第08讲 函数的单调性(教师版) 备战2021年新高考数学微专题讲义
第8讲：函数的单调性
一、课程标准
1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义
2.掌握求函数的单调性的方法·
3.能处理函数的最值问题。
二、基础知识回顾
1. 函数单调性的定义
(1)一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于这个区间的任意两个自变量x1、x2，当x1
(2)如果函数y＝f(x)在某个区间上是增函数(或减函数)，那么就说f(x)在这个区间上具有(严格的)单调性，这个区间叫做f(x)的单调区间；若函数是增函数则称该区间为增区间，若函数为减函数则称该区间为减区间．
2. 函数单调性的图像特征
对于给定区间上的函数f(x)，若函数图像从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增；若函数图像从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减．
3. 复合函数的单调性
对于函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果当x∈(a，b)时，u∈(m，n)，且u＝g(x)在区间(a，b)上和y＝f(u)在区间(m，n)上同时具有单调性，则复合函数y＝f(g(x))在区间(a，b)上具有单调性，并且具有这样的规律：增增(或减减)则增，增减(或减增)则减．
4. 函数单调性的常用结论
(1)对?x1，x2∈D(x1≠x2)，f（x1）－f（x2）
x1－x2>0?f(x)在D上是增函数；
f()x1－f()x2
x1－x2<0?f(x)在D上是减函数．
(2)对勾函数y＝x＋a
x(a>0)的增区间为(－∞，－a]和[a，＋∞)，减区间为(－a，0)和(0，a)．
(3)在区间D上，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数．
(4)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”
5.常用结论
1．若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质：
(1)当f (x )，g (x )都是增(减)函数时，f (x )＋g (x )是增(减)函数；
(2)若k >0，则kf (x )与f (x )单调性相同；若k <0，则kf (x )与f (x )单调性相反； (3)函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1
f （x ）的单调性相反；
(4)复合函数y ＝f [g (x )]的单调性与y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性有关．简记：“同增异减”． 2．增函数与减函数形式的等价变形：?x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1≠x 2，则 (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0?f （x 1）－f （x 2）
x 1－x 2>0?f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0?f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2
<0?f (x )在[a ，b ]上是减函数． 三、自主热身、归纳总结
1、函数y ＝x 2－5x －6在区间[2，4]上是( ) A ．递减函数 B ．递增函数
C ．先递减再递增函数
D ．先递增再递减函数
【答案】C
【解析】作出函数y ＝x 2
－5x －6的图象(图略)知开口向上，且对称轴为x ＝5
2，在[2，4]上先减后增．故选
C.
2、函数y ＝1
x －1在[2，3]上的最小值为( ) A ．2 B.1
2 C.1
3 D ．－12
【答案】B
【解析】 因为y ＝1x －1在[2，3]上单调递减，所以y min ＝13－1＝1
2.故选B. 3、设函数f(x)在R 上为增函数，则下列结论一定正确的是(D ) A. y ＝1
f （x ）在R 上为减函数 B. y ＝|f (x )|在R 上为增函数
C. y ＝－1
f （x ）在R 上为增函数 D. y ＝－f (x )在R 上为减函数 【答案】D.
【解析】 如f (x )＝x 3
，则y ＝1
f （x ）的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在x ＝0时无意义，A 、C 错；y ＝|f (x )|
是偶函数，在R 上无单调性，B 错．故选D.
4、对数函数log (0a y x a =>且1)a ≠与二次函数2(1)y a x x =--在同一坐标系内的图象不可能是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】BD ．
【解析】：若1a >，则对数函数log a y x =在(0,)+∞上单调递增，二次函数2(1)y a x x =--开口向上，对称轴1
02(1)
x a =
>-，经过原点，可能为A ，不可能为B ．
若01a <<，则对数函数log a y x =在(0,)+∞上单调递减，二次函数2(1)y a x x =--开口向下，对称轴
1
02(1)
x a =
<-，经过原点，可能为C ，不可能为D ．
故选：BD ．
5、已知函数2()361f x x x =--，则( ) A ．函数()f x 有两个不同的零点
B ．函数()f x 在(1,)-+∞上单调递增
C ．当1a >时，若()x f a 在[1x ∈-，1]上的最大值为8，则3a =
D ．当01a <<时，若()x f a 在[1x ∈-，1]上的最大值为8，则1
3
a =
【答案】ACD ．
【解析】因为二次函数对应的一元二次方程的判别式△2(6)43(1)480=--??-=>， 所以函数()f x 有两个不同的零点，A 正确；
因为二次函数()f x 图象的对称轴为1x =，且图象开口向上， 所以()f x 在(1,)+∞上单调递增，B 不正确；
令x t a =，则22()()3613(1)4x f a g t t t t ==--=--． 当1a >时，1
t a a
，故()g t 在1[,]a a 上先减后增，
又
1
12
a a +>，故最大值为g （a ）23618a a =--=，
解得3a =（负值舍去）． 同理当01a <<时，1a t a ，()g t 在1[,]a a 上的最大值为2136
()18g a a a
=--=， 解得1
3
a =（负值舍去）．
故选：ACD ．
6、函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的单调递增区间是 ；单调递减区间是 ． 【答案】(1－2，1)，(1＋2，＋∞)；(－∞，1－2)，(1，1＋2)．
【解析】作出函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的图像如图所示．由图像可知，函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的单调增区间为(1－2，1)，(1＋2，＋∞)；单调递减区间是(－∞，1－2)，(1，1＋2)．故应分别
7、已知f(x)＝x
x －a (x≠a)，若a ＞0且f(x)在(1，＋∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】(0，1]
【解析】 任设1＜x 1＜x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝x 1x 1－a －x 2
x 2－a ＝a （x 2－x 1） （x 1－a ）（x 2－a ）. ∵a ＞0，x 2－x 1＞0，∴要使f(x 1)－f(x 2)＞0，只需(x 1－a)(x 2－a)＞0恒成立．∴a≤1. 综上所述，a 的取值范围是(0，1]．
8、函数y ＝x 2＋x －6的单调递增区间为__________，单调递减区间为____________． 【答案】 (1)B (2)[2，＋∞) (
－∞，－3]
【解析】 (1)y ＝|x 2－3x ＋2|＝?
????x 2－3x ＋2，x ≤1或x ≥2，
－（x 2－3x ＋2），1 1，32和[2，＋∞)． (2)令u ＝x 2＋x －6， 则y ＝x 2＋x －6可以看作是由y ＝u 与u ＝x 2＋x －6复合而成的函数． 令u ＝x 2＋x －6≥0，得x ≤－3或x ≥2. 易知u ＝x 2＋x －6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y ＝u 在[0，＋∞)上是增函数， ∴y ＝x 2＋x －6的单调递减区间为(－∞，－3]，单调递增区间为[2，＋∞)． 三、例题选讲 考点一 函数的单调区间 例1、求下列函数的单调区间 (1)y ＝－x 2＋2|x|＋1； (2)f(x)＝x 2－2x －3； （3）2 12 log (32)y x x =-+ 【解析】(1)由2221,0-x 21,0x x x x x ?-++??-+??≥，＜，即22 (1)2,0-1)2,0.x x y x x ?--+? =?++?? ≥（＜ 画出函数图像如图所示，单调增区间为(－∞，－1]，[0，1]，单调减区间为[－1，0]， [1，＋∞)． (2)f(x)＝x 2－2x －3的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．令t ＝x 2－2x －3， ∵t ＝x 2－2x －3在x ∈(－∞，－1]上是减函数，在x ∈[3，＋∞)为增函数，又y ＝t 在t ∈(0，＋∞) 上是增函 数，∴函数f(x)＝x 2－2x －3的单调减区间是(－∞，－1]，单调递增区间是[3，＋∞)． (3)令u ＝x 2－3x ＋2，则原函数可以看成12 log y u =与u ＝x 2－3x ＋2的复合函数． 由x 2－3x ＋2＞0，解得x ＜1或x ＞2. ∴函数 的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)． 又u ＝x 2 －3x ＋2的对称轴x ＝3 2，且开口向上． ∴u ＝x 2－3x ＋2在(－∞，1)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数． 而12 log y u =在(0，＋∞)上是减函数，∴ 的单调减区间为(2 ，＋∞)，单调增区间为(－∞，1)． 变式1、（2019·河北石家庄二中模拟）函数f (x )＝|x 2－3x ＋2|的单调递增区间是( ) A.???? 32，＋∞ B.???? 1，32和[2，＋∞) C ．(－∞，1]和???? 32，2 D.?? ??－∞，32和[2，＋∞) 【答案】B 【解析】y ＝|x 2－3x ＋2|=? ???? x 2－3x ＋2，x ≤1或x ≥2， －x 2－3x ＋2，1＜x ＜2. 如图所示，函数的单调递增区间是???? 1，32和[2，＋∞)． 变式2、已知函数f (x )＝log a (－x 2－2x ＋3)(a >0且a ≠1)，若f (0)<0，则此函数的单调递增区间是 ( ) A.(－∞，－1] B.[－1，＋∞) C.[－1，1) D.(－3，－1] 2 12 log (32)y x x =-+2 12 log (32)y x x =-+ 【答案】C