.简单随机抽样 B.分层抽样 C.系统抽样 D. 整群抽样 3、从总体中抽取一个元素后，把这个元素放回到总体中再抽取第二个元素，直至抽取n个元素为止，这样的抽样方法称为（） A.重复抽样 B.不重复抽样 C.分层抽样 D.整群抽样 4、一个元素被抽中后不再放回总体，然后从所剩下的元素中抽取第二个元素，直至抽取n个元素为止，这样的抽样方法称为（） A.不重复抽样 B.重复抽样 C.系统抽样 D.多阶段抽样 5、在抽样之前先将总体的元素划分为若干类，然后从各个类中抽取一定数量的元素组成一个样本，这样的抽样方式称 为（） A.简单随机抽样 B.系统抽样 C.分层抽样D?整群抽样 6、先将总体各元素按某种顺序排列，并按某种规则确定一个随机起点，然后每隔一定的间隔抽取一个元素，直至抽取 n个元素形成一个样本。这样的抽样方式称为（） A.分层抽样 B.简单随机抽样 C.系统抽样D?整群抽样 7、先将总体划分为若干群，然后以群作为抽样单位从中抽取部分群，再对抽中的各个群中所包含的所有元素进行观察， 这样的抽样方式称为（） A.系统抽样 B.多阶段抽样 C.分层抽样 D.整群抽样 8为了调查某校学生的购书费用支出，从男生中抽取60名学生调查，从女生中抽取40名学生调查，这种调查方是（） A.简单随机抽样 B.整群抽样 C.系统抽样 D.分层抽样 9、为了调查某校学生的购书费用支出，从全校抽取4个班级的学生进行调查，这种调查方法是（） A.系统抽样 B.简单随机抽样 C.分层抽样D?整群抽样 10、为了调查某校学生的购书费用支出，将全校学生的名单按拼音顺序排列后，每隔50名学生抽取一名学生进行调查， 这种调查方法是？（） A.分层抽样 B.整群抽样 C.系统抽样 D.简单随机抽样 11、为了了解女性对某种化妆品的购买意愿，调查者在街头随意拦截部分女性进行调查。这种调查方式是（） A.简单随机抽样 B.分层抽样C?方便抽样D?自愿抽样 12、研究人员根据研究对象的了解有目的的选择一些单位作为样本，这种调查方式是（） A.判断抽样 B.分层抽样 C.方便抽样 D.自愿抽样 13、下面的那种调查方式不是随机选取的（） A.分层抽样 B.系统抽样C?整群抽样D?判断抽样 14、下面的那种抽样调查结果不能用于对总体有关参数进行估计（） A.分层抽样 B.系统抽样 C.整群抽样 D.判断抽样 15、调查时首先选择一组调查单位，对其实施调查之后，再请他们提供另外一些属于研究总体的调查对象，调查人员根据所提供的线索，进行此后的调查。这样的调查方式称为（） A.系统抽样 B.整群抽样 C.滚雪球抽样 D.判断抽样 16、如果要搜集某一特定群体的有关资料。适宜采用的调查方式是（） A.滚雪球抽样 B.系统抽样 C.判断抽样 D.整群抽样 17、下面的那种抽样方式不属于概率抽样（） A.系统抽样 B.整群抽样 C.分层抽样 D.滚雪球抽样 18、下面的那种抽样方式属于非概率抽样（） A.系统抽样 B.简单随机抽样 C.整群抽样 D.方便抽样 19、先将总体中的所有单位按一定的标志（变量）分为若干类，然后在每个类中采用方便抽样或判断抽样的方式选取样本单位。这种抽样方式称为（） A.分类抽样 B.配额抽样 C.系统抽样 D.整群抽样 第2章 一维随机变量及其分布 一、选择题 1．设F(x) 是随机变量X 的分布函数，则下列结论不正确的是 （A ）若F(a)=0，则对任意x ≤a 有F(x)=0 （B ）若F(a)=1，则对任意x ≥a 有F(x)=1 （C ）若F(a)=1/2，则 P(x ≤a)=1/2 （D ）若F(a)=1/2，则 P(x ≥a)=1/2 2．设随机变量X 的概率密度f(x) 是偶函数，分布函数为F(x)，则 （A ）F(x) 是偶函数 （B ）F(x)是奇函数 （C ）F(x)+F(-x)=1 （D ）2F(x)-F(-x)=1 3．设随机变量X 1, X 2的分布函数、概率密度分别为F 1 (x)、F 2 (x)，f 1 (x)、f 2 (x)，若a>0, b>0, c>0，则下列结论中不正确的是 （A ）aF 1 (x)+bF 2 (x) 是某一随机变量分布函数的充要条件是a+b=1 （B ）cF 1 (x) F 2 (x) 是某一随机变量分布函数的充要条件是c=1 （C ）af 1 (x)+bf 2 (x) 是某一随机变量概率密度的充要条件是a+b=1 （D ）cf 1 (x) f 2 (x) 是某一随机变量分布函数的充要条件是c=1 4．设随机变量X 1, X 2是任意两个独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为f 1 (x)和f 2 (x)，分布函数分别为F 1 (x)和F 2 (x)，则 （A ）f 1 (x) +f 2 (x) 必为某一随机变量的概率密度 （B ）f 1 (x) f 2 (x) 必为某一随机变量的概率密度 （C ）F 1 (x)+F 2 (x) 必为某一随机变量的分布函数 （D ）F 1 (x)F 2 (x) 必为某一随机变量的分布函数 5．设随机变量X 服从正态分布),(211σμN ，Y 服从正态分布),(222σμN ，且 )1|(|)1|(|21<-><-μμY P X P ，则必有 （A ）21σσ< （B ）21σσ> （C ）21μμ< （D ）21μμ> 6．设随机变量X 服从正态分布),(2σμN ，则随σ的增大，概率)|(|σμ<-X P （A ）单调增大 （B ）单调减小 （C ）保持不变 （D ）增减不定 7．设随机变量X 1, X 2的分布函数分别为F 1 (x)、F 2 (x)，为使aF 1 (x)－bF 2 (x) 是某一随机变量分布函数，在下列给定的各组数值中应取 （A ）5 2,5 3-==b a （B ）3 2,3 2==b a （C ）2 3,2 1=-=b a （D ）2 3,2 1-==b a概率论与数理统计第二章答案
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